Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений двумерных уравнений идеальной пластичности (плоской пластичности) методами группового анализа.
Актуальность темы. В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана, Леви.
Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой как для механиков так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.
Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Работы в этом направлении были начаты Генки, Мизесом, Прандтлем и продолжены Надай, Хиллом, С.А. Христиановичем, В.В. Соколовским и др.
Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Б.Д. Аннина, Д.Д. Ивлева, СИ. Сенашова, Ю.Н. Ра-даева и др.
За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методов; позволяют оценивать надежность несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.
Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые СИ. Сенашовым для двумерных уравнений идеальной пластичности.
Цель работы. Построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с применением методов группового анализа.
Использование законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи теории двумерной пластичности о вдавливании штампа.
Методика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами. Основные элементы новизны в диссертации:
Построены новые точные решения системы уравнений двумерной идеальной пластичности методом действия допускаемой группы точечных симметрии на известные ранее решения.
Найдены семейства новых решений системы уравнений двумерной идеальной пластичности, как результат гомотопии известных ранее решений.
Показано, что система идеальной пластичности распадается относительно допускаемой группы на автоморфную и разрешающую системы.
Законы сохранения использованы для построения точных решений краевой задачи о вдавливании плоского штампа.
Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.
Апробация. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:
Международной конференции по прикладной математике «10th WSEAS International conference on Applied Mathematics» (США, Даллас, 2006 г.);
Международном конгрессе «World Congress of Nonlinear Analysts - 2008» (США, Орландо, 2008 г.);
Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009 г.);
Международной конференции «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Украина, Киев, 2009 г.);
Международной конференции «Symmetry Methods in Physics» (Россия, Дубна, 2009 г.)
Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ. Из них две статьи в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из наименований, приложений и занимает страницы машинописного текста.
