Содержание к диссертации
Введение
1 Колебания многослойных сред при наличии включений 14
1.1 Общая постановка задачи 14
1.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений 16
1.3 Вывод СИУ. Свойства символов ядер СИУ 26
1.4 Общая схема метода фиктивного поглощения 34
1.5 Метод фиктивного поглощения для одного уравнения 37
1.6 Метод фиктивного поглощения для системы уравнений, заданных на отрезках 42
2 Колебания слоистой среды в случае идеального контакта между слоями 48
2.1 Колебания одного слоя на жестком основании 48
2.2 Колебания двухслойного пакета на жестком основании 50
2.3 Колебания пакета из трех слоев на жестком основании 52
2.4 Общий случай колебаний JV-слойной среды без дефектов 54
3 Колебания слоистых сред с включениями 56
3.1 Колебания пакета из двух слоев 56
3.2 Переход к слоистому полупространству 57
3.3 Включение на стыке двух полупространств 59
3.4 Включение в пространстве 60
3.5 Колебания трехслойной среды 61
3.6 Колебания//-слойной среды с включениями 65
4 Особенности колебаний многослойных сред, содержащих включения 66
4.1 Построение определителей матриц-символов Грина 66
4.2 Резонансные явления в слоистых средах с включениями 72
4.3 Построение дисперсионных кривых динамических задач для сред с включениями 77
4.4 Численный анализ решений СИУ плоской задачи для трехслойной среды 81
Заключение 83
Список использованной литературы 85
Приложение А 101
- Построение основных матрично-функциональных соотношений
- Колебания двухслойного пакета на жестком основании
- Колебания трехслойной среды
- Построение дисперсионных кривых динамических задач для сред с включениями
Введение к работе
На сегодняшний день проблемы, связанные с исследованием различных материалов с потенциальным содержанием неоднородностей, изучением локализации таких неоднородностей и моделированием поведения сред, имеющих трещины или включения разной формы и расположения, при различном характере воздействия приобрели важнейшее значение в хозяйственной деятельности человека. Прежде всего, это связано с желанием предсказать и тем самым минимизировать последствия возникновения естественных и техногенных катастроф, зачастую возникающих из-за недостаточного исследования сейсмических особенностей местности, устойчивости строительных материалов, конструкций, механизмов и деталей машин к вибрационным нагрузкам, создаваемым все более возрастающей активностью современного промышленного оборудования и другими различными природными и технологическими виброисточниками. Подобные исследования чрезвычайно важны и при поиске полезных ископаемых невзрывными, а значит более предпочтительными и дешевыми способами, для определения методики расчета различных акустоэлектронных устройств -преобразователей поверхностных волн или резонаторов со сложной топологией электродов, а также при создании и исследовании свойств новых композиционных материалов.
Хотя данной области теории упругости присущи большие трудности математического и технического характера, описанный класс задач традиционно привлекает внимание ученых по всему миру. Общие основы статической и динамической теории упругости были заложены в работах В. М. Александрова, В. А. Бабешко, А. В. Белоконя, И. И. Воровича, В. Т. Гринченко, Э. Дьелесана, Л. А. Молоткова, Н. Ф. Морозова, И. Ф. Образцова, Г. И. Петрашеня, Г. Я. Попова, В. Б. Поручикова, Д. Руайе, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинова, М. М. Филоненко-Бородича, J. D. Achenbach, W. M. Ewing, W. S. Jardetzky, F. Press и целого ряда других исследователей. Этой теме посвящены монографии и публикации [4 - 6, 15, 20, 54 - 56, 67, 69, 89, 90, 95, 126, 128, 137].
В рамках теории упругости чрезвычайно важной является область исследования, в которой изучаются среды, состоящие из нескольких слоев с различными параметрами, поскольку большинство практических применений требуют построения математических моделей именно для таких неоднородных объектов. В связи с этим математический аппарат теории упругости расширился благодаря работам таких исследователей, как В. А. Бабешко, О. А. Ватульян, И. И. Ворович, Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, Р. В. Гольдштейн, И. М. Дунаев, Ю. В. Житников, В. В. Калинчук, Е. В. Кириллова, А. В. Наседкин, О. Д. Пряхина, М. Г. Селезнев, А. В. Смирнова, П. В. Сыромятников, О. М. Тукодова, М. Р. Фрейгейт, J. W. Dunkin, D. G. Harkrider, Т. Kundu, A.K.Mai, Е. N. Trower и другие. В работах [36, 37, 39, 60, 63, 50 - 52, 74, 104, 120, 121, 136, 140, 143, 146] проводятся исследования систем тел со слоистой структурой. Отсутствие сплошности наблюдается также и в сейсмологии при описании колебаний земной коры. Подобные задачи изучаются во многих работах, в том числе и в следующих: [1, 24, 38, 132].
Однако самыми интересными и в то же время наиболее трудными для моделирования и дальнейшего решения в теории упругости остаются задачи, описывающие взаимодействие различных неоднородностей со средой, в большинстве случаев слоистой. В частности, такие нарушения однородного состава упругих тел, как трещины, включения, полости различной природы, а также массивные штампы, действующие на поверхность изучаемой среды, являются наиболее часто применяемыми объектами при описании различных физических процессов и требуют тщательного изучения. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при некоторых значениях параметров делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.
На сегодняшний день наиболее изученными можно считать те задачи, в которых исследуется воздействие трещин и полостей на какое-либо упругое тело. Здесь следует отметить работы В. М. Александрова, Д. А. Пожарского [7, 8], А. В. Андреева, Р. В. Гольдштейна [9], B. А. Бабешко [12,13], А.В.Павловой, С. В. Ратнер [31], А. Г. Багдоева, C. Г. Саакяна [40], А. Г. Баглоева, А. В. Шекояна [41], Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой [43,61,62], Т.А.Беляковой, Е.В.Ломакина [44], Р. В. Гольдштейна, Ю. В. Житникова [64, 65], А. О. Ватульяна, А.Н.Соловьева [52], С. А. Зегжды, Н.Ф.Морозова, Б.Н.Семенова [71], В. В. Зозули [72], О. Д. Пряхиной, А. В. Смирновой, И. В. Кардовского, В. В. Мазина [75, 76, 96, 102, 103, 113, 122], С. В. Кузнецова [79], И. М. Лавита [81,82], В. В. Михаськива [84], Ю. Н. Подильчука [91], Г. Я. Попова [94], Б. В. Соболя, Б. И. Сметанина [121], В. В. Тихомирова [124, 125], Y. A. Antipov, О. Avila-Pozos, S. Т. Kolaczkowski, А. В. Movchan [131], J. P. Bercial-Velez, Y. A. Antipov, A. B. Movchan [133]. В то же время среды с неоднородностями типа жестких включений реже являются объектом исследований, что еще раз доказывает актуальность данной работы. Данный вид дефектов наиболее часто возникает в неравномерно упрочненных элементах конструкций, в литосферных плитах в зонах разлома. Изучение динамических задач о колебаниях упругих сред с включениями проводились в работах [2, 3, 18, 27, 28, 42, 45 - 48, 66, 70, 73, 77, 80, 78, 85 - 87, 92, 93, 97 - 101, 110 - 112, 116, 117, 119, 127, 129, 135, 138, 139, 141, 144]. Ряд ученых проводили изыскания в области задач, где из-за находящегося в теле включения на стыке с ним образуются трещины [134, 142]. Одним из практических применений исследований смешанных задач теории упругости при наличии дефектов, являются методы неразрушающего контроля сооружений и материалов [34, 108].
Наиболее сложным этапом построения решений статических и динамических задач теории упругости для сред с нарушением сплошности является вывод матрично-функциональных соотношений, исследование классов разрешимости и решение систем интегральных уравнений. Существует много методов, которые можно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. По способу реализации их условно можно разделить на численные и численно-аналитические. К числу последних относится метод факторизации [17, 21 - 23, 25, 26, 88, 130], а также метод фиктивного поглощения, используемый в настоящей диссертации для решения полученной системы интегральных уравнений. Его основы были заложены В. А. Бабешко в работе [17], а дальнейшее развитие он получил в работах [16, 17, 32, 56]. Главная идея этого метода состоит в преобразовании интегральных уравнений с быстро осциллирующими и медленно убывающими ядрами к вспомогательным интегральным уравнениям, ядра которых экспоненциально убывают с ростом аргумента. Такое поведение ядер характерно для сред с поглощением или вязкоупругих сред с неизменяющимися во времени свойствами, что и обусловило название метода. Решение вспомогательных уравнений с высокой степенью точности можно относительно легко получить, используя один из известных методов - факторизации, асимптотический, ортогональных полиномов и т. д. Затем с помощью обратных формул строится решение исходной задачи. Метод фиктивного поглощения позволяет изучать как низкочастотные, так и высокочастотные колебания. Достоинством метода является возможность описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, являющиеся концентраторами напряжений.
Другой аспект, вызывающий немалые трудности, - это построение матриц-символов Грина, описывающих ядра систем интегральных уравнений получаемых краевых задач. Этот вопрос изучался, в том числе, в публикациях [39, 105, 107, 114, 115, 145]. Здесь также можно воспользоваться набором как численных, так и аналитических методов. За последние годы особенно интенсивно развиваются исследования, основанные на использовании прямых численных методов. Одним из наиболее эффективных является общий метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов [49]. Этот подход позволяет изучать динамические характеристики в средах при наличии дефектов в плоскостях, не параллельных свободной поверхности [50 - 52]. Однако вследствие отмеченной выше неединственности решения, их применение должно контролироваться аналитическими методами повышенной точности. Необходимость использования аналитических методов вместо прямых численных обуславливается также тем, что часто в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений присутствуют быстрорастущие экспоненциальные составляющие, приводящие к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при удовлетворении граничных условий.
Большое количество задач, возникающих в сейсмологии, геофизике, дефектоскопии, акустоэлектронике, машиностроении, фундаментостроении требует рассмотрения вопросов локализации волнового процесса внутренними дефектами (включениями, трещинами). Поэтому одной из главных задач при моделировании колебательных процессов является задача теоретического объяснения наблюдаемых особых режимов колебаний при экспериментальных исследованиях, а также определения условий их возникновения. Речь здесь идет, прежде всего, о явлении резонанса, возникающего в условиях локализации вибрационного процесса. Исследования такого рода можно найти в работах В. А. Бабещко, О. М. Бабешко, Т. И. Белянковой, С. И. Боева, Е. И. Ворович, И. И. Воровича, В. В. Калинчука, И. Ф. Образцова, И. Б. Поляковой, О. Д. Пряхиной, А. В. Смирновой, О. М. Тукодовой, и других [10, 14, 29, 53, 56 - 59, 106].
Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В. А. Бабешко, И. И. Воровича, И. Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [29]. Было установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. В работах В. А. Бабешко проведена классификация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности [11, 18, 19] и создана теория «вирусов» вибропрочности. Одной из основных задач указанной теории является установление условий локализации волнового процесса [11-16].
Несмотря на большие достижения в решении динамических задач для многослойных сред, проблемы динамического взаимодействия системы «массивный объект - подстилающее основание» с учетом неоднородности последнего изучены недостаточно. В свете этого представляется актуальной постановка задачи о колебаниях слоистой среды при наличии дефектов типа жестких включений на линиях раздела слоев.
Целью настоящей работы является построение математических моделей, разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа жестких включений.
Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих жесткие включения; получены новые матрично 10
функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемой задачи и на их основе построены системы интегральных уравнений; для различных моделей сред построены элементы матриц-символов Грина и изучено их асимптотическое поведение; получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения; проведен анализ дисперсионных свойств построенных,элементов матриц-символов и их определителей; исследованы особенности колебаний в двух-и трехслойных средах, содержащих включения.
Актуальность темы диссертации состоит в том, что жесткие включения значительно реже встречаются в исследованиях колебаний упругих многослойных сред с содержанием неоднородностей, нежели трещины или полости.
Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в таких областях современной науки и техники, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.
Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.
Настоящая диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 151 страницу, в том числе 16 страниц списка использованной литературы и 51 страницу приложений. Список использованной литературы включает 146 наименований. Первая глава состоит из шести пунктов и посвящена общей теории в рамках предлагаемого подхода к изучению колебаний многослойной среды, содержащей совокупность включений, когда поверхность среды подвергается гармоническому воздействию. В п. 1.1 дается общая постановка задачи. В п. 1.2 описывается механизм получения основных матрично-функциональных соотношений связывающих основные характеристики, исходя из условий краевой задачи. В п. 1.3 приводятся соотношения, которые обуславливают получение системы интегральных уравнений. В п. 1.4 приводится общая схема построения СИУ методом фиктивного поглощения. В п. 1.5 и п. 1.6 строятся решения СИУ, которые возникают при исследовании плоских и антиплоских динамических смешанных задач для штампов, вибрирующих на поверхности полуограниченной среды и включений внутри среды и одной отличной от нуля компонентой расширенного вектора напряжений.
Во второй главе приводится вид матриц-символов Грина для задач о колебаниях слоистой среды при идеальном контакте между слоями, а также формулы для элементов этих матрицгсимволов в пространственном случае, необходимые в дальнейших исследованиях. В п. 2.1 рассматривается случай для среды, состоящей из одного слоя, лежащего на недеформируемом основании, в п. 2.2 описана двухслойная среда без включений, в п. 2.3 -трехслойная. В п. 2.4 приводится вид матрицы-символа Грина для пакета, состоящего из произвольного количества слоев, без включений и даны рекуррентные формулы для вычисления ее элементов.
В третьей главе описываются различные случаи колебаний слоистых сред с включениями. В п. 3.1 строится матрица-символ Грина для случая среды, которая представляет собой пакет из двух слоев с включением на их стыке. Дано представление системы матричных интегральных уравнений и выписаны формулы для элементов матрицы-символа Грина в случае отсутствия действия нагрузки на верхний слой. В п. 3.2 в формулах для элементов осуществлен переход к случаю колебаний слоя на полупространстве с включением между ними. В п. 3.3 и п. 3.4 представлены случаи расположения включения на стыке двух полупространств и включения внутри пространства соответственно. В п. 3.5 построена система матричных интегральных уравнений для плоской динамической задачи о колебаниях трехслойной среды в предположении отсутствия нагрузки на верхний слой и наличия включения между первым и вторым или вторым и третьим слоями. Приведены формулы для составляющих матрицы-символы Грина элементов в обоих случаях, а формулы для общего случая при наличии нагрузки на верхний слой и включений на стыках всех слоев, ввиду их громоздкости, вынесены в приложение С. В п. 3.6 дается представление рекуррентных соотношений для определения вида матрицы Грина задачи, в которой имеют место N слоев с включением на стыке первых двух слоев.
В четвертой главе описываются различные особенности колебаний сред, содержащих включения, и приводится анализ численных данных, полученных в результате работы. В п. 4.1 получены соотношения, исходя из которых можно легко находить аналитическое представление определителей матриц-символов ядер систем ИУ конкретных задач в виде отношения двух целых функций. В п. 4.2 приводится объяснение причин и условий возникновения резонансных явлений в упругих средах, содержащих неоднородности типа включений или штампов (штамп рассматривается как включение, выходящее на поверхность среды). В п. 4.3 дается описание приведенных в приложении А графиков нулей и полюсов элементов матриц-символов Грина и их определителей некоторых задач при различных параметрах слоев. Дан анализ поведения дисперсионных кривых в зависимости от различных тенденций изменения параметров слоев исследуемой двух- или трехслойной среды. В п. 4.4 проводится численный анализ результатов решения, полученных методом фиктивного поглощения. Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты, полученные в ходе ее написания.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 7 публикациях [47, 48, 97, 98, 99, 111 и 112], в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК. Апробация работы осуществлялась на II и III школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Краснодар, 2003 г.; г. Ростов-на-Дону, 2004 г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2004 г.), XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения академика И. П. Макеева (г. Миасс, 2004 г.) и на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (г. Саратов, 2005 г.). В указанных работах научному руководителю О. Д. Пряхиной принадлежит постановка задач, выбор метода их исследования и обсуждение результатов; А. В. Смирновой принадлежит формулировка граничных условий краевых задач, определение метода построения определителей ядер систем интегральных уравнений (СИУ) большой размерности, построение определителей матриц-символов конкретных задач и физическая интерпретация результатов; диссертанту принадлежит разработка метода построения матриц-символов ядер СИУ для слоистых сред с включениями, исследование свойств ядер СИУ, построение матрично-функциональных соотношений, численная реализация методов и проведение вычислений.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю О. Д. Пряхиной, академику РАН В. А. Бабешко и А. В. Смирновой за определение направления диссертационного исследования, постановку задач и обсуждение результатов.
Построение основных матрично-функциональных соотношений
Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих жесткие включения; получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемой задачи и на их основе построены системы интегральных уравнений; для различных моделей сред построены элементы матриц-символов Грина и изучено их асимптотическое поведение; получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения; проведен анализ дисперсионных свойств построенных,элементов матриц-символов и их определителей; исследованы особенности колебаний в двух-и трехслойных средах, содержащих включения.
Актуальность темы диссертации состоит в том, что жесткие включения значительно реже встречаются в исследованиях колебаний упругих многослойных сред с содержанием неоднородностей, нежели трещины или полости.
Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в таких областях современной науки и техники, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.
Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.
Настоящая диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 151 страницу, в том числе 16 страниц списка использованной литературы и 51 страницу приложений. Список использованной литературы включает 146 наименований. Первая глава состоит из шести пунктов и посвящена общей теории в рамках предлагаемого подхода к изучению колебаний многослойной среды, содержащей совокупность включений, когда поверхность среды подвергается гармоническому воздействию. В п. 1.1 дается общая постановка задачи. В п. 1.2 описывается механизм получения основных матрично-функциональных соотношений связывающих основные характеристики, исходя из условий краевой задачи. В п. 1.3 приводятся соотношения, которые обуславливают получение системы интегральных уравнений. В п. 1.4 приводится общая схема построения СИУ методом фиктивного поглощения. В п. 1.5 и п. 1.6 строятся решения СИУ, которые возникают при исследовании плоских и антиплоских динамических смешанных задач для штампов, вибрирующих на поверхности полуограниченной среды и включений внутри среды и одной отличной от нуля компонентой расширенного вектора напряжений.
Во второй главе приводится вид матриц-символов Грина для задач о колебаниях слоистой среды при идеальном контакте между слоями, а также формулы для элементов этих матрицгсимволов в пространственном случае, необходимые в дальнейших исследованиях. В п. 2.1 рассматривается случай для среды, состоящей из одного слоя, лежащего на недеформируемом основании, в п. 2.2 описана двухслойная среда без включений, в п. 2.3 -трехслойная. В п. 2.4 приводится вид матрицы-символа Грина для пакета, состоящего из произвольного количества слоев, без включений и даны рекуррентные формулы для вычисления ее элементов.
В третьей главе описываются различные случаи колебаний слоистых сред с включениями. В п. 3.1 строится матрица-символ Грина для случая среды, которая представляет собой пакет из двух слоев с включением на их стыке. Дано представление системы матричных интегральных уравнений и выписаны формулы для элементов матрицы-символа Грина в случае отсутствия действия нагрузки на верхний слой. В п. 3.2 в формулах для элементов осуществлен переход к случаю колебаний слоя на полупространстве с включением между ними. В п. 3.3 и п. 3.4 представлены случаи расположения включения на стыке двух полупространств и включения внутри пространства соответственно. В п. 3.5 построена система матричных интегральных уравнений для плоской динамической задачи о колебаниях трехслойной среды в предположении отсутствия нагрузки на верхний слой и наличия включения между первым и вторым или вторым и третьим слоями. Приведены формулы для составляющих матрицы-символы Грина элементов в обоих случаях, а формулы для общего случая при наличии нагрузки на верхний слой и включений на стыках всех слоев, ввиду их громоздкости, вынесены в приложение С. В п. 3.6 дается представление рекуррентных соотношений для определения вида матрицы Грина задачи, в которой имеют место N слоев с включением на стыке первых двух слоев.
В четвертой главе описываются различные особенности колебаний сред, содержащих включения, и приводится анализ численных данных, полученных в результате работы. В п. 4.1 получены соотношения, исходя из которых можно легко находить аналитическое представление определителей матриц-символов ядер систем ИУ конкретных задач в виде отношения двух целых функций. В п. 4.2 приводится объяснение причин и условий возникновения резонансных явлений в упругих средах, содержащих неоднородности типа включений или штампов (штамп рассматривается как включение, выходящее на поверхность среды).
Колебания двухслойного пакета на жестком основании
Выпишем условия, которым должны удовлетворять параметры включений для локализации волнового процесса в ограниченной области.
Эти неоднородности согласно классификации, введенной в [11, 19], являются «вирусами» вибропрочности первого класса.
Интегральные уравнения динамических плоских и антиплоских задач о вибрации массивных штампов на поверхности полуограниченной среды (слоя, пакета слоев) или жестких включений в среде при любых условиях на нижней границе и одной отличной от нуля компонентой контактных напряжений или скачка напряжений имеют вид (1.5.1)
Свойства функции К [а) описаны в п. 1.4 главы 1. Функцию К [а) можно представить в виде произведения (1.5.2) Функция П(а) регулярна на вещественной оси всюду, кроме конечного числа особых точек, совпадающих с вещественными нулями zk и полюсами рк функции К [а), а функция S(a) = Il l( a)K[a) регулярна на всей вещественной оси и ее асимптотическое поведение при Л —» оо совпадает с таковым функции К (а). В п. 1.5 установлена связь между решением q[x) интегрального уравнения (1.5.1) и решением (х) уравнения где L(a,xk) дается выражением (1.5.11), Т (а) - формулой (1.5.8), а коэффициенты ск определяются из системы линейных алгебраических уравнений вида (1.5.16). Следуя [18] локализуем вибрацию в зоне штампа или включения. Последнее будет иметь место тогда и только тогда, когда будут выполняться соотношения статичности [12, 13], которые в операторной форме имеют вид В [11] показано, что общее представление решения уравнения (1.5.1) состоит из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической составляющей с бесконечной энергией, обеспечивающей отток энергии на бесконечность. При выполнении условий (3.2.1) в решении отсутствует неэнергетическая составляющая (ck = 0), поэтому при х — оо будет иметь место экспоненциальное убывание амплитуды колебаний. Аналогично для совокупности включений условия локализации имеют вид где М- число включений. Выполнение соотношений (3.2.1) и (3.2.2) означает, что при колебании включений (штампов) поля перемещений убывают экспоненциально при удалении на бесконечность и при этом энергия не излучается [19]. Из соотношений (3.2.1) и (3.2.2) можно определить характеристики задачи, локализующие волновой процесс в ограниченной зоне: частоту колебаний, физико-маханические и геометрические параметры среды, а также геометрические характеристики включения - горизонтальную протяженность и глубину залегания. Можно показать [17, 56], что поле перемещений вне области [-я,я] описывается формулой Функция W{x), представленная рядом, является составляющей решения, обеспечивающей отток энергии от источников колебаний на бесконечность. При х а каждому полюсу рк (Repj 0) соответствует волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х с фазовой Из (3.2.3) следует, что локализация будет иметь место, если у символа Грина К [а) нет вещественных полюсов, либо все ск =0. Если процесс колебания локализован, то есть выполняются условия (3.2.1) или (3.2.2), то энергия в среде не излучается и ряды в представлении (3.2.3) отсутствуют. В этом случае возможно возникновение конечного числа резонансных частот, на которых амплитуда колебаний включения или штампа в зоне их окрестности неограниченно возрастает. Уравнение, описывающее колебания где т - масса штампа или включения с плоской подошвой, Р -действующая на штамп или включение сила, Амплитуда смещения массивного штампа или включения Амплитуда колебаний обращается в бесконечность при выполнении условия Это возможно, если Im)(0) = 0 и тогда в выбранном диапазоне частот, начиная с т0 =— —- штамп или включение резонирует [14, 56]. В [53, 56, 59] установлено существование такого неограниченного резонанса в области частот 0 со сокр для массивного штампа, начиная с некоторого критического значения массы (со - частота отпирания волновода, сокр 0 в рассматриваемых в этих работах средах без дефектов). Они были названы низкочастотными или В-резонансами. Их всегда конечное число. Резонансы такого рода имеют место и для слоистых сред с включениями, поскольку и в этом случае частота отпирания волновода со Ф О. В [29] впервые установлено, что резонанс плоского массивного включения в слоистой среде (штамп можно рассматривать как включение, выходящее на границу среды) может существовать и при со со и даже при т = О при выполнении особых условий, которым должны удовлетворять параметры полуограниченных сред и неоднородностей (включений), названных соотношениями статичности [14]. Эти резонансы были названы высокочастотными. Там же установлено, что при наличии в упругом слое неоднородностей другого типа - трещин-полостей, также могут существовать как низкочастотные, так и высокочастотные резонансы.
Открытие явления высокочастотных резонансов [10, 29] изменило представление о процессе высокочастотной вибрации полуограниченных упругих тел, содержащих неоднородности, и привело В. А. Бабешко к созданию теории «вирусов» вибропрочности [18, 19].
Условия статичности являются условиями локализации вибрационного процесса и в нашем случае имеют вид (3.2.1) и (3.2.2). Если рассмотреть общий случай системы матричных ИУ вида (1.3.1), (1.3.2), то аналогично случаю одного уравнения условием локализации вибрационного процесса является обращение в нуль трансформанты Фурье решения матричного ИУ - многомерного вектора-функции Т
Колебания трехслойной среды
Как и для вычисления нулей и полюсов элементов и определителей матриц-символов Грина, для численного исследования решений интегральных уравнений, рассматриваемых плоских динамических смешанных задач с включениями, на языке программирования Visual Fortran 6.01 была разработана программа, реализующая алгоритм метода фиктивного поглощения. Принцип ее работы схож с описанным в предыдущем пункте принципом работы программы для нахождения нулей и полюсов функций, то есть она также принимает все параметры через командную строку ОС, а перенос результирующих численных данных и форматирование графиков в Microsoft Excel облегчается с помощью специально разработанных макросов к последнему.
Рис. 74 - 80, 82 - 85 представляют собой зависимости горизонтальной компоненты &t\m вектора скачка напряжений At от пространственной координаты х, которая принимает значения из интервала \а2т_х,а2т\, занимаемого т-м включением, находящимся на линии раздела первого и второго слоев в трехслойной среде. Отношения жесткостей слоев на этих графиках: второго к первому - М2 =5.0, третьего к первому - М3 =25.0. Полутолщины слоев имеют равные значения hx-h2=h3 = 0.250 во всех случаях, за исключением рис. 80, где они изменяются. Рис. 81, 86 - 89 описывают зависимость вертикальной компоненты At3m вектора скачка напряжений At от координаты х при наличии включений на стыке второго и третьего слоев трехслойного пакета. Параметры слоев имеют следующие значения: отношения модулей упругости М2=0.2, М3=1.0; полутолщины слоев / =0.125, h2 =0.250, h3 - 0.375, кроме рис. 81, где полутолщины меняются. На всех графиках сплошная линия представляет собой вещественную часть решения, пунктирная - мнимую. Графики, представленные на рис. 74 - 77, отражают изменение поведения горизонтальной компоненты вектора скачка напряжений в зависимости от линейного размера включения 1 = а2-ах (рис. 74 - / = 2.0, рис. 75 - / = 6.0, рис. 76 - / = 10.0, рис. 77 - / = 20.0) и параметра rj, характеризующего форму включения. На этих графиках черным цветом выделен случай, когда г/ = 0.0, что означает плоскую форму включения, красным - случай r\ = 0.1, синим -rj = 0.25 и сиреневым - г/ = 0.5. Анализ показывает, что увеличение линейного размера включения приводит к увеличению интенсивности колебаний, а отличная от плоской форма включения нарушает симметричность графика.
Рис. 78 и 79 отражают характер поведения решения при изменении приведенной частоты колебаний и линейного размера включения соответственно с фиксированными остальными параметрами. На рис. 78 частоты разделены по цветам: черный - Q = 2.0, красный - Q = 3.5, синий - Q = 5.0, сиреневый - Q = 9.5. На рис. 79 черным выделен случай / = 2.0, красным - / = 6.0, синим - / = 10.0 и сиреневым - / = 20.0. Рис. 80 и 81 отражают заглубление включения, когда оно находится между первым и вторым слоями и между вторым и третьим слоями соответственно. Полутолшины слоев: черный - \ =0.125, h2 =0.250, h3 =0.375, красный \ =0.250, h2 =0.250, / =0.250, синий- hx =0.375, h2 =0.250, h3 =0.125. Графики на рис. 82 - 89 дают представление об изменении характера колебаний в том случае, когда на линии раздела слоев находится не одно, а два включения одинакового размера. На рис. 82 - 85 представлен случай действия равной по интенсивности нагрузки на оба включения, а на рис. 86 - 89 включение, в области которого исследуется решение, колеблется под влиянием другого включения. На рис. 82,84,86,88 черным цветом выделен случай, когда расстояние между включениями d = а3 - а2 = 0.5, красным - / = 1.0, синим - d = 2.5 и сиреневым - d = 5.0. На рис. 83, 85, 87, 89 черным - d = 1.0, красным - d -3.0, синим - / = 5.0 и сиреневым - / = 10.0. Приведенная частота колебаний: на рис. 86,87 - Q = 1.0, на рис. 82,83,88,89 - Q = 2.0, на рис. 84,85 - Q = 5.0. Настоящая диссертация посвящена исследованию динамической задачи о колебаниях пакета, состоящего из N параллельных слоев, при наличии включений на их стыках. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем: 1. Предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих плоские жесткие включения. 2. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений. 3. Для различных моделей сред, содержащих включения, построены новые рекуррентные соотношения для вычисления элементов матриц-символов Грина. 4. Изучены свойства ядер систем интегральных уравнений. Построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред. 5. Получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач, необходимые для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения. 6. На основе построенных методом фиктивного поглощения решений некоторых типов интегральных уравнений плоских задач о колебаниях многослойной среды с включениями получены соотношения, описывающие резонансные режимы колебаний многослойной среды с включениями. 7. Разработаны алгоритмы и программные средства: для нахождения особых множеств элементов матриц-символов Грина и их определителей; для исследования особенностей построенных решений плоских динамических задач для слоистых сред с включениями; для визуального представления результатов вычислений в MS Excel. 8. Для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей. 9. Исследованы особенности колебаний в двух- и трехслойных средах, содержащих включения.
Построение дисперсионных кривых динамических задач для сред с включениями
Как уже говорилось выше, для решения полученной системы интегральных уравнений использовался метод фиктивного поглощения, который требует знания вещественных нулей и полюсов элементов определителей подынтегральных матриц-функций К у и определителя
системы (1.2.12). С целью нахождения таковых, а также для численного анализа поведения дисперсионных кривых при различных значениях параметров слоев, на языке программирования Visual Fortran 6.01 была написана программа, позволяющая находить нули или полюса выбранной функции. Эта программа принимает необходимые для вычисления установки через параметры командной строки и выводит результат на экран. Средствами операционной системы можно перенаправить вывод результата в текстовый файл. Такой способ ввода/вывода был выбран для автоматизации вычислений через командные файлы, а также для реализации распределенного вычисления несколькими компьютерами.
Визуальное представление результатов вычислений проводилось с помощью построения точечных графиков в Microsoft Excel. Для упрощения процедуры единичных вычислений с последующей автоматической визуализацией результата на макроязыке Visual Basic for Application была написана надстройка для Microsoft Excel, которая для вычисления запускает основную программу с набором необходимых параметров, заданных пользователем с помощью средств графического интерфейса операционной системы, а затем строит точечный график, представляющий результат вычисления.
В приложении А приводятся графики дисперсионных кривых для одно- двух- и трехслойной среды при различных параметрах слоев, которые являются безразмерными величинами. Коэффициенты Пуассона и плотности для всех слоев полагаются равными а толщины \, / и / и отношения жесткостей М = М2 = — и М3 = — изменяются. На всех графиках по оси абсцисс отложена приведенная частота колебаний Q = I—соа, где а - некоторый характерный линейный размер, а по оси ординат - параметр преобразования Фурье а; красным цветом выделены кривые нулей, черным - полюсов. На рис. 2 - 27, а также на рис. 32, 33, 38, 39, 44, 45, 50, 51, 56, 57, 62, 63, 68 и 69 представлены характерные кривые нулей и полюсов элементов /j и /4 матрицы-функции К22, когда включение находится между первым и вторым слоями в трехслойной среде. Рис. 28, 29, 34, 35, 40, 41, 46, 47, 52, 53, 58, 59, 64, 65, 70 и 71 описывают поведение нулей и полюсов элементов tx и t4 матрицы Грина К33 в случае трех слоев при наличии включения между вторым и третьим слоем. Наконец, на рис. 30, 31, 36, 37, 42, 43, 48, 49, 54, 55, 60, 61, 66, 61, 72 и 73 показаны нули и полюса определителей матриц-символов Грина для задач о колебаниях трехслойной среды с включением на стыке первого и второго слоев (detK22) и с включением на стыке второго и третьего слоев (detK33). На рис. 10-17 представлены кривые нулей и полюсов для элементов /j и /4 для случая щ- ju2= ju3-1.0, т.е. для одного слоя. На рис. 10-11 толщина слоя // = 1.0, а на остальных - // = 1.5, причем включение располагается на глубине 2/ =0.5 (рис. 12 - 13), 2/ =0.75 (рис. 14 - 15) и 2 =1.0 (рис. 16-17). Рис. 2-9и 18-25 соответствуют двухслойной среде с включением на границе раздела слоев. При сравнении графиков, изображенных на рис. 2, 3, 10, 11, 18, 19, с графиками, изображенными на рис. 6, 7, 14, 15, 22, 23 соответственно, видно, что в общем случае увеличение толщины пакета при неизменном отношении модулей сдвига приводит к увеличению количества дисперсионных кривых. Характер поведения и количество дисперсионных кривых существенно зависит от соотношения жесткостей (модулей упругости) слоев. Изменение количества дисперсионных кривых в фиксированном диапазоне частот обратно пропорционально изменению по глубине относительной жесткости слоев: с уменьшением жесткости слоев с глубиной /лх ju2 ju3 количество дисперсионных кривых возрастает и, наоборот, с увеличением жесткости /л{ ju2 ju3 - уменьшается при остальных фиксированных параметрах. Это видно из анализа рис. 2-25, 26 - 61, а также рис. 62 - 73. Следует отметить, что если жесткость среднего слоя в трехслойной среде с включением больше жесткости остальных ц2 М\ Мз т0 наблюдается характерные изгибы дисперсионных кривых, которые впервые были обнаружены в работе [30] для трехслойного пакета при идеальном контакте между слоями (рис. 62 - 65)
На некоторых графиках ярко выражен эффект «обратной волны», когда дисперсионная кривая в некотором диапазоне частот имеет характерный изгиб с отрицательным тангенсом угла наклона касательной к ней. В этом диапазоне фазовая и групповая скорости волны направлены в противоположные стороны. Например, на графиках на рис. 20, 21, 56-61 и 68 - 73 такие диапазоны существенно шире, чем на остальных графиках.
Из рис. 26 - 73 также можно установить, что для диагональных элементов матриц К у наблюдается чередование кривых нулей и полюсов за исключением тех частот, где присутствуют обратные волны. Для определителей этих матриц такое чередование в некоторых случаях нарушается, даже когда значение частоты не входит в диапазон обратных волн.
