Введение к работе
Актуальность темы. Динамическое программирование является одним из фундаментальных направлений теории оптимального управления. Основной привлекательной чертой метода динамического программирования является то, что он дает решение не одной задачи, а решает семейство задач с различными начальными условиями и позволяет построить стратегию управления по состоянию системы Суправление с обратной связью). Такая форма решения задачи оптимального управления предпочтительнее при практическом использовании, чем программное управление.
Метод динамического программирования сводит задачу оптимального управления к решению уравнения в частных производных первого порядка - уравнения Беллмана! Для такого уравнения, как известно, отсутствуют регулярные способы численного его решения, да и сам факт существования его решения в том или ином классе функции представляет собой сложную задачу.
За более чем 30 лет развитие метода динамического программирования шло в двух направлениях: теоретического обоснования и разработки численых методов. В настоящее время теоретическое обоснование метода можно считать во многом законченным. Здесь следует отметить работы У,Флемменга.С. Н. Кружкова В.Ф.Кротова, В.Г.Болтянского, М.М.Хрусталева, А.И.Субботина и Р.Лионса.
В отличие от проблемы теоретического обоснования метода динамического программирования, проблема построения на его основе эффективных вычислительных алгоритмов и их обоснование все еде находится в начальной стадии своего развития. В то же время разработка таких алгоритмов очень актуальна в связи с потребностями практики с одной стороны и возможностью аналитического решения уравнения Беллмана лишь в редких случаях с другой. Работы по этой проблеме можно отнести к одному из ниже следующих пяти направлений.
Первое из них это сведение задачи с непрерывным временем к задаче с дискретным, например, применением схемы Эйлера к дифференциальным уравнениям, описывающим управляемую систему и применением к ней теории и вычислительных методов, которые для дискретных систем более обоснованы. При этом часто проводится дискретизация не только времени, но и переменных состояния.
Такой подход использовался для частных задач еще самим Р. Беллманом. Дальнейшее развитие такой подход получил в работах Н.Н.Моисеева, Б.Ш.Мордуховича, Ю.Г.Евтушенко, Э.Полака и других авторов.
Вторая группа методов связана с идеей сведения проблемы решения уравнения Беллмана к конечномерной задаче математического программирования (линейного или квадратичного) пусть даже очень большой размерности. Здесь следует отметить работы R. Gonzalez и Е.Rofman , в которых предложены сходящиеся методы решения уравнения Беллмана. Эта группа методов получила развитие в работах М. М. Хрусталева и А.И.Пронина, М. М. Хрусталева и И. Б. Азанова
Третье направление развития вычислительных методов связано с классической идеей поля экстремалей. Современные варианты таких методов, основанные на экстремалях Понтрягина предлагаются в работах А.В.Фоменко, М.М.Хрусталева и А. И. Пронина.
Четвертая группа методов связана с предположением о достаточной гладкости функции Беллмана и получением ее разложения в ряды по переменным состояния с коэффициентами, зависящими от времени в окрестности экстремали. Простейший вариант такого метода состоит в линеаризации уравнений управляемой системы в окрестности экстремали, использовании линейно-квадратич^еского приближения для критерия оптимальности и решения линейно-квадратической задачи оптимального управления методами АКОР (аналитического конструирования оптимальных регуляторов), фундамент которых заложен в работах A.M.Летова Для таких задач вид функции Беллмана известен - это линейно квадратичеокая форма от переменных состояния с коэффициентами, зависящими от времени. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах К. У. Мериема, М. В. Тригуб.
Наконец пятое направление разработки численных методов, к которому примыкают результаты диссертации, связано с работами В.Ф.Кротова и В.З.Букреева . В этих работах в отличие от предыдущей группы, предложено использовать не разложение функции Беллмана в ряд Тейлора для ее аппроксимации, а интерполяцию по точкам, расположенным на семействе узловых линий в пространстве переменных состояния и времени, достаточно равномерно расположенных в области аппроксимации решения
уравнения Беллмана. Для аппроксимации функции Беллмана предлагается использовать многомерные полиномы по переменным состояния с коэффициентами, зависящими от времени. Коэффициенты разложения находится из условия выполнения уравнения Беллмана на узловых линиях. Существенным недостатком метода является то, что система дифференциальных уравнений для коэффициентов является не разрешенной относительно производных, что в общем случае, приводит к необходимости на каждом шаге численного интегрирования обращать матрицу (порядка совпадающего с числом узловых линий). Эта процедура требует большего объема вичислений и может приводить к вычислительной неустойчивости метода. Вычислительный опыт авторов метода и других показал, что метод дает неплохие результаты лишь при небольшом количество узловых линий, что и определяет его прикладную ценность, как метода построения локального синтеза, хотя теоретически он может рассматриваться как метод решения уравнения Беллмана в заданной априори области.Сне обязательно малой). Вычислительные эксперименты показали, что метод Кротова-Букреева обладает еще одним недостатком. Коэффициенты степенного полинома могут иметь очень разные порядки, что приводит к трудности их масштабирования и потере точности.
Целью диссертационной работы являются разработка эффективных численных методов для решения задачи оптимального управления и создание программного обеспечения для каждого метода, которое позволило бы сократить объем вычисления и повысить эффективность ее функционирования.
Методика исследования. Исследование проводится с использованием теорий оптимального управления, уравнений в частных производных первого' порядка и обыкновенных дифференциальных уравнений, методов полиномиальной интерполяции и сплайн-аппроксимации, численных методов решения обыкновенных дифференальных уравнений.
Научная новизна. Предложены два новых методов приближенного решения уравнения Беллмана с оценкой точности решения, основанные на аппроксимации зависимости функции Беллмана от фазовых координат многомерными полиномами Лагранжа и сплайнами Бесселя с коэффициентамиот времени. Доказаны теоремы существования и единственность для уравнений, определяющих коэффициенты аппроксимации.
Решена практическая задача стабилизации углового движения вытянутого спутника на круговой орбите.
Практическая ценность. Разработанные в диссертации приближенные методы решения уравнения Беллмана могут быть использованы при проектировании систем управления движением самолетов, космических аппаратов, кораблей, автомобиля, а также в других областях при управлении объектами, которые, можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры Математической кибернетики и системного 'анализа и управления Московского Государственного Авиационного Института, Института проблемы управления РАН, Московского филиала Института проблемы транстпорта РАН.
Публикации.По теме диссертации опубликованы работы [1-3].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, Работа изложена на 99 страницах машинописного текста, 3 страниц таблиц, 12 страниц ресунков и 9 страниц литературных источников.
Похожие диссертации на Применение методов интерполяции и сплайн-аппроксимации для синтеза субоптимальных стратегий стабилизации движения летательных аппаратов
