Содержание к диссертации
Введение
1. Особенности постановки нестационарных задач о взаимодей ствии упругих тел с подвижными источниками 27
1.1. Внешние конфигурационные силы 28
1.1.1. Задача Рэлея 28
1.1.2. Задача Николаи 36
1.1.3. Внешняя конфигурационная сила как сумма воздействия извне и самовоздействия 45
1.1.4. Типы задач для систем с подвижными включениями: задачи кинематического и силового типа 46
1.2. Внутренние конфигурационные силы 50
1.2.1. Задача Эшелби 51
1.2.2. Конфигурационная сила на подвижной границе в упругом стержне 52
1.2.3. Переход к квазистатике: формула Эшелби 55
1.2.4. Типы задач для систем с подвижными границами: задачи кинематического и силового типа
1.3. Конфигурационные силы: резюме 58
1.4. Аналитический подход к исследованию нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами 60
2. Струна на винклеровском основании под действием подвижного инерционного включения 62
2.1. Задача кинематического типа 67
2.1.1. Постановка задачи 67
2.1.2. Интегральное уравнение для силы между струной и включением 68
2.1.3. Движение с постоянной скоростью 69
2.1.4. Движение с малым ускорением 74
2.1.5. Вклад от частоты локализованных колебаний 77
2.1.6. Вклад от нулевой частоты 81
2.1.7. Учёт начальных условий 83
2.1.8. Сравнение аналитических и численных результатов 84
2.2. Задача силового типа 90
2.2.1. Постановка задачи 90
2.2.2. Решение задачи 91
2.2.3. Струна без винклеровского основания 95
2.3. Основные результаты 97
3. Распространение волн в разномодульном упругом материале 98
3.1. Формулировка основных уравнений 102
3.1.1. Одноосное напряженное состояние 102
3.1.2 . Одноосное деформированное состояние
3.2. Свойства уравнения (3.1.3) 106
3.3. Первая вспомогательная задача: возникновение жёсткой области под действием цикла "сжатие - растяжение" 109
3.3.1. Перемещения 112
3.3.2. Сравнение аналитических и численных результатов .113
3.4. Вторая вспомогательная задача: возникновение ударной волны
под действием цикла "растяжение - сжатие" 114
3.4.1. Асимптотическая формула для положения ударной волны 117
3.4.2. Структура асимптотического решения 125
3.4.3. Диссипативность ударной волны 126
3.4.4. Перемещения 126
3.4.5. Сравнение аналитических и численных результатов. Влияние разрывов высших порядков 128
3.5. Гармоническое внешнее возбуждение 130
3.5.1. Перемещения 132
3.5.2. Сравнение аналитических и численных результатов .133
3.5.3. Спектральные свойства решения 135
3.6. Основные результаты 138
4. Динамика фазовых превращений в упругих телах 139
4.1. Формулировка основных уравнений 142
4.1.1. Определяющее уравнение для материала стержня 143
4.1.2. Динамический подход 144
4.1.3. Квазистатический подход
4.2. Метод исследования (динамический подход) 153
4.3. Движения свободной фазовой границы
4.3.1. ОДУ, описывающее возможные движения фазовой границы 156
4.3.2. Линеаризация в окрестности равновесного положения 166
4.3.3. Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов 168
4.4. Медленное растяжение стержня 172
4.4.1. Постановка задачи 172
4.4.2. ОДУ, описывающее возможные движения фазовой границы 174
4.4.3. Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов
4.5. Анализ результатов 184
4.6. Основные результаты 186
5. Динамическая контактная задача о колебаниях штампа, движущегося по поверхности упругого полупространства 187
5.1. Постановка задачи 190
5.2. Функция Грина для упругого полупространства 193
5.3. Внезапно приложенная точечная постоянная подвижная нагрузка 197
5.4. Подвижная осциллирующая точечная нагрузка 201
5.5. Контактная задача 204
5.6. Вынужденные колебания штампа под действием внешней гармонической нагрузки 209
5.7. Анализ результатов 213
5.8. Основные результаты 214
Основные результаты диссертации 215
Литература
- Внешняя конфигурационная сила как сумма воздействия извне и самовоздействия
- Интегральное уравнение для силы между струной и включением
- . Одноосное деформированное состояние
- Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов
Введение к работе
Актуальность темы. В различных разделах современной механики деформируемого твердого тела возникает необходимость исследования сходных математических задач. Именно: имеется упругий континуум (упругое тело) и подвижной источник (в диссертации — подвижное инерционное включение или подвижная граница), способный изменять свое пространственное положение внутри континуума и взаимодействующий с ним. Разделами механики, где такие задачи совершенно естественны, являются, например, механика упругих систем с подвижными нагрузками, в которой подобные задачи были рассмотрены впервые, а также более новые разделы, такие, как механика фазовых превращений (подвижной источник — фазовая граница), разномо-дульная теория упругости (источник — подвижной разрывной фронт), механика разрушения (источник — трещина), теория дислокаций и дефектов. Сходство математических постановок подобных задач диктуется сходством физических явлений, которые они описывают. Рассмотрение энергетического баланса для движущегося источника дает возможность определить реакцию континуума на его движение (так называемую конфигурационную силу), что позволяет формулировать нестационарные задачи двух типов (в диссертации — задачи кинематического и силового типов). В задачах кинематического типа задается закон движения источника; требуется определить движение упругого тела и, если это необходимо, конфигурационную силу. В задачах силового типа заданы силовые воздействия, вызывающие движение источника, и разыскиваются движение источника и движение упругого тела. Задачи силового типа особенно сложны: по своей сути они являются нестационарными, кроме того, известно, что они всегда нелинейны. Даже для более простых задач кинематического типа распространенной является ситуация, когда вместо нестационарной задачи рассматривается стационарная, в которой источник движется с постоянной скоростью, и разыскивается автомодельное решение, неизменное в подвижной системе координат, движущейся вместе с источником. Что касается собственно нестационарных задач, то систематически в литературе применяются два аналитических подхода: метод интегральных преобразований и вычисление (или асимптотическая оценка) интеграла свертки фундаментального решения соответствующего оператора в частных производных с функцией нагрузки. Оба этих подхода применимы только для
задач кинематического типа и достаточно эффективны для нестационарных задач, где внезапно возникший источник движется далее с постоянной скоростью. В некоторых частных случаях с их помощью удается исследовать решения задач, в которых источник движется с переменной скоростью, однако в целом для таких задач данные подходы не являются достаточно эффективными. Возможными подходами также являются численная оценка интеграла свертки или прямое численное моделирование, которое, однако, как правило, неэффективно для выявления качественных закономерностей в решениях соответствующих задач. Таким образом, определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач, является весьма актуальной проблемой. В связи с этим возникает необходимость в разработке нового, альтернативного, аналитического подхода к решению нестационарных задач механики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, допускающего систематическое применение в различных разделах современной механики деформируемого твердого тела.
Целями диссертационной работы являются:
определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач;
разработка нового аналитического подхода, допускающего систематическое применение для решения задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью;
демонстрация эффективности данного подхода посредством решения ряда задач, исследование которых представляет самостоятельный интерес.
Методы исследований. В диссертации получены аналитические решения ряда нестационарных задач механики упругих тел с подвижными включениями и границами при помощи асимптотических методов.
Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссертация носит теоретический характер. Разработанный в ней аналитический подход к исследованию нестационарных процессов в упругих телах с подвижными включениями и границами может быть применён к широкому классу задач из различных разделов механики сплошных сред. Результаты главы 4 дают представление об области применимости квазистатического подхода, широко используемого в теории фазовых превращений в упругих телах. Результаты главы 3 были получены при финансовой поддержке Shell Е.&Р. и могут быть использованы в геофизических приложениях. Результаты глав 2 и 5 могут быть использованы в инженерных приложениях, связанных с развитием железнодорожного транспорта.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, полученными предельными переходами к известным случаям, использованием компьютерных систем аналитических вычислений для проверки аналитических результатов, совпадением с результатами численных расчетов.
Научная новизна. В диссертации разработан новый аналитический подход к решению нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, связанный с представлением решений рассматриваемых задач в виде многомасштабных асимптотических разложений по малому параметру (являющемуся свойством рассматриваемых механических систем). Продемонстрирована эффективность предложенного подхода посредством решения ряда не исследованных ранее нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела, представляющих самостоятельный интерес. Проведена верификация квазистатического подхода, широко используемого в литературе для задач механики фазовых превращений в упругих телах.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на ежегодных летних школах-конференциях "Advanced Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2013); на международных конференциях "Days on Diffraction" (C-
Петербург, 2002, 2013); на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006); на международных конгрессах ЮТАМ (Чикаго, США, 2000; Варшава, Польша, 2004); на съезде немецкого общества прикладной математики и механики GAMM (Падуя, Италия, 2003); на конференции (workshop) "Mechanics of Materials" (Обер-вольфах, Германия, 2002); на восьмой международной конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Ростов-на-Дону, 2002); на III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003); на 484 коллоквиуме Euromech "Wave Mechanics and Stability of Long Flexible Structures Subject to Moving Loads and Flows" (Делфт, Нидерланды, 2006); на 68 международной конференции-выставке EAGE (Вена, Австрия, 2006); на международной конференции-выставке EAGE "Geosciences — То Discover and Develop" (С.-Петербург, 2006); на рабочих встречах исследовательского кластера СПбГУ-РАН и Shell Е.&Р; на семинаре под руководством Ж. Може-на (Париж, Франция, 2002); на семинаре под руководством А. Кастельяноса (Севилья, Испания, 2007); на докладах на Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (руководитель семинара — д.ф.-м.н. Д.П. Коузов); на семинаре кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководитель семинара — д.ф.-м.н. A.M. Кривцов).
В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (С.-Петербург) в 2012 г.; на семинаре Института механики МГУ (руководитель семинара — академик РАН И.Г. Горячева) в 2012 г.; на семинаре ИПМех РАН (руководитель семинара — чл.-корр. РАН Р.В. Гольд-штейн) в 2012 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по механике (руководитель семинара — чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев) в 2013 г.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (99-01-00693, 05-01-00785, 08-01-00691, 11-01-00385); грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-5355.2007.1); грантом Фонда содействия отечественной науке; Shell Е.&Р. (CRDF грант RG0-1318(8)-ST-02); грантом Правительства С.-Петербурга (PD04-1.10-89); входила в Программы фундаментальных исследований РАН академиков Н.Ф. Морозова и И.Г. Горячевой.
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 21 работе [1-21], в том числе в 10 работах в изданиях, входящих в международную базу цитирования Web of Science [1,2,9,11,12,15,
16,19-21]. Работа [8] опубликована в издании, входящем в международную базу цитирования SCOPUS. Работы [3,17] опубликованы в журнале из списка российских изданий, рекомендованных ВАК России.
Полнота изложения материала. Все результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.
Личное участие автора. По теме диссертации опубликовано 11 работ, подготовленных лично автором, и 10 работ в соавторстве. В работах [18,21] автору принадлежат результаты исследования эволюции локализованной моды колебаний (доказательство наличия смешанного спектра собственных колебаний в системе "струна на упругом основании — подвижное инерционное включение" принадлежит Д.А. Индейцеву). В работах [13-15] автору принадлежит постановка задачи и метод её исследования, решение выполнялось совместно с Е.В. Шишкиной. В работах [10,11] автору принадлежит решение задачи (постановка задачи принадлежит X. Херману). Работа [12] была начата диссертантом совместно с X. Херманом (постановка задачи) и завершена после кончины соавтора (решение задачи). В работах [16, 17] автору принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позволившая получить решение рассмотренных задач.
Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 239 страницах и состоит из введения, пяти глав и списка использованной литературы. Библиография включает 186 наименований.
Внешняя конфигурационная сила как сумма воздействия извне и самовоздействия
Предлагается классификация нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками (задачи кинематического и силового типа), см. разделы 1.1.4 и 1.2.4.
Задачи о подвижных включениях, где закон движения включения — заданная функция, являются задачами кинематического типа. В задачах силового типа закон движения включения считается неизвестной функцией, подлежащей определению при помощи уравнения продольного движения включения и начальных условий к нему. Задачи кинематического типа для подвижных включений рассматриваются в главе 2 диссертации (раздел 2.1) и главе 5, задачи силового типа — в главе 2 (раздел 2.2).
В зависимости от вида определяющего соотношения рассматриваемого материала положения разрывных фронтов (подвижных границ), которые могут в нем распространяться, либо могут быть определены решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним, либо должны рассматриваться как дополнительные степени свободы. Первая ситуация характерна, например, для разномодульной теории упругости (рассматривается в главе 3 диссертации) и соответствует задаче кинематического типа, а вторая — рассматривается в теории фазовых превращений в упругих телах и соответствует задаче силового типа (глава 4 диссертации). Требование того, чтобы свободно распространяющаяся подвижная граница не являлась источником энергии для окружающей её упругой среды, приводит к так называемому термодинамическому неравенству (1.2.18). В задачах кинематического типа выполнение данного неравенства на всех подвижных разрывах является критерием выбора энергетически допустимых решений и необходимым условием единственности решения. В задачах силового типа требуется сформулировать дополнительное условие на подвижных границах. В каче стве дополнительного условия обычно используется так называемое термодинамическое условие, смысл которого состоит в задании некоторой связи между скоростью движения границы и конфигурационной силой, гарантирующей выполнение термодинамического неравенства.
В заключение (раздел 1.4) формулируются основные идеи аналитического подхода к исследованию задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью. Данный подход используется далее для исследования задач, рассмотренных в главах 2-4 диссертации.
Во второй главе рассматриваются нестационарные задачи динамики бесконечной струны на винклеровском основании, по которой с переменной до-критической скоростью движется инерционное включение (инерционная подвижная нагрузка). Во введении представлен аналитический обзор литературы по нестационарным задачам динамики струны под действием подвижной нагрузки. Задачи нестационарной динамики струны под действием подвижной нагрузки рассматривались В.Л. Андриановым, С. Байером. А.И. Вес-ницким, А. Вулфертом, Н.В. Дерендяевым, Б. Диниевичем, X. Дитерма-ном, Ю.Д. Каплуновым, СВ. Крысовым, Е.Е. Лисенковой, СБ. Малановым, А.В. Метрикиным, Г.Б. Муравским, Р. Родеманом, Л.И. Слепяном, Ч. Смитом, И.Н. Солдатовым, У. Стронджем, Г.А. Уткиным, Ф.Т. Флаэрти, Л. Фри-бой [17,23,27,87,90,91,94,98,99,114,131,138,140,146,173] и другими авторами. В задаче кинематического типа, рассматриваемой в разделе 2.1, закон движения включения считается заданной функцией. В разделе 2.1.1 представлена постановка задачи. Для численного исследования задачи можно воспользоваться интегральным уравнением (2.1.8) для величины силы между струной и включением (раздел 2.1.2). Стартовой точкой для исследования задачи кинематического типа, представленной в диссертации, является работа Ю.Д. Каплунова [138], где рассмотрена задача о крутильных колебаниях стержня на деформируемом основании под действием внезапно приложенной инерционной сосредоточенной нагрузки, движущейся с постоянной докрити-ческой скоростью (раздел 2.1.3). Данная задача математически эквивалентна задаче о поперечных колебаниях струны на винклеровском основании. Получив при помощи метода интегральных преобразований асимптотику решения задачи для больших значений времени, Ю.Д. Каплунов обнаружил, что в системе возникают незатухающие колебания, которым соответствуют формы, локализованные в окрестности нагрузки. Причиной возникновения таких незатухающих колебаний является тот факт, что данная система обладает смешанным спектром частот собственных колебаний. Если инерционное включение движется с постоянной докритической скоростью, то локализованные колебания оказываются также возможными (раздел 2.1.3.1). Результаты Ю.Д. Каплунова и некоторые их обобщения представлены в разделе 2.1.3.2. Если теперь рассмотреть исходную задачу о включении, движущемся вдоль струны с переменной скоростью, то естественным образом возникает задача об описании эволюции локализованной моды колебаний в системе с медленно меняющимися во времени параметрами. Аналитическое решение данной задачи для случая, когда скорость включения — медленно меняющаяся кусочно-монотонная функция времени, получено в разделах 2.1.4-2.1.7. Асимптотическая процедура, основанная на методе многих масштабов, предложенная в диссертации, позволяет получить результат в виде формулы (2.1.91). Для определения неизвестных постоянных в (2.1.91) необходимо воспользоваться начальными условиями. Именно, потребуем, чтобы в начальный момент времени правая часть (2.1.91) совпадала с конечными членами асимптотики решения задачи о движении включения с постоянной скоростью.
Интегральное уравнение для силы между струной и включением
Стартовой точкой для исследования задачи кинематического типа является работа Ю.Д. Каплунова [138], где рассмотрена задача о крутильных колебаниях стержня на деформируемом основании под действием внезапно приложенной инерционной сосредоточенной нагрузки, движущейся с постоянной докритической скоростью. Данная задача математически вполне эквивалентна задаче о поперечных колебаниях струны на винклеровском основании. Получив при помощи метода интегральных преобразований асимптотику решения задачи для больших значений времени, Ю.Д. Каплунов обнаружил, что в системе возникают незатухающие колебания, которым соответствуют формы, локализованные в окрестности нагрузки. Причиной возникновения таких незатухающих колебаний является тот факт, что данная система является системой со смешанным спектром собственных колебаний. Для струны на винклеровском основании с неподвижным инерционным включением этот факт был продемонстрирован в работах Д.А. Индейцева с соавторами [95,136], Ю.Д. Каплунова и СВ. Сорокина [55]. В работах Д.А. Индейцева и Е.В. Осиповой [137], Ю.Д. Каплунова и Е.В. Нолде [54] рассмотрено влияние малой кубической нелинейности на локализованные колебания.
Если инерционное включение движется с постоянной докритической скоростью, то локализованные колебания оказываются также возможными. Если же рассмотреть включение, движущееся вдоль струны с переменной скоростью, то естественным образом возникает задача об описании эволюции локализованной моды колебаний в системе с медленно меняющимися во вре мени параметрами, рассматриваемая в диссертации. Такие задачи ранее в литературе не изучались и предложенный в диссертации подход, возможно, может быть эффективно использован при анализе движений в других системах такого типа.
Рассматриваемая в разделе 2.2 задача силового типа представляет собой задачу о движении инерционного включения по струне под действием заданной продольной внешней силы. Продольная компонента силы взаимодействия между точкой и струной представляет собой конфигурационную силу самовоздействия (силу волнового сопротивления движению). Для того чтобы исследовать такую задачу, сначала необходимо вычислить силу волнового сопротивления движению для достаточно общего случая режима движения включения вдоль струны. Такие вычисления были проделаны В.Л. Андриановым [98] для случая струны на упругом основании, однако для докри-тического режима движения были получены результаты лишь в громоздкой интегральной форме. Применённый в диссертации новый асимптотический подход позволяет получить выражение для силы волнового сопротивление в виде простой аналитической формулы (2.2.10). А. Вулферт, А.В. Метрикин, X. Дитерман [94] рассматривали также задачу о нахождении продольной реакции на инерционное включение, скачкообразно изменяющее скорость своего движения вдоль струны на винклеровском основании.
Известно, что в рамках задачи силового типа для преодоления критической скорости (скорости поперечных волн в струне) безынерционной сосредоточенной разгоняющейся нагрузкой, движущейся вдоль струны, необходима бесконечная сила тяги, т.е. преодоление критической скорости, вообще говоря, невозможно. Решение задачи кинематического типа в линейной постановке показывает, что, вне зависимости от наличия упругого основания, в момент преодоления критической скорости пространственная производная перемещений струны перед нагрузкой обращается в бесконечность [23,87,91,118,140], и, как следствие, на нагрузку действует бесконечно большая конфигурационная сила самовоздействия (волнового сопротивления движению). Данный результат никак не уменьшает значения работ, где построены соответствующие формальные решения, поскольку для распределённой нагрузки данный парадокс отсутствует [91], а решение может быть легко получено как свёртка решения для сосредоточенной нагрузки с функцией плотности нагрузки. Рассмотрение задачи в нелинейной постановке не вполне разрешает [31] парадокс для сосредоточенной нагрузки. А.И. Весницким и М.Р. Бурхановым выдвигалась гипотеза [111], что парадокс может быть устранен, если рассмотреть инерционную нагрузку (хотя известно, что рассмотрение нагрузки с малой инерционностью на струне без упругого основания не устраняет парадокс [87]). Тогда сила, действующая на струну со стороны включения в момент преодоления критической скорости, могла бы оказаться равной нулю при наличии ненулевой внешней силы, действующей на нагрузку. В этом случае преодоление критической скорости стало бы возможным. Решение задачи кинематического типа, построенное ниже, тем не менее, показывает, что и в случае струны на упругом основании при приближении скорости нагрузки к критическому значению система с инерционной нагрузкой ведёт себя качественно аналогично системе с безынерционной нагрузкой.
Задачи силового типа в различных постановках рассматривались ранее А.И. Весницким и Г.А. Уткиным [114], Е.Е. Лисенковой и СБ. Малано-вым [146], Н.В. Дерендяевым и И.Н. Солдатовым [131], однако лишь для существенно более простого случая включения на струне без упругого основания. В диссертации представлено простое по форме и физически наглядное асимптотическое решение задачи силового типа о движении инерционного включения вдоль струны на винклеровском основании. Именно, показано, что инерционное включение движется вдоль струны так, как двигалась бы материальная точка с переменной, зависящей от скорости массой под дей ствием только внешней силы (без учета силы сопротивления).
Результаты данной главы опубликованы в работах [30-32,117,119,121]. Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальный исследований (99-01-00693, 01-01-06094).
. Одноосное деформированное состояние
Известно [96,97], что многие природные и конструкционные материалы обладают свойством разномодульности. При малых деформациях упругий модуль для таких материалов зависит от знака деформации (в простейшем одномерном случае упругий модуль различен при растяжении и сжатии). Зависимость напряжения от деформации в разномодульном материале может быть проиллюстрирована рис. 3.1. В данной главе исследуются нестационарные динамические процессы в разномодульном упругом теле. Наличие негладкой нелинейности в определяющем уравнении для разномодулыюго материала приводит к тому, что решения нестационарных динамических задач содержат разрывные фронты (разрывы деформаций).
В литературе представлены различные подходы к формулировке определяющих уравнений разномодульной теории упругости. К настоящему вре a мени не существует общепринятой формулировки трехмерной разномодуль-ной теории упругости в каноническом виде. Различные подходы к построению теории были предложены С.А. Амбарцумяном и А.А. Хачатряном [96,97], Е.В. Ломакиным и Ю.Н. Работновым [148], А.И. Олейниковым [166], Н.М. Матченко, Л.А Толоконниковым и А.А. Трещевым [153-155]. В простейшем одномерном случае в приближении малых деформаций все подходы приводят к одинаковому результату, т.е. для одномерного случая имеется каноническая формулировка теории. Систематическое изложение разномодуль-ной теории упругости представлено в монографиях С.А. Амбарцумяна [96], В.П. Мясникова и А.И. Олейникова [161].
Динамические задачи рассматривались преимущественно в рамках одномерной разномодульной теории упругости [3, 68, 96,132,144,150-152,163]. В.П. Маслов и П.П. Мосолов [150,151] исследовали распространение разрывных фронтов в одномерной разномодульной среде, предложили классификацию таких фронтов, а также типов локальных решений для соответствующего уравнения в частных производных (3.1.3), доказали ряд теорем о существовании и единственности решений и рассмотрели ряд модельных задач. А.А. Хачатрян [182] рассмотрел свободные колебания конечного разномо-дульного стержня и получил решение в форме ряда Фурье. Распространение волн в одномерной среде, не сопротивляющейся растяжению, рассматривалось В.П. Масловым и П.П. Мосоловым [150], В.П. Масловым и М.М. Анциферовой [68], В.П. Масловым, В.П. Мясниковым и В.Г. Даниловым [152]. О.В. Дудко, А.А. Лаптева и К.Т. Семенов [132] рассматривали динамические процессы в одномерном полубесконечном разномодулы-юм теле под действием ударного кинематического нагружения и продемонстрировали возникновение области постоянных перемещений ("жесткой области") при нагружении типа сжатие—растяжение (см. раздел 3.3 диссертации) и возникновение ударной волны при нагружении типа растяжение-сжатие (см. раздел 3.4). Также в [132] рассмотрены задачи отражения фронта ударных возмущений от жестко закрепленной и свободной границ разномодулы-юго упругого слоя. В процитированных выше работах аналитические решения получены на основе общего вида решения Даламбера для волнового уравнения.
А.Г. Куликовский и Л.А. Пекуровская предложили классификацию разрывных фронтов в трёмерном случае [143] и исследовали [144] их возможные перестройки в одномерном случае. Л.В. Баев [103], Й. Бенвенист [9], В.И. Ерофеев [20] рассматривали распространение плоских продольных и поперечных волн в трехмерном случае. Р. Абейратне и Дж. Ноулс [3] рассмотрели задачу Римана для соответствующего уравнения в частных производных и исследовали автомодельные решения. М. Луччеси и А. Пагни [65] рассмотрели задачу Римана и доказали, что единственное решение существует всегда, за исключением специального случая среды, не сопротивляющейся растяжению. В недавней статье Д. Харенко с соавторами [24] продольные колебания конечного и бесконечного разномодульного стержня рассмотрены при помощи конечно-элементных методов высокого разрешения. В работе Л.А. Островского [74] исследовались эволюция монохроматической волны в одномерной разномодульной среде и возникновение связанных с этим процессом ударных волн. Аналогичная задача для случая разномодульной среды с малой диссипацией рассматривалась в работе А. Радостина, В. Назарова и С. Ки-яшко [82].
Ниже рассматривается одномерная задача о распространении волн в одномерном полубесконечном разномодульном теле (стержне) под действием внезапно приложенной гармонической силы на конце. Для случая, когда параметр разномодулы-юсти (безразмерная разность между модулями на сжатие и на растяжение) мал, получено приближенное аналитическое решение, описывающее волновое поле в окрестности конца стержня. Для описания движения разрывных фронтов (подвижных границ) будет применяться асимптотический подход, сходный с тем, что был развит в главе 2 для подвижных включений, при этом в качестве малого параметра используется параметр разномодулы-юсти. Рассматриваемая задача является задачей кинематического типа (см. раздел 1.2.4), т.к. известно [65,150,151], что положение фронтов может быть определено решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним. Термодинамическое условие (1.2.18) в данном случае будет иметь вспомогательное значение и использоваться для выбора энергетически допустимых решений (движение каждого из разрывов не должно сопровождаться подводом энергии в тело). Несмотря на то, что определяющее уравнение разномодулы-юго материала содержит негладкую нелинейность, использование асимптотической техники оказывается весьма эффективным приемом. Построенное приближенное решение сравнивается с результатами численного решения задачи. Результаты исследования дают общее представление о характере распространения акустических волн в разно-модульных средах. Предложенный математический подход, вероятно, может оказаться полезным при рассмотрении более сложных задач динамической разномодульной теории упругости.
Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов
В данной главе исследуются нестационарные динамические процессы в упругом стержне из материала, способного претерпевать фазовые превращения. Используется модель упругого тела с невыпуклой энергией деформации [1,2,4,5,19,25,47,49,51,52,58,59,71,72,77-81,88,160,179]. Известно, что статическая задача теории упругости для материала указанного типа может иметь решения с разрывными полями деформаций [59]. В рамках данной модели поверхности разрывов полей деформаций моделируют границы фаз, а области непрерывности решений считаются зонами, в которых материал находится в соответствующем фазовом состоянии. Поскольку решение как статических, так и динамических задач, как правило, неединственно, требуется сформулировать дополнительное условие на фазовой границе. В качестве дополнительного условия обычно используется так называемое термодина мическое условие [1,2,4,47,49,58,88,160] (см. раздел 1.2.4, формула (1.2.19)). Типичным приложением для такой теории являются мартенситные превращения в металлах. Обширная библиография по механике фазовых превращений в упругих телах имеется в работах М. Гартина [49], А.Б. Фрейдина [181], Р. Абейратне и Дж. Ноулса [5].
В настоящее время значительная часть аналитических результатов в области исследования фазовых превращений получена в рамках квазистатического (кинетического) приближения (одномерный случай рассмотрен, например, Р. Абейратне и Дж. Ноулсом [1,2], А.Б. Фрейдиным и Л.Л. Шарило вой [25]). В рамках данного подхода во всех уравнениях пренебрегают силами инерции. Квазистатический подход позволяет определить возможные равновесные положения фазовых границ. Как правило, в рамках квазистатического подхода рассматриваются задачи, в которых эти равновесные положения являются изолированными вследствие некоторой "неоднородности" рассматриваемого упругого тела. Под "неоднородностью" здесь понимается энергетическая неравноправность положений фазовых границ в теле, возникающая вследствие неоднородности физических параметров или особенностей геометрии тела. В таком случае квазистатический подход позволяет определить эволюцию положений фазовых границ при медленном изменении параметров нагружения. Время при этом рассматривается как параметр, входящий в термодинамическое условие.
Впервые задача о движении фазовых границ в одномерном однородном твердом теле была рассмотрена, по-видимому, Р. Джеймсом [51], который получил термодинамическое неравенство на фазовой границе (см. раздел 1.2.4 диссертации, формула (1.2.18)), применив энергетический критерий выбора допустимых решений, предложенный К. Дафермосом [14]. В дальнейшем условия на подвижных границах раздела фаз обсуждались в работах Л. Тру-скиновского [179], Р. Абейратне и Дж. Ноулса [2], М. Гартина [12,48,49], Н.Ф. Морозова и В.Г. Осмоловского [159], М.А. Гузева [128] и многих других авторов. Динамические задачи о фазовых переходах в упругих телах рассматривались ранее в литературе преимущественно для случая однородных тел, в которых не существует изолированных равновесных положений фазовых границ. В работах Р. Абейратне и Дж. Ноулса [2,4,5] получены автомодельные решения динамических задач. Эти решения соответствуют случаю, когда фазовая граница движется с постоянной скоростью. В работе П. Росакиса и Дж. Ноулса [88] получено неавтомодельное решение, соответствующее движению фазовой границы с кусочно-постоянной скоростью.
В цикле работ Т. Пенса и его соавторов рассматриваются весьма сложные нестационарные задачи о движении фазовых границ в однородных (в указанном выше смысле) телах. Получены аналитические решения. В работе [77] рассматриваются нестационарные динамические процессы в полубесконечном однородном стержне. В работах [78,79] исследуются волны в однородном упругом пространстве с плоской сЬазовой границей в случае антиплоской ЛР-формации.
В.В. Стенькин [178] рассматривал динамические фазовые превращения в шаре в случае сферической симметрии, основываясь на постановке задачи, предложенной Н.Ф. Морозовым и В.Г. Осмоловским [159]. Однако финальные формулы, полученные в [178], весьма громоздки.
Р. Джеймс и Р. Риццони [52] предложили рассматривать "кусочно-жесткие" материалы (фазы являются жесткими), способные к фазовым превращениям. Упрощающее предположение о кусочной жесткости делает возможным исследование динамических процессов фазовых превращений (движений фазовых границ) в таких материалах.
В диссертации рассмотрены модельные одномерные нестационарные динамические задачи о движении фазовых границ в неоднородных телах, где существуют изолированные равновесные положения фазовых границ. Именно, рассматриваются продольные движения бесконечного упругого стержня переменного сечения, изготовленного из материала, способного претерпевать фазовые превращения. Случай однородного стержня постоянного сечения для квазистатической постановки является особым [1], так как равновесные положения фазовых границ перестают быть изолированными. Движение происходит вследствие неравновесного начального условия для положения фазовой границы (раздел 4.3) или под действием внешних динамических нагрузок, приложенных по обе стороны от фазовой границы (раздел 4.4). Получены аналитические решения: найден закон движения фазовой границы. Целью исследования является сравнение полученных результатов с результатами, найденными в рамках квазистатического подхода.
В диссертации показано, что в общем случае решение задачи в квазистатической постановке не является пределом динамического решения для случая бесконечно малой скорости нагружения. Обсуждаются причины, вызывающие это несоответствие. Показано что для слл/,чая медленного нагт жения полная динамическая и квазистатическая постановки приводят к одинаковым результатам только для систем с достаточно сильной диссипацией на фазовой границе.
Результаты данной главы опубликованы в работах [33,38,42-44,120]. Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-01-00785-а, 08-01-00691-а), Программы фундаментальных исследований академика РАН И.Г. Горячевой, гранта Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-5355.2007.1).
