Введение к работе
Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры и времени релаксации на характер напряженно-деформированного состояния материалов и протекания волновых процессов в них. Микроструктура материала и время релаксации существенно влияет на поведение упругого материала в областях больших градиентов напряжений и деформаций, характерных для пограничного слоя и в окрестности фронта ударных волн, а также на распространение упругих волн в различных материалах.
Упругие волны являются высокоэффективным инструментом исследования твердых тел, практически не внося при этом искажения в происходящие там процессы. Выявление волновых эффектов, связанных с микроструктурой и временем релаксации, позволит использовать их для совершенствования методов контроля и диагностики выпускаемой продукции, конструирования материалов с заданными свойствами звукоизоляции, а также появлению новых методов исследования материалов различной природы.
Модели, построенные с учетом микроструктуры и времени релаксации, включают в себя дополнительные диссипативные эффекты, что приводит к возможности построения устойчивых явных конечно-разностных схем. В современных условиях, когда происходит активное использование многоядерных процессоров и распределенных вычислений, этот факт может стать решающим фактором при выборе модели описания деформирования сплошной среды.
В теории упругости получил широкое распространение подход, основанный на введении в представительный бесконечно малый объем дополнительных степеней свободы (ротационных, осцилляционных или способностей к микродеформации). В результате чего появилась возможность учитывать внутреннюю структуру (микроструктуру) реальных материалов (зернистость, волокнистость и т.д.). Первоначально данный подход был предложен в 1909 году путем учета ротационных степеней свободы, и впоследствии получил название континуум Коссера. В 1911 году была опубликована работа Леру, в которой происходил учет микродеформации. Особый интерес к исследованию неклассических континуумов возник в 50-е -60-е годы ввиду широкого внедрения композиционных материалов. В эти годы были выполнены работы Леру, Эрингена, В. Т. Койтера, Р. Д. Миндлина, В. Новацкого, Е. Рейснера, Л. И. Седова и др.
Однако данный подход к определению микроструктуры не является единственно возможным. В работах, посвященных построению квазигазодинамических и квазигидродинамических моделей, учет микроструктуры и времени релаксации проводится путем добавления невязок в распределения скорости в уравнении Больцмана. К этому направлению можно отнести работы Т. Г. Елизаровой, Б. Н. Четверушкина и др.
Влияние микроструктуры и времени релаксации наиболее значимо в задачах динамического деформирования упругих, упругопластических и пластических материалов. Данным задачам посвящены работы Г. И. Быковцева, А. А. Буренина, В. И. Ряжских, Ю. М. Мяснянкина, А. Д. Чернышева, Н. Д. Вервейко и др.
Предлагаемая диссертационная работа является продолжением научных исследований российских и зарубежных ученых и выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета, в рамках темы «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сложных сред с микроструктурой» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29).
Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследование является выявление влияния характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации на процессы деформирования и течения материала.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Построение кинематических и силовых характеристик
представительного элемента сплошной среды с учетом характерного линейного
размера микроструктуры.
-
Учет инерциальных свойств и времени релаксации в уравнениях сохранения механики сплошных сред.
-
Построение основных уравнений механики сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации.
-
Построение основных соотношений в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.
-
Исследование распространения упругих гармонических волн в неограниченной среде с учетом ее микроструктуры и времени релаксации.
Область исследования. Исследование соответствует п.2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п. 5 «Теория упругости, пластичности и ползучести» области исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».
Методы исследования. Проведенные в данной диссертационной работе исследования основаны на классических подходах механики сплошных сред построения математических моделей деформируемых сред, методах аналитического исследования систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, а также методе малого параметра и использовании элементов стандартного программного обеспечения.
Основные положения и результаты работы, выносимые на защиту.
-
Тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема, учитывающие микроструктуру и время релаксации.
-
Уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность представительного элемента и время установления среды, приводящее к уточнению полных материальных производных от характеристик среды.
-
Соотношения в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.
-
Уточненная скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивности их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации.
Научная новизна.
-
Построены тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема и учитывающие микроструктуру и время релаксации. Полученные тензоры отличаются от классических наличием слагаемых, содержащих параметры характерного линейного размера h и времени релаксации т.
-
Построены уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность линейного представительного элемента среды и уточнение полных производных от характеристик среды. Учет дополнительных параметров приводит к появлению слагаемых, содержащих производные более высокого порядка с малыми параметрами, что делает систему уравнений в частных производных сингулярно возмущенной и требует дополнительных граничных и начальных условий.
-
Построены соотношения в слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации, характерных для пограничного слоя или в окрестности фронта ударных волн.
-
Уточнена скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивность их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации. Учет дополнительных параметров приводит к уменьшению скорости распространений гармонических упругих волн.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчете распространения упругих волн в различных материалах с учетом их микроструктуры и времени релаксации.
Полученные математические модели можно использовать для построения устойчивых явных конечно-разностных схем в задачах, где существуют зоны резкого изменения параметров состояния среды.
Выявленная взаимосвязь между временем релаксации, размером микроструктуры и скоростью распространения упругих гармонических волн может быть использована при выборе физических параметров композитных материалов с необходимыми свойствами звукопоглощения и виброзащиты.
Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: ХХХХП Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления (г. Миасс 2012г.); на международных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж 2009-2011гг.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2011г.); Международной молодежной конференции «Прикладная математика, управление и информатика» (г. Белгород 2012 г.).
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений механики сплошных сред, теории упругости, правильностью применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, а также применением общеизвестных методов механики сплошных сред. Научные результаты, полученные в предлагаемой диссертационной работе, подтверждаются экспериментальными данными по распространению гармонических упругих волн в материалах различной природы.
Публикации. По теме диссертации опубликовано двенадцать печатных работ, из них три в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Личный вклад автора. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
В работе [1] лично автору диссертации принадлежит построение соотношений для физических характеристик в тонких слоях с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации т. В работе [2] лично автору диссертации принадлежит построение тензора скоростей деформации и полных материальных производных с учетом времени релаксации т.. В работе [3] лично автору принадлежит методика построения тензора скоростей деформации с учетом характерного линейного размера микроструктуры. В работе [4] лично автору принадлежит выбор параметров, обеспечивающих устойчивость конечно-разностной схемы. В работах [5,7,9] лично автору принадлежит численный расчет кинетической энергии представительного объема при его движении вдоль линии тока, а также численный расчет параметров течения в переходных слоях.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 221 наименования. Материал изложен на 112 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и 5 таблиц.
