Содержание к диссертации
Введение
1 Упруго-пластический изгиб круглых изотропных и трансверсально-изотропных пластин . 5
1.1 Постановка задачи. Основные геометрические соотношения 5
1.2 Напряженные состояния круглой пластины 9
1.3 Развитие пластических зон в продольных сечениях 10
1.4 Изгиб круглых трансверсально-изотропных пластин 12
2 Учет эффекта SD материала при упруго-пластическом изгибе круглой пластины . 22
2.1 Основные соотношения 22
2.2 Вывод уравнения равновесия и уравнений совместности деформаций при учете эффекта SD 29
2.3 Определение нагрузки, прогиба и радиусов пластических зон 36
3 Анализ полученных результатов. 38
3.1 Сравнение результатов расчетов для изотропных случаев 38
3.2 Сравнение результатов расчетов для трансверсально-изотропных случаев. 40
3.3 Влияние коэффициента анизотропии А на свойства трансверсально-изо-тропной пластины 41
3.4 Совместное влияние коэффициентов А и /3 на свойства трансверсально-изотропной SD пластины 43
3.5 Сравнение результатов теоретического исследования с пакетом ANSYS 53
Заключение 63
Список литературы 64
Приложения 70
- Развитие пластических зон в продольных сечениях
- Вывод уравнения равновесия и уравнений совместности деформаций при учете эффекта SD
- Влияние коэффициента анизотропии А на свойства трансверсально-изо-тропной пластины
- Совместное влияние коэффициентов А и /3 на свойства трансверсально-изотропной SD пластины
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных задач механики твердого деформируемого тела является определение механических условий, вызывающих появление и развитие пластических деформаций в элементах конструкций. За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи с использованием пластически анизотропных, в частности текстурованных металлов. Особый интерес представляет трансверсально-изотропный листовой прокат с повышенной сопротивляемостью пластическим деформациям в направлении толщины. Таким металлы обладают большими преимуществами по сравнению с изотропными при работе в условиях двухосного напряженного состояния, что находит применение в конструкциях, по форме близких к сфере или цилиндру, работающих под давлением. Изучению поверхности текучести таких металлов посвящены работы А. М. Жукова, А. А. Лебедева, X. Бабела, В. Бэкофена, Д. Драккера, Ф. Ларсона, И. Окубо, Ф. Стоктона, Р. Хилла и других исследователей. Однако, в тех случаях, когда речь идет о тонколистовом металле, лабораторные исследования его пластических свойств в условиях двухосного напряженного состояния представляет сложную техническую проблему. Одним из возможных путей её решения является проведение исследований на свободно опертой круглой пластине при её изгибе равномерным давлением. Этому исследованию должен предшествовать расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, позволяющий описать развитие пластических областей. Решение указанной задачи представляет самостоятельный научный интерес. Исследование такого рода является необходимым шагом при разработке методов оптимального подбора материала, учитывающего вид напряженного состояния, реализуемого в изготовляемой из него конструкции.
В диссертационной работе на примере одной задачи осесимметричного
упруго-пластического изгиба исследованы те возможности, которые открывает использование текстурованных анизотропных металлов, работающих в упруго-пластическом режиме в условиях сложного напряженного состояния.
Целью работы является построение решения задачи упруго-пластического изгиба круглой, свободно опертой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию (эффект SD). Также целью является рассмотрение различных вариантов анизотропии и SD, доведение всех исследований до конкретных численных результатов и оценка влияния различных параметров на развитие пластических деформаций в пластине.
Исследуются случаи упруго-пластического состояния до потери устойчивости при образовании пластического шарнира в центре пластины, которые сравниваются с решением задачи по МКЭ.
Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:
Построено решение задачи упруго-пластического изгиба трансвер-сально-изотропной SD пластины, свободно опертой, находящейся под действием равномерного давления.
Проанализировано влияние коэффициентов анизотропии и SD на развитие пластических областей и прочностные свойства пластины.
Достоверность результатов и методы исследования.
Работа основывается на методе, предложенном В. В. Соколовским, который позволяет произвести расчет задачи упруго-пластического изгиба изотропной пластины. В диссертационной работе данный метод модифицируется для решения аналогичной задачи, при условии, что пластина трансверсально-изотропна и обладает эффектом разно-
сопротивляемости. Используется критерий текучести, предложенный О. Г. Рыбакиной, который учитывает и анизотропию и эффект SD. При численном решении полученной системы нелинейных дифференциальных уравнений на ПК был использован разностный метод. Проведено исследование решения В. В. Соколовского и сравнение его с полученными в диссертации результатами, что позволяет судить об их достоверности.
Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты используются при обработке экспериментальных данных, получаемых при изгибе пластин, и позволяют оценить несущую способность конструкций из современных трансверсально-изотропных SD материалов, а также определить критические нагрузки образования пластических шарниров в условиях двухосного напряженного состояния.
Результаты, выносимые на защиту:
Построено решение упруго-пластической задачи изгиба круглой, трансверсально-изотропной SD пластины.
Исследовано влияние коэффициентов анизотропии и SD на развитие пластических областей и прочностные свойства материала.
Проведены численные расчеты для широкого диапазона значений параметров анизотропии и разносопротивляемости.
Апробация работы
Различные части диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Нелинейный динамический анализ (2007), четвертые Поляховские чтения (2008), пятые Поляховские чтения (2009), а также на совместных семинарах ПГУПС и СПбГУ в 2007 и 2010 годах, на семинарах и заседаниях кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано шесть работ, четыре из которых выполнены в соавторстве с Г.В. Павилайнен, которая осуществляла научные консультации.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа представляет собой единое исследование, каждая из последующих частей которого является развитием или обобщением предыдущей и состоит из предисловия, введения, трех глав, заключения, библиографии из 82 наименований и трех приложений. Работа изложена на 84 страницах и включает 47 рисунков и графиков и 35 таблиц.
Развитие пластических зон в продольных сечениях
Одной из важных задач механики твердого деформируемого тела является определение механических условий, вызывающих появление и развитие пластических деформаций в элементах конструкций. Изучению условий текучести и упрочнения различных материалов в условиях сложного напряженного состояния посвящено большое количество теоретических [1], [71, [9], [12], [16], [17], [18], [19], [21], [22], [23], [24], [25], [28], [40], [47], [48], [69] и экспериментальных [6], [8], [13], [14], [29], [30], [31], [32], [33], [39], [57], [68], [77], [78] работ. Актуальные задачи проектирования и строительства современных летательных и подводных аппаратов требуют создания все более сложных математических алгоритмов, учитывающих многие прочностные параметры тех материалов, из которых они производятся. Современные конструкции создаются из новых материалов и сплавов, прочностные свойства которых существенно отличаются от традиционных. Поведение этих сплавов в сложных конструкциях еще далеко не изучено, поэтому старые методы расчетов должны совершенствоваться для учета новых эффектов. За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи с использованием пластически анизотропных, в частности текстурованных металлов. Особый интерес представляет трансверсально-изотропный листовой прокат с повышенной сопротивляемостью пластическим деформациям в направлении толщины. Таким металлы обладают большими преимуществами по сравнению с изотропными при работе в условиях двухосного напряженного состояния, что находит применение в конструкциях, по форме близких к сфере или цилиндру, работающих под давлением. Изучению поверхности текучести таких металлов посвящены работы А. М. Жукова [13], [14], А. А. Лебедева [33], [34], В. Бэкофена [7], Д. Драккера и Ф. Стоктона [75], Ф. Ларсона [77], Н. Окубо [80], и других. Однако, в тех случаях, когда речь идет о толстолистовом металле, лабораторные исследования его пластических свойств в условиях двухосного напряженного состояния являются сложной технической проблемой. Одним из возможных путей её решения является проведение исследований на свободно опертой круглой пластине при её изгибе равномерным давлением. Этому исследованию должен предшествовать расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, позволяющий описать развитие пластических областей. Решение указанной задачи представляет самостоятельный научный интерес. Исследование такого рода является необходимым шагом при разработке методов оптимального подбора материала, учитывающего вид напряженного состояния, реализуемого в изготовляемой из него конструкции.
Целью настоящей диссертационной работы является построение решения задачи упруго-пластического изгиба круглой, свободно опертой пластины, изготовленной из титанового сплава, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию. В зарубежной литературе данный эффект встречается под названием "эффект SD"(strength-different). РІсследуются случаи упруго-пластического состояния до потери устойчивости при образовании пластического шарнира в центре пластины. В предлагаемой работе на примере этой задачи исследованы те возможности, которые открывает использование текстурованных анизотропных металлов, работающих в упруго-пластическом режиме в условиях сложного напряженного состояния. Выбор данной задачи обусловлен, с одной стороны, возможностью доведения решения до конкретных числовых результатов, с другой стороны, практической важностью этих результатов для обработки данных экспериментальных исследований, проводимых на круговых пластинах, подвергающихся действию равномерного поперечного давления. В качестве отправной точки было использовано решение В.В. Соколовского для изотропной пластины, изложенное в [63]. Следует отметить, что это решение является приближенным и содержит ряд допущений, а именно: на границе между упругой и пластическими областями в пластине сохраняется непрерывность деформаций и интенсивности касательных напряжений, но не выполнено условие непрерывности интенсивности деформаций сдвига и самих напряжений. Поэтому первая глава данной работы посвящена детальному исследованию решения [63] в случае изотропного и трансверсально-изотропного материала.
Вторая глава работы непосредственно посвящена построению решения задачи упруго-пластнческого изгиба круглой, свободно опертой пластины из титанового сплава, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом SD. В качестве условия текучести используется критерий, предложенный О.Г. Рыбакиной в [59], который учитывает и анизотропию, и эффект SD. Исследование задачи осложнено тем, что отсутствует симметрия в развитии пластических зон на верхней и нижней поверхности пластины [38]. Однако и в этом случае удается построить систему дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами, которая поддается численному интегрированию. При таком способе построения уравнений упруго-пластического изгиба удается решить задачу до конца, т.е. построить зависимость нагрузка - прогиб в центре пластины. Приведена принципиальная схема численного расчета на ПК.
В приложениях приведены результаты численных расчетов для восьми трансвер-сально-изотропных пластин и пятнадцати трансверсально-изотропных SD пластин. В третьей главе проведено сравнение результатов, исследовано влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин, а также изучен вопрос взаимного влияния коэффициентов анизотропии и SD на свойства трансверсально-изотропных SD пластин. Все результаты представлены в виде таблиц и графиков. Проведено сравнение полученных результатов с решением поставленной задачи методом конечных элементов (МКЭ), реализованным в пакете ANSYS. На защиту выносятся следующие основные результаты работы: Построено решение упруго-пластической задачи изгиба круглой, трансверсально-изотропной SD пластины. Исследовано влияние коэффициентов анизотропии и SD на развитие пластических областей и прочностные свойства материала. Проведены численные расчеты для широкого диапазона значений параметров анизотропии и разносопротивляемости.
Вывод уравнения равновесия и уравнений совместности деформаций при учете эффекта SD
Во второй главе была получена система дифференциальных уравнений для решения задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных SD пластин: (2.55),(2.57), (2.56). Отметим, что эти же уравнения можно использовать и для решения частных случаев постановки задачи, а именно, при А = 1, /? = 0 они существенно упрощаются и становятся разрешающими уравнениями для решения изотропной задачи, а при А 1, /3 = 0— для трансверсально-изотропной задачи.
Как упоминалось ранее, изотропная задача была решена В.В. Соколовским в [63]. Данное решение для v = 0.25 и и — 0.5 представлено в Таблицах 1 и 2 Приложения 1. В Таблицах 3 и 4 Приложения 1 приведены результаты расчетов по новым формулам для тех же значений коэффициента Пуассона. Видно, что результаты расчетов по новым формулам практически совпадают с результатами В.В. Соколовского. Ниже для большей наглядности приведены графики, построенные на основе Таблиц 1-4. На рисунках 10, 11 изображены зависимости глубина-радиус пластической области пластины, а на рисунках 12, 13 — зависимости приведенная нагрузка-приведенная стрела прогиба в центре пластины для "классического" и новых решений.
Видно, что графики совпадают почти идеально, а в некоторых случаях новые результаты даже имеют лучшую гладкость по сравнению со старыми, полученными без использования средств ЭВМ. Таким образом, результаты качественно совпадают и новое решение численно уточняет старое.
Решение задачи упруго-пластического изгиба для круглых трансверсально-изотропных пластин было получено Г.В. Павилайнен в [51]. Некоторые из результатов, а именно, для и = 0.25 и А = 1.13, v = 0.3 и А = 1.23, v = 0.35 и А = 1.32 приведены в Таблицах 1-3 Приложения 2. В таблицах 4-7 Приложения 2 приведены результаты расчетов по новым формулам для этих же коэффициентов анизотропии и Пуассона. На основе данных таблиц построены три графика с зависимостью приведенная нагрузка-радиус пластической области для новых и старых решений (рисунки 14-16). Аналогично совпадению изотропных решений, видно, что результаты расчетов для трансверсально-изотропных пластин качественно совпадают, к тому же новое решение опять уточняет старое. Итак, построенное решение в частных случаях совпадает с результатами расчетов В. В. Соколовского для изотропных пластин и с результатами Г. В. Павилайнен для трансверсально-изотропных пластин, поэтому можно сделать вывод о корректности новых формул. При выводе новых уравнений сохранена логика вывода указанных выше решений. Построенная теория является логическим продолжением предыдущих и позволяет исследовать изотропную задачу, трансверсально-изотропную, а также позволяет учитывать пластическую анизотропию материала (эффект SD). Решение задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных пластин было произведено для коэффициента Л, меняющегося от 1.1 до 1.5, согласно таблице: Для каждой из пяти пластин из Таблицы 1 были проведены численные расчеты: задавая различные начальные значения упругой зоны сверху пластины в центре (см. рисунок 8), получаем значения глубин пластической области сверху и снизу пластины в центре, после чего, двигаясь по разностной схеме, получаем значения радиусов пластических областей сверху и снизу пластины, а потом — значение нагрузки, вызывающей такую пластичность. Далее находим значение упругого прогиба: на границе упругой и пластической области снизу пластины, а после - значение прогиба пластины в центре. Результаты расчетов приведены в Приложении 2 (Таблицы 7-11). всех случаях были рассмотрены пластины единичного радиуса а, толщины 0.2а, v = 0.3, Е = 120000 МПа. Рассмотрим влияние параметра анизотропии А на НДС пластины. На основе результатов расчетов были найдены зависимости глубина пластической области - радиус пластической области (рисунок 17), параметр нагрузки - радиус пластической области (рисунок 18), параметр нагрузки - приведенная стрела прогиба (рисунок 19). Для оценки реальных прочностных свойств пластин рисунки 18 и 19 были построены для параметра нагрузки Р = Р/д/2 — А. Рисунки 17-19 наглядно демонстрируют влияние параметра анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин: с увеличением А происходит замедление распространения пластичности вглубь (при одинаковом радиусе пластической области), при этом заметно увеличение пластичности по радиусу (при одинаковой глубине пластической области) .Отметим, что это происходит только при развитой пластичности. При мало развитой пластичности радиус и глубина пластической области с изменением параметра А почти не меняются. Наблюдается существенное увеличение несущей способности пластины, ведь с ростом параметра анизотропии при одной и той же нагрузке ярко выражено уменьшение стрелы прогиба и радиуса пластической области.
Влияние коэффициента анизотропии А на свойства трансверсально-изо-тропной пластины
В теоретической части работы система координат совпадает с главными направлениями тензора напряжений. Поэтому в теоретическом расчете используются только четыре предела текучести. Сопоставление пределов текучести следующее: ахх принимается равным ае или ас, ауу - аналогично. azz - сг или а .
Пределы текучести при сдвиге находятся через пределы текучести при одноосном растяжении или сжатии согласно известным формулам [47]. Обобщенная анизотропная потенциальная теория Хилла (доступная через таблицу свойств материала ANISO) использует критерий текучести Хилла, который учитывает разницу в пределах текучести в ортогональных направлениях, а также возможность различного деформирования материала при растяжении и сжатии. Критическое напряжение (equivalent stress) для случая анизотропной пластичности переопределяется следующим образом: где [М] - матрица, которая описывает вариации пределов текучести при различной ориентацией, a {L} вычисляет разницу между пределами текучести. {L} может быть соотнесена с изменением поверхности текучести {а} и, следовательно, функцию напряжения можно интерпретировать как функцию, имеющую начальный сдвиг. Когда аЕ равняется некоторой величине К, материал начинает течь. Критерий текучести в этом случае:
Материал имеет три ортогональные оси симметрии. В этом случае пластическое поведение материала может характеризоваться поведением материала в трех направлениях элементной системы координат и соответствующим напряженно-сдвиговым поведением. Поэтому [М] имеет следующую форму: представляет собой следующие соот Условие пластической несжимаемости материала ношения: которое должно удовлетворяться, благодаря требованию пластической несжимаемости, поэтому задаваемые одноосные пределы текучести не являются полностью независимыми. Пределы текучести также должны определять замкнутую поверхность текучести, эллипс в поперечном сечении. Эллиптическая поверхность определена, если выполняется следующее неравенство:
Согласно расчетам, проведенным в [5], пластина была разбита на конечные элементы следующим образом: по толщине пластина разбита на 10 слоев, по радиусу пластины взято 10 узлов, расстояния между которыми уменьшаются к центру пластины, по окружности пластины количество узлов — 20. Центр пластины был разбит несимметрично на элементы для того, чтобы избежать клиновидных элементов, при использовании которых страдает точность в ANSYS, и чтобы из множества узлов исключить центральную точку пластины, в которой возникает особенность. Схемы разбиения всей пластины и ее центра представлены на рисунках 40, 41.
Объемная модель пластины использовалась при рассмотрении поведения пластины в упругой области. Для пластических задач время решения существенно возрастает, поэтому предпочтительнее использовать осесимметричную модель, т.е рассматривать решение на половине пластины.
Граничные условия для такой модели задаются следующим образом: V = 0 в средней точке боковой стороны модели. В этой же точке W = 0. При построении пространственной модели пластины использовался элемент SOLID45, определяемый 8 узлами, имеющими 3 степени свободы в каждом узле: перемещения в направлениях ж, у, z. При построении осесимметричной модели использовался плоский элемент PLANE42, определяемый 4 узлами, каждый из которых имеет 2 степени свободы: перемещения в х-, у-направлениях.
Особо следует остановиться на постановке граничного условия шарнирного опирання в пакете ANSYS. Условие свободного опирання было преобразовано в условие w = 0 в узлах на контуре срединной поверхности пластины (т.е. при г = R, z = 0). Также в этих узлах был запрещен поворот сечения в плоскости пластины , а радиальное перемещение не фиксировалось. На контуре пластины имеет место интенсивность изгибающего момента [5] где h — толщина пластины, 9 - угол наклона нормали к срединной поверхности, pi - коэффициент Пуассона, г - радиус пластины, что и должно быть при шарнирном опираний. Таким образом, можно утверждать, что постановка граничной задачи эквивалентна теоретической части.
Для задания закона пластичности в ANSYS использовалась таблица для задания свойств материала ANISO - анизотропная пластичность. Поведение материала описывается кривыми текучести при одноосном растяжении и сжатии в трех ортогональных направлениях и кривыми текучести при сдвиге в соответствующих направлениях. В каждом направлении подразумевается билинейное поведение. За начальный угол наклона кривой берется модуль упругости материала. Начиная с точки текучести, кривая идет под углом, определенным в таблице свойств как модуль упрочнения (скорректированный модуль Юнга в соответствии с нелинейным поведением материала на основе экспериментальных данных, который был принят как 0.6Е, 0.24Е, 0.04Е, 0.004Е). Поскольку в теоретической постановке предусматривалась идеальная пластичность, то для корректного сопоставления необходимо принять минимально возможный модуль упрочнения. В расчете предполагалось, что модуль упрочнения после четвертого шага составляет менее 1% от модуля Юнга. Однако, существование даже минимального упрочнения может вызвать расхождение результатов. К сожалению, постановка задачи в случае идеальной пластичности в ANSYS невозможна.
Проведем сравнение результатов численно-аналитического метода с результатами расчетов по МКЭ, произведенных в пакете ANSYS, используя две зависимости: параметр нагрузки-глубина пластической области в центре пластины, глубина-радиус пластической области. Рассмотрим изотропный случай, расчеты для которого были осуществлены с использованием следующих параметров титанового сплава: v — 0.25 и Е — 120000 МПа. Приведем ниже таблицу с результатами обоих расчетов.
Совместное влияние коэффициентов А и /3 на свойства трансверсально-изотропной SD пластины
Здесь первые три столбца — результаты расчетов с помощью численно-аналитического метода: глубина пластической области пластины в центре, радиус пластической области, приведенная нагрузка, вызывающая такую пластичность. Следующие три столбца - результаты, полученные в пакете ANSYS. Последние два столбца показывают относительную разницу двух расчетов: для глубины пластической области и для приведенной нагрузки.
Сравнение решений показывает, что качественно картина, описывающая решения численно-аналитическим методом и методом МКЭ, совпадает. Максимальное различие результатов рассмотренных случаев не превышает 33% и для нагрузок и для радиусов пластической области.
Построим для наглядности графики двух зависимостей: приведенная нагрузка -глубина пластической области в центре пластины (рисунок 42) и глубина пластической области в центре - радиус пластической области (рисунок 43).
Выявлено, что при мало развитой пластичности, ANSYS занижает значение нагрузки, а при сильно развитой - завышает. Таким образом, при мало развитой пластичности, результаты ANSYS можно использовать в качестве первого приближения решения, а при хорошо развитой пластичности результаты ANSYS становится опасно использовать для расчетов реальных конструкций. В то же время разница между зависимостями глубина-радиус пластической области для обоих решений почти постоянна, причем значения по ANSYS меньше результатов численно-аналитического решения. На следующих рисунках видна тенденция увеличения пластических областей при росте приложенной нагрузки к пластине. Преимуществом ANSYS является возможность проведения расчетов для тех случаев, когда численно-аналитическое решение невозможно, т.е. при выходе пластичности на край, однако тут наблюдается интересный факт: после выхода пластической зоны на край и при приближении к предельной нагрузке появления пластического шарнира в центре пластины — пластические зоны "замирают"и не меняются с ростом приложенной нагрузки (рисунок 47), что безусловно не отвечает реальной картине процесса. построено решение задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных SD пластин. результаты расчетов по полученным уравнениям совпадают в частном случае А = 1,(3 — 0 с результатами расчетов В.В. Соколовского. результаты расчетов по полученным уравнениям совпадают в частном случае А 1,(3 = 0 с результатами расчетов Г.В. Павилайнен. произведен численный расчет для различных параметров анизотропии и разносо-противляемости, соответствующих реальным титановым сплавам. исследовано влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин. В частности показано, что при росте параметра анизотропии А повышается предельная допустимая нагрузка образования пластического шарнира в пластине. изучен вопрос влияния коэффициента разносопротивляемости на свойства трансверсально-изотропных SD пластин. Показано, что при увеличении SD-параметра 0 предельная нагрузка снижается, а также выявлено существенное ускорение роста пластичности по поверхности пластины при одинаковых нагрузках. проведено исследование совместного влияния параметров А и (3. Установлено, что оно носит взаимно обратный характер. Показано, что существуют наборы значений коэффициентов анизотропии и некоторый диапазон нагрузок, при которых влиянием эффекта SD можно пренебречь. Однако, если нагрузка превысит данный диапазон, в пластине практически сразу образуется пластический шарнир.
