Содержание к диссертации
Введение
Глава 1... Линейная теория колебания пластин с учетом температуры 11
1.1. Постановка общей задачи колебания плоского элемента с учетом температуры 11
1.2. Общее решение задачи колебания плоского элемента с учетом температуры 17
1.3. Уравнения продольного колебания термовязкоупругой пластинки 21
1.4. Приближенное уравнения продольного колебания термовязкоупругой пластинки 34
1.5. Уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки 36
1.6. Приближенное уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки 47
Выводы 49
Глава 2. Прикладные задачи колебания изотропных пластин с учетом температуры 50
2.1. Общая постановка задач о поперечных колебаниях прямоугольных пластин с учетом температуры 50
2.2. Собственные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры 53
2.3. Собственные поперечные колебания прямоугольных пластин с учетом температуры с одной жестко и трех шарнирно закрепленных краях 56
Нормальный тепловой удар по бесконечной полосе 62
Гармонические колебания и волны в плоских элементах при поперечных колебаниях 66
Свободные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры с ненулевыми начальными условиями 69
Численный анализ 74
Выводы 77
Заключение 78
Литература 80
Приложения
- Общее решение задачи колебания плоского элемента с учетом температуры
- Уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки
- Собственные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры
- Гармонические колебания и волны в плоских элементах при поперечных колебаниях
Введение к работе
Основными элементами современных конструкций являются пластины, присущими им легкостью, рациональности форм и их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.
Проблема; создания конструкции из водоупорных материалов, а также задачи сейсмологии, геофизики и других областей техники выдвигают повышенные требования к разработке новых уточненных теорий механики: деформируемого твердого тела..
Одной из проблем расчета строительных конструкции с учетом; температуры представляет собой весьма обширный раздел современной механики деформируемого твердого тела. Расширение промышленного жилищного строительства создает необходимость дальнейшего развития строительной науки в этом направлении. Создание новых технологий строительства, использование качественно новых материалов выдвигает повышенные требования к исследованиям динамического поведения деформируемых сред с учетом температуры.
Актуальной проблемой * теоретических исследований в этой области наряду с разработкой моделей динамического поведения; вязкоупругих материалов, является развитие строго математического подхода к исследованию двумерных и пространственных задач. Эта проблема далека от своего полного завершения, так как существующие методы расчета еще не дают полного ответа на множество различных вопросов, выдвигаемых строительной практики.
Интенсивное развитие науки и техники, создание новых конструкций строительных сооружений, использование качественно новых материалов, отвечающих современному уровню научно-технического прогресса, выдвигают повышенные требования к исследованиям нестационарного
поведения элементов различных строительных и иных конструкций и сооружений с учетом температуры. Огромный размах промышленного и жилищного строительство приводят к необходимости дальнейшего развития и усовершенствования методов расчета строительной науке и практике. Конкретные инженерные задачи и законы внутреннего развития фундаментальных исследований в области современного строительства вызвали тенденции к последовательному и возможно более полному учету физико-механических свойств элементов строительных материалов и других, присущих реальным телам.
Одним из таких вопросов является дальнейшее развитие методики расчета наземных и подземных конструкций в виде прямоугольных в плане элементов с учетом температуры.
Основы математической теории теплопроводности были заложены еще трудами Ломоносова, Ньютона, Ламберта, Био, Фурье, Лапласа, Пуассона, Ляме, Томсона (лорда Кельвина), Римана и других выдающих ученых.
Круг задач; теории; теплопроводности исключительно обширен и; непрерывно пополняется большим: количеством новых результатов. Принципиальной стороной аналитической теории теплопроводности является возможность варьирования классическими, методами дифференциальных уравнений математической физики при решении рассматриваемой краевой задачи. Это объясняется тем, что решение одной и той же типовой задачи можно искать в различных классах функций. Эти функции должны быть таковыми, чтобы они, во-первых, достаточно легко находились и, во-вторых, обеспечивали сходимость процесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемое в задаче заключения о свойствах полученного решения.
Из работ зарубежных ученых, посвященных теории теплообмена, кроме уже названных широко известны труды Кирхгофа, Пуассона, Вебера, Планка, Ламе, Карслоу, Егера, Дрейка и др.
Крупный вклад в теорию конвективного теплообмена внесли работы С.С. Кутателадзе, B.C. Авдуевского, В.М. Иевлев, А.В. Лыкова, А.И. Леонтьева и
Др.
Фундаментальные идеи и подходы в развитии математических моделей, теоретические и экспериментальные исследования в области динамики конструкций, и сооружений связан с именами таких ученых, как Ж.Д. Ахенбах [6], В.З. Власов [15,16], Э.И. Григолюк [23,24], А.А. Ильюшин[37], Г. Кольский [41], Н.Н. Леонтьев [49,50],. В.В. Новожилов [69,70]; Г.И. Петрашень [72,73], Г.И. Пшеничнов: [74-76], Ю.М. Работнов [80,81], Х.А. Рахматуллин [82,83], СП. Тимошенко [90,91,93], И.Г. Филиппов [95-107] и многие другие.
Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах ученых Г. Кольского [41], Э.И. Григолюка [23], Ю.Н. Работнова [80,81], Х.А. Рахматуллина [82,83], Ж.Д. Ахенбаха [6], СП. Тимошенко [90,91, И.Г, Филиппова [96,97,105] и многих других..
Исследование волновых процессов в ограниченных деформируемых телах сводится к сложнейшим математическим задачам.
Даже для деформируемых сред, описываемых простейшими моделями, такими, как упругая и вязкоупругая среды, многие нестационарные задачи не исследованы полностью и отсутствуют эффективные методы, позволяющие решать эти задачи в точной постановке. Поэтому большинство прикладных задач в различных областях техники решаются с использованием упрощенных моделей, сводящих пространственные задачи динамики к двумерным или одномерным.
Для исследования нестационарных колебаний пластин прибегают к такой математической модели описания их поведения, в которой изучаются движения точек срединной плоскости пластинки..
Математической теории построения упрощенных моделей колебания пластин посвящено работах С.А. Амбарцумяна [3,4], Б.Ф. Власова [15,16],
Г.И. Пшеничнова [75,76], СП. Тимошенко [90,91], И.Г. Филиппова [96,97,105]. Однако большинство из них связано с изучением колебания пластин в упругой линейной постановке.
Как правило, теории колебаний пластин основаны на гипотезах плоских сечений и гипотезе Кирхгофа. На основе этих гипотез выведены соответствующие приближенные уравнения колебания, получившие название классических.
Резкое увеличение количества прикладных задач, способствующих изучению динамического поведения пластин при воздействии различных, нестационарных внешних усилий, показало недостаточность классических уравнений для описания наблюдаемых явлений, что в свою очередь привело к большому числу уточненных теорий и уточненных уравнений колебания. Эти уточненные уравнения выводились также на основе новых гипотез. Наиболее полный обзор по разным уточненным моделям колебания пластин дан в работах Э.И. Григолюка [23,24], П.М. Огибалова [71], Г.И. Петрашена [72,73].
Следует отметить весьма ограниченное число работ, посвященных выводу приближенных уравнений колебания пластин с учетом реальных механических и реологических свойств материала, нелинейности зависимости напряжений от деформаций, начальных смещений и; напряжений температуры, влиянию окружающей среды, анизотропии и т.д..
Однако к исследованию колебания пластин можно подходить на основе точной постановки задач, рассматривая эти тела как трехмерные при воздействии: внешних у си лий, приводящих к тому или иному виду колебаний..
Такой математический подход, получивший название метода начальных функций, был осуществлен В.З. Власовым [15,16] для определения напряженно-деформированного состояния упругих изотропных однородных пластин в линейной постановке при стационарных внешних усилиях.
Математические подходы к изучению колебания пластин рассматривались также в работах В.З. Власова [15,16], И.Г. Филиппова[95-107]. Однако математический подход с точки зрения точных трехмерных задач для деформируемых сред не нашел применения в исследовании колебания пластин с учетом разнообразных механических, реологических и других свойств материала.
Множество актуальных научных и технических проблем связано с исследованием колебательных процессов и распространением волн в сплошных средах. Использование результатов этих исследований приносит огромную пользу при рассмотрении квазистационарных, нестационарных колебательных и; волновых процессов. Однако, возникает: ряд вопросов, связанных с реакцией среды на. внешние воздействия, способами возбуждения движений, кинематическими характеристиками волн, геометрией тел, решение которых имеет прикладное значение и достигается при помощи своих, типичных для данной области методов.
В настоящей работе на основе математического метода, развиваемого в работах И.Г. Филиппова, исследуется некоторые вопросы теории колебании плоских элементов с учетом температуры. На основе строго математического решения^ задачи с привлечением; методов интегральных преобразований? строится общее и приближенное решение задачи, выводится уравнение колебания пластинки с учетом влияния температуры.
Цель работы - строгая постановка краевых задач колебания вязкоупругой пластинки с учетом температуры, а также вывод формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластины от искомых функций.
Научная новизна работы:
- выведены точные и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебания пластинки с учетом влияния температуры;
- получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений; на основе полученного приближенного уравнения колебания решены прикладные задачи поперечного колебания пластинки; постоянной толщины с учетом температуры.
Практическое значимость работы:
Полученное в диссертации результаты для решения динамических задач продольного и і поперечного колебания пластинки; постоянной толщины, с учетом влияния температуры и вязких свойств материала позволяет более точно рассчитывать напряженно-деформированное состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках.
Достоверность и обоснованность изложенных в диссертации результатов основаны на точной постановке краевой задачи: колебания: пластинки с учетом температуры и; решение задач известными: методами интегральных преобразований и сравнением полученных приближенных уравнений с классическими в предельных случаях.
Объем работы.. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, в том числе 2 таблиц, 5 рисунков.
Во введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткий обзор имеющихся результатов.
В первой главе формулируется: точная трехмерная краевая задача колебания изотропной вязкоупругой пластинки с учетом влияния температуры. Строится точное решение сформированной краевой задачи, на основе которого выводится общее и основанное на нем приближенное уравнение продольного и поперечного колебания пластинки с учетом температуры.
Во второй главе решаются частные задачи поперечного колебания пластинки постоянной толщины с учетом температуры,
В заключении дается краткое содержание полученных результатов.
На защиту выносятся :
-точные и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебания вязкоупругой пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры;
-точные и приближенные формулы для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки.
-решение прикладной задачи о поперечном колебаний пластинки с учетом температуры при различных условиях закрепления по контуру и о гармоническом колебаний и волн распространяющиеся в пластинке.
Основные положения выполненных исследований по диссертационной работы изложены в трех статьях.
Диссертационная работа выполнена в Московском государственном строительном университете и в Кызылординском государственном университете им. Коркыт Ата. Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю доктору технических наук, профессору И.Г. Филиппову за ценные указания и советы при выполнении данной работы..
Общее решение задачи колебания плоского элемента с учетом температуры
Развитие теории колебания конструкций- представляет большой прикладной интерес. Такими простейшими конструкциями являются плоские конструкции в виде пластин конечной толщины. В задачах данного класса одними из важнейших являются исследование динамического поведения пластин с учетом влияния температуры. В данной главе на основе подхода изложенных в работах [97, 102] исследуются задачи о динамическом поведении пластинки с учетом температуры в точной трехмерной линейной постановке выводятся общие и приближенные уравнения колебания пластины с учетом температуры, выражения для расчета перемещений и напряжения в точках от искомых функций. Основными элементами современных конструкций являются пластины, присущими им легкостью, рациональности форм и их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью. Проблема; создания конструкции из водоупорных материалов, а также задачи сейсмологии, геофизики и других областей техники выдвигают повышенные требования к разработке новых уточненных теорий механики: деформируемого твердого тела..
Одной из проблем расчета строительных конструкции с учетом; температуры представляет собой весьма обширный раздел современной механики деформируемого твердого тела. Расширение промышленного жилищного строительства создает необходимость дальнейшего развития строительной науки в этом направлении. Создание новых технологий строительства, использование качественно новых материалов выдвигает повышенные требования к исследованиям динамического поведения деформируемых сред с учетом температуры.
Актуальной проблемой теоретических исследований в этой области наряду с разработкой моделей динамического поведения; вязкоупругих материалов, является развитие строго математического подхода к исследованию двумерных и пространственных задач. Эта проблема далека от своего полного завершения, так как существующие методы расчета еще не дают полного ответа на множество различных вопросов, выдвигаемых строительной практики.
Интенсивное развитие науки и техники, создание новых конструкций строительных сооружений, использование качественно новых материалов, отвечающих современному уровню научно-технического прогресса, выдвигают повышенные требования к исследованиям нестационарного поведения элементов различных строительных и иных конструкций и сооружений с учетом температуры. Огромный размах промышленного и жилищного строительство приводят к необходимости дальнейшего развития и усовершенствования методов расчета строительной науке и практике. Конкретные инженерные задачи и законы внутреннего развития фундаментальных исследований в области современного строительства вызвали тенденции к последовательному и возможно более полному учету физико-механических свойств элементов строительных материалов и других, присущих реальным телам.
Одним из таких вопросов является дальнейшее развитие методики расчета наземных и подземных конструкций в виде прямоугольных в плане элементов с учетом температуры. Основы математической теории теплопроводности были заложены еще трудами Ломоносова, Ньютона, Ламберта, Био, Фурье, Лапласа, Пуассона, Ляме, Томсона (лорда Кельвина), Римана и других выдающих ученых. Круг задач; теории; теплопроводности исключительно обширен и; непрерывно пополняется большим: количеством новых результатов. Принципиальной стороной аналитической теории теплопроводности является возможность варьирования классическими, методами дифференциальных уравнений математической физики при решении рассматриваемой краевой задачи. Это объясняется тем, что решение одной и той же типовой задачи можно искать в различных классах функций. Эти функции должны быть таковыми, чтобы они, во-первых, достаточно легко находились и, во-вторых, обеспечивали сходимость процесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемое в задаче заключения о свойствах полученного решения.
Уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки
Фундаментальные идеи и подходы в развитии математических моделей, теоретические и экспериментальные исследования в области динамики конструкций, и сооружений связан с именами таких ученых, как Ж.Д. Ахенбах [6], В.З. Власов [15,16], Э.И. Григолюк [23,24], А.А. Ильюшин[37], Г. Кольский [41], Н.Н. Леонтьев [49,50],. В.В. Новожилов [69,70]; Г.И. Петрашень [72,73], Г.И. Пшеничнов: [74-76], Ю.М. Работнов [80,81], Х.А. Рахматуллин [82,83], СП. Тимошенко [90,91,93], И.Г. Филиппов [95-107] и многие другие. Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах ученых Г. Кольского [41], Э.И. Григолюка [23], Ю.Н. Работнова [80,81], Х.А. Рахматуллина [82,83], Ж.Д. Ахенбаха [6], СП. Тимошенко [90,91, И.Г, Филиппова [96,97,105] и многих других.. Исследование волновых процессов в ограниченных деформируемых телах сводится к сложнейшим математическим задачам. Даже для деформируемых сред, описываемых простейшими моделями, такими, как упругая и вязкоупругая среды, многие нестационарные задачи не исследованы полностью и отсутствуют эффективные методы, позволяющие решать эти задачи в точной постановке. Поэтому большинство прикладных задач в различных областях техники решаются с использованием упрощенных моделей, сводящих пространственные задачи динамики к двумерным или одномерным. Для исследования нестационарных колебаний пластин прибегают к такой математической модели описания их поведения, в которой изучаются движения точек срединной плоскости пластинки.. Математической теории построения упрощенных моделей колебания пластин посвящено работах С.А. Амбарцумяна [3,4], Б.Ф. Власова [15,16], б Г.И. Пшеничнова [75,76], СП. Тимошенко [90,91], И.Г. Филиппова [96,97,105]. Однако большинство из них связано с изучением колебания пластин в упругой линейной постановке. Как правило, теории колебаний пластин основаны на гипотезах плоских сечений и гипотезе Кирхгофа. На основе этих гипотез выведены соответствующие приближенные уравнения колебания, получившие название классических.
Резкое увеличение количества прикладных задач, способствующих изучению динамического поведения пластин при воздействии различных, нестационарных внешних усилий, показало недостаточность классических уравнений для описания наблюдаемых явлений, что в свою очередь привело к большому числу уточненных теорий и уточненных уравнений колебания. Эти уточненные уравнения выводились также на основе новых гипотез. Наиболее полный обзор по разным уточненным моделям колебания пластин дан в работах Э.И. Григолюка [23,24], П.М. Огибалова [71], Г.И. Петрашена [72,73].
Следует отметить весьма ограниченное число работ, посвященных выводу приближенных уравнений колебания пластин с учетом реальных механических и реологических свойств материала, нелинейности зависимости напряжений от деформаций, начальных смещений и; напряжений температуры, влиянию окружающей среды, анизотропии и т.д..
Однако к исследованию колебания пластин можно подходить на основе точной постановки задач, рассматривая эти тела как трехмерные при воздействии: внешних у си лий, приводящих к тому или иному виду колебаний..
Такой математический подход, получивший название метода начальных функций, был осуществлен В.З. Власовым [15,16] для определения напряженно-деформированного состояния упругих изотропных однородных пластин в линейной постановке при стационарных внешних усилиях. Математические подходы к изучению колебания пластин рассматривались также в работах В.З. Власова [15,16], И.Г. Филиппова[95-107]. Однако математический подход с точки зрения точных трехмерных задач для деформируемых сред не нашел применения в исследовании колебания пластин с учетом разнообразных механических, реологических и других свойств материала.
Множество актуальных научных и технических проблем связано с исследованием колебательных процессов и распространением волн в сплошных средах. Использование результатов этих исследований приносит огромную пользу при рассмотрении квазистационарных, нестационарных колебательных и; волновых процессов. Однако, возникает: ряд вопросов, связанных с реакцией среды на. внешние воздействия, способами возбуждения движений, кинематическими характеристиками волн, геометрией тел, решение которых имеет прикладное значение и достигается при помощи своих, типичных для данной области методов.
Собственные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры
В настоящей работе на основе математического метода, развиваемого в работах И.Г. Филиппова, исследуется некоторые вопросы теории колебании плоских элементов с учетом температуры. На основе строго математического решения задачи с привлечением; методов интегральных преобразований? строится общее и приближенное решение задачи, выводится уравнение колебания пластинки с учетом влияния температуры. Цель работы - строгая постановка краевых задач колебания вязкоупругой пластинки с учетом температуры, а также вывод формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластины от искомых функций. Научная новизна работы: - выведены точные и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебания пластинки с учетом влияния температуры; s - получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений; на основе полученного приближенного уравнения колебания решены прикладные задачи поперечного колебания пластинки; постоянной толщины с учетом температуры. Практическое значимость работы: Полученное в диссертации результаты для решения динамических задач продольного и І поперечного колебания пластинки; постоянной толщины, с учетом влияния температуры и вязких свойств материала позволяет более точно рассчитывать напряженно-деформированное состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках. Достоверность и обоснованность изложенных в диссертации результатов основаны на точной постановке краевой задачи: колебания: пластинки с учетом температуры и; решение задач известными: методами интегральных преобразований и сравнением полученных приближенных уравнений с классическими в предельных случаях. Объем работы.. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, в том числе 2 таблиц, 5 рисунков.
Во введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткий обзор имеющихся результатов. В первой главе формулируется: точная трехмерная краевая задача колебания изотропной вязкоупругой пластинки с учетом влияния температуры. Строится точное решение сформированной краевой задачи, на основе которого выводится общее и основанное на нем приближенное уравнение продольного и поперечного колебания пластинки с учетом температуры. Во второй главе решаются частные задачи поперечного колебания пластинки постоянной толщины с учетом температуры, В заключении дается краткое содержание полученных результатов. На защиту выносятся : -точные и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебания вязкоупругой пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры; -точные и приближенные формулы для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки. -решение прикладной задачи о поперечном колебаний пластинки с учетом температуры при различных условиях закрепления по контуру и о гармоническом колебаний и волн распространяющиеся в пластинке. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работы изложены в трех статьях. Диссертационная работа выполнена в Московском государственном строительном университете и в Кызылординском государственном университете им. Коркыт Ата. Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю доктору технических наук, профессору И.Г. Филиппову за ценные указания и советы при выполнении данной работы..
Гармонические колебания и волны в плоских элементах при поперечных колебаниях
В различных областях механики и других технических науках анализ поведения волн в общем случае сводится к анализу гармонических волн. При исследовании распространения гармонических волн в деформируемых средах вводится понятия фазовой скорости, отражающей состояние среды. В данной задаче изучаются вопросы распространения гармонических волн в плоских элементах при поперечных его колебаниях. Рассмотрим гармонические колебания пластинки, как плоского элемента, материал которого однороден и изотропен и проявляет упругие свойства. Формула (2,5.7) учитывает влияния инерции вращения и деформацию поперечного сдвига нормального сечения пластинки, а также влиянии температуры на фазовую скорость С в отличие от фазовой скорости (2.5.9). Параболические уравнения поперечного колебания пластинки типа уравнения Кирхгофа не описывают волновой характер поведения плоского элемента. 2.6 Свободные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры с ненулевыми начальными условиями Исследуем колебания шарнирно опертой пластинки, проявляющей упругие свойства при ненулевых начальных условиях, когда внешние усилия равны нулю.
Подставляя (2.6.21) в правую часть (2.6.17), а затем выражение Wnm{t) в (2.6.3), получим решение задачи о свободных колебаниях пластинки, шарнирно опертой по краям, при начальных условиях (2.6,20). 2.7 Численный анализ В данном параграфе приведены результаты и анализ численных расчетов. В пункте 2.2 решалось задача о собственных поперечных колебаниях шарнирно опертых упругих изотропных пластин с. учетом температуры, которое свелось к исследованию частот собственных колебании пластинки вида (2.2.8).
Как видно из рисунка 2, что кривые изменения частот собственных, поперечных колебаний; пластинки с учетом влияния температуры, лежат выше чем кривые; изменения частот собственных колебаний без учета температуры и при повышений; температуры возрастает значения частот собственных колебаний. Условия сходимости уравнений (2.3.23) обеспечивается тем, что все корни трансцендентного уравнения (2.3.23) находятся,в промежутке между частотами собственных: колебаний прямоугольной шарнирно опертой пластинки и 2, которые являются нижней и верхней границей изменения частот собственных колебаний прямоугольной упругой пластинки при заданной температуре при более сложных условиях закрепления ее контуров. Численно исследована задача о воздействии нормального теплового удара на бесконечную полосу, материал которого изотропен. Численные расчеты проводилось для случая, когда тепловой удар задано в виде F(x,t) = Q06(xWt) где QQ - константа размерности температуры, 3(C) -дельта функция Дирака. На рисунке 3 показано зависимость прогиба полосы при нормальном; тепловом ударе от времени и от безразмерной координаты. Кривой 1 определяет прогиб полосы в точках с координатами: х = 0.75, кривой 2 прогиб полосы с координатами х = 0.50 (где х =—). Как видно из рисунка, h что максимальный прогиб при тепловом ударе имеет точки относительные координаты которых х = 0.50, т.е. точек серединной линий по координате х и по приближению к точкам закреплении прогиб уменьшается.
Как видно из рисунка 4, что фазовая скорость С і конечна при любых значениях волновых чисел или безразмерной величины//, а фазовая скорость Сг для волновых чисел, стремящихся к нулю или при Т} 0 стремится к бесконечности. Также показано, что при возрастании температуры упругой пластинки увеличивается значения фазовых скоростей гармонических волн. Численно решена задача о свободном поперечном колебании изотропной пластинки при заданных ненулевых начальных условиях и на рисунке 5 приведены графики расчетов. Как видно из рисунка 5, что амплитуда колебаний упругой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях больше аналогичных амплитуд без учета температуры и затухает с течением времени.
Получены расчетные формулы, позволяющие определять частот собственных колебаний прямоугольной упругой пластинки с. учетом влияния температуры при различных условиях закрепления по контуру.
Получены аналитические выражения для определение прогиба плоского элемента с учетом влияния температуры при ненулевых начальных условиях и формулы для определения фазовых скоростей гармонических волн при поперечных колебаниях пластинки с учетом влияния температуры. Изложенные в главе результаты позволяет более точно определять параметры колебания плоского элемента, являющегося одним из основных элементов строительных конструкций. 1.. Используемый математический подход к исследованию колебания изотропной вязкоупругой пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры, в строгой трехмерной постановке позволяет выводить точные и основанные на них приближенные уравнения колебания таких пластин. 2. Этот подход позволяет получить формулы для расчета перемещений и напряжений, описывающих напряженно деформированные состояния точек пластины, ограничиваясь в них любым числом слагаемых в зависимости от искомых функций, независимо от вида приближенных уравнений колебаний. 3. В работе выведены приближенные интегро дифференциальные уравнения продольного и поперечного колебания пластинки с учетом температуры. 4. Полученные точные и приближенные уравнения в явном виде содержат как вязкоупругие операторы, описывающие поведение материала пластинки, так и внешние и внутренние усилие, вызывающие колебания пластинки. 5. При решение частных прикладных задач показано, что: -полученное аналитическое решение задачи позволяет рассчитать прогиб пластинки в зависимости от геометрических и механических характеристик материала пластинки; -показано, что амплитуда колебаний упругой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях больше аналогичных амплитуд без учета температуры и затухает с течением времени; - на основе выполненных численного анализа выявлены, что при возрастании температуры пластинки увеличивается частоты собственных колебаний, а также фазовые скорости распространения гармонических волн;
