Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановки задач, метод, методика решения и программная реализация . 14
1.1. Математическая модель . 14
1.2. Гранично-элементная методика 18
1.2.1. Граничное интегральное уравнение . 18
1.2.2. Гранично-элементная дискретизация 19
1.2.3. Метод квадратур сверток 23
1.3. Программная реализация 24
Глава II. Фундаментальные решения и модельные задачи равновесия 28
2.1. Анизотропные фундаментальные решения . 28
2.1.1. Построение статических фундаментальных решений . 30
2.1.2. Статические функции Грина для трансверсально изотропных сред . 31
2.1.3. Численные примеры построения статических функций Грина 35
2.1.4. Интерполяционный подход 44
2.1.5. Динамические функции Грина, численные примеры . 53
2.2. Модельные задачи равновесия . 61
2.2.1. Однородный упругий анизотропный куб под действием нагрузки на часть торца . 61
2.2.2. Однородный электроупругий куб под действием одноосной нагрузки 64
2.2.3. Эффективность методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений . 69
Глава III. Гранично-элементное моделирование 72
3.1. Анизотропные упругие задачи 72
3.1.1. Cтатическая задача о действии давления внутри сферической полости 72
3.1.2. Статическая задача об анизотропном кубе с полостью 76
3.1.3. Действие стационарной горизонтальной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела 79
3.1.4. Одноосное стационарное растяжение упругого анизотропного призматического тела 81
3.1.5. Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела 86
3.1.6 Динамический изгиб композитной балки 100
3.2. Анизотропные электроупругие задачи 104
3.2.1. Равновесие однородного электроупругого Г-образного тела под действием разности потенциалов, приложенных к торцам 104
3.2.2. Равновесие призматического электроупругого тела, под действием равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда. 106
3.2.3. Задача о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства 124
3.2.4. Контактная задача Герца для электроупругого полупространства 132
3.2.5. Задача об одновременном действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое анизотропное тело 138
Заключение 153
Список литературы 154
- Гранично-элементная дискретизация
- Численные примеры построения статических функций Грина
- Эффективность методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений
- Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела
Введение к работе
Актуальность работы.
Для современной техники теория упругости с сопряженными полями играет важную роль при решении возникающих задач. Многие проблемы инженерной практики сводятся к исследованию деформируемых тел и сред при статических или динамических нагружениях с учетом существенной анизотропии материала и связанности механических и немеханических полей.
В работе формулируются соответствующие трехмерные краевые и начально-краевые задачи, для решения которых развивается подход в рамках линейных постановок. Развивается метод граничных элементов (МГЭ), который является распространенным универсальным численно-аналитическим методом решения широкого круга задач теории упругости с сопряженными полями.
Успех применения граничных интегральных уравнений (ГИУ)
обеспечен результатами, полученными в теории многомерных
сингулярных интегральных уравнений в работах: С.Г. Михлина, В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзе и других. Первое решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах T.A. Cruse и F.J. Rizzo в 1968г. Первый МГЭ-подход во временной области, был представлен в работе W.J. Mansur.
Распространение традиционного МГЭ-подхода непосредственно во
временной области на решение трехмерных нестационарных
динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Н.М.Хуторянского.
Формулировка M. Schanz и H. Antes, базирующаяся на методе, предложенном C. Lubich, позволила разрабатывать не традиционным способом применение МГЭ во временной области.
МГЭ признанно эффективен для анализа изотропных упругих конструкций. При работе с анизотропными материалами возникают
известные трудности при выводе и реализации фундаментальных решений. Вычисление статических фундаментальных решений с помощью интерполяционного подхода было впервые описано в работе R.D. Wilson и T.A. Cruse. Статическое фундаментальное решение в сочетании с R.D. Wilson и T.A. Cruse и представления C.Y. Wang и J.D. Achenbach дают возможность эффективной численной реализации.
МГЭ в электроупругости тесно связан с анизотропными
материалами. Фундаментальные решения для динамической
электроупругости были получены A.N.Norris (1994).
Цель работы состоит в создании гранично-элементного
методического и программного обеспечения на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток для решения начально-краевых трехмерных задач динамики анизотропных и электроупругих однородных тел при смешанных краевых условиях, а также в проведении численных исследований динамики упругих анизотропных и электроупругих трехмерных тел.
Методика исследований основана на точных граничных
интегральных уравнениях в пространстве изображений по Лапласу для
прямого подхода трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и
электроупругости; построении динамических фундаментальных
анизотропных упругих и электроупругих решений на базе использования интегрального преобразования Радона; на численном моделировании в изображениях по Лапласу методом граничных элементов; на применении метода коллокации и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа.
Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходных начально-краевых задач в частных производных линейных
теорий анизотропной упругости и электроупругости системе
используемых точных граничных интегральных уравнений в изображениях по Лалпасу; на применении корректно построенных дискретных аналогов регуляризованных ГИУ; на применении оттестированных подходов к вычислению анизотропных фундаментальных решений; на тщательно проработанных алгоритмах численной реализации гранично-элементного подхода; на анализе сеточной и шаговой сходимостей получаемых ГЭ-решений и их сравнении с аналитическими результатами и с решениями других авторов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
гранично-элементное моделирование статических и динамических
краевых/начально-краевых задач смешанного типа трехмерных линейных
теорий анизотропной упругости и электроупругости реализовано на основе
матриц Грина в форме Радона и шагового метода численного обращения
интегрального преобразования Лапласа; в использовании
комбинированного подхода к вычислению анизотропных функций Грина в
точках интегрирования; в оригинальном программном обеспечении,
реализующем в рамках ГЭ-подхода согласованную модель аппроксимации
на основе четырехугольных элементов; в гранично-элементном решении
статических анизотропных упругих и электроупругих задач; гранично-
элементном моделировании стационарных задач анизотропной теории
упругости; шаговом ГЭ-моделировании решения задачи о действии силы в
виде функции Хевисайда по времени на торец трехмерного анизотропного
упругого Г-образного однородного тела; решении нестационарной
трехмерной электроупругой задачи для Г-образного тела со смешанными
краевыми условиями; ГЭ-моделировании динамического прогиба
композитной балки.
Практическая значимость диссертационного исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для численного моделирования статики и динамики однородных трехмерных анизотропных упругих и электроупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; шаговом гранично-элементном моделировании задачи о действии нестационарной силы на анизотропное упругое или электроупругое трехмерное однородное тело; ГЭ-решении с помощью полученной методики трехмерной краевой электроупругой динамической задачи смешанного типа.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Развитие и создание гранично-элементного методического и программного обеспечения решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения преобразования Лапласа.
-
Гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:
- о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве;
смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью; о действии разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела; о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда на призматическое электроупругое тело;
о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства;
контактная задача Герца для электроупругого полупространства; 3. Гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:
- о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного
однородного упругого анизотропного тела;
о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки
на упругое анизотропное призматическое тело;
о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на
торец Г-образного однородного анизотропного трехмерного
упругого тела;
о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную балку;
- о действии электрического потенциала и нагрузки в виде
функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное
электроупругое тело.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на XII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008), XIV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (Н. Новгород, 2009), XV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (Н. Новгород, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н. Новгород, 2011), XVIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2012), XIX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2013), форуме молодых ученых (Н. Новгород,
2013), XXV Международной конференции «Математическое
моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы
граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII
Всероссийской (с международным участием) конференции по механике
деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XX
Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).
Публикации. Опубликовано 19 работ [1-19], из них 13 по теме диссертации. В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 6 работ в соавторстве [1-6]. Результаты работ [1-6] принадлежат И.П. Маркову кроме постановок задач и постпроцессорных представлений результатов исследований.
Структура и объем работы
Гранично-элементная дискретизация
Для численной реализации представленной гранично-элементной схемы был разработан программный комплекс для расчета статических и динамических задач трехмерных анизотропных теорий упругости и электроупругости. Комплекс состоит из трех независимых модулей: вспомогательной программы ANISGN, расчетного модуля ABEM и программы STINV. Все программы написаны на алгоритмическом языке Фортран и представляют собой консольные приложения. Программа ANISGN является препроцессором и генерирует интерполяционные таблицы для заданного анизотропного материала. Расчетный модуль ABEM реализует численное решение поставленной задачи в изображениях по Лапласу. Программа STINV используется для обращения полученного решения во временную область. Программа ANISGN. В программе ANISGN генерируются интерполяционные таблицы для статической части фундаментального решения и его производных. В программу передаются следующие входные данные: тип материала – упругий/электроупругий; имя файла, содержащего параметры материала; тип и параметры подхода, используемого для вычисления фундаментального решения и его производных в узлах интерполяции; параметры интерполяционной сетки. Результатом работы программы ANISGN являются два файла с интерполяционными таблицами, которые в дальнейшем используются расчетным модулем ABEM.
Программа ABEM состоит из исполняемого модуля, конфигурационного файла и совокупности вспомогательных файлов. В файле конфигурации задаются такие исходные данные как: тип задачи, метод вычисления фундаментальных решений, гранично-элементная сетка, описывающая поверхность тела, граничные условия и т.п.. В качестве вспомогательных файлов могут задаваться: файл с параметрами материала, интерполяционные таблицы, файл содержащий набор значений параметра интегрального преобразования Лапласа s.
С целью минимизации затрат на добавление и отладку новой функциональности реализация программы ABEM имеет модульную организацию. Каждый модуль объединяет в себе набор подпрограмм, реализующих определенную функциональность и набор входных и выходных данных. Взаимодействие модулей обеспечивается через обмен данных, осуществляющийся с помощью общего банка данных. Результаты выполнения каждого модуля после его завершения могут быть записаны в банк данных и затем использованы в работе других модулей. Как следствие подобной реализации взаимодействия повышается независимость каждого модуля в отдельности. На рис. 2 представлена принципиальная схема взаимодействия между модулями программы. Конфигурационный файл
В модуле SYST производится инициализация банка данных, затем в него считывается конфигурационный файл. Считывание параметров материала из вспомогательного файла и дальнейшая их обработка производится в модуле GMAT. Построение полной дискретной модели геометрии задачи происходит в модуле GEON. В модуле BCON производится обработка граничных условий задачи. Модуль FREQ считывает набор значений параметра преобразования Лапласа из вспомогательного файла. Назначением модуля INTG является вычисление коэффициентов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений и её решение. Полученные в изображениях по Лапласу результаты записываются в выходной файл.
Для получения решения в явном времени, к изображению решения задачи необходимо применить обратное преобразование Лапласа. Для достижения этой цели была разработана программа STINV, которая реализует алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа по шаговому методу. В качестве входных данных для работы программы задаются: шаг по времени, шаг по углу, радиус окружности, по которой производится интегрирование и имя файла с изображением решения. Результат обращения записывается в выходной файл.
Для успешной эксплуатации программного комплекса необходимо подготовить конфигурационный файл и полный набор вспомогательных файлов. Структура конфигурационного файла организована по логической структуре программы ABEM. Входные данные каждого модуля объединены в блоки данных, формат которых определяется модулем, а очередность этих блоков в файле конфигурации определяется очередность выполнения модулей. Подобная гибкая организация описания исходных данных и структура программного комплекса с применением вспомогательных файлов позволяют повторно использовать наборы данных, одинаковые для различных задач. Что значительно сокращает время на предпроцессорную подготовку. В качестве основных выводов по главе I можно сформулировать следующее.
Глава I содержит постановки начально-краевых задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости. С помощью введенных сокращенных обозначений – векторов обобщенных перемещений и усилий, сформулирована обобщенная начально-краевая задача, позволяющая рассматривать задачи анизотропной теории упругости и электроупругости с единых позиций. В пространстве изображений по Лапласу записан обобщенный вид начально-краевой задачи. Дана схема сведения начально-краевой задачи в обобщенном виде к ГИУ прямого подхода на основе теоремы взаимности Бетти и формулы Сомильяны. Представлена гранично-элементная дискретизация на основе регуляризованных ГИУ. Приведена гранично-элементная методика решения ГИУ в изображениях по Лапласу на основе ГЭ-схемы с согласованной поэлементной аппроксимацией. Для получения решения во временной области используется частный случай метода квадратур сверток – шаговый метод численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Дано краткое описание созданного программного комплекса компьютерного моделирования трехмерных начально-краевых задач анизотропной упругости и электроупругости с использованием метода ГИУ и интегрального преобразования Лапласа. Комплекс программ состоит из трех независимых компонент. В главе описано назначение каждой из этих компонент. Указан принцип взаимодействия и структура обмена данными между этими компонентами на базе вспомогательных файлов.
Численные примеры построения статических функций Грина
Полученные результаты позволяют сделать вывод о корректности численной реализации подходов к вычислению обобщенных анизотропных статических функций Грина и о высокой точности получаемых результатов, как для упругих, так и для электроупругих сред.
Опишем подход к построению обобщенных анизотропных статических фундаментальных решений на основе интерполяционной схемы вычисления. Если вернуться к представлению функций Грина в сферической системе координат (2.4): можно заметить, что тензор Н к(в,ф) полностью определен на области изменения сферических углов в и ф. В силу того, что область определения сферических углов ограничена, значение gsjk в произвольной точке может быть получено при помощи подходящей интерполяционной схемы [121, 179] для вычисления значений тензора #J, например, линейной интерполяции Лагранжа. В качестве примера приведем трехмерные визуализации в виде поверхностей (рис. 3-26) для компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина в точках наблюдения, расположенных на единичной сфере (г = 1, -ж в ж, 0 ф ж), для четырех различных анизотропных материалов со следующими тензорами модулей упругости [121, 175]: Для достижения высокой точности вычисления динамических функций Грина и Неймана применяется составная квадратурная формула Гаусса-Лежандра [172]. Пусть п -количество участков разбиения промежутка интегрирования [а,Ъ], р - количество узлов на каждом из участков, тогда: где Bjjj- абсциссы и узлы обычной квадратурной формулы Гаусса порядка р .
Для оценки достоверности и аккуратности численной реализации схемы вычисления анизотропного динамического фундаментального решения по формуле (2.1) были выполнены три теста [138]:
Тест 1 включает в себя вычисление изотропных динамических матриц Грина и Неймана, для которых известны выражения в явном виде.
в тесте 2 производится сравнение матриц Грина и Неймана для трансверсально изотропного в плоскости х1х2 материала, с соответствующими результатами из [118].
Тест 3 содержит сравнение матриц Грина и Неймана для полностью анизотропного материла, полученного из трансверсального изотропного путем преобразования системы координат. А именно, в декартовой системе координат {х.};/ = 1,3 компоненты тензора модулей упругости для трансверсально изотропного в плоскости х1х2 материала определяются следующим образом: Поворачиваем исходную систему координат {JC.} в новую {хг }, соответствующим преобразованием: x =lf}Xj, іJ = 1,3, где ijp - компоненты матрицы преобразования поворота вокруг произвольного единичного вектора v на некоторый угол в. где г - радиус-вектор точки наблюдения (точка нагружения расположена в начале координат), s - значение параметра преобразования Лапласа, р,Л, ju - плотность, модуль упругости и модуль сдвига модельного изотропного материала, n(wl3w2,w3) -единичный вектор, необходимый для вычисления матрицы Неймана hg. =CmjMglkJnm, п -количество участков разбиения промежутка интегрирования, р - количество узлов на каждом из участков. Для установления точности вычислений введем следующую оценку погрешности: здесь и далее g обозначает матрицу Грина, полученную по аналитической формуле (тест 1 и тест 2) или с помощью соответствующего преобразования системы координат (тест 3), g - матрицу Грина, полученную численно по формуле (2.1), - 2-норма матрицы. В таблицах 13, 14 приведено сравнение полученных результатов для функций Грина и Неймана, соответственно. Погрешность вычислений для матрицы Грина в сравнении с аналитическим результатом составила err(g\g) = 5.35-10-15, для матрицы Неймана err(h ,h) = 1.26-10-15. Значения компонент матрицы Грина в сравнении с результатами Dravinski и Zheng [118] приведены в таблице 15. Тест показывает высокую степень согласованности полученных результатов с результатами других авторов. Также вычисления проводились на широком наборе точек наблюдения 1 г/а 15. Здесь и далее а = 1м - параметр расстояния. Изображения реальных и мнимых частей некоторых компонент матриц Грина и Неймана приведены на рис. 37-42.
Эффективность методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений
Чтобы сравнить вычислительную эффективность представленных методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений, при непосредственном применении в разработанном гранично-элементном программном комплексе, рассмотрим модельную статическую задачу упругости. Куб со стороной 1 м. подвергнут действию равномерно распределенной растягивающей нагрузки 3=ґ0, ґ0=1011Па, приложенной на торце JC3=1м и действующей в направлении оси х3 (рис. 50). На противоположном торце задана скользящая заделка х3 = 0 м. В качестве анизотропного материала взят альфа-кварц со следующим тензором модулей упругости [167]:
Для методов построения фундаментальных решений были выбраны следующие параметры. В интегральном подходе использовалась квадратура Гаусса с числом узлов равным 48. В подходе через ряды Фурье параметр метода а был выбран равным 20. В интерполяционном подходе использовалась сетка 800x800. В таблице 35 дано сравнение аналитического решения из [51] с ГЭ-решениями для перемещений u2 в точке A (0.5, 0.5, 0.5) м , полученными всеми четырьмя методами на всех ГЭ-сетках.
Аналитическое решение -0.06891066 Все четыре метода демонстрируют сеточную сходимость к аналитическому решению и дают очень близкие результаты. В таблице 36 приведены длины временных промежутков (в секундах), которые потребовались для полного решения задачи при использовании каждого из четырех методов.
Совокупность полученных результатов позволяет сделать однозначный вывод, что с практической точки зрения интерполяционный подход к построению фундаментальных и сингулярных анизотропных статических решений, имеет наибольшую вычислительную эффективность. В случае серьезных ограничений по объему доступной оперативной памяти имеет смысл использовать интегральный подход.
В качестве итогов второй главы можно привести следующие результаты. Представлены выражения для анизотропных динамических фундаментальных решений для упругих и электроупругих сред в пространстве изображений по Лапласу, записанные в виде суммы статической и динамической частей, полученные с помощью применения интегрального преобразования Радона. Описаны четыре метода вычисления статических анизотропных упругих и электроупругих функций Грина: интегральный, полиномиальный, с применением рядов Фурье и интерполяционный. Даны выражения статических функций Грина для трансверсально изотропных упругих и электроупругих сред. Проведено тестирование численной реализации подходов к построению статических фундаментальных решений. Представлены трехмерные полутоновые визуализации в виде поверхностей для компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина для четырех различных анизотропных материалов. В случае электроупругой среды визуализации даны для полностью анизотропного материала. Проведена верификация численной реализации схемы вычисления динамических анизотропных фундаментальных решений. Проведен ряд численных экспериментов. Исследована работоспособность и вычислительная эффективность описанных методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений, при непосредственном применении в разработанном гранично-элементном программном комплексе. Решены две модельные задачи для верификации предложенной гранично-элементной методики решения статических задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости с интерполяционным способом вычисления функций Грина. Полученные ГЭ-решения приведены в сравнении с аналитическими результатами и результатами других авторов.
Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела
Рассмотрим задачу о действии равномерно распределённой горизонтальной нагрузки в виде функции Хевисайда по времени 1(t) = t0H(t), t0 =-1-105 Пана боковую поверхность однородного упругого анизотропного тела, изображенного на рис. 85. Расчеты проводились на четырех ГЭ-сетках, сведения о которых представлены в таблице 41. Сетка «а» изображена на рис. 86, сетка «б» - на рис. 87, сетка «в» - на рис. 88, сетка «г» - на рис. 89.
Задача рассматривается для двух материалов с различной степенью анизотропии: трансверсально изотропный цирконат-титанат свинца (материал 1) и моноклинный углепластик (материал 2). Плотности (в кг/м3) и ненулевые компоненты тензоров модулей упругости (в ГПа) для этих материалов приведены в таблице 42 [121]. Для идентификации графиков откликов перемещений и поверхностных усилий, построенных на сетке «а» используется маркер «», на сетке «б» - «», на сетке «в» - «», на сетке «г» - « ». Рассмотрим точку A с координатами (0, 0, 0.1)м. Сходимость решения в перемещениях для материала 1 продемонстрирована на рис. 90-92, для материала 2 на рис. 93-95. Значение параметра шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа выбрано At = 5 10б с.
Приведены динамические отклики перемещений и электрического потенциала. Помимо сеточной сходимости исследована сходимость по параметру шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Дано сравнение ГЭ-решений с ГЭ- и КЭ-решениями других авторов, продемонстрирована хорошая согласованность полученных результатов. Приведены полутоновые визуализации распространения поля электрического потенциала и трехмерные визуализации решения задачи. В качестве основных выводов по главе III можно сформулировать следующее. Получены ГЭ-решения следующих статических упругих задач: о действии давления внутри сферической полости, расположенной в неограниченной анизотропной упругой среде; смешанной задачи о полости внутри анизотропного упругого куба. Решены две стационарные задачи: о действии нагрузки на торец Г-образного однородного анизотропного упругого тела; об одноосном растяжении упругого анизотропного призматического тела. Полученные на разных ГЭ-сетках результаты позволяют сделать вывод о наличии сеточной сходимости. ГЭ-решения приведены в сравнении с аналитическими решениями и результатами других авторов. Решена анизотропная упругая динамическая задача о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец однородного анизотропного упругого тела. Приведены сравнения полученных ГЭ-решений с КЭ- и ГЭ-решениями других авторов. Проведено исследование сеточной сходимости и сходимости по параметру шагового метода обращения преобразования Лапласа. Представлены результаты ГЭ-моделирования динамического испытания на изгиб композитной балки. ГЭ-решения сравнивались с КЭ-решениями, полученными в программных комплексах конечно-элементного моделирования. Продемонстрировано хорошее соответствие полученных гранично-элементных решений результатам эксперимента. Проведено гранично-элементное моделирование следующих статических задач электроупругости: о действии разности потенциалов, приложенных к Г-образному однородному электроупругому телу; о действии нормальной нагрузки или заданной поверхностной плотности заряда на торец призматического электроупругого тела; о действии вертикальной силы на часть дневной поверхности электроупругого полупространства; решена контактная задача Герца для электроупругого полупространства и контактная задача Герца с дефектом. Проведено сравнение полученных гранично-элементных решений с известными аналитическими решениями и результатами других авторов. Представлено ГЭ-решение задачи электроупругой динамики об одновременном воздействии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени и электрического потенциала на Г-образное однородное электроупругое тело. Исследована сеточная и шаговая сходимость. Приведено сравнение ГЭ-решений с КЭ- и ГЭ-решениями других авторов, полученных
1. Развито и создано гранично-элементное методическое и программное обеспечение решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения преобразования Лапласа.
2. Проведено гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия: - о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве; - смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью; - о действием разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела; - о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда на призматическое электроупругое тело; - о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства; - контактная задача Герца для электроупругого полупространства; 3. Проведено гранично-элементное моделирование следующих динамических задач: - о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела; - о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое анизотропное призматическое тело; - о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного анизотропного трехмерного упругого тела; - о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную балку; - о действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое тело.
