Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ по изгибу пластин за пределом упругости 8
2. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала 17
2.1. Методика экспериментального определения характеристик пластической анизотропии в листовых прокатных металлах 17
2.2. Отбраковка резко выделяющихся экспериментальных данных 20
3. Основные уравнения упруго-пластического изгиба пластин из пластически ортотропного материала 22
3.1. Постановка задачи и принятые гипотезы 22
3.2. Условие текучести для прокатного пластически ортотропного материала 24
3.3. Упругий изгиб прямоугольных пластин 27
3.4. Запись уравнений в конечных разностях 29
3.5. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости 32
4. Упруго-пластическое состояние пластин из пластически ортотропного материала 38
4.1. Основные положения 38
4.2. Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке 39
4.3. Изгиб квадратной жестко закрепленной пластины при равномерно распределенной нагрузке 52
4.4. Числовые результаты 60
Заключение 64
Список литературы 67
Приложения
- Обзор работ по изгибу пластин за пределом упругости
- Отбраковка резко выделяющихся экспериментальных данных
- Условие текучести для прокатного пластически ортотропного материала
- Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке
Введение к работе
В машиностроении, промышленном строительстве и других областях современной техники широко используются тонкостенные металлические конструкции в виде пластин, обладающие рядом статических и технологических достоинств. Благодаря опиранню по всему контуру или по большей его части, пластины отличаются высокой несущей способностью, так как под действием нагрузки изгибаются в двух направлениях, и их сопротивление деформациям используется значительно эффективнее, чем в балках. В пластинах достигается совмещение несущих и ограждающих функций конструкций, что приводит к экономичным решениям.
Применение пластин в качестве конструктивных форм сопряжено с необходимостью их расчета на прочность с целью обоснованного выбора толщины и других параметров, от которых зависят величины напряжения и деформаций.
Для инженерного проектирования практическую ценность представляет исследование работы таких конструкций с учетом пластических свойств материала. Нагрузка, соответствующая появлению текучести, поведение конструкции при пластических деформациях, предельное состояние (несущая способность) позволяют оценить имеющиеся запасы прочности конструкции, а также выявить ее слабые места.
В зависимости от природы материала можно сформулировать либо критерий текучести, выделяющий напряженные состояния, характеризующие начало пластического течения, либо критерий разрушения, который характеризует наступление хрупкого разрушения. Предел текучести при простейших напряженных состояниях, таких как растяжение, сжатие, сдвиг, для различных конструкционных материалов может быть получен путем непосредственного эксперимента. В случае сложного напряженного состояния, ярким примером которого является изгиб, непосредственное экспериментальное определение
-4-условий наступления текучести для различных напряженных состояний связано с большими трудностями.
Как правило, листовые прокатные металлы, используемые в качестве материала пластин, в упругой стадии не проявляют анизотропии механических характеристик. Однако при переходе этих материалов в пластическую стадию начинает проявляться анизотропия, что обусловлено маркой материала и технологическими режимами его получения. Анизотропия проката является следствием образования текстуры, предпочтительной ориентировки кристаллографических осей в зернах обрабатываемого материала, характера распределения и ориентировки фаз дефектов металла и остаточных напряжений, возникающих вследствие неоднородности пластической деформации при прокате, в результате чего свойства, в том числе и механические, вдоль и поперек направления прокатки могут резко различаться.
Изучение кинетики развития текстуры при холодной прокатке показало, что анизотропия в общем случае возрастает с увеличением деформации до определенного предела, после которого изменяется уже мало. Анизотропию механических свойств прокатного листа можно уменьшить разбросом текстуры относительно направления прокатки.
Хотелось бы отметить, что проблема установления критерия пластичности и применение этого условия в прикладных исследованиях изгиба пластически анизотропных пластин при различных граничных условиях и для различных случаев нагружения на данный момент недостаточно исследована.
С учетом выше сказанного цель данной работы заключается в том, чтобы, опираясь на результаты экспериментов над листовыми прокатными металлами сформулировать условие пластичности и апробировать предложенное условие при решении задач упруго-пластического изгиба тонких пластин.
Задачи исследования: 1. Провести экспериментальное исследование закона пластического течения листовых прокатных материалов.
Определить из экспериментов константы, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов.
Для материала изотропного в упругой стадии принять условие пластичности, отражающее анизотропию пластических свойств.
Использовать метод конечных разностей совместно с методом упругих решений для получения основных соотношений упруго-пластического равновесия пластин из прокатного пластически ортотропного материала при изгибе.
Продемонстрировать возможность использования полученных уравнений для решения задач упруго-пластического изгиба пластин на примере листовых прокатных металлов.
Провести анализ полученных решений в сравнении с результатами теории упруго-пластического изгиба пластин изотропных в упругом и пластическом состоянии, предложенной Стрельбицкой А.И., Кол гад и -ным В.А.
В диссертации решается актуальная задача описания изгиба пластин из прокатных пластически ортотропных материалов. Причем полученные результаты свидетельствуют о том, что поведение пластин из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости отличается от теории изгиба изотропных пластин, предложенной Стрельбицкой А.И., Колгадиным В.А. Следует также заметить, что данная работа не претендует на точное описание упруго-пластического изгиба пластин из любого листового прокатного металла. В дальнейшем следует развивать теорию изгиба пластин для подобных материалов, предлагать новые варианты условий пластичности, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, материалов.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:
многовариантное условие пластичности для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической, позволяющее охватить различные критерии текучести, в том числе и условие пластичности Мизеса;
применение метода конечных разностей совместно с методом упругих решений для принятой модели пластически ортотропного материала;
определяющие соотношения, описывающие упруго-пластическое состояние пластически ортотропного материала;
результаты расчетов пластин за пределом упругости, количественные и качественные составляющие этих расчетов;
сравнительный анализ полученных результатов с теорией упруго-пластического изгиба изотропных пластин Стрельбицкой А.И., Кол-гадина В. А.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.
В первом разделе приводится обзор основных направлений, связанных с аналитическим и экспериментальным исследованием вопросов равновесия пластин при изгибе поперечной нагрузкой в пластической области.
Во втором разделе проведено экспериментальное исследование закона пластического течения прокатных материалов и рассмотрена анизотропия их пластических свойств. Найдены значения величины сопротивления материала пластическому деформированию
В третьем разделе производится постановка задачи изгиба пластин из прокатных пластически ортотропных материалов за пределом упругости. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описа-
-7-ния работы пластин. Для материала, изотропного в упругой стадии и орто-тропного в пластической стадии, вводится условие пластичности. Определяются константы Ац, А22, Л12, Ав6, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов. Записываются дифференциальные уравнения равновесия пластин для указанных выше материалов. Распространяется- метод конечных разностей совместно с методом упругих решений на'случай пластически ортотропного материала.
В четвертом разделе произведена разработка алгоритма решения задачи упруго-пластического изгиба квадратных шарнирно опертых и жестко заделанных пластин из прокатных пластически ортотропных материалов и приведены результаты расчета. Производится анализ полученных данных.
Заключение содержит основные результаты и общие выводы по проведенным исследованиям напряженно-деформированного состояния пластин из прокатных пластически ортотропных материалов.
В приложениях представлен обширный графический и табличный материал, демонстрирующий выполненные расчеты и практическую применимость полученных в диссертации результатов.
Обзор работ по изгибу пластин за пределом упругости
Значительное влияние на развитие теоретических исследований по изгибу пластин за пределом упругости оказали работы Ильюшина А.А. [41. 42] и Соколовского В.В. [103], а на изучение несущей способности пластин -труды Гвоздева А.А. [20]. Теория упруго-пластического равновесия пластин и оболочек с использованием методов теории пластичности наиболее широко изложена Ильюшиным А.А. [41]. Он предлагает три основные постановки задач о равновесии пластин при изгибе: 1) с помощью дифференциального уравнения четвертого порядка относительно перемещения w (для решения задачи предлагается метод упругих решений); 2) с помощью вариационного уравнения равновесия; 3) используя три дифференциальных уравнения относительно изгибающих и крутящего моментов.
Для всех случаев гипотезы Кирхгофа - Лява остаются в силе, материал в пластической зоне считается несжимаемым (// = 0,5). Ильюшиным А.А. также поставлена задача определения несущей способности пластин. Для этого применяются конечное соотношение между моментами, основное дифференциальное уравнение равновесия пластины и условие совместности деформаций, выраженное через комбинации моментов.
Соколовский В.В. [103] предлагает решение осесимметричных задач упруго-пластического изгиба пластин на основе деформационной теории пластичности Генки. Постановка задачи упрощается требованием непрерывности лишь обобщенной деформации при переходе от упругой зоны к пластической. Используются постулаты Кирхгофа - Лява, условие текучести Мизеса и допущение о несжимаемости материала. Для решения вводятся
-9-тригонометрические переменные. Изложенная теория обобщается на пластины из материала с линейным или степенным упрочнением.
Гвоздев А.А. [20] впервые предложил метод предельного равновесия для определения несущей способности пластин. Предельным состоянием пластины считается превращение ее в кинематически изменяемую систему с линиями, представляющие цилиндрические шарниры текучести. Уравнение равновесия записывается как работа внешних и внутренних сил системы на возможных ее перемещениях. Разрушающая нагрузка является минимальной нагрузкой, соответствующей одной из схем излома пластины. Углы выражаются через линейные размеры пластинки.
Упруго-пластическим состоянием прямоугольных и квадратных металлических пластин при изгибе занимались В.В. Васильев [18], М.И. Ерхов [37], А.А. Ильюшин [41], СИ. Матошко [70], Х.М. Муштари, Р.Т. Суркин [82], А.И. Стрельбицкая, В.А. Колгадин [105, 106], М.И. Эстрин [122], Н. Craemer [127], J.S. Као, Т. Mura, S.T. Lee [132], A. Langenbach [134], Н.Е. Shull, L.W. Ни [137] и др. Решение упруго-пластических задач проводится методом упругих решений и вариационными методами. Принимаются обычные положения технической теории изгиба пластин. Диаграмма напряжений - деформаций материала имеет ясно выраженную площадку текучести либо обладает упрочнением. Материал пластинки в одних случаях считается сжимаемым (// = 0,3), а в других - несжимаемым (// = 0,5). Условие пластичности принимается по энергетической теории (Мизеса) или теории наибольших касательных напряжений (Треска - Сен-Венана). Решение дифференциальных уравнений проводится одним из чис-ленных методов. Васильев В.В. [18] рассматривает упруго-пластическое состояние изогнутой прямоугольной пластинки на основе деформационной теории пластичности и предположения о несжимаемости материала. Для решения задачи применяется метод упругих решений и метод конечных разностей. Иссле -10-дована защемленная по контуру пластинка с отношением сторон 1,5:1 при равномерно распределенной нагрузке.
Ильюшин А.А. [41] на основании предложенной им теории дает приближенное решение для изгиба квадратной шарнирно опертой пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки. Материал пластинки обладает линейным упрочнением. Построена поверхность распределения потенциальной энергии, позволяющая определить, какие области пластинки и в какой последовательности выходят за предел упругости. Получена зависимость нагрузки от интенсивности деформаций. Определена несущая способность рассматриваемой пластинки для материала без упрочнения, когда предельное состояние системы характеризуется распространением текучести по всему объему материала.
В статьях Ерхова М.И. [37] в развитие теории А.А. Ильюшина выводится приближенная зависимость между усилиями и деформациями срединной поверхности идеально пластических оболочек и пластин, от которой он переходит к соотношениям между силами и моментами в предельном состоянии. Используется приближенное условие пластичности одной из половин сечения.
Матошко СИ. [70] исследует упруго-пластическое состояние прямоугольных пластин при изгибе, применяя вариационный метод. Им рассмотрены жесткие пластины при равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузках с учетом и без учета сжимаемости материала.
Муштари Х.М., Суркин Р.Г. [82] исследуют изгиб опертой квадратной пластинки при нелинейной зависимости между напряжением и деформацией; Нелинейность материала учитывается системой коэффициентов, зависящих от модуля упругости и коэффициента поперечной деформации. Получены формулы для прогиба и напряжения в центре пластинки, причем малыми величинами при решении пренебрегают.
А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадиным [105, 106] предлагается решение задачи изгиба прямоугольных пластин за пределом упругости с использова ниєм метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей. Материал пластины имеет горизонтальную площадку текучести и соответствует условию пластичности по Мизесу. Рассмотрено напряженное и деформированное состояния шарнирно опертых и жестко закрепленных пластин при равномерно распределенной нагрузке и при действии сосредоточенных сил. Для заданной величины нагрузки показано развитие зон текучести на поверхности и по толщине пластины и определены эпюры прогибов и изгибающих моментов в ее сечениях.
В работе Эстрина М.И. [122] исследуется изгиб жестко-пластических плит, материал которых подчиняется условию пластичности Треска - Сен-Венана. Это условие позволяет привести задачу к уравнениям гиперболического типа, методы решения которых известны. Решение некоторых задач получается в замкнутом виде.
Craemer Н. [127] изучает работу квадратной пластинки, свободно опертой на балки и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Автор считает, что схема предельного состояния системы зависит от наличия или отсутствия пластичности в опорных балках. Если опорные балки будут упругими, то текучесть пластинки происходит по ее диагонали, а если пластичными, то текучесть пойдет по осям пластинки, параллельным ее сторонам.
Као J.S., Мига Т., Lee S.T. [132] рассмотрели предельное равновесие ортотропных пластинок на основе критерия течения. Получены числовые результаты по определению несущей способности квадратной свободно опертой пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. В случае изотропной пластины найденное авторами решение совпадает с уже известным.
Отбраковка резко выделяющихся экспериментальных данных
Оценка резко выделяющихся опытных данных проводилась по методике, предложенной М.Я. Бровманом и В.Х. Рименом [12]. При проведении механических испытаний был получен ряд значений измеряемой величины, например Лд, Efj2, ..., ь,п- Найдем среднее арифметическое т = - f 6f/, (2.4) п /=1 где п — число экспериментов. Одно или несколько значений величины е резко отличаются от среднего значения и от остальных данных. Это может быть результатом ошибки эксперимента, нарушения условий испытания и т. д. Обычно такие «выпадающие» данные отбрасывают и при анализе не учитывают. Вопрос о том, при каких условиях резко выделяющееся значение необходимо исключать и в каких случаях его необходимо учитывать, решим следующим образом: определим величину -21 5 = J I ./-"02 (2.5) и составим безразмерную дробь «типа Стьюдента» s к } Затем по таблице или графику [12] в зависимости от числа замеров п и вероятности р находится квантиль распределения VQ . Для механических испытаний можно принять р = 0,05. Если V VQ, ТО гаах следует отбросить как замер, содержащий грубую ошибку. Методика расчета аналогична, если рассматривается минимальное значение 7 min только в том случае S В приложении 1 приведены значения деформаций по длине, ширине и толщине ячеек растягиваемых образцов на последнем этапе нагружения и соответствующие пределы сопротивления пластическому деформированию с учетом отбраковки резко выделяющихся экспериментальных данных, а также значения показателя пластической анизотропии Q.
Таким образом, сравнивая величины сопротивления материала пластическому деформированию asa в различных направлениях по отношению к направлению прокатки, можно сделать вывод о том, что рассмотренные листовые прокатные металлы обладают пластической анизотропией.
Рассмотрим равновесие прямоугольной пластины толщиной h из прокатного пластически ортотропного материала, находящейся под действием поперечной нагрузки, распределенной с интенсивностью q по ее верхней поверхности. Положение любой точки определяем в декартовой системе координат х, у, z. При этом плоскость, образованную осями х и у совместим со срединной поверхностью пластины в недеформированном состоянии, а ось г ориентируем перпендикулярно этой поверхности в направлении прогибов (см. рис. 3.1).
Пластины будем рассматривать достаточно тонкими, такими, чтобы применение гипотез Кирхгофа - Лява не вызывало возражений. Реализуемое в пластинах напряженное состояние будем считать плоским. Объемные силы (собственный вес и др.) не учитываем.
Применим уравнения общей трехмерной задачи механики деформируемого твердого тела с внесением в них тех упрощений, которые допускаются по приведенным выше предположениям.
Обозначим через w прогиб серединной поверхности, т. е. вертикальное расстояние между точкой, взятой на серединной плоскости до деформации, и положением этой же точки на деформированной поверхности. В связи с применением гипотезы Кирхгофа - Лява, допускающей тот факт, что плоское сечение пластины, перпендикулярное срединной плоскости, сохраняет свою длину в процессе деформации и остается плоским и ортогональным изогнутой поверхности после деформации, обозначенное перемещение w является общим для всех точек поперечного сечения. Уравнение перемещений точек пластинки, расположенных на линии параллельной оси Oz, которое в случае толстой плиты является функцией трех координат, т. е. w (х, у, z), применительно к тонкой пластине принимается функцией двух координат w (х, у).
Ввиду предположения о малых прогибах пластинки по сравнению с ее толщиной и исключения из рассмотрения внешних сил, действующих в серединной плоскости пластинки, можно считать, что все точки срединной плоскости в упругой стадии работы получат только вертикальные смещения и\
Предполагается, что при упругой работе конструкции нейтральная ось любого поперечного сечения элемента пластины совпадает со следом серединной поверхности в рассматриваемом сечении. Такой подход позволяет применить к данным материалам все ранее перечисленные гипотезы.
Условие текучести для прокатного пластически ортотропного материала
Переход пластины в упруго-пластическое состояние определяется возникновением в наиболее напряженном элементе пластины пластических деформаций. Условие, соответствующее появлению текучести, носит название условия текучести или условия пластичности. Оно может формулироваться по-разному и его применение зависит от свойств материала, условия математической целесообразности и т. д.
Полученные в ходе эксперимента над листовыми прокатными металлами данные свидетельствуют об анизотропии их пластических свойств. Рассмотрим материал за пределом упругости как ортотропный (ортогонально анизотропный), характеризующийся наличием в каждом элементарном объёме трёх взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств.
Для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической стадии, вводится условие пластичности в виде квадратичной функции компонент тензора напряжения (3.1), причем входящие в него константы анизотропии позволяют осуществить переход к различным модифи -25-кациям предельного условия ортотропной среды и тем самым не ограничиваться каким-то узким классом материалов, описываемым в рамках какой-либо модификации. В частности, переход к условию пластичности Мизеса позволяет провести сравнительный анализ предлагаемой теории с теорией упруго-пластического изгиба пластин А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина. -В приложении 2 приведены экспериментально определяемые константы Ац, А22, Ai2, А$$, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов, на примере алюминиевого сплава АДО, латуни Л63, меди Ml, стали 08Х18Н10Т, стали 08кп и титанового сплава ВТ1 с различной исходной толщиной SQ.
Использование условия пластичности (3.4) позволяет точнее описать изгиб пластин из листовых прокатных металлов за пределом упругости, благодаря использованию экспериментально определяемых констант.
Таким образом, упругая стадия работы прокатного пластически орто-тропного материала полностью описывается дифференциальными уравнениями (3.14) или (3.15). Следует заметить, что эти выражения соответствуют уравнениям, описывающим упругое состояние пластинок, выполненных из изотропного материала, обладающего одинаковыми механическими свойст -29-вами во всех направлениях. Этот факт соответствует принятым в п. 3.1 гипотезам и хорошо согласуется с экспериментальными данными, указывающими на то, что различие в величине сопротивления материала пластическому деформированию 7sa в разных направлениях оказывает существенное влияние на работу прокатных листовых металлов при значительных нагрузках, когда материал переходит из упругого состояния в пластическое.
Наиболее распространенные методы решения задач упругого изгиба пластин основаны на подборе функции прогибов, соответствующей следующим требованиям: удовлетворению граничным условиям; правильному отражению формы изгибной поверхности пластины; соответствию распределения производных функции прогибов по поверхности пластины полям напряжений.
К указанным методам относятся: метод двойных тригонометрических рядов, Бубнова - Галеркина, Канторовича - Власова, вариационные методы, метод конечных разностей и др.
Метод конечных разностей заключается в замене дифференциальных уравнений соотношениями в конечных разностях. Для вывода таких соотношений пользуются разложением искомой функции в ряд Тейлора. Поверхность пластины покрывают сеткой, для каждого узла которой записываются уравнения в конечных разностях.
Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке
Рассмотрим работу квадратных шарнирно опертых и жестко закрепленных по контуру пластин из прокатного пластически ортотропного материала при действии равномерно распределенной по всей площади нагрузки [18, 26, 82, 83, 106, 122, 133].
Для заданных нагрузок, включая предельную нагрузку, превышающих нагрузку при фибровой текучести, определим напряженное и деформированное состояния пластины, установим зоны распространения текучести на ее поверхности и по толщине и найдем величины прогибов и моментов. Решение проводим по методу упругих решений в сочетании с методом конечных разностей на основании предпосылок и формул, изложенных выше.
Основные предпосылки: - сохраняются обычные положения технической теории изгиба пластин (гипотезы Кирхгофа - Лява); - диаграмма напряжений - деформаций материала считается идеальной упруго-пластической; - условие текучести принимается вида (3.35), причем влияние поперечных сил не учитывается; - коэффициент поперечной деформации имеет постоянное значение, равное 0,5 (несжимаемый материал). Предварительно проведены расчеты всех рассмотренных случаев пластин в упругом состоянии с применением метода конечных разностей и определены нагрузки, соответствующие появлению текучести, на основе принятого условия пластичности. Решение упругой задачи является нулевым приближением упруго-пластического расчета.
Согласно изложенным формулам рассчитаны квадратные шарнирно опертая и жестко закрепленная пластины на примере листовых прокатных металлов (алюминиевого сплава АДО толщиной 2,8 мм и 4,7 мм, латуни Л63 толщиной 3,0 мм, меди Ml толщиной 3,0 мм и 4,0 мм, стали 08Х18Н10Т толщиной 1,0 мм, стали 08кп толщиной 0,8 мм и титанового сплава ВТ1 толщиной 1,0 мм) в упруго-пластическом состоянии при изгибе равномерно распределенной нагрузкой. В обоих случаях расчет выполнен с учетом несжимаемости материала пластины (// = 0,5).
Для того чтобы иметь возможность корректной оценки полученных результатов, проведем их сравнение с теорией, предложенной А.И. Стрельб никой, В.А. Колгадиным [106] на случай изотропного материала, как в упругой стадии, так и за пределом упругости.
Как известно, на точность результатов расчета пластин с использованием метода конечных разностей оказывает влияние принятая густота сетки. Оценка этого влияния как в пределах, так и за пределом упругости рассмотрена в работе [106] для квадратных шарнирно опертой и жестко закрепленной пластин при равномерно распределенной нагрузке. Здесь показано, что при упруго-пластическом изгибе пластин (в далекой стадии пластических деформаций) увеличение густоты сетки оказывает более существенное влияние на результаты расчета, чем в упругой стадии. Поэтому в данной работе мы сразу остановились на варианте квадратной сетки с шагом Я, равным 1/8 стороны пластины.
Числовые данные показывают, что при изгибе шарнирно опертой пластины фибровая текучесть возникает в центральном узле 25.
При изгибе жестко закрепленной пластины текучесть впервые появляется на контуре посередине заделанных сторон (узел Кили XIII- в зависимости от материала пластины), а затем в центре пластины (узел 25). Для шарнирно опертой пластины в качестве расчетных приняты четыре нагрузки, превышающие нагрузку фибровой текучести примерно в 1,8-К ,2 раза. При этих нагрузках были получены величины прогибов и моментов (см. приложение 6 табл. П6.1 и П6.3). Причем с увеличением нагрузки количество приближений также увеличивалось.
Процесс последовательных приближений заканчивался, когда разность между значениями прогибов двух соседних приближений не превышала 1 %. Расчетными нагрузками для жестко заделанной пластины выбраны четыре нагрузки, превышающие нагрузку фибровой текучести примерно в 2,0-К2,8 раза, при которых также были получены величины прогибов и моментов (см. приложение 6 табл. П6.2 и П6.4). Для достижения заданного процента понадобилось несколько больше приближений, нежели при расчетах шарнирно опертой пластины.
Кроме этого для шарнирно опертой и жестко заделанной пластин определялась предельная нагрузка, соответствующая образованию пластического шарнира, как для случая пластически изотропного, так и пластически орто-тропного материалов {приложение 6). Причем расхождение в значениях предельных нагрузок и вызванных ими прогибов в центре пластины для двух рассматриваемых случаев поведения материала в пластической стадии при шарнирном опираний пластины для всех материалов, кроме титанового сплава, незначительно (в пределах 10 %), чего не скажешь про случай жесткого закрепления пластины, где для большинства материалов эта величина превышает 10 % .
