Введение к работе
Актуальность темы. Теория устойчивости динамических систем с детерминированным импульсным воздействием развита в работах А.М.Самоі'іленко и Н.А.Перестюка.
Вместе с тем, естественно возникает проблема анализа устойчивости динамических систем, находящихся под воздействием ш.шульсных возмущений в случайные моменты времени". Е том случае, когда последовательность моментов импульсного воздействия образует процесс марковского восстановления, эволюция динамической системы может быть описана марковским случайным процессом,
Теория устойчивости марковских процессов развита в работах И.И.Гихмана, Р.З.Хасьминского, И.Я.Каца, Н.Н.Краоовского, Г.дж.Кушнера, А.Б.Скорохода, Е.$.Царькова и др.
В настоящее Бремя сложилось два направления в асимптотическом анализе траекторий марковских процессов: I. Поведение траекторий при неограниченном возрастании времени t ~** * (устойчивость). 2) Поведение траекторий в схеме серий, зависящих от малого параметра серій & при*» 6 —* О ( усреднение).
Вместе с тем представляет интерес и смешанная задача - изучение марковских процессов в схеме серий при & -* О и t .—+ ео,
Метод усреднения эволюционных дифференциальных уравнений с малым параметром был создан Н.Н.Боголюбовым, а затем развит в работах Ю.А.Митропольского и многочисленных представителей киевской школы нелинейной механики.
Обоснование методы усреднения для марковских процессов было дано в работах И.И.Гихмана и Р.З.Хасьминского. Метод усреднения' для стохасткчвских систем в различной постановке рассматривался также в работах А.Б.Скорохода, В.В.Сарафяна, А.Ф.Турбина, Е.С.Ко-ролюка, А.Е.Свищука.
Е условиях применимости принципа усреднения к стохастическим системам в схеме серий возникает проблема анализа устойчивости исходной системы в предположении, что имеет место устойчивость усредненной системы.
Впервые такая постановка задачи рассматривалась в работах Й.Н.Боголюбова для детерминированных динамических систем. Впоследствии А.К.Саыойленко получил достаточно общие условия, при
которых имеет место устойчивость исходной динамической системы при условии устойчивости .усредненной системы. Для линейных стохастических систем с запаздыванием ( дифференциально-функциональных) Е.Ф.Царьков предлогом достаточные условия устойчивости исходной системы. Для автономной динамической системы с быстрыми марковскими переключениями, аналогичная задача рассмотрена в работе Б.С.Королюка.
Цель работы. В настоящей диссертации изучается устойчивость линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты времени, образующими процесс марковского восстановления.
Методика исследования. Б диссертации используются предельная теорема марковского восстановления, метод пробных функций Ляпунова и мартингальные свойства марковских процессов.
Научная новизна. В диссертации получены достаточные условия устойчивости линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты, образующими процесс восстановления, а также для таких систем в схеме серий, когда процесс марковского восстановления, задающий моменты импульсного воздействия, порождает скачкообразный марковский процесс с возрастающими ^інтенсивностями скачков.
Применение. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при обосновании устойчивости импульсных стохастических систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры интегральных и дифференциальных уравнений КГУ (1989 г.), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные урашения и -оптимальное управление" (г.Ашхабад, 1990 на научном семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики института математики АН УССР, Киев, 1991 г. ( рук. академик АН УССР В.С.Королюк).
Публикации. Основные .результаты диссертации опубликованы в работах [ I - 5 2
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы составляет 105 страниц машинопис -ного текста. Библиографический список содержит 56 наименований литературных источников.
