Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. Обзор современною состоянии нроб.к-мм устойчивости некопсернатиииых систем 3
1.1. Эволюции задач теории устойчивости нсконссрвлтивиых систем 4
1.2. Методы повышении устойчивости некоисерватпвнмх систем 16
1.3. Выводы из обзора. Цели п структура диссертационной работы 24
2. Динамическая постановка задачи и основные уравнении устойчивости консольного стержня 33
2.1. Численные методы решении задачи устойчивости 34
2.2. Точное решение задачи устойчивости консольного стержни 46
2.3. Устойчивость консольного стержня с запаздыванием без учета сил сопротивления 51
3. Влияние внешнего и внутреннего сопротивлений на устойчивость консольного стержня при действии СЛСДШЦЄІІ силы 57
4. Устойчивость упруго заделанного стержня, лежащего на упругом основании и опертого на упругую опору, под действием следящей сжимающей силы 66
4.1. Оценка влиянии на устойчивость стержни упругой опоры и заделки на заделанном конце 68
4.2. Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании, и опертого па упругую опору, под действием следящей сжимающей силы. 73
5. Оценка влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращения нл устойчивость консолмюго стержни. 83
6. Оптимизация консольного стержни из условии получении максимального значения критической силы при условии сохранения его первоначальной массы 103
6.1. Основные уравнении оптимизационного алгоритма 103
6.2. Результаты оптимизации с условием контролі частотного спектра при значеннях нагрузки меньше критической 111
6.3. Результаты оптимизации при отсутствии контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньше критической. Учет сил сопротивления. 116
7. Стабилизация консольного стержня путем введения высокочастотной гармонической силы 123
Заключение 133
- Методы повышении устойчивости некоисерватпвнмх систем
- Устойчивость консольного стержня с запаздыванием без учета сил сопротивления
- Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании, и опертого па упругую опору, под действием следящей сжимающей силы.
- Результаты оптимизации с условием контролі частотного спектра при значеннях нагрузки меньше критической
Введение к работе
Теория упругой устойчивости в случае действия потенциальных нагрузок предполагает, что при достаточно малых нагрузках равновесие упругой системы устойчиво, и что оно остается таковым вплоть до нагрузки, соответствующей появлению новых форм равновесия, когда исходная форма равновесия становится неустойчивой. В этом случае, при рассмотрении устойчивости в малом, критическая нагрузка определяется как наименьшее значение нагрузки, при котором наряду с исходной формой равновесия имеют место смежные, близкие к ней иные равновесные формы (бифуркационная постановка или метод Эйлера). В рамках энергетической постановки критическая нагрузка определяется из условия "неминимальности" потенциальной энергии, соответствующей исходной форме равновесия. Статический подход сводит задачу устойчивости упругих систем к отысканию минимальных собственных значений краевых задач.
Статический метод, однако, оказывается неприменимым для широкого класса задач. Первым на это обратил внимание Е.Л. Николаи. Рассматривая устойчивость стержня под действием следящего крутящего момента [161, 163] он обнаружил, что согласно методу Эйлера стержень устойчив при любых значениях момента. Такой результат был истолкован как признак того, что метод Эйлера неприменим к данной задаче и должен быть заменен более общим методом исследования устойчивости -«методом малых колебаний».
В дальнейшем было установлено, что применимость статического подхода связана с наличием у внешних сил потенциала. Он применим, если внешние силы обладают потенциалом, и в общем случае неприменим при его отсутствии, т.е. в случае действия сил, зависящих не только от начального и конечного состояний системы, но и от типа перехода от одного состояния к другому [12, 119, 121, 122, 162, 188].
Методы повышении устойчивости некоисерватпвнмх систем
Оптимизация. Задача об отыскании оптимальной формы упругого стержня фиксированной длины и объема, теряющего устойчивость при действии максимально возможной консервативной сжимающей силы, была сформулирована Ж. Лагранжем в 1773 году. Однако из-за ошибок вычислительного характера решение, полученное Ж, Лагранжем, оказалось неперным. Первое аналитическое решение этой задачи (при консервативной нагрузке) было получено для случае» консольного и шарнирного закрепления стержня круглого сечения Т. Клаузсном в 1851 году. Спустя более чем столетие его решение для случая шарнирного закрепления было повторено одновременно и независимо друг от друга X. Вейнбергером и И.Б. Келлером [45]. В работе последнего автора подіймо задачи о распределении материала стержня по его длине был также рассмотрен вопрос о выборе оптимального сечения стержня. Оптимальным стержнем оказался стержень с сечением, представляющим равносторонний треугольник. При этом распределение материала по длине было аналогично случаю стержня круглого сечения. В [104] И. Таджбакшем и Й.Б. Келлером были получены аналитические решения задачи Лагранжа для других видов граничных условий: "консоли", "жесткой заделки -свободной опоры" и "жесткой заделки - жесткой заделки". В рассмотренных работах оптимум определялся, как точка стационарности первой критической силы. Однако Н. Ольхофф и С.Г. Расмуссен, рассмотрев в [81] оптимизацию жесткозаделанного на обоих концах стержня без и при наличии ограничения на минимальное значение площади сечения, показали, что соответствующее решение, полученное в [104], неверно. Этому решению соответствовала иная форма потеря устойчивости и, как результат, более низкая критическая сила. Было показано, что увеличение первой критической нагрузки в результате оптимизации в общем случае сопровождается одновременным снижением высших критических нагрузок. В некоторых случаях, таких как жесткозаделэнный стержень, вторая критическая нагрузка оказывалась равной первой. Как следствие, решение задачи Лагранжа привело к необходимости постановки задачи оптимизации с двукратной критической силой, при которой существуют две формы потери устойчивости стержня.
Численное решение И. Ольхоффа и С.Г. Расмуссена было позднее подтверждено аналитическим решением Е.Ф. Мазура п [74]. В связи с полученными в [74], [81] результатами был поднят вопрос о возможности построения оптимальных решении с кратной критической нагрузкой (несколькими формами потери устойчивости) для других видов граничных условий. В [184] Л.П. Сейраняном было показано, что из граничных условий вида «свободная опора - свободная опора», «жесткая заделка - свободная опора», "консоль", «жесткая заделка - жесткая заделка» только в последнем случае оптимальный вариант соответствует кратной критической силе. Наличие нескольких форм потери устойчивости, характерное для ряда оптимальных конструкций, заставило обратить особое внимание на исследование за критического поведения оптимальных вариантов. В частности, в [108] Дж.М.Т. Томпсоном утверждалось, что эффект кратности форм потери устойчивости и критических нагрузок приводит к структурной неустойчивости и большой чувствительности к несовершенствам. Однако имеющиеся результаты, такие как представленные О.Г. Приваловой и А,П. Сейраняном в [181] на примере закритического поведения оптимальных, для случая упругой заделки на обоих концах, бимодальных стержней, не подтвердили эти опасения. Использование метода конечных элементов в задаче оптимального проектирования стержня с целью повышения его устойчивости в мультимодальной постановке было рассмотрено Д. Маникараджей, И.М. Кси и Ж.П. Стивеном в [72] для случаев свободно опертого и жестко заделанного на обоих концах стержня. Оптимизация стержня под действием неконсервативной силы при возможной флаттерной потере устойчивости оказалась значительно более сложной задачей. Прежде всего, это связано с большей сложностью самого расчета динамической потери устойчивости по сравнению с дивергентной, а также с необходимостью учета возможных взаимодействий между собой частот системы, приводящих к большому числу локальных оитимумов II возможным резким изменениям критической нагрузки при незначительном изменении параметров проектирования. Большая часть работ по оптимизации стержня под действием неконсерватпвной нагрузки посвящена оптимальному проектированию стержня Бека-Феодосьева под действием чисто следящей силы. Первыми в этом направлении можно считать работы К. Вепы [111] и Ф. Одеха и И. Таджбакша [80]. Оптимальный стержень, полученный в первой из упомянутых выше работ, основанной на минимизации обобщенного Гамильтониана, соответствовал локальному оптимуму функционала для первой формы потери устойчивости. Авторы второй работы в своем решении основывались на удовлетворении необходимых условий оптимальности и предположении о том, что флаттерная потеря устойчивости будет иметь место в результате совпадения первой и второй частот, т.е. также для первой формы потери устойчивости. Полученный таким образом «оптимальный» стержень в реальности терял устойчивость за счет совпадения второй и третьей частот при критической силе много меньшей критической силы не оптимизированного стержня, на что указал Ж.Л. Клодон [19]. Там же было показано, что, как и для случая оптимизации при действии консервативной нагрузки, рост [і ер вой критической силы флаттера сопровождается падением высших критических сил. Рассмотрев мультимодальную задачу, Ж.Л. Клодон в качестве оптимального получил стержень, для которого совпали первая и вторая критические силы, соответствующие двум низшим нарам частот.
На основании полученных результатов, Ж.Л. Клодон сформулировал ряд качественных выводов, касающихся оптимизации с целью повышения устойчивости при наличии неконсервативных нагрузок: 1) оптимизация с целью увеличения критических нагрузок во флаттерной области дает значительно больший выигрыш, чем оптимизация по критической силе дивергенции при действии консервативных нагрузок; 2) потеря устойчивости в промежуточных и оптимальных проектах может иметь место не в результате совпадения первой и второй частот, но и в результате взаимодействия высших частот: второй и третьей или третьей и четвертой; 3) критическая нагрузка в промежуточных и оптимальных проектах может быть чрезвычайно чувствительна к малым изменениям в распределении материала. Основываясь на работе Ж.Л. Клодона, М. Ханаока и К. Васидзу показали в [35], что полученный в [19] стержень не является оптимальным. Проведенная его дальнейшая оптимизация из условия увеличения двух совпадающих критических сил флаттера показала, что в действительности значение критической силы может быть дополнительно повышено более чем на 40%. При этом полученная критическая сила также является кратной, соответствующей двум низшим парам частот. Ограничением дальнейшего роста устойчивости стало сближение второй и третьей частот, приводящее при дальнейшем перераспределении материала к резкому падению критической силы. Стоит отметить, что в данной работе для моделирования стержня был использован метод конечных элементов. Па применении МКЭ основывается и большинство последующих работ [34,51,55,90,94]. Среди работ последнего десятилетия можно выделить работы У.Т. Рингертца [90] и М. Лангтьема и И. Сушйямы [55], результаты которых для стержня Бека-Феодосьева качественно и количественно существенно отличаются от результатов работы [19] и последовавших за ней работ [34, 35, 94]. В частности, в отличие от оптимального варианта, соответствующего, согласно Ж.Л. Клодопу и ряду других авторов, кратной критической силе для двух низших пар частот, оптимальный стержень У . Г. Рингертца характеризуется кратной критической силой для первой и четвертой пар частот, а оптимальный стержень М. Лангтьема - кратной критической силой для второй и четвертой пар. При этом выигрыш по критической силе по сравнению с [19, 34, 35, 94] составляет более 50%. Заметим, что во всех приведенных работах для оптимальных вариантов отмечается большая чувствительность таких стержней к малым несовершенствам, что может приводить к возможному резкому падению критической силы.
Устойчивость консольного стержня с запаздыванием без учета сил сопротивления
Рассмотрим на примере консоли под действием следящей силы, изображенной на рис. 2, особенности задач устойчивости неконсервативной системы, изложенные выше. Прежде всего, продемонстрируем возможности применения статического подхода, игнорирующего возможные движения системы. Полагая в (2.34)-(2.35) Л = 0, получаем дифференциальное уравнение и граничные условия сложного изгиба стержня: Зависимость критических сил, вычисленных с использованием статического подхода, от параметра запаздыиання представлена на рис. 8. С ростом неконсервативности системы соседние пары критических сил сближаются и при определенном значении а становятся равными, после чего критические силы метода Эйлера становятся комплексными. Для низшей пары критических сил это происходит при а = 0.5. Значение параметра запаздывания, при котором имеет место равенство статических критических сил, обычно называется критическим, а соответствующая точка на плоскости «сила-параметр запаздывания» - двойной критической, поскольку она соответствует, с одной стороны, потере устойчивости системой, а, с другой стороны, смене вида потери устойчивости с дивергенции па флаттер (рис. 9). Таким образом, в данном случае при исследовании устойчивости системы статическим методом, можно одновременно определить и область применимости метода в смысле значений параметра запаздывания (неконсерватнвности) из условия существования вещественных дивергентных критических сил. При этом нужно отметить значительно меньшую трудоемкость статического метода по сравнению с рассматриваемым далее динамическим подходом. Однако, как будет позже показано, возможны ситуации, когда статический подход приводит к недостоверному результату и в области своей применимости. В качестве результатов использования динамического подхода на рис. 10,а и 10,6 представлены частотные спектры стержня без учета сопротивления при малых степенях неконсервативности, первая критическая сила для которых соответствует дивергентной потере устойчивости. На графиках она соответствует обращению в ноль мнимой части частоты и появлению положительной вещественной части. Обращает на себя внимание тот факт, что для всех ненулевых степеней неконсервативности помимо низших дивергентных потерь устойчивости имеет место и флаттерная потеря устойчивости, связанная с взаимодействием двух соседних частот. Ей соответствуют на графиках точки совпадения мнимых частеїі таких частот с образованием также положительной вещественной части.
Так при а = 0.2 после трех дивергентных потерь устойчивости следует флаттер для третьей и четвертой частоты. При а = 0.4 после дивергенции, связанной с первой частотой, следует флаттер первой и второй частот. Таким образом, с увеличением неконсервативности системы критическая сила первого флаттера уменьшается, а сам флаттер смещается в область низших частот. Также при « = 0.4 в рассмотренном диапазоне наблюдается и вторая флаттерная потеря устойчивости, связанная с третьей и четвертой частотами. С ростом не консервативности системы уменьшаются области положительных вещественных частей частот, соответствующие дивергенции. При а = 0.5 дивергентные области исчезают, и при дальнейшем увеличении неконсервативности в рассмотренном диапазоне силы оказываются возможны только два флаттера (рис. 10,в). Таким образом, использование динамического метода позволяет определить критическую силу вне зависимости от неконсервативности системы. Для случая отсутствия сопротивления зависимость критической силы от параметра запаздывания приведена на рис. 11. Вопросам влияния на устойчивость демпфирующих сил посвящена следующая глава. Долгое время считалось, что при анализе динамической потери устойчивости учёт диссппатпвных сил ведёт к повышению критических сил во флаттере. Однако, как показал Циглер, учёт малых сил внутреннего сопротивления приводит к дестабилизации - резкому уменьшению критических сил по сравненшо с критической силой, вычисленной без учёта сопротивления. Дальнейшие исследования показали, что при определённых соотношениях внешнего и внутреннего сопротивлений может иметь место, как стабилизация, так и дестабилизация системы. Как уже отмечалось, так называемый «парадокс Циглера» связан в первую очередь с тем, что в отсутствие сопротивления в «докритической» области вещественные части частот системы равны нулю, что обычно классифицировалось как устойчивость, хотя и неассимптотическая. По Ляпунову такой результат является сомнительным случаем, для окончательного анализа которого необходимо учитывать силы более высокого порядка. Учёт же сил сопротивления, имеющих тот же порядок, что и основные члены, сразу приводит к комплексным корням II, соответственно, к достоверному результату. Как показали исследования, учёт внешнего сопротивления, пропорционального распределению массы системы, не приводит к возникновению «парадокса Циглера». Что касается внутреннего сопротивления, то в настоящее время имеется достаточно большое число различных гипотез для его учёта. Основные из этих гипотез гипотезы Фохта, Н.Н. Давидснкова, Л.Г. Пановко, Г.С. Писаренко, Е.С. Сорокина. В настоящей работе была предпринята попытка обобщить результаты по влиянию сил сопротивления на динамическую устойчивость упруго» неконсервативной системы.
При исследовании устойчивости используется уравнение (2.40), полученное методом Бубнова-Галеркина для полиномиальной системы координатных функции ф(%), = м сопротивления, включающая в сеоя вязкое внешнее сопротивление, внутреннее вязкое (по гипотезе Фохта) и частотно независимое (по гипотезе Сорокина) сопротивление. Частоты системы определяются путем сведения уравнения (3.1) к обобщенной проблеме собственных значений за счет расширения пространства неизвестных (2.42)-(2.43). Спектры частот консоли, находящейся под действием консервативной и чисто следящей силы и при наличии внешнего и внутреннего вязких сопротивлений приведены на рис. 12-15. В дивергентной области введение малого внутреннего вязкого сопротивления не оказывает влияния на критическое значение силы, связанное с появлением положительных вещественных частей частот (рис. 12). Последнее, как и в отсутствие сопротивления, связано с обнулением мнимых частей частот. Во флаттерной же области (рис. 13) моменты совпадения мнимых частей соседних частот и появления положительной вещественной части частоты оказываются различными, причем вещественная часть становится положительной раньше совпадения мнимых частей. Как результат, введение малого сопротивления приводит к падению критической силы флаттера. В случае малого вязкого внешнего сопротивления (рпс. 14) вещественная часть становится положительной одновременно с совпадением мнимых частей соседних частот. В связи с этим падения критической силы, аналогичного случаю внутреннего сопротивления, не происходит. В случае же одновременного введения внешнего (не малого) и малого внутреннего сопротивления переход вещественной части низших частот в положительную область происходит при значении силы, большем, чем для случая малого внутреннего сопротивления (рис. 15), т.е. в этом случае можно говорить о стабилизирующей роли внешнего сопротивления. Результаты исследования влияния сил сопротивления на устойчивость в виде зависимостей критических сил от параметра запаздывания а при различных соотношениях внешнего и внутреннего сопротивлении представлены на рисунках 16-19. Как видно, в отсутствие внутреннего сопротивления наличие в системе внешнего сопротивления либо вообще не сказывается на критической силе во флаттере при относительно малых значениях коэффициента /?, либо приводит к стабилизации, т.е. к повышению критической силы во всём флаттерном диапазоне (рис. 16), Влияние внутреннего сопротивления — не столь однозначно. Необходимо отметить, что учёт малого внутреннего сопротивления приводит к «парадоксу Циглера», однако, в случае введения в систему дополмительного внешнего сопротивления эффект дестабилизации может уменьшиться или исчезнуть — рисунки 17-18.
Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании, и опертого па упругую опору, под действием следящей сжимающей силы.
Рассмотрим теперь второй случаи: жестко заделанную консоль, лежащую на упругом основании и опертую свободным концом на упругую опору. На первом этапе исследуем влияние опоры и основания на границу зоны потери устойчивости - акр. При этом интерес представляет критическое значение параметра запаздывания не только для двух низших, но и для более высоких мод. Расчеты показывают, что упругое основание и упругая опора оказывают сильное влияние на акр (см. рис. 28-29). При росте жесткостей основания и опоры первоначально наблюдается уменьшение критического значения угла запаздывания акр, т.е. уменьшение дивергентной зоны. При дальнейшем росте жесткостей происходит рост д В случае упругого основания акр достигает начального уровня, а в случае упругой опоры акр достигает значения, равного единице, даже в случае чисто следящей силы имеет место дивергентная потеря устойчивости, и флаттер в системе становится невозможен. Что касается непосредственно критических сил, то в дивергентной области (рис. 30-31) при увеличении жёсткости упругого основания критические силы увеличиваются, и при относительно больших значениях жёсткости упругого основания можно говорить о линейной зависимости между критической силой и жёсткостью упругого основания. Влияние упругой опоры не столь однозначно: при жесткостях опоры, меньших переходной, наблюдается рост критических сил, а при жесткостях, больших переходной, происходит выравнивание критических сил в диапазоне изменения параметра запаздывания. Критические силы при больших степенях нсконсервативности уменьшаются, а при малых степенях нсконсервативности растут, стремясь в пределе (в случае жесткой опоры) к значению критической силы для жестко заделанного на одном и свободно опертого на другом конце стержня Ткр =20.16///2 . Как видно из графиков, наибольшее влияние на акр податливость упругой опоры имеет при относительно малых жесткостях упругого основания, Гак, если при сравнительно больших податливостях (Л є [o.2-l]-/3 EI) характер изменения акр на начальном этапе в целом сходен с поведением акр при отсутствии опоры (Л = сс), то при значениях податливости опоры, близких к значениям, соответствующим наименьшим акр для случая А = 0(Л Е[О.04-І]-/3/7) С увеличением жёсткости сразу начинается и увеличение акр (увеличение дивергентной зоны), в отличие от случая Л = «, где первоначально акр падает.
При дальнейшем уменьшении податливости и приближении её к переходному значению (Л = 0.03-І3/ЕІ) мы наблюдаем уменьшение акр при увеличении жёсткости А , что естественно, поскольку из-за более равномерного распределения реакций блока «опора-основание» система, изначально склонная к дивергентной потере устойчивости будет увеличивать флаттерную зону. Результаты по общему случаю также представлены в виде графиков зависимостей критических сил от параметра запаздывания во всём диапазоне его изменения, включающем в себя обе зоны потери устойчивости, при различных сочетаниях характеристик основания и опоры (рис. 37-41). Границами диапазона изменения параметра запаздывания служат случаи «мёртвой нагрузки» - параметр запаздывания - нуль и «следящей силы без запаздывания» - параметр запаздывания -единица. Переходу от дивергентной к флаттерной зоне на графиках соответствуют скачки значений критических сил. При этом наряду со скачкообразным увеличением критической силы, которое, например, наблюдается в отсутствие основания и опоры (АГ - О, Л- «{С = 0)) (рис. 37), при определённых соотношениях жёсткостей основания и опоры имеет место падение критической силы при переходе к флаттеру. Рисунок 37 соответствует случаю нулевой жесткости упругого основания. Из рисунка видно, что в зависимости от податливости опоры при переходе от дивергентной к флаттерной потере устойчивости возможны резкие скачки как в сторону увеличения (при A = (0.03,0.2-co}-Iі/EI), так и в сторону уменьшения (A = (0.04,0.06)-І3/ЕІ) критических сил. При некоторых значениях податливости возможен переход от дивергентной к флаттерной потере устойчивости без резкого изменения значения критической силы ( А = (0.0325,0.\)-1ъ JEI). В случаях мёртвой силы и следящей силы без запаздывания уменьшение податливости опоры (увеличение её жёсткости) однозначно ведёт к увеличению критической силы. В промежуточных случаях возможен и обратный эффект: критическая сила при наличии опоры с меньшей податливостью оказывается меньше критической силы, вычисленной для опоры с большей податливостью. Данное явление связано в том числе и с различными соотношениями между дивергентной и флаттерпой зоной потери устоїїчивостн для различных значений податливости упругой опоры. Из графиков также видно, что увеличение жёсткости упругого основания ведёт к уменьшению отношения критических сил при флаттере к критическим силам при дивергенции. При этом при определённых соотношениях жёсткостей основания и опоры (А = 500 EI/l4 , Л = =с(С = 0)) (рис. 40) критическая сила для случая «мертвой нагрузки» оказывается больше критической силы в случае «следящей силы без запаздывания».
С увеличением же жёсткости упругой опоры при фиксированной жёсткости основания наблюдается рост критических сил в обеих зонах. Исключение составляет диапазон изменения параметра запаздывания при изменении жёсткости опоры, где за счёт различных соотношений зон потери устойчивости может иметь место обратное явление. Переход от Эйлеровой балочной модели для консоли, подверженной действию следящей силы с запаздыванием Т, изображенной на рис. 2, к более общей модели Тимошенко позволяет оцепить влияние таких факторов, как поперечный сдвиг и инерция вращения, на устойчивость системы при неконсервативном нагружении. В исследовании будем полагать консоль призматической со следующими характеристиками: длина /, погонная масса т, момент инерции масс Jp, жёсткость па изгиб El и на сдвиг Geo. Силами сопротивления, как и в предыдущей главе, пренебрежем. Необходимо отметить имеющуюся при записи дифференциального уравнения сложного изгиба с учетом поперечного сдвига неоднозначность выбора сечения действия перерезывающей силы. В качестве такого сечения, в частности, может быть выбрано сечение, перпендикулярное оси стержня и определяемое суммарным углом поворота от изгиба и сдвига, или сечение, определяемое только изгибной деформацией. Рассмотрим влияние выбора сечения действия перерезывающей силы сначала на примере использования статического подхода. Наиболее удобно уравнение сложного изгиба записывается для деформированного элемента балки, представленного на рис. 42. Перерезывающая и осевая сила считаются действующими в сечениях до деформации, при этом величина перерезываю іде и силы определяется не только деформацией сдвига, по величиной осевой силы (5.4). Суммарный прогиб представим в виде суммы изгибиой и сдвиговой составляющих и(х) = Выпишем для выбранной схемы уравнения равновесия с учетом малости поворотов. Дифференциальное уравнение сложного изгиба может быть также получено из условия равновесия элемента, представленного на рис. 44. В этом случае перерезывающая сила действует в сечении, определяемом поворотом от изгиба 0, а направление осевой силы, действующей вдоль оси стержня, определяется суммарным поворотом от изгиба и сдвига и . Таким образом, основное дифференциальное уравнение ВЕІЄ зависимости от выбора сечения действия перерезывающей силы имеет один и тот же вид (5.6). Выбор соответствующего сечения действия перерезывающей силы оказывает влияние лишь на запись граничного условия для перерезывающей силы (5.9) или (5.17). Что касается следящей силы, то в случае учета сдвиговых деформаций возможны два варианта слежения: слежение за сечением конца стержня и слежение за осью стержня.
Результаты оптимизации с условием контролі частотного спектра при значеннях нагрузки меньше критической
На рисунке 56 представлен стержень, оптимизированный для случая действия чисто консервативной нагрузки. Полученный оптимальный вариант совпал с полученным в свое время И. Таджбакшем и Й.Б. Келлером. Для оптимального варианта построена зависимость критической силы от параметра запаздывания, она сравнивается с такой же зависимостью для исходного стержня. Как видно, оптимизация из условия повышения устойчивости в предположении консервативной силы позволила повысить устойчивость и в неконсервативной области. При этом наблюдается уменьшение дивергентной зоны потери устойчивости. Следует также отметить, что оптимизация для случая консервативной нагрузки оказалась единственной, для которой оптимальный вариант имеет дивергентную потерю устойчивости. При наличии даже малой неконсервативности « = 0.1 (рис. 57) в оптимальном варианте зона дивергенции уменьшается настолько, что для рассматриваемого параметра запаздывания имеет место флаттерная потеря устойчивости. При оптимизации с большим значением параметра запаздывания флаттер смещается от первой и второй к высшим частотам. Так при оптимизации для параметра запаздывания а = 0.2 в оптимальном стержне флаттер происходит при взаимодействии второй и третьей частоты. С дальнейшим увеличением параметра неконсервативности в оптимальных вариантах имеет место кратная критическая сила, так для случая а = 0.4 (рис. 58) в оптимальном варианте совпадают критические силы двух флаттеров для первой-второй и пятой-шестой частот. При этом следует отметить, что если к этому стержню будет приложена нагрузка с меньшей степенью неконсервативности, то выигрыша по критической силе не будет. Для параметра запаздывания а = 0.8 (рис. 59) оптимальный проект определяется совпадением флаттерных сил для пар первой-второй и четвертой-пятой частот. При этом последовательно пройдены точка одномодального флаттера для первой-второй частот, и точка одновременных флаттера для пары второй-третьей частот и дивергенции. При оптимизации стержня Бека а = 1.0 был получен проект, у которого совпадают три флаттерные критические силы для пар (первой-второй, четвертой-пятой и девятой-десятой частот). Имеющиеся на настоящий момент наилучшие результаты Рингертца и Лангтьема имеют совпадение двух флаттерных критических сил, По сравнению с ними полученная в работе критическая сила оптимального проекта больше на 15%, общин выигрыш по критической силе — 800%.
Отношения критических сил, полученных в ходе оптимизации при различных значениях параметра запаздывания а к критическим силам исходного стержня представлены в таблице 1 Таким образом, оптимизация системы с неконсерватшшым нагружением связана с необходимостью контроля частотного спектра в диапазоне нагрузок до критической. При этом в случае мул ьт и модальной оптимизации оптимальными проектами будут такие, для которых будет наблюдаться совпадение как можно большего числа критических нагрузок для различных пар частот. Однако следует отметить, что подобные оптимальные проекты обычно оказываются чрезвычайно чувствительны к малым изменениям в распределении материала, и малые вариации профиля стержня могут приводить к значительному падению критической силы. В связи с этим практический интерес могут представлять менее выигрышные с позиции увеличения критической силы, но более устойчивые к вариациям профиля результаты оптимизации без учета (6.18)-(6.20). 6.3. Результаты оптимизации при отсутствии контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньших критической. Учет сил сопротивления. Рассмотрим оптимизацию формы консольного стержня под действием чисто следящей силы с целью увеличения критической силы, соответствующей взаимодействию трех низших тонов при наличии ограничения на максимально возможное изменение высоты сечения dhmvl0C. В этом случае ограничение (6.14) перепишется в виде На рисунке 61 приведена зависимость получаемой в результате оптимизации критической силы от величины максимально возможного полного изменения высоты сечения dhnm,luc. Как видно, вплоть до определённого значения dhnMlt0C с его увеличением наблюдается и увеличение критической силы в оптимальном случае. При значении dhnovioc - O.45/z0 получаемая при оптимизации критическая сила достигает "насыщения" и при дальнейшем увеличении dhnovtoc не увеличивается. Значение критической силы при "насыщении11 составляет Ткр -73.85EIQ/І2 при критической силе в исходном стержне Тк„ =20.05 70/Г , т.е. такая оптимизация позволяет увеличить значение критической силы во флаттере в 3.62 раза. Изменение критической флаттерпой силы в ходе оптимизационного процесса н законы распределения высоты сечения по длине на ряде итераций оптимизации приведены соответственно на рисунках 62 и 63 для dhnomoe =0.3/(0, iff masa =0.01/. Из рисунка 62 видно, что на тридцатой итерации имеет место переход от одного к другому закону изменения критической силы. Связано это с тем, что на данном шаге высота в некоторых сечениях стержня впервые достигла ограничения (значений: h0-dhl!OV!OC или hQ + дальнейшее увеличение критической силы уже идёт за счёт изменения высот в других сечениях. Рисунок 63 показывает, что сечениями, в которых на тридцатой итерации высота сечения достигает ограничений, являются сечения = 0 и = 1 при высоте /[ - 0.7/. Закон распределения высоты, соответствующий тридцать девятой итерации является оптимальным по значению критической силы во флаттере, ему соответствует критическая сила во флаттере 7 = 32.76EIQJI2 при критической силе для неоптимизированного стержня Ткр = 20.05 EIQJI2 . Ниже представлены оптимальные законы распределения высоты для других значений dhnawoe {dhUia:a =0.01/).
Здесь следует обратить внимание на то, что при dh/milloc =0.5/ ни и одном из сечений высота не достигает ограничений, т.е. максимум критической силы имеет место не на границе допустимой области, как это было, например, при dhn0VIQC =0.3/, а внутри неё. Этот факт хорошо согласуется с наблюдаемым на рис. 61 насыщением получаемой в результате оптимизации критической силы. Необходимо также отметить, что уменьшение dhmaca ведёт к незначительному увеличению получаемой в оптимальном варианте критической силы, что связано с более точным в таком случае приближением линейной функции к реальной. Представленные выше результаты получены для системы с отсутствующим сопротивлением, соответственно, речь идет о квазикрптіїческих силах. Рассмотрим теперь последнюю задачу при наличии демпфирующих сил. На рис. 66 приведены оптимальные законы распределения высоты для различных значений dhnQ1HOe. Здесь следует обратить внимание на то, что при clh,tovloa=0.15!iQ ни в одном из сечений высота не достигает ограничений, т.е. максимум критической силы имеет место не на границе допустимой области, как это было, например, при dhnavioe=0375hQ, а внутри неё. Этот ([ акт хорошо согласуется с наблюдаемым на предыдущем рисунке пасьицепием получаемой в результате оптимизации критической силы. Ma следующих рисунках представлены результаты оптимизации при различных соотношениях внешнего и внутреннего сопротивлений. На рис. 67 приведены зависимости критических сил неоптпмизировашюго стержня от параметров внешнего и внутреннего сопротивлении. Приведенные графики дублируют рисунки 20-21 главы 3. Здесь, в частности, хорошо видно проявление «парадокса Циглера» - падение критических сил, полученных при учете малого внутреннего сопротивления по сравнению с критической силой, вычисленной без учёта сопротивления. Результаты оптимизации призматического стержня, полученные при различных значениях сил внутреннего и вненшего сопротивлений, представлены на рис. 68. Графики отношений критической силы стержней оптимальных профилей к критической силе исходного стержня для dhnovtoe = 0.5Л0 представлены на рис. 69. Здесь прежде всего интересно падение эффективности оптимизации при наличии малого внутреннего сопротивления в сравнении со случаем без учета сопротивления, причем, если в случае с критическими силами введение внешнего сопротивления гасит эффект дестабилизации, то на эффективность оптимизации при малом внутреннем сопротивлении введение дополнительного внешнего демпфирования практически не сказывается (рис, 69, у = 0.01 ).
