Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды 15
1. Постановка задачи 15
2. Краевая задача для комплексных потенциалов и сведение ее к отдельным задачам Римана 20
3. Решение задачи для случая а <-1 23
4. Решение задачи для случая -1 < а < 1 30
5. Решение задачи для случая а = -\ 35
6. Однородная плоскость с частично отслоившимся включением 45
ГЛАВА 2. Частично отслоившееся межфазное включение в поле действия сосредоточенных сил и пар сил 50
1. Постановка задачи 50
2. Сведение краевой задачи к матричной краевой задаче Римана 53
3. Построение решения задачи для случая а < -1 57
4. Построение решения задачи для случая -1 <а <1 62
5. Межфазное включение под действием сосредоточенной силы, приложенной к верхней стороне включения 66
6. Однородная плоскость с частично отслоившимся включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил 70
ГЛАВА 3. Кусочно-однородная плоскость с включением, отслоившимся вдоль одной стороны от среды, при наличии трения в зоне контакта 75
1. Постановка задачи 75
2. Решение задачи в случае однородной плоскости 78
3. Коэффициенты интенсивности напряжений и численные расчеты 83
4. Схема решения задачи в общем виде 89
5. Численные расчеты 99
Заключение 104
Список литературы
- Краевая задача для комплексных потенциалов и сведение ее к отдельным задачам Римана
- Решение задачи для случая а
- Построение решения задачи для случая а
- Коэффициенты интенсивности напряжений и численные расчеты
Введение к работе
В механике композиционных материалов большое внимание уделяется изучению напряженного состояния тел, ослабленных дефектами различных типов, в том числе, дефектами в виде тонких жестких включений, частично или полностью отсоединившихся от среды. Такие дефекты появляются в материале, как в процессе его изготовления, так и в процессе его эксплуатации. Например, включение может отсоединиться от основной среды полностью или частично из-за разницы упругих свойств сред, примыкающих к включению, или в результате разрыва армирующих элементов. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи для кусочно-однородных тел с дефектами в виде частично отслоившихся включений.
В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов в виде полностью соединенных со средой тонких жестких включений. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.И. Мусхелишвили [27], Г.П. Черепанова [43], Г.Я. Попова [32], Г.А. Мораря [26], Л.А. Толоконникова и В.Б. Пенькова [37] и многих других статьях.
Исследованию напряженного состояния однородной плоскости с тонким жестким, полностью сцепленным со средой включением посвящены работы [54, 73]. Тонкое жесткое включение, расположенное на линии соединения разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, рассмотрено R.A. Ballarini [49], F. Erdogan и G.D. Gupta. [57]. В статье X. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [63] решение этой задачи найдено с помощью функций Грина. Вопрос
о распределении напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений изучен в работах [11, 31]. В статье A. Asundi и W. Deng [48] решена плоская задача теории упругости для двух анизотропных полуплоскостей с различными механическими свойствами, имеющих на линии полного контакта жесткие включения конечной длины и растягиваемых на оо усилиями, нормальными к линии контакта. Решение в матричной форме получено с помощью аппарата функций комплексного переменного. Структура решения существенно зависит от соотношения свойств полуплоскостей, что приводит к двум возможным вариантам напряженного состояния у вершины включения: либо имеет место сингулярность типа квадрат корня, либо наряду с этой сингулярностью возникают эффекты осцилляции напряжений. Системе полностью сцепленных со средой тонких жестких включений в анизотропной кусочно-однородной среде посвящена работа К. Wu [76].
Исследованию кусочно-однородных тел с включениями на линии раздела сред при различных способах нагружения среды посвящено большое число работ. Задача о тонком жестком включении в однородной плоскости, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая - отслоилась от среды и свободна от какого-либо контакта с ней, впервые решена Д.И. Шерманом [44] методом сингулярных интегральных уравнений. Более простое решение этой задачи получено Н.И. Мусхелишвили [27] методом краевой задачи Римана. В монографии Г.А. Мораря [26] предложен метод обобщенного интегрального преобразования Фурье для описания напряженно-деформируемого состояния бесконечной пластины с тонким упругим включением при различных типах краевых условий. Отметим работу Г.П. Черепанова [42], где построено замкнутое решение смешанной задачи для однородной плоскости с прямолинейным разрезом, когда на произвольных участках обоих берегов разреза заданы перемещения или напряжения. В статье L.M. Кеег [61] посредством интегрального преобразования Ханкеля найдено
решение задачи о напряженном состоянии однородной упругой среды, ослабленной круговым вырезом, на одном из берегов которого заданы смещения, а на другом - напряжения. Показано, что интенсивность напряжений вблизи включения определяется осциллирующе-степенной функцией с показателем -3/4 + Лп(лг)/Ая (л:-упругий параметр плоскости). В статье В.Н. Акопяна [3] построено решение задачи для кусочно-однородной плоскости с разрезом, один берег которого жестко защемлен, а другой свободен от напряжений; выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, описывающая поставленную задачу. Частично отслоившемуся от среды тонкому жесткому межфазному включению посвящены исследования [50, 56, 58, 64]. В работе X. Markenscoff и L. Ni [62] рассмотрена смешанная задача Мусхелишвили для отслоившегося жесткого межфазного включения в случае сцепления. С помощью функции Грина задача сведена к диагонализуемой системе сингулярных интегральных уравнений. Проведен анализ поведения напряжений на концах включения. Пространственная задача о частично отслоившемся межфазном включении решена в статье D. Elata [55]. В статье Т.А. Homulka и L.M. Кеег [59] рассмотрена смешанная задача для жесткого межфазного включения с отслоившейся кромкой, расположенного на линии соединения двух анизотропных полуплоскостей. Методом Строха задача приведена к матричной краевой задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сведена к отдельным задачам Римана. Частично отслоившееся включение в анизотропной плоскости также рассмотрено Т.С.Т. Ting [72].
В статье В.А. Хандогина [39] рассмотрено напряженное состояние ортотропной плоскости с разрезом вдоль отрезка действительной оси, нижний берег которого армирован упругой мембраной, которая препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу. Потенциалы С.Г. Лехницкого построены как решения матричной краевой
задачи Римана. Показано, что напряжения в вершинах дефекта могут иметь степенную особенность любого порядка от -1 до 0 в зависимости от жесткости мембраны. Специально рассмотрены случаи малой и большой жесткости. Упругое равновесие изотропной плоскости с одним линейным дефектом в условиях продольного сдвига изучено в работе [40].
Тонкое жесткое включение, одна сторона которого со средой не контактирует, а другая контактирует с ней как гладкий штамп, изучено в работах [26, 32]. В первой работе рассмотрена однородная плоскость. В работе СВ. Босакова [13] в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода найдены контактные напряжения в точках тонкого упругого включения в однородной упругой среде, одна сторона которого жестко присоединена к среде, а другая отслоилась от среды и контактирует с ней при отсутствии касательного напряжения. К границе включения в упругой плоскости приложена вертикальная сосредоточенная сила. Наиболее тесно связаны с этой задачей работы [16, 33, 38]. Соответствующая антиплоская задача о тонком жестком включении в однородном упругом слое решена в [8].
В работах [18, 41] решена основная смешанная задача теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами при различных способах расположения точек смены типа граничных условий на берегах разрезов. Частный случай этой задачи изучен в работе [24]. В статье S.M. Mkhitarian [65] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости с трещиной, на верхнем берегу которой заданы нормальное и касательное напряжения, на отдельных участках нижней границы заданы нормальные и касательные перемещения, а между этими участками нулевые напряжения. Получена система интегро-дифференциальных уравнений, связывающих производные перемещений и усилий на берегах трещины. Этой системе сопоставлено матричное соотношение Римана для двух голоморфных функций, являющихся интегралами Коши. Решение этой системы
функциональных уравнений сведено к решению регулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.
Вопросы контактного взаимодействия выходящих на границу или внутренних абсолютно жестких или упругих тонких включений с упругой полуплоскостью в различных постановках рассмотрены в работах [1, 2, 5, 7, 15].
В работе В.Н. Акопяна и А.В. Саакяна [4] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие четыре одинаковые разрезы, на одних берегах которых заданы смещения, а на других - напряжения. Задача математически сформулирована в виде системы двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, решение которой построено методом ортогональных многочленов Якоби. Аналогичная задача для упругой полуплоскости с краевым вырезом решена в [6].
Г.Я. Поповым [32] рассмотрена задача о полностью отслоившемся от среды тонком жестком межфазном включении. Случай однородной плоскости исследован Г.А. Морарем [26]. Отслоившееся от среды тонкое жесткое включение, расположенное на границе соединения двух разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, к сторонам которого в их середине приложены сосредоточенные силы и момент рассмотрено в работе X. Markenscoff и L. Ni [62].
В последние годы наибольшую популярность получили модели межфазных включений с окаймляющими их трещинами скольжения (с трением и без трения). В работе [17] делается оценка влияния трения в зоне расслоения между упругим материалом и жестким включением. При этом в отличие от работы J. Shiory и К. Inoue [71], где касательное напряжение всюду в зоне расслоения считается постоянным, в этой работе приняты более реалистические условия взаимодействия между материалом и включением.
Изучению процесса отслоения жесткого линейного включения от среды на участках, примыкающих к концам включения, при растяжении
сосредоточенными силами посвящены работы Н.М. Кундрата [19 - 23]. Во всех этих работах среда полагается однородной.
В статье Ю.А. Антипова [9] изучено тонкое абсолютно жесткое включение, которое под действием силы и момента, приложенных к полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслоилось вдоль нижнего берега так, что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказано, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае сведены к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае - к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана.
Однородная упругая плоскость, ослабленная трещинами и тонкими жесткими остроугольными включениями, изучена в [12, 53, 60, 66]. Случай неоднородной плоскости рассмотрен в статье [36]. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения исследовано в статье А.К. Ярдухина [46]. В работе В.В. Сильвестрова [35] методом римановых поверхностей решена плоская задача о напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости с системой межфазных трещин и полностью отслоившихся от среды тонких жестких остроугольных межфазных включений под действием конечного числа сосредоточенных сил и пар сил, расположенных как в самих средах, так и на линии раздела сред. Частный случай этой задачи, когда имеются одна трещина и одно включение, изучен в работе А.К. Ярдухина [47]. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением изучено этим же автором в статье [45].
Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучены в работах V. Boniface и N. Hasebe [51], С.К. Chao и M.N. Shen [52], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [67,68] и др.
Что касается задачи о тонком жестком межфазном включении, одна сторона которого отслоилась от среды и контактирует с ней, а другая
полностью сцеплена со средой, то автору не известны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость [10, 29, 30] по сути близки к поставленной в этой работе.
В данной работе в рамках линейной теории упругости решается задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны. Структурно работа делится на три главы.
В первой главе изучается кусочно-однородная упругая плоскость, составленная из двух разных упругих полуплоскостей, между которыми расположено тонкое жесткое остроугольное включение конечной длины. Одна сторона включения полностью сцеплена со средой, а другая контактирует с ней в режиме скольжения без трения, подобно гладкому жесткому штампу. Рассматривается плоское напряженное состояние, порожденное заданными на бесконечности напряжениями и вращением, при наиболее общих краевых условиях на сторонах включения - заданных производных горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения на одной стороне и заданных касательной компоненты вектора напряжений и производной вертикальной компоненты вектора смещения на другой стороне.
Полагается, что заданные граничные условия непрерывны по Гельдеру. Решение задачи ищется в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и имеют заданное поведение на бесконечности.
В 1 ставится механическая задача. Формулируется условие ее физической реализуемости, заключающееся в требовании контакта верхней отслоившейся стороны включения с окружающим его материалом. С помощью формул Колосова Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова [43] поставленная задача сводится к системе четырех краевых условий, в каждом из которых фигурируют граничные значения двух функций
комплексной переменной Ф(г) и Q(z). В 2 путем введения особым образом четырех новых функций задача сводится к матричной краевой задаче Римана, решение которой существенно зависит от значения действительного параметра
а = 2jux2k\ + Цф2кг (1 - кх )(1 - к2 ) - ц\кх (1 + к\) 2k2{jux+/u2kx)(h2+V\k2) где //,, ju2, кх, к2 — упругие параметры составной плоскости.
В случае аФ—\ матричная задача сводится к четырем самостоятельным краевым задачам Римана.
В 3 приводится решение задачи для случая а<-\. Особое внимание уделяется изучению поведения комплексных потенциалов вблизи вершин включения. Установлено, что в этом случае напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с
осциллирующей особенностью, определяемой степенной функцией с чисто мнимым показателем id. Показатель осцилляции находится по формуле
д = ^\щуа2 -1-аJ и отличается от показателя осцилляции,
соответствующего как классической межфазной трещине [75], так и тонкому жесткому остроугольному межфазному включению [48], полностью сцепленному со средой. Интенсивность напряжений вблизи вершин включения определяется тремя действительными параметрами (коэффициентами интенсивности напряжений). Анализ параметра а показывает, что в изучаемом случае -|<аг<-1, следовательно, как и в
случаях открытой межфазной трещины [74] и тонкого жесткого межфазного включения [49], полностью сцепленного со средой, значения показателя д осцилляции напряжений вблизи вершин включения не превосходят по модулю значения 0.175.
В 4 приводится решение задачи для случая -1 < а < 1. Показано, что в этом случае интенсивность напряжений вблизи вершины включения,
заканчиваемого в точке z = 0, определяется степенными функциями zr, z^1,
z r, где у = -^ arccos а зависит только от упругих параметров составной плоскости и 0 < у < 1/2. Как и в 3, интенсивность напряжений определяется
тремя действительными коэффициентами, которые являются функционалами от исходных геометрических и упругих параметров среды, от исходных краевых условий и приложенных на бесконечности нагрузок. В то же время, осциллирующая особенность отсутствует.
В 5 приводится решение задачи для случая а = -\. Этот случай, когда 3 = 0 и у = 1/2, является особым и определяется одним условием, налагаемым
на упругие параметры полуплоскостей, между которыми расположено включение. Установлено, что напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с логарифмической
особенностью, и их интенсивность определяется тремя действительными коэффициентами.
В 6 рассмотрен частный случай данной задачи, когда плоскость -однородная. Показано, что напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка -3/4. Осциллирующая особенность у
напряжений отсутствует, а их интенсивность при степенной функции с показателем - 3/4 определяется лишь одним действительным коэффициентом.
Во всех указанных выше случаях на конкретных примерах проверяется условие физической реализуемости построенного решения, находятся и строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений на концах включения, строятся эпюры напряжений на его сторонах.
Во второй главе рассматривается задача о частично отслоившемся межфазном включении при наличии сосредоточенных сил и пар сил. Решение задачи, сформулированной в 1, ищется в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил - в бесконечность порядка не больше двух, а вне любой фиксированной достаточно малой окрестности
множества сингулярностей ограничены. Для решения задачи используется тот же самый метод, что и в главе 1.
В 1 формулируется механическая и математическая задачи. Далее, в 2 строится решение поставленной задачи методом, предложенным в предыдущей главе. В 3 - 4 предлагается решение задачи для различных случаев а. В обоих случаях исследуется влияние сосредоточенных сил и пар сил на коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах включения. Межфазное включение под действием сосредоточенной силы, приложенной к верхней стороне включения, рассматривается в 5. Частный случай задачи, когда плоскость - однородная, исследуется в 6.
В третьей главе рассматривается кусочно-однородная плоскость с частично отслоившимся жестким включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил при наличии трения на контактируемой со средой стороне включения. На нижней стороне включения задаются значения производных от горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения, а на верхней - значения касательного и нормального напряжений, связанные законом Кулона, и значение производной от вертикальной компоненты вектора смещения. На все другие исходные данные задач налагаются такие же условия, как и в главе 2. Постановка задачи дается в 1. В 2 находится решение задачи в случае однородной плоскости. Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин изучаемого включения, а так же формулы для коэффициентов интенсивности напряжений приводятся в 3. Схема решения задачи в общем случае излагается в 4. Показано, что в отличие от задач первой и второй главы, в зависимости от упругих характеристик составной плоскости и от коэффициента трения возможны разные варианты решения поставленной задачи. В диссертации приводятся два возможных варианта решения. В 5 проводятся численные расчеты для различных видов составной плоскости при наличии в ней сосредоточенных сил. Строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений на
сторонах включения в зависимости от коэффициента трения и других характеристик среды.
Отдельные результаты и работа в целом докладывались на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004), на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель - профессор Маркин А.А.) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2002-2005, руководитель - профессор Сильвестров В.В.).
Основные результаты, полученные в данной работе, отражены в публикациях [77 - 88].
Исследования, результаты которых составляют суть диссертационной работы, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00720, 04-01-00160).
Краевая задача для комплексных потенциалов и сведение ее к отдельным задачам Римана
В представлениях (1.3.7) постоянные множители 2-іїтт и {\. + т)4Ът в знаменателях взяты так, как они берутся в случаях открытой [34, 69] и закрытой и силы X + iY. В то же время, от упругих параметров среды и длины включения они зависят нелинейно и, как функции от указанных переменных, они линейно независимы между собой. Так как при а -\ параметр 8-—In 2ж Ф О, то напряжения А а1 -1-а вблизи вершины z = b имеют не только степенную особенность, определяемую функцией (z-6)_1/2, но и осциллирующую особенность, определяемую функцией (z - b) . Ясно, что представления напряжений вблизи вершины включения в данном случае отличаются от их представлений как вблизи вершины межфазной открытой или закрытой трещины, так и вблизи вершины тонкого жесткого, полностью сцепленного со средой включения, расположенного между различными изотропными средами. Это отличие определяется не только наличием степенной функции (z-b) 1 2 и другой осциллирующей функции (z - b)1 , но и тремя коэффициентами интенсивности напряжений Кх, К2, К3. Подобная картина наблюдается, например, в случае трещины [75] или полностью сцепленного со средой тонкого жесткого включения между различными анизотропными средами [48]. Все сказанное имеет место и вблизи вершины z = а. Анализ параметра а для возможных в реальности значений параметров кх, к2, /л показывает, что в изучаемом случае - аг -1. Следовательно, как и в случаях открытой межфазной трещины [41, 74] и тонкого жесткого межфазного включения [49], полностью сцепленного со средой, значения показателя 8 осцилляции напряжений вблизи вершины включения в данном случае не превосходят значения — « 0.175. In Для сравнения, в табл. 1.1 для различных значений параметров кх, кг, М =М2ІМі приведены значения 8 и абсолютные значения показателей ,1 + Zfjr, 1 к2{\ + /л,кх) тр = 1п и двкл = ;г-1п—: ; Г Mi) осцилляции напряжений вблизи вершины открытой межфазной трещины и тонкого жесткого, полностью сцепленного со средой межфазного включения соответственно. При а -\ показатель 8 не определен, поэтому при тех значениях параметров лг,, к2, /І , ДЛЯ которых а -\, значения 5 не приводятся. а -\. На рис. 1.2 приведены графики контактных напряжений а+у на верхней и ст , т , на нижней сторонах включения, а также графики коэффициентов интенсивности напряжений К вблизи его правой вершины в зависимости от длины / включения, от параметров гс] (при фиксированных к2 и // ) и // (при фиксированных кх и к2) для случая, когда все исходные силовые данные, в том числе и краевые условия (1.1.1), (1.1.2) - нулевые, кроме главного вектора X + iY действующих на включение внешних усилий, равного (0.1 + /)У0 (У0 0). Включение занимает отрезок [-//2,//2] и расположено между полуплоскостями с упругими постоянными /г, =2.0, к2=2.5 и fx„ = JU2/JU] =10, для которых параметр а = -1.067 и показатель осцилляции напряжений б = 0.058 (табл. 1.1).
На первом рисунке кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям laI/Y0 , I сГу JYQ и lx /Y0 , а на трех других рисунках номер кривой соответствует номеру коэффициента Kj /Y0 , j = 1,2,3 Решение задачи для случая -\ а 1. В этом случае, согласно (1.2.6), Л, = a + ifi, Л2 =a-i/3, где /3 = ф-а2, причем Л, = Л21 = 1 и Я,Л2 = 1, поэтому решения класса h0 задач (1.2.8) при к = 1 и А: = 2 снова находятся по формулам (1.3.1), в которых надо брать X{(z) = (1.4.1) (z-aY(z-bf-r 1 (f-e) ( -0 r (r-a)1 r(b)r у = (arccos a)/(2 ), Д = yj(\ + a)/2, y#2 = V(l «)/2 . При этом у функций ХДг), X2(z) надо брать те ветви, которые однозначны в плоскости с разрезом по отрезку [а,Ь] и в окрестности со имеют вид x,(z)=I+Zfi±(L +o(z-), 2 z (1.4.2) X2(z) = i+( - + +0(z-3), z z
Разлагая функции 4 (z), Л: = 1,2 в ряд Лорана в окрестности со и сравнивая их с представлениями (1.2.11), для нахождения постоянных Ак, Вк снова получим формулы (1.3.4), в которых надо брать dx = у а + (1 - y)b, d2 = (1-у)а + yb. Выполнение условий (1.2.10) для функций (z), к = 1,2,3,4 в данном случае проверяется также непосредственно.
Решение задачи для случая а
Таким образом, комплексные потенциалы, значит, и напряжения в вершине z = Ъ помимо степенной особенности порядка 1/2, имеют еще и степенно-логарифмическую особенность. Эти особенности определяются тремя действительными параметрами Кх, Кг К3, которые примем за коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Все сказанное имеет место и вблизи вершины z = а.
Значения параметра /л в зависимости от параметров упругих АГ1 И К2 Из анализа результатов, приведенных в табл. 1.3, можно сделать вывод, что чем меньше значение упругого параметра лг2, тем больше значение параметра /г и, как показали численные расчеты, тем ближе к нулю значения ГССУЦ РС?В НАЯ контактного напряжения cr . В то же время, как значения параметра // , так и значения напряжения т мало зависят от изменения значений х-,. На рис. 1.4 приведены графики контактных напряжений т на верхней и сг , х на нижней сторонах включения, а на рис. 1.5 графики КИН Kj вблизи его правой вершины в зависимости от длины / включения и упругих параметров составной плоскости для случая, когда все исходные силовые данные, в том числе и краевые условия (1.1.1), (1.1.2) - нулевые, кроме главного вектора X + iY действующих на включение внешних усилий, равного (0.1 + /)Г0 0о 0)- Включение занимает отрезок [-//2,//2] и расположено между полуплоскостями с упругими постоянными /Cj=1.3, кг2=2.5 и М = М2/М1 =8.639, для которых параметр а = -1. На рис. 1.4 кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям /сг /У0, lcr /Yu и /г /У0, а на рис. 1.5 номер кривой соответствует номеру коэффициента Кj jYQ, j = 1,2,3.
На рис. 1.6 приведены графики контактных напряжений на сторонах включения, а также графики КИН K-Jcr вблизи его правой вершины в зависимости от геометрических параметров для составной плоскости с упругими постоянными кх = 1.3, к2 = 2.5 и //„ = /л2//лх - 8.639. Во всех случаях на оо заданы сжимающие напряжения т=-ег/2, (7 =-сг, сг 2= 3.65сг (сг 0), а все остальные условия соответствуют тем, для которых были построены графики на рис. 1.4 и 1.5.
Замечание. Точно таким же способом можно провести решение задачи для случая, когда под действием приложенных нагрузок жесткое включение поворачивается на некоторый малый угол а. В этом случае вторые условия (1.1.1) и (1.1.2) примут вид {dvldx)±(t) = hk(t) + \%a, = 2,3, t&(a,b), где число а должно быть найдено после решения задачи. В силу малости угла поворота это условие можно заменить более простым условием (dv/dx)±(t) = hk{t) + a, = 2,3, te(a,b). Вектор-функция g(t) будет иметь вид 2iu2{h,{t) + i{h2{t) + a)t 2H2(hx{t)-i(h2(t) + a)) g\t) = - 2iq(t) ,
Для нахождения величины а необходимо воспользоваться условием равенства нулю главного момента усилий, приложенных к берегам включения, относительно начала координат. 6. Однородная плоскость с частично отслоившимся включением
Решение задачи. Рассмотрим частный случай задачи 1, когда плоскость - однородная. Тогда краевые условия (1.1.13) примут вид кФ (0 - Q+ (/) = 2ц{\ (0 + ih2 (0), Іт[кФ+(/)-Г(0] = 2/// з(0, (1.6.1) 1т[Ф+(0 + Г(0] = - 7(0 te(a,b), где к = 3 - 4v, v - коэффициент Пуассона, /и - модуль сдвига.
Повторяя рассуждения 2, приходим к четырем самостоятельным краевым задачам Римана (1.2.8), где Я,=г, Я2=-і, Я3 =-1, Л4=1. В качестве невырожденной матрицы Р берем матрицу с элементами pXj=AJt P2j=tf, Pij=K, PAj=tfK 7 = 1,2,3,4. Решения задач при k = 1 и к = 2, когда Л{=г и Л2 = -і находятся по формулам + AL + Ва %(z) = X4(z) -н ЛР їжі iX+k{t)(t - z) к к к = 1,2, (1.6.2) где Xx(z) = (z-ayV4(z-by3/4, X2(z) = (z-ay3/4(z-byv\ Сравнивая разложения функций Wk (z), к = 1,2 в ряд Лорана в окрестности оо с представлениями (1.2.11), получаем формулы для нахождения неизвестных постоянных, входящих в решение задачи (1.6.2) вк = Чк\У\ + Які?\ + ЧкъУг + Як\?2 Ак=Чк\Уъ + 1к2?ъ +ЧкъУА+ЧкАУА dkBk, к = \,2, я?, =(я + ЗЬ)/4, d2=(3a + b)/4, где X + iY 2л-(1 + /г) оо оо оо оо «-» здесь под сг , сг , г и с; понимаем значения напряжении и вращения, заданные на бесконечности однородной плоскости. Для функций Р3(г) и Л2) снова справедливы представления (1.2.12) -(1.2.16). 6.2 Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин включения. Теперь, зная вектор-функцию Ф(г) из равенства F(z) = РФ(г) несложно найти искомые комплексные потенциалы Ф(г), Q(z) и получить их асимптотические представления вблизи вершин включения. В окрестности вершины z-Ъ они имеют вид
Построение решения задачи для случая а
Как и в 2 гл. 1, введем в рассмотрение вектор-функцию F(z) по формулам (1.2.1) и вектор-функцию 4J(z) = P_1F(z) с компонентами %{z\ %(z), %(z), 4 4(z), где P -невырожденная матрица с элементами (1.2.7). Считаем, что параметр а Ф -1. В силу представлений (1.1.10) функции xVk(z)1 & = 1,2,3,4 в окрестности оо имеют представления (1.2.11), а на основании (1.2.1) удовлетворяют двум условиям "симметрии" (1.2.10). В окрестностях особых точек z. и Zj функции 4/k(z) на основании
Из (1.2.6) следует, что решения задач (1.2.8) при к = \ и к = 2 зависят от постоянной а, так как собственные значения Лк, к = 1,2 могут быть как действительными, так и комплексными. Отдельно изучим каждый из возможных случаев.
Нахождение постоянных. В данном случае значения Хк, к = 1,2 -действительные. Решения класса / задач (1.2.8) при к = 1 и к = 2 имеют вид (2.2.4), где функции XA(z) находятся по формулам (1.2.13), (1.3.2). Воспользовавшись условиями симметрии (1.2.10) и обозначив постоянные А к, В к, О ц, H kj как Ак, Вк, Gkj, Hkj, получим следующие соотношения
Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин включения. На основании (2.2.7), (2.3.1) и (2.3.2) функции Чк(г) вблизи точки z = Ъ имеют представления (1.3.5), в которых постоянные Ск, к = 1,2,3 находятся по формулам Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин включения, как и в случае отсутствия сосредоточенных сил и пар сил, определяется тремя КИН. При отсутствии сосредоточенных сил и пар сил снова получаем решение задачи первой главы для случая а -1.
Численные расчеты. На рис. 2.3 представлены графики контактных напряжений ст на верхней и а , т , на нижней сторонах включения, а также графики коэффициентов интенсивности напряжений Kj вблизи его правой вершины в зависимости от параметров A=Aj =А2, ц, и от длины / включения для случая двух сосредоточенных сил Хх = -XQ и X2 = Х0 (Х0 0), расположенных вдоль оси (Imz = 0) включения, как показано на рис. 2.2.
Кусочно-однородная плоскость при растяжении двумя сосредоточенными силами, расположенными на линии раздела сред Все расчеты проведены для составной плоскости с упругими постоянными /Tj=1.7, лг2=2.4, //, = / 2 ///, =15, для которых параметр а = -1.147 и показатель осцилляции напряжений = 0.085. Все остальные исходные силовые данные, в том числе и краевые условия (1.1.1), (1.1.2) нулевые. На первом рисунке кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям сг , о и т , при этом расстояние от точки приложения сосредоточенной силы до вершины включения бралось А = 0.01/, а на остальных - номер кривой соответствует номеру коэффициента Кj, j = 1,2,3. Контактные напряжения и КИН для случая а -1 4. Построение решения задачи для случая -1 а 1
Нахождение постоянных. В этом случае Лк, к = 1,2 - комплексные и в формулах (2.2.4) функции Xk(z) находятся по формулам (1.4.1). Как и в предыдущем параграфе, применяя условия "симметрии" (1.2.10) к (2.2.4), приходим к соотношениям ?j,=(l + i(-l),+ f)Re(%, #;=(l + i(-l)I+ )RetfJ,, /t = l,2, у = «1+1,«, где принимает то же значение, что в 4 гл. 1. Переобозначив Re А к, ReBk, ReGj , ReH kj соответственно через Ak, Bk, Gkj, Hkj, на основании (2.4.1) решения (2.2.4) при к = 1 и к = 2 можно переписать в виде
Коэффициенты интенсивности напряжений и численные расчеты
Как видно из (3.3.1), (3.3.2), комплексные потенциалы Ф(г) и Q(z), а значит и напряжения, в окрестности левой и правой вершины включения имеют различные асимптотические представления, в которых показатель у зависит от упругого параметра к и коэффициента трения р и изменяется в пределах О у 1 / 4 (при р О ). Анализ параметра а , определяемого выражением (3.2.3), для возможных в реальности значений коэффициента Пуассона v и коэффициента трения р показывает, что наибольшее его значение а наиб=\/(2(/е + 1)) достигается при р = {к + \)/{к-\), тогда показатель у будет принимать свое наименьшее значение. При этом наивысший порядок особенности напряжений вблизи правой вершины включения равен 1-у , а вблизи левой - 1/2 +у . Таким образом, в вершинах включения могут возникать степенные особенности любого порядка от 0 до l-(arccosa HOM6 /2ж) в зависимости от коэффициента трения р и параметра к. Интенсивность напряжений вблизи вершин включения определяется тремя действительными коэффициентами Кх, К2, К3, которые являются функциями от коэффициента трения, от упругих параметров однородной плоскости, от длины включения, заданных на бесконечности напряжений и вращения, заданных условий (3.1.1), (3.1.2).
На рис. 3.1 - 3.2 приведены графики КИН вблизи правой вершины включения в зависимости от коэффициента трения, геометрических и упругих параметров среды. На рис. 3.1 расчеты произведены для случая двух сосредоточенных сил Хх = -X0 и Х2 = Х0 (Х0 0), расположенных на линии включения на расстоянии Л, и А2 от его вершин (рис. 2.2), а на рис. 3.2 две сосредоточенные силы Xl +iYl =-Х0(0.1 + і) и X2+iY2 = (0.1 + 0 (Х0 0) приложены к внутренним точкам упругой плоскости (рис. 2.4), расположенным на серединном перпендикуляре к включению на расстоянии А, и А2 от включения. Здесь и далее, номер кривой соответствует номеру коэффициента Kj/X0, 7=1,2,3.
Используя метод, указанный в 2 первой главы, можно получить решение задачи и в общем случае кусочно-однородной плоскости.
Из условий (3.1.3) - (3.1.6), путем несложных арифметических действий, для нахождения новых неизвестных функций (1.2.1) на основании (1.2.3), получим матричную краевую задачу Римана (1.2.4). Представив F(z), как вектор-функцию 4 (z) = P lF(z) с компонентами yk(z), к = 1,2,3,4, приходим к (1.2.5). В представлениях (1.2.5) матрицы А, В и вектор-столбец g(t) находятся из условий (3.1.3) - (3.1.6). Они имеют вид:
Невырожденная матрица Р подбирается так, чтобы матрица Р А ВР была диагональной или треугольной.
Характеристическое уравнение det(A-1B-ДЕ)=0 является алгебраическим уравнением четвертой степени с комплексными коэффициентами. Нетрудно показать, что один из корней Д4 = 1. Остальные корни - комплексные или действительные. Если собственные значения Як, к = 1,2,3 матрицы А В все различны, то в качестве матрицы Р можно взять, например, матрицу с элементами P\j = М; - 2«2 Pij = Wj & + К\ )Рц + (с - \)p3J )/(1 + кх), p3J = к2ах -aAXj, p4j = {-KxXjPXj + кxp2j + ру)/Я], j = 1,2,3,4.
Тогда задача (1.2.5) распадается на четыре самостоятельные краевые задачи Римана (1.2.8), решения которых имеют вид (2.2 А), (2.2.5).
На основании (1.2.1) функции xk(z), к = 1,2,3,4 в (1.2.8) удовлетворяют двум условиям "симметрии" (1.2.10). Сравнивая разложения этих функций в ряд Лорана в окрестностях точек приложения сил и на оо с представлениями (1.2.11), (2.2.1) - (2.2.3), несложно найти неизвестные постоянные, входящие в решения (2.2.4) - (2.2.5). Решения задач (1.2.8) существенно зависят от упругих параметров составной плоскости и коэффициента трения р, так как собственные значения
Як, к = 1,2,3 матрицы А_1В могут быть как комплексными, так и действительными числами. В общем случае значения Як связаны между собой различным образом. Так, в случае комплексных Я,, Я2, Аз возможны, в частности, равенства Я2=і/Лї или Л, = Я2 = 1 при этом з = 1. Приведем решение задачи для этих случаев.
