Содержание к диссертации
Введение
1 Законы нуля или единицы 13
2 Размерности случайных рекурсивных множеств 16
3 Упаковочные меры случайных рекурсивных множеств 20
3.1 Оценка упаковочной меры в размерности множества 21
3.2 Оценка точной упаковочной размерности сверху 29
3.3 Оценка точной упаковочной размерности снизу 37
4 Деревья Гальтона-Ватсона 56
5 Случайно порожденные вероятностные распределения 61
6 Примеры 65
Заключение 73
Литература 75
- Размерности случайных рекурсивных множеств
- Оценка упаковочной меры в размерности множества
- Оценка точной упаковочной размерности снизу
- Случайно порожденные вероятностные распределения
Введение к работе
В данной диссертации рассматриваются случайные фракталы общего типа и некоторые вопросы размерности и мер, связанные с ними. Прежде различные авторы изучали свойства случайных фракталов относительно мер Хаусдорфа, определенных еще в начале XX века. В середине 80-х годов были определены упаковочные меры как в некотором смысле двойственные мерам Хаусдорфа. Мы проводим исследование свойств случайных фракталов с точки зрения упаковочных мер. Данная тема обсуждалась в литературе в значительно меньшей степени.
Размерности случайных рекурсивных множеств
Гацурас в [16] доказал, что размерность Минковского множества К{и) совпадает с его размерностью Хаусдорфа. В теореме 2.2 приводится другое краткое доказательство данного факта. Это доказательство в теореме 2.3 распространяется на случайные фракталы, изучавшиеся Дряхловым и Тем-пельманом в [И]. Таким образом при конечном ветвлении все четыре стандартные размерности изучаемых конструкций - верхняя и нижняя размерности Минковского, Хаусдорфа и упаковочная размерность - совпадают. При бесконечном ветвлении размерность Минковского и упаковочная размерность могут превосходить размерность Хаусдорфа, даже если рекурсия носит детерминистический характер, см. [35], теорема 2.11.
Ситуация с мерой Хаусдорфа в размерности а данных случайных фракталов сравнительно хорошо изучена. По закону нуля или единицы (см. теоремы 1.1, 1.2 и следующие за ними замечания) для некоторых классов множеств К (и) почти наверное выполнено одно из трех: мера Хаусдорфа в размерности а либо нулевая, либо бесконечная либо положительная и конечная. Граф в [18] показал, что для случайных самоподобных множеств К (и) мера Хаусдорфа в размерности а положительна и конечна при условии, что система случайных подобий почти детерминистична, а точнее, если для некоторого 5 0.
Граф и др. ([20]) распространили данный результат на общие случайные рекурсивные конструкции. Для упаковочной меры в размерности а ситуация аналогична. В теореме 3.3 доказывается, что при тех же двух условиях упаковочная мера в размерности а положительна и конечна почти наверное. Далее Граф в [18] доказал, что если Pi J2 Т- = 1 1 1, то мера Хаусдорфа в размерности а случайного самоподобного множества почти наверное нулевая. В теореме 3.6 доказывается, что в данной ситуации при условии, что Р(0 Т а 1) 0 и выполнении усиленного условия случайного открытого множества, упаковочная мера в размерности а бесконечна.
Для многих случаев, когда мера Хаусдорфа в размерности а нулевая, была найдена точная размерность Хаусдорфа. В частности Граф и др. в [20] нашли калибровочную функцию (р, такую что 0 7- (if(a;)) со п.н., при условии, что К(со) ф 0. Эта калибровочная функция может быть найдена путем анализа функции распределения случайной величины X, которая является пределом некоторого положительного супермартингала. А именно, если для а Є А обозначить 1„(ш) = diam (./ ( )), то супермартингалом будет последовательность ]Г] Z", к IN. Данная запись означает суммирование по всем последовательностям длины к и будет часто использоваться в дальнейшем. При конечном ветвлении эта последовательность образует мартингал.
Соответствующая ситуация при нахождении точной упаковочной размерности сложнее и была не разрешена. В данной диссертации решение этой задачи сводится к проверке того, случаются ли бесконечно часто некоторые события с вероятностью единица. Проверка произведена для простейших классов конструкций, в которых ТІ может принимать только одно значение за исключением нулевого и при некоторых других заметно менее ограничительных условиях.
Ранее вопрос о точной упаковочной размерности был выяснен для тра екторий субординаторов и, как уже упоминалось ранее, броуновской тра ектории. Тэйлор в [44] доказал, что упаковочная мера траектории субор динатора с индексом (3 относительно калибровочной фукнции (p(t) = t g(t) нулевая, если f0+g2(t)dt/t оо, и бесконечная, если f0+92(t)dt/t = со, т.е. точной упаковочной размерности не существует. Упаковочные меры тра екторий субординаторов и связанных с ними процессов также изучались в работах Фенг и Ша ([14]), Фристедта и Тэйлора ([14]), Кс. Ху ([24],[25],[26]), Й. Ху ([27]). Во многих из них требовалось дополнительное условие на рас сматриваемые калибровочные функции - \im(p(2t)/(p(t) со, называемое условием удвоения. Стоит упомянуть, что Лю в [30] анонсировал нахождение точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона в случае, когда ко личество потомков по крайней мере два почти наверное, но сделал ошибку в доказательстве оценки снизу этой размерности . Связь между деревьями Гальтона-Ватсона и случайными рекурсивными конструкциями, а также эта ошибка обсуждаются в главе 4 и теореме 4.2. Также Ксяо в [47] доказал отсутствие точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона при геометрическом распределении потомков. При исследовании точной упаковочной размерности случайного рекурсивного множества мы различаем два случая - когда функция распределения случайной величины X убывает около нуля как полином, этот случай мы называем полиномиальным, и когда функция распределения убывает экспоненциально, тогда мы говорим об экспоненциальном случае. В теореме 3.12 найдена верхняя оценка точной упаковочной размерности общих случайных рекурсивных множеств, если коэффициенты подобия конструкции убывают к нулю не слишком быстро, а в теореме 3.28 при некоторых дополнительных предположениях доказывается, что найденная оценка верхней границы точной упаковочной размерности является наилучшей. Оказывается, что в полиномиальном случае точной упаковочной размерности не существует, т.е. упаковочная мера либо нулевая, либо конечная в зависимости от сходимости некоторого интеграла, а в экспоненциальном случае точная упаковочная размерность определяется размерностью множества и скоростью экспоненциального убывания к нулю функции распределения случайной величины X около нуля.
По материалам диссертации опубликовано 4 работы, они перечислены в списке литературы под номерами [1],[5],[7],[6]. Результаты диссертации докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А. Ибрагимова в 2005 г., на междисциплинарном математическом семинаре СПб-ГУ в 2005 г. на Симпозиуме по вещественному анализу в г. Дентон (США) в 2000 г., на Юго-западной конференции по динамике в Лос-Анджелесе (США) в 2000 г., на встрече Американского математического общества в г. Колумбус (США) в 2001 г., на семинаре по математическому анализу университета Ювяскюля (Финляндия) в 2002 г., на международной конференции по фрактальной геометрии и стохастике во Фридрихроде (ФРГ) и на семинаре по фрактальной геометрии университета г. Йена (ФРГ) в 2003 г.
Оценка упаковочной меры в размерности множества
Далее в этой главе мы показываем, как теория, развитая в предыдущей главе может быть применена для нахождения точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона. Предположение 1 из главы 3 выполнено при SQ = 0 и Ra = П. Заметим, что при SQ = 0 доказательство теоремы 3.28 справедливо в полиномиальном случае с параметром /?, если число потомков неограничено, и у X имеется конечный момент порядка г А(3 + 4. Если выполнено предположение 2, то доказательство теоремы 3.12 справедливо для неограниченного числа потомков.
Если вероятность того, что Na = 1, положительна, то согласно теореме 1 в [10] имеет место полиномиальный случай, и точной упаковочной размерности не существует. Если количество потомков имеет геометрическое распределение, P(N$ = к) = р(1 — р)к для к IN, то согласно результату Хокиза из [21] Р(0 X х) — 1 — е х для х 0. Поэтому имеет место полиномиальный случай с параметром /3 = 1. Поскольку у X есть моменты всех порядков, по теоремам 3.12 и 3.28 мы получаем результат Ксяо из [47] об отсутствии точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона с геометрическим распределением потомков. При этом наши доказательства справедливы для калибровочных функций (p(t) произвольного вида, а Ксяо доказал свой результат только для калибровочных функций, удовлетворяющих условию удвоения, то есть когда lim ip(2t)/ip(t) со.
Если Na 2 почти наверное, то согласно предложению 7 из [8] имеет место экспоненциальный случай с параметром /3 = 1 — log/г/log д, где // равняется среднему количеству потомков, а // инфимуму числа потомков. Таким образом по теоремам 3.12, 3.28 и лемме 3.2G, точная упаковочная размерность задаётся функцией cp(t) = ta\ log log l . Это доказывает гипотезу Лю, который в [31] изучал точную упаковочную размерность ОТ в экспоненциальном случае.
Аналогичный результат получен Ватанабе в статье [46]. При этом отсутствуют условия на моменты X, но в полиномиальном случае присутствует дополнительное условие на функцию, обозначавшуюся в теоремах 3.12 и 3.28 как g(t) - вышеупомянутое условие удвоения.
Известно несколько способов построить случайное распределение вероятности на [0,1], см. [19], [34]. В статье [34] было получена оценка размерности Хаусдорфа случайной вероятностной меры, порожденной согласно предложенной авторами схеме. В этой главе доказывается, что та же оценка справедлива и для упаковочной размерности. Упаковочная размерность и размерность Хаусдорфа вероятностной меры 7Г на [0,1] определяются следующим образом:
Будем пользоваться такими же обозначениями, как и в [34]. 7 ([0,1]) обозначает множество всех вероятностных мер на [0,1]. Пусть V - множество двоично-рациональных чисел на [0,1]. Тогда D = UDn, где
Определим отображение 0 : [0,1]р — V{[0,1]) следующим образом. Для уже определено, то для 0 j 2п — 1 положим Мы отождествляем функцию распределения 0(0 с соответствующим распределением. Предположим теперь, что для каждого d 6 Р задано рас пределение r(d) на отрезке [0,1]. Набор таких распределений будем называть ядром перехода с двоично-рациональных чисел в пространство распределений на отрезке [0,1]. Тогда в пространстве распределений на отрезке [0,1] возникает вероятностная мера 1ZT - образ Рт = П T(d) при отображе ний в.
Обозначим функцию распределения вероятностной меры 7г on [0,1] через hn. Ядро перехода г : V — "Р([0,1]) называется плотным, если для всех є 0 существует 5 Є (0,1/2), такое что r(d)(S, 1—5) 1 — є для всех deV.
Пусть {0,1} обозначает множество всех конечных последовательностей нулей и единиц, включая пустую последовательность. Определим отображение р : {0,1} — V, полагая /3(0) = 1/2, а для всех остальных.
Оценка точной упаковочной размерности снизу
Мандельброт ввел следующий процесс. Зафиксируем натуральное число п 1 и число р Є (0,1). Разделим квадрат со стороной, длина которой равна единице, на п2 равных квадратов. Допустим, что каждый квадрат со стороной 1/п независимо выживает с вероятностью р. В каждом выжившем квадрате процесс повторяется. Предельное множество непусто с положительной вероятностью при условии, что р 1/п2. Размерность в этом случае равняется а = 2 4- (log р/ log п). Точной размерностью Хаусдорфа является функция ta(\ log I log l)1- 2), как это было подсчитано Графом и др. ([20], в пример 6.2). По теореме 1 из статьи Дюбука ([10]), имеет место полиномиальный случай с параметром /9, где /3 является решением уравнения р\\$ — 1, р\ = Р(3\ і\Ті ф- 0) = п2р(1 — р)п _1, а /х = п2р является средним числом потомков. В этом случае (3 = — 1 — iOKJi - 63 потеРи общности мы можем считать, что п 3. Пусть Т = {г Є A\Jif)J 0}. Усиленное условие случайного открытого множества и предположение 1 выполнены при so = 1, Ra = Ra == {w\Ta i = ОУг Є Т}. Согласно теореме 3.12 для калибровочной функции (p(t) = tag(t), такой что f0+ —ds со имеет место равенство V iK) = 0 п.н. По теореме 3.28 и лемме 3.26 из того, что /0+ 9 т±ds = со следует Р("Р (Я") = оо\К Ф 0) = 1, т.е. точная упаковочная размерность не существует.
Данный процесс был предложен Деккингом и Гримметтом. Подробно он обсуждался Графом и др. ([20], в примере 6.12); в этой работе они нашли точную размерность Хаусдорфа множества, получающегося из этой конструкции. Зафиксируем натуральное число п 1 (без потери общности п 3) и вероятностную меру /І на множестве всех подмножеств {1,..., п2}. Пусть «Л,..., Jn2 является нумерацией разбиения 3% = [О,1] х [0,1] на равные квадраты. В предположении что квадрат За уже построен, мы выбираем А С {1,...,п2} согласно мере /і не зависимо от того, как происходит этот выбор в других квадратах, и полагаем, что только те квадраты J r iii Є {1,...,га2}, будут содержаться в Ja, для которых і Є А и которые являются образами квадратов J; С 3$ при естественном отображении подобия между 3% и За. Если т является средним числом потомков подмножества, то размерность Хаусдорфа a = log тр/ log п.
Ясно, что конструкция удовлетворяет усиленному условию случайного открытого множества с параметром 5о = 1, если мы с положительной вероятностью получаем потомка 3$, обозначим его Зк, который не касается границы родительского квадрата. В этом случае предположение 1 выполнено при SQ = 1, Ra = {Ta k ф 0}. Если все потомки касаются границы, но с положительной вероятностью они касаются разных открытых сторон квадрата, то усиленное условие случайного открытого множества удовлетворено с параметром SQ = 2. Если обозначить потомков 3$, которые с положительной вероятностью касаются разных внутренностей сторон квадрата через Зкх и Л2, то в предположении 1 so = 2, Ra = {Та кг ф 0,Та кі к2 Ф 0}. Наконец, если почти наверное все потомки касаются только одной стороны квадрата, то предельное множество может быть представлено как случайное самоподобное множество на отрезке 3 — [0,1], удовлетворяющее условию случайного открытого множества и предположению 1 способом, аналогичным вышеописанному в двумерном случае.
Если /г, существенный инфимум числа потомков, удовлетворяет условию \х 2 почти наверное, то согласно статье Биггинса и Бингэма ([8], предложение 7) имеет место экспоненциальный случай с параметром /3=1 — log/z/log/z, и согласно теореме 3.12 для калибровочной функции (p(t) — а log log 11 выполнено V {K) со п.н. По теореме 3.28 и лемме 3.26, P(Vip(K) 0\К Ф 0) = 1, и таким образом (р является точной упаковочной размерностью.
Если / = 1, то картина такая же, как и в примере 6.1, т.е. точной упаковочной размерности не существует. Пример 6.3 Случайный самонепересекающийся процесс на решете Сер-пинского. Данный процесс был введен в [23], и его размерность Хаусдорфа была найдена в [22]. В данной диссертации дается более простое определение этого процесса. Доказывается, что он является предельным множеством некоторой случайной рекурсивной конструкции, что позволяет применить уже известные теоремы для нахождения его размерностей. Пусть 3 - равносторонний треугольник единичного диаметра с одной вершиной О в начале координат и другой вершиной В в точке с координатами (1,0). Через А мы обозначим третью вершину этого треугольника. Ju hi Jz являются теми тремя равносторонними треугольниками диаметра 1/2 из 4, накладывающихся на 3 без наложений, которые в качестве одной из своих вершин имеют точки О, А и В соответственно. Затем процесс повторяется, и получается (неслучайное) самоподобное множество, называемое решетом Серпинского, G = f] U Jo Зафиксируем 1 р 0. Рассмотрим fn(x): [0,1] — (J 3a - набор случайных отображений, заданных индуктивно так, что выполнены следующие условия: і. Для п — 0 выполнено /о(0) = О, /о(1) = Д и отображение /о линейно. ii. Для всех о Є {1,2,3}п множество Jfff\ /„([0,1]) либо совпадает со стороной треугольника За, либо пусто. iii. Предположим, что случайные функции /п были определены. Для фиксированного а Є {1,2,3}", положим [аст,6ст] = fnl(3anfn([0,1])), если Ja П /„([0,1]) Ф 0. Зададим m Є {1,2,3} так, что Зачт П За П /п([0,1]) = 0, к Є {1,2,3} так, что f(a„) Є За к, и І Є {1,2,3} так, что f(ba) Є За ъ Определим /n+i так, что /n+i(off) = /n(aff), /п+і(& т) = /n(M- c приятностью p полагаем /n+i((flo- + W/2) = За к П «7 г /} а с вероятностью 1-P, /n+l((Off + M/3) = Jo k Ja m И /n+l(2(Ocr + M/3) = Л гаПЛ 1. Затем отображение /n+i продолжается по линейности. Внутри каждого За процесс уточнения /„ до /n+i независим.
Случайно порожденные вероятностные распределения
Данный пример, размерность Хаусдорфа и точная размерность Хаусдор-фа нижеописываемого множества были рассмотрены в статьях [37] (пример 4.2) и [20] (пример 6.3). Выберем два числа независимо согласно равномерному распределению на J$ = [0,1]. Пусть J\ будет самый левый интервал, a J i самый правый в получившемся разбиении J средний интервал выбрасывается. Внутри каждого из выбранных интервалов процедура повторяется в соответствующем масштабе. Размерности предельного множества, а, равняются (VTf — 3)/2, а точная размерность Хаусдорфа выражается функцией ta\ log I logf1_a.
Это множество также является случайным самоподобным. Так как усиленное условие случайного открытого множества выполнено, то по теореме 3.6 упаковочная мера в размерности {s/VI — 3)/2 бесконечна.
Можно подсчитать, что Р(0 Ті а) = Р(0 Т2 а) = 2а -а2. Отсюда Р(0 Т\$ а) = 0(а),а —» 0, и опять согласно одному из результатов Лю в статье [31] мы приходим к выводу, что Р(0 X а) = 0(а2),а —+ 0. Поэтому по теореме 3.12 для калибровочной функции вида по гипотезе из замечания после теоремы 3.28 из f ds = +оо должно о+ следовать P(T v(K(u)) = +оо) = 1. Пример 6.6 Случайная рекурсивная конструкция с бесконечным ветвлением, в которой dim д/if является невырожденной случайной величиной и бшірК ess inf дшімК почти наверное. Из книги [12] известно, что для р О справедливо Пусть J = [0,1], и выберем число р согласно равномерному распределению на [1,2]. Построим случайную рекурсивную конструкцию, так что на первом уровне правые концы подмножеств 3{ являются точками 1/гр, г Є IN. На остальных уровнях подмножества формируются из копии отрезка [0,1] и его непересекающихся подинтервалов с правыми концами в точках І/і4, і Є ]N в соответствующем масштабе. Пусть (Ті,Тг,...) является фиксированным вектором коэффициентов подобия, таким что Тогда Yl i 1» предельное множество К(ш) непусто, dimuK 1/8 и сІітмК max{dim.H К, } = , где р выбрано согласно равномер ному распределению на [1,2]. Отсюда ess inf diniA/К 1/3, dimpK supdimMKi 1/5, где формула для dimMKi берется из теоремы 3.1 в и теоремы 2.11 в [36]. Пример 6.7 Случайная рекурсивная конструкция с бесконечным ветвлением, для предельного множества которой не выполнен закон нуля или единицы. В данном примере строится конструкция, для предельного множества которой не выполнен закон 0 или 1 (см. теоремы 1.1,1.2 и следующие за ними замечания). Предлагаемое в этом примере предельное множество непусто, и для некоторого /3 О верно 0 P(V (K(w)) = 0) 1. Пусть J = [0,1], и выберем число р согласно равномерному распределению на [1,2]. Построим случайную рекурсивную конструкцию, так что на первом уровне правые концы подмножеств являются точками 1/гр, г Є IN, и длиной п-ого подмножества является На остальных уровнях подмножества формируются из копии отрезка [0,1] и его непересекающихся подинтервалов длиной ТІ С правыми концами в точ ках 1/гр, г IN в соответствующем масштабе. Очевидно, что 7J оо, и поэтому dim# і(Г 1/4. С другой стороны используя теорему 3.1 в [35] и теорему 2Л1 в [36] можно определить, что dimpK = ИтмК = —j. Коэффициенты геометрических подобий в конструкции постоянны, но случайное размещение подмножеств дает нетривиальное изменение упаковочной размерности. Заключение В диссертации получены следующие результаты. 1. Доказан закон нуля или единицы для случайных самоподобных множеств, а также для случайных рекурсивных множеств, удовлетворяющих условию невырождения "потомков" и независимости размещения "потомков" на каждом шаге конструкции. 2. Доказано совпадение размерности Хаусдорфа, верхней и нижней размерности Минковского и упаковочной размерности для широкого класса множеств, включающего случайные рекурсивные множества, а также для предельных множеств конструкции с "конечной памятью" Дряхлова и Темпельмана, 3. Доказано, что при экспоненциальных ограничениях на концентрацию множеств случайной рекурсивной конструкции сравнимого диаметра упаковочная мера случайного рекурсивного множества в его размерности с положительной вероятностью положительна. 4. Доказано, что для "почти детерминистической" случайной рекурсивной конструкции мера предельного множества в его размерности положительна и конечна почти наверное. 5. Введено усиленное условие случайного открытого множества для случайных рекурсивных конструкций, при выполнении которого и при недетерминистичности конструкции случайные самоподобные множества имеют бесконечную меру в их размерности 6. Получена оценка сверху точной упаковочной размерности случайных рекурсивных множеств, в конструкции которых коэффициенты подобия убывают к нулю не слишком быстро. 7. Получение оценки снизу точной упаковочной размерности случайных рекурсивных множеств, совпадающей с оценкой сверху, сведено к проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются некоторые события с вероятностью единица. Проверка произведена для некоторого класса конструкций. 8. Получена оценка упаковочной размерности некоторых случайно порожденных вероятностных мер, совпадающая с оценкой их размерности Хаусдорфа. В общем, работа доказывает давно выдвинутую гипотезу о точной упаковочной размерности случайных рекурсивных множеств. При этом на рассматриваемые калибровочные функции в случае отсутствия точной упаковочной размерности не накладывается никаких условий. Ответ состоит в проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются некоторые события с вероятностью единица, как упомянуто в предпоследнем пункте. Автор благодарен проф. Лифшицу М.А. за чтение диссертации и предложения по ее улучшению.