Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы термоупругости в двухсвязных телах, ослабленных системой трещин, и находящихся под действием тепловых нагрузок, часто возникают в различных технических задачах. Наличие границы соединения материалов с разными коэффициентами теплопроводности приводит к появлению существенной неоднородности в распределении температурных полей вблизи границы, а присутствие различных дефектов - трещин вносит дополнительный вклад в эту неоднородность. Неоднородность тепловых полей порождает неоднородность деформаций и напряжений в двухсвязных материалах, что, в свою очередь, может быть причиной появления новых дефектов и распространения уже имеющихся. Поэтому исследование влияния взаимодействия неоднородностей в форме теплопроницаемых трещин и границ раздела материалов под действием тепловых нагрузок на распределение тепловых полей и деформаций является актуальным научным направлением в современной механике разрушения.
Основным методам решения задач теории трещин в механике разрушения посвящены работы В.В. Панасюка, Н.Ф. Морозова, В.П. Тамужа, Е.М. Морозова, A.M. Линькова, а также зарубежных авторов В. Karihaloo, Y.Z. Chen и др. Взаимодействию трещин в упругой среде под действием тепловых нагрузок посвящены исследования М.П. Саврука, В.Е. Петровой, К. Herrmann, Г.С. Кита и др.
Данная работа посвящена несвязанной термоупругой задаче о взаимодействии трещин в двухкомпонентном материале (биматериале), находящемся под действием теплового потока, приложенного на бесконечности, или под влиянием теплового источника, действующего в некоторой точке биматериала.
Ранее, в работах М.П. Саврука получены сингулярные интегральные уравнения для тела с системой термоизолированных трещин под действием тепловых нагрузок. Для случая двух далеко расположенных трещин получено асимптотическое решение в виде ряда по малому параметру, который равен отношению длины трещины к расстоянию между их центрами. В работах В.Е. Петровой, К. Herrmann исследованы задачи термоупругости для системы термоизолированных трещин в биматериале под действием теплового потока или теплового источника. Получены системы сингулярных интегральных уравнений для задачи взаимодействия внутренних дефектов с межфазной трещиной. В случае, когда размер внутренних трещин значительно меньше размера межфазной трещины, получены асимптотические аналитические решения методом малого параметра.
В данной работе использовалась модель частично теплопроницаемых трещин. Такая модель позволяет изучать влияние дефектов материала (например, трещин), теплофизических свойств этих дефектов, а также свойств материалов на распределение тепловых потоков в биматериале.
Целью работы является разработка математической модели взаимодействия системы произвольно расположенных теплопроницаемых трещин в двухкомпонентных материалах под действием тепловых нагрузок для дальнейшего исследования влияния трещин на прочность границы раздела материалов. Для достижения данной цели были подставлены следующие задачи:
сформулировать краевые задачи для изучаемых объектов: для задачи теплопроводности и задачи термоупругости;
построить комплексные потенциалы задачи;
построить системы сингулярных интегральных уравнений для сформулированных задач;
- получить асимптотическое аналитическое решение построенных
систем сингулярных уравнений для нахождения функций скачков
температур и разрывов смещений на линиях трещин;
- получить асимптотические аналитические выражения для
коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также для
критического теплового потока в вершинах трещин.
Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на теорию функций комплексной переменной и свойства аналитических функций, на теорию упругих комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, аналитический метод решения систем сингулярных интегральных уравнений (асимптотический метод малого параметра).
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:
а) построены и решены системы сингулярных интегральных
уравнений задач теплопроводности и термоупругости о взаимодействии
трещин в упругом биматериале под действием тепловых нагрузок.
Использовалась модель частично теплопроницаемых трещин;
б) получены асимптотические аналитические выражения для
производных функции скачка температур и разрывов смещений на линиях
трещин с точностью до второго приближения малого параметра;
в) получено асимптотическое аналитическое выражение для
коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также
критического теплового потока в вершинах трещин.
Теоретическая и практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения двухкомпонентного тела, при наличии в нем межфазной трещины, взаимодействующей с системой внутренних трещин
под воздействием тепловых нагрузок. Произведенные в работе расчеты могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости и оценки прочности композитных материалов.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском государственном университете, в НИИ математики ВГУ.
Достоверность результатов исследования подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений поставленных задач с эталонными известными решениями для некоторых частных случаев.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной Молодежной Научной Конференции «XXXV Гагаринские чтения» (Москва, 2009), на Международной Конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009), на «Понтрягинских чтениях -XX» («Современные методы теории краевых задач») (Воронеж, 2009) на семинарах факультета ПММ ВГУ, на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета.
Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 8 научных публикациях. Одна из работ опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Из них 13 занимает список литературы, содержащий 124 наименования. Общее количество иллюстраций - 26.
