Введение к работе
В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным.
Актуальность проблемы. В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы — практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.
Проблемы исследования движения жидкости в трубах и труб под воздействием жидкости являются классическими задачами механики, всегда привлекавшими внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский1, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, А.С. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, СП. Тимошенко, В.И. Феодосьев, W.R. Dean и другие известные специалисты.
В.И. Феодосьев математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода2. Неустойчивость является одной из причин опасного изменения профиля. Сейсмическая активность с точки зрения влияния на трубопроводы проанализирована в книге I. Towhata3. Поведение подводных трубопроводов исследуется научной школой В.А. Светлицкого в рамках теории гибких стержней. В таких задачах о движении трубы во внешней среде характерно проведение исследований в рамках теории стержней.
1 Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. - М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1949.- 104 с.
2Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. - 1951. -Т.10. -С. 169-170.
3Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. - Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. - 684 p.
Для диагностики состояния трубопровода предлагалось использование различных гидроупругих волн, вплоть до гидравлического удара, параметры которых должны отражать форму профиля. Вопросами распространения гидроупругих колебаний в трубе, заполненной жидкостью, занимались Л. Эйлер, Д. Бернулли, Н.Е. Жуковский и другие известные ученые. Исторический обзор исследований гидравлического удара сделан Г.Т. Алдошиным4, в этом обзоре отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, от гемодинамики до волн в металлических трубах. Теория гидравлического удара и колебаний в прямых трубах5 хорошо разработана, но одномерность математических моделей не позволяет изучать влияние изгиба профиля трубопровода на распространение волн давления, кроме случая поворота профиля вокруг точки на угол 7г/2. А.С. Вольмир исследовал взаимодействие цилиндрических оболочек с потоком жидкости, используя уравнения полной теории гидроупругости, но такой подход эффективен только для труб средней длины.
В монографии В.З. Власова6 изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Там же описано построение линейной теории полубезмоментных оболочек, хорошо описывающей поведение труб средней длины, для которых
h min (L, ро) / ч
тг<а1> ^^>4, (1)
где h - толщина, L - длина, Ro - радиус поперечного сечения, ро - радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. В диссертации удалось учесть в рамках применимости условия (1) конечность продольных деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.
В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпирических формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибеля, Н.Е. Кочина, Л.Г. Лойцянского, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nusselt, L. Prandtl, Т.Е. Stanton и других. Эксперименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе7 приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского8. В основу описания дви-
4Алдошин Г.Т. К истории гидроупругости от Эйлера до наших дней // Механика твердого тела. -2007. - Вып. 27. - С. 184-191.
5Алдошин Г.Т. Внутренние сопряженные задачи аэрогидроупругости // Модели механики сплошной среды: Сб. докл. и лекций XIV Междунар. школы по моделям механики сплошной среды (17-24 августа 1997, Жуковский, Россия). - М.: 1997. - С. 4-15.
6Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. - Власов В.З. Избранные труды. -Т.1. - Москва: Издательство АН СССР, 1962. - С. 15-439.
7Nikuradse I. Gesetzmassigkeiten der turbulent Stromung in glatten Rohren. - VDI, Forschungsheft, 1932, Bd. 356. Русский перевод: Проблемы турбулентности. - М.: ОНТИ, 1938. - С.75-150.
8Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
жения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения жидкости Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями Никурадзе-
Лойцянского для плотности силы сопротивления потоку.
На основе обобщения мирового опыта в книге I. Towhata изложен подход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода.
СП. Тимошенко создал теорию конечного изгиба арки9, идейно повлиявшую на методику учета нелинейности изгиба оболочки автором диссертации.
Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе крупномасштабных гидроупругих волн.
Следовательно, развитый в диссертации подход к исследованию трубопровода как протяженной оболочки кольцевого поперечного сечения с изогнутой образующей, нагруженной внутренним потоком и внешней средой, актуален. Этот подход позволяет преодолеть вышеупомянутые трудности, а новый алгоритм преобразования решений редуцирует задачу к одномерной системе уравнений.
Комплекс математических моделей, представленный в данной работе, позволяет решить и прикладные задачи: спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении, определить параметрические зависимости распространяющихся внутренних волн и выбрать методику дистанционного контроля.
Целью работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.
Научные результаты, выносимые на защиту.
Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним пото-
9Тимошенко СП. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // В кн.: Тимошенко СП. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука. - 1971. - С.662-669.
ком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.
Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.
Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.
Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения как внешней, так и внутренней задачи. На его основе для этих задач выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную.
Показано, что предложенные математические модели обладают большей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.
Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.
Научная новизна. В уравнениях технической оболочки для внешней задачи учтены нелинейные слагаемые, описывающие зависимость деформации растяжения от изгиба осевой линии трубы. Эти уравнения получены как результат последовательного упрощения уравнений движения трехмерного твердого тела, которое находится под действием сил трения и давления
со стороны внутреннего потока жидкости, давления и сопротивления внешней среды. Учет совокупности этих сил в такой постановке задачи также является новым.
Численным экспериментом показано, что поперечные сечения протяженной изогнутой трубы под действием внутреннего потока испытывают де-планацию. Искажение формы поперечного сечения цилиндрической полубез-моментной оболочки (при условии (1)) под действием бимоментной нагрузки в натурном эксперименте описано В.З. Власовым10. Но, как правило, в приложениях при построении математических моделей трубопроводов используется гипотеза плоских сечений.
Для внутренней задачи получены общие трехмерные уравнения совместного движения трубопровода и потока сжимаемой жидкости с учетом влияния внешней среды в специальных ортогональных криволинейных координатах, что является обобщением существующих подходов и позволяет в дальнейшем строить цепочки математических моделей на основе полных уравнений, с учтенной единым образом геометрией механической системы.
Создан обобщенный алгоритм снижения размерности задачи на единицу, основанный только на геометрических параметрах трубопровода и не зависящий от вида задачи, внешней или внутренней.
Новым является математическое описание нелинейных волн в трубопроводе, заполненном несжимаемой жидкостью. Ранее такой подход применялся только к гравитационным волнам, здесь он стал возможен благодаря найденным асимптотическим разложениям и заменам переменных.
Практическая ценность. Математическая модель движения трубопровода позволяет спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении. Поскольку характерные параметры модели соответствуют параметрам промышленных трубопроводов, то на основе расчета возможно провести планирование экспериментальных исследований.
Математическая модель внутренней задачи о распространении гидроупругих колебаний позволяет получать действительные значения давлений в случае возникновения гидравлических ударов, и спроектировать корректные режимы остановки и запуска перекачки жидкости по трубопроводу.
На основе полученных формул можно анализировать зависимость характера распространения волны давления в подземном трубопроводе от кривизны его оси. Это дает возможность для разработки системы контроля состояния трубопровода путем зондирования акустическим сигналом.
Созданный комплекс программ позволяет численно анализировать процесс распространения гидроупругих колебаний в трубопроводах с различным профилем и прогнозировать динамику деформирования трубы.
10Власов В.З. Принципы построения общей технической теории оболочек. - Власов В.З. Избранные труды. - Т.2. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - С. 467-503.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах ИАПУ ДВО РАН, проводившихся под руководством академика В.П. Мясникова (1991-2002), на III Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абрау-Дюрсо, 1991), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Находка, 1992, 1994; Владивосток, 1998, 2001, 2002, 2004, 2007, 2010; Хабаровск, 2005, 2009), на III Межреспубликанском совещании по математическому моделированию природных и антропогенных катастрофических явлений (Новосибирск, 1995), на Far-Eastern School-Seminar on Mathematical Modeling and Numerical Analysis (Находка, 1999, 2001), на Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004), на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2006), на 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки (Хабаровск, 2007), на Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, Казахстан, 2008), на Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение», приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2009), на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2009), на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих периодических изданиях [1]—[13] и материалах международных и всероссийских конференций [14] [19]. Прочие публикации приведены в списке литературы в тексте диссертации, всего 40 печатных работ.
Личный вклад автора. В работах, написанных в соавторстве, автором построены и теоретически обоснованы математические модели, проведен асимптотический анализ их уравнений, выполнены расчеты на компьютере. Создан алгоритм редукции уравнений к задачам меньшей размерности. В текст диссертации включены только те результаты, которые получил автор.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объем работы составляет 332 страницы, включая 60 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 181 наименование.
Выражаю признательность своему Учителю, ныне покойному, академику РАН, лауреату Государственной премии РСФСР (1988) и ряда других правительственных и научных наград, заслуженному профессору МГУ Вениа-
мину Петровичу Мясникову. Вениамину Петровичу принадлежит формулировка научной проблемы, исследованию которой посвящена диссертация.
Благодарю своего научного консультанта, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Анатольевича Рукавишникова за многие полезные советы, которые способствовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.
