Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие практически определимые соотношения теории предельного состояния
1.1 Основные соотношения предельных статически определимых состояний тел 32
1.2. Об определении общих статически определимых состояний на основе состояния полной пластичности 45
1.3. Статически определимые соотношения при неполном пластическом состоянии 49
1.4. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при условии зависимости направляющих косинусов главных напряжений от их величин 53
1.5. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при ограничениях на главные напряжения 60
1.6. Предельное анизотропное состояние идеальнопластической среды 70
1.7. Предельное статически определимое состояние при отрыве 80
Глава 2. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории предельного состояния
2.1. Основные соотношения общей плоской задачи теории предельного состояния 89
2.2. Свойства соотношений общей плоской задачи теории предельного состояния 100
Глава 3. Статически определимые соотношения теории предельного состояния при сдвиговых усилиях
3.1. Статически определимые состояния тел при сдвиговых усилиях 107
3.2. Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей 113
3.3. Кручение сектора кругового кольца при действии переменного давления 121
3.4. Кручение стержней переменного сечения при действии переменного давления 127
Глава 4. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния 4.1. Общие линеаризованные уравнения теории предельного состояния 133
4.2. Предельное состояние идеальнопластического анизотропного бруса и плиты 145
4.3. Предельное состояние призматического тела переменного прямоугольного сечения при условии равенства двух главных напряжений 158
4.4 Приближенное аналитическое определение предельного состояния идеальнопластических тел 164
Заключение 174
Литература 176
- Об определении общих статически определимых состояний на основе состояния полной пластичности
- Статически определимые соотношения при неполном пластическом состоянии
- Свойства соотношений общей плоской задачи теории предельного состояния
- Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей
Введение к работе
Основные представления о предельном состоянии тел были заложены Галилеем и Кулоном. Галилей, рассматривал разрушение балки при изгибе и предложил схему распределения усилий по поперечному сечению балки, вполне соответствующую распределению напряжений по идеальной жесткопластической схеме.
Кулон (1773 г.) сформулировал основные представления о предельном равновесии, применив их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на вертикальную подпорную стенки. Вертикальная стенка предполагалась абсолютно гладкой, Кулон исходил из допущения о существовании плоской поверхности сползания.
Коши в 1828 году предложил соотношения для определения напряжений в пластических телах; исходя из молекулярных представлений. Коши предполагал среду лишенной сил сцепления и не вышел за рамки представлений гидродинамики.
Именно представление о силах сцепления лежит в основе теории предельного состояния грунтов и теории пластичности металлов, хотя приложения теории предельного равновесия и теории пластичности не ограничиваются названными средами.
Представления о предельном состоянии фунтов и сыпучих сред в дальнейшем были развиты в работах Моузли (1833г.), Ренкина (1853г.), Леви (1869г.), Сен-Венана (1870г.) и др.
Ренкин рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения.
Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работ французского инженера Треска (1864г.). На основе экспериментов по штамповке и выдавливанию свинца, Треска выдвинул гипотезу о предельном значении максимального касательного напряжения, при достижении которого в теле возникают необратимые деформации. Предельное значение максимального касательного напряжения характеризует, согласно Треска, предельное значение сил сцепления материала.
Сен-Венан (1870г.) положил условие пластичности Треска в основу вывода соотношений теории пластического течения, в случае плоской деформации. Соотношения Сен-Венана: два уравнения равновесия да дтп дт, да + - - = 0, + — = 0, (1) дх ду дх ду условие пластичности Треска (ах -ау)2 + 4г =4к\к = const, (2) условие несжимаемости dex+de=0, (3) условие изотропии материала, устанавливающее коаксиальность тензора напряжений и тензора скорости деформации т de (4) ах - av dex - dey где сгх,а},тп - компоненты напряжения, dex,de ,dexi - приращения компонент деформации. Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности (1)-(4), сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение. Позднее Прандтль (1920г.) сформулировал представление об идеальном жесткопластическом теле и переход от приращений de деформаций de к скоростям пластических деформаций Б =—-, что " " dt позволило использовать эйлерово представление о течении в теории идеального жесткопластического тела. Условию изотропии (4) можно придать форму а є +т є =т є +(т є . (5) Пространственные соотношения теории идеальной пластичности впервые были даны Леви (1871г.). Он записал условие пластичности Треска в общем виде. Соотношения, определяющие пластическое течение, Леви определил из условия пропорциональности сдвиговых напряжений и приращений сдвигов. С современной точки зрения Леви использовал условие пластичности Треска и соотношения ассоциированного закона течения при условии пластичности Мизеса. Леви при помощи замены переменных о% =a + kcos20, cr cr-kcosie, rXi=ks\n20, 7 = -((7,+0 ).(6) удовлетворил условию пластичности (2) и из (1) получил систему квазилинейных уравнений — - 2ksm 20— + 2kcos 20— = О, дх дх ду (7) — + 2kcos 20— + 2ksm 20— = 0. ду дх ду Уравнения (7) лежат в основе исследований по определению напряжений при плоском деформированном состоянии идеальнопластического тела. В 1909 году появилась работа Хаара и Кармана [163]. В этой работе авторы высказали соображения, чго теория предельного состояния грунтов и теория пластичности имеют общие основы. В работе сформулирован вариационный принцип, определяющий пластическое состояние тел, и определено условие полной пластичности или полного предельного состояния. Отметим введение Мизесом (1913г.) квадратичного условия пластичности а уо у =к2, ранее аналогичное условие пластичности было предложено Губером (1904г.). Прандтлю и Генки принадлежит выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности. Прандтль (1921г.) ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом Прандтль рассматривал идеальнопластический материал, свойства которого зависят от среднего давления г = /(сг), где г - касательное напряжение, а- среднее давление. Генки (1923г.) ограничился рассмотрением идеальнопластического материала , свойства которого не зависят от среднего давления. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности. Им даны решения статически определимых задач о вдавливании штампов, обобщающее решение Прандтля, при этом Генки предполагал, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач. В этой же работе Генки выводит уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и определяет предельную нагрузку при вдавливании осесимметричного жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство, в предположении, что имеет место сетка скольжения плоской задачи, определенная Прандтлем.
Прандтль (1923г.) указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеальнопластическою напряженного состояния материала, дал численные методы решения, определил постановки задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнопластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. В этой работе Прандтль дал замечательное асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением А11 I. OY п „ - Ь , п , -кУ + С, J= + С, тг = —, C=const, (8) 1 h V U h xv h где 2h - ширина сдавливаемой полосы. Позднее Надай дополнил это решение построением поля скоростей перемещений. Генки определил интегралы, установившие свойства линий скольжения dy (\ 71 Є + а + 2Ш = const вдоль а -линии — = tg dx (9) dy ( к o-2kQ = const вдоль p-линии — = tg 0 — dx V 4, где а,Р - линии совпадают с линиями действия максимальных касательных напряжений. Гейрингер (1930 г.) исследовала уравнения (3), (4) для определения поля скоростей перемещений (ди ЗИ (dv діЛ ди dv п —+—= 0, sin 29 = cos 20 (10) дх ду \дх ду) \ду дх, и установила, что уравнения (10) принадлежат к гиперболическому типу, характеристики уравнений (10) совпадают с характеристиками уравнений, определяющих поле напряжений (7) и вдоль характеристик имеют место соотношения dll + VdQ = 0 вдоль а-линии, (11) dV + UdQ = 0 вдоль 0- линии, где U,V - компоненты скоростей перемещений вдоль а,Р -линий. Результаты упомянутых исследований открыли широкие возможности для решения различных задач теории идеальной пластичности. Отметим, что характерной особенностью решений задач теории идеальной пластичности является неединственность поля скоростей перемещений, при этом предельная нагрузка определяется единственным образом. Впервые соотношения ассоциированного закона течения были даны Мизесом (1928г.). Мизес определил соотношения ассоциированного закона течения для гладкой поверхности текучести єи=Я . (12) Позднее Рейсе (1933 г.) предложил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения а #; . д/2 да, 2дст; (13) ft (а,, ст2, с,) = 0, f2 (сг,, а2, аъ) = 0, где 7Г главные компоненты тензора напряжений, st- главные компоненты скоростей деформации. А.Ю. Ишлинский (1946г.) предложил соотношения пространственной задачи теории изотропного идеальнопласгического тела в следующем виде: три уравнения равновесия дх ду dz дтп да дг - + — + — = 0, (14) дх ду dz дх ду dz два условия пластичности у;(ЗД)=о, /2(ад)=о (15) где S2,S3 - второй и третий инварианты девиатора напряжений, условие несжимаемости єх+є}+єг=Ь (16) условия изотропии, утверждающие совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации ®X XV XV ) T-lfZ lZ = xv x " " ®v xv vz xz x\ xz " v vz \z z = xz xv vz v z yz V / T-xz x " " Tvz xv """ Z JCZ = ®X XZ " " TJTV1Z " " TJTZZ Согласно А.Ю. Ишлинскому, фиксированному напряженному состоянию о" может соответствовать множество различных деформированных состояний, тем самым были развиты представления, описываемые в рамках обобщенного ассоциированного закона течения. Современная формулировка соотношений обобщенного ассоциированного закона пластического течения принадлежит Койтеру (1953г.) и Прагеру (1953г.). Необходимо отметить также вклад Друккера (1949г., 1953г.) в обоснование основных представлений теории пластичности. В середине 30-х годов математическая теория пластичности начала привлекать отечественных ученых. Появляются работы C.JI. Соболева, Л.С. Лейбензона, С.Г. Михлина, А.А. Ильюшина, В.В. Соколовского. Заметный вклад в теорию идеальной пластичности принадлежит С.А. Христиановичу. С.А. Христианович [166] проанализировал уравнения плоской задачи теории идеальной пластичности, выявил вырожденные решения типа «простой волны», определил интегралы уравнений теории идеальной пластичности, послужившие основой для многочисленных решений, предложенных В.В. Соколовским. С.А. Христианович развил алгоритм определения напряженного состояния вблизи отверстий любой формы под действием произвольной нагрузки, получил в результате разрывные решения. А.Ю. Ишлинскому принадлежит прямой численный метод определения напряженного состояния в осесимметричных задачах теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеальнопластическое полупространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля. А.Ю. Ишлинский проанализировал кусочно-линейные условия пластичности, использовал эйлерово представление в задачах о течении идеальной вязкопластической среды. Д.Д. Ивлев [32-33] исследовал статически определимую систему уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Он показал, что системы уравнений, описывающие как напряженное, так и деформированное состояния тела, принадлежат к гиперболическому типу и имеют совпадающие характернеіики. Им получены ряд частных решений пространственной задачи теории идеальной пластичности при различных условиях пластичности. В работах Д.Д. Ивлева [34-42] получила заметное развитие теория предельного состояния тел при статически определимых соотношениях. С.А. Христианович и Е.И. Шемякин [168], [169] рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния. Они отмечают, что состояние неполной пластичности является статически неопределимым, статическая определимость имеет место при условии полной пластичности. В процессе деформирования идеальнопластического тела происходит процесс перехода от статического неопределимого состояния неполной пластичности к статически определимому состоянию полной пластичности. В результате С.А. Христианович и Е.И. Шемякин приходят к выводу, что пластическое течение может наступать только через полную пластичность.
Это утверждение имеет принципиальное значение для теории идеальной пластичности и теории предельного состояния тел С.А. Христиановичем и Е.И. Шемякиным проанализировано поведение пластического материала в случае сложного нагружения и показано, что материал приобретает анизотропное сопротивление сдвигам, даже если в исходном состоянии он был однородным и изотропным. Е.И. Шемякин указал, что индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация.
Е.И. Шемякину [172-181] принадлежит последовательное развитие представлений о сдвиговом характере предельного состояния и разрушения твердых деформируемых тел и горных пород. Он указывает на исключительную важность учета влияния промежуточных максимальных сдвиговых усилий и сдвигов, дает обоснование перехода к полному предельному состоянию, как реализации максимальной возможности сопротивления горных пород разрушению. В качестве основных параметров, характеризующих напряженное состояние, Е.И. Шемякин предлагает рассматривать три инварианта (7, - ffj (7, + 7, 2 72 -0-,-(7, Т = —! о =—! — II = ! СТ (7 ст Именно параметр Лоде " т -р » 12 л Ьз позволяет оценить сопротивляемость горных пород разрушению по «промежуточным» главным сдвиговым усилиям Т23,Т2. Ему принадлежит также обоснование наличия свободы механизма сдвигов, независимо от вида напряженного состояния, и развитие представлений об особой роли анизотропии и дилатансии, сопровождающих образование блочного характера разрушения горных пород. Представление диссипативной функции в математических моделях упругопластических сред отражает основные механические гипотезы, положенные в основу модели. Вопросы построения диссипативной функции в теории пластичности рассматривались Прагером, Циглером, Д.Д. Ивлевым, Е.И. Шемякиным и др. Показано, что эквивалентные построения соотношений теории пластичности могут быть получены исходя из определения функции нагружения и постулата максимума в пространстве напряжений (Мизес) и диссипативной функции и постулата максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. Крупный вклад в математическую теорию пластичности внес В.Г. Зубчанинов. В.Г. Зубчанинов [23-30] развил теорию управляемых упругопластических процессов, получил общие дифференциально нелинейные определяющие соотношения связи напряжений и деформаций, разработал ряд частных теорий пластичности (теория малого кручения, модифицированная теория течения, теория квазипростых процессов и др.). Постулат локальной размерности образа процесса и постулат физической определенности образов процессов нафужения и деформирования, сформулированные В.Г. Зубчаниновым, позволили интерпретировать геометрически процессы в обычных трехмерных пространствах. Основные результаты, полученные в теории пластичности изложены в монографиях [3, 8, 11, 17, 18, 22,29, 34, 38, 40, 62, 75, 78, 121, 123, 131, 151, 157, 158, 159, 162, 164] и др. Среди многочисленных обзоров необходимо отметить [12, 67, 69, 80, 127]. Представляемая работа посвящена исследованию ряда вопросов теории предельного состояния деформируемых тел в случае статически определимых соотношений и ее приложениям. Под статически определимым понимается состояние тела, находящегося под нафузкой, когда для определения напряженного состояния тела достаточно уравнений равновесия, а само тело може г быть рассмотрено как недеформируемое, абсолютно твердое. В случае, когда состояние тела статически неопределима, сохраняется прямая зависимость между напряжениями и деформациями и нафузка зависит от характера деформирования, т.е. фиксированная предельная нафузка не может быть определена. Для достижения предельной нафузки, независящей от характера деформирования тело должно перейти в статически определимое состояние Классическим примером статически определимого состояния является предельное состояние, описываемое соотношениями плоской задачи теории идеальной пластичности. В общем случае условие предельного состояния имеет вид f{ox,av,тху)=0. (18) Три уравнения (1), (18) образуют замкнутую систему относительно Трех НеИЗВеСТНЫХ GX,GV,TXV. Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций определяются согласно ассоциированному закону течения (19) Х 0. д/ Полный дифференциал функции текучести (18) запишем в виде дох dav 2 ckxv д/ д/ Adax + Bdav + 2Cdxxv = 0, A = - -, В = , С = Х У XV Ягг Л/т (20) Согласно (20) уравнения равновесия (1) можно записать в виде drxv даг 5т xv XV XV + 2С = 0. да ск = 0, А ±-В дх ду ду дх ду Уравнения характеристик системы уравнений (21) имеют вид ( fy\ _-С±4с2-АВ fdy]fdy) _А В В \dx j Kdx)\ 1,2 \dxj (21) (22) Соотношения вдоль характеристик (22) имеют вид dax \ "/12 -С±4С -АВ d 7x . dr . dat \\ » /2 В А (23) ( j \ )i Из (22), (23) следует (dy) I da dr J\ \dx = 1, (di dx. fda} \dT»j = 1. (24) В самом общем случае, система соотношений плоской задачи теории идеальной пластичности не всегда принадлежат к гиперболическому типу. Согласно (22) система уравнений (21) принадлежит к гиперболическому типу, если имеет место условие С2 - АВ 0. Предположим, что функция текучести (18) не зависит от величины среднего давления а. В эгом случае имеет место /( 7,- т„гп)=0. (25) Согласно (20), (25) Of (26) А = -В = d(Jx Из (22), (23), (26) следует da. rdy\ =С + А2+С2 ( dxjl2 А 4Jr ./12 C± A2+C2 (27) Согласно (27) система уравнений (21) имеет два семейства взаимно ортогоналных характеристик и принадлежит к гиперболическому типу. Поле скоростей перемещений определяется согласно (19), (20) dv ди 1 (ди дИ + — ду дх кА, є,. — — — кВ, с YV — — 1 дх у ду xv 2 где u,v - компоненты скорости перемещений. Из (28) следует система уравнений 1С, (28) ди dv .ди . dv 1С (29) = 0, В -А- = 0, (А-В) дх ду + кду дх / ди dv dx dy Система уравнений (29) имеет характеристики (22). Вдоль характкристик (22) справедливы соотношения (30) fdiA С + л1С2-АВ (du\(du\ _А В \dvjl2 .dv)\dv)2 В Для функции текучести (25) согласно (26), (29) имеет место условие несжимаемости du dv п — + —= 0. дх ду (31) В случае осесимметричной задачи имеют место два уравнения равновесия op dz p dp & p где ap,ae,az,Tpz - компоненты напряжения в цилиндрической системе координат p0z. Если имеет место одно предельное условие /(ap,ao,az, Tpz)=0, (33) три соотношения (32), (33) являются статически неопределимыми относительно четырех компонент напряжения cip,(7o,az,TpZ. Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций определяются согласно ассоциированному закону ЕР=АД-, е0=Л- , СГ=АД-, ЄР, =-- -, \ 0. (34) dap да0 да2 н" 2дстр2 Статически определимая осесимметричная задача теории идеальной пластичности имеет место, если определены два предельных соотношения /i(ap,ao,cJz,TpZ)=0, /2(aP,a0,az,Tpz)=O. (35) Система четырех уравнений (32), (35) относительно четырех компонент напряжений c7p,ae,az,Tpz является замкнутой. Соотношения (35) можно записать в виде Pi(° wJ=0 Оо=(р\°п А (36) Соотношения связи между напряжениями (36) и скоростями деформаций определяются согласно обобщенному ассоциированному закону Эр, д(р2 1 да. 2да с (37) где єр,Бе,є2,Єр2 - компоненты скорости деформации вдоль осей p,0,z. Исследование свойств уравнений статически определимых соотношений осесимметричной задачи дано в [57]. В случае пространственной задачи имеют место три уравнения равновесия (14). Поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия (14), является статически возможным. В случае удовлетворения напряженного состояния условию пластичности /Ю=0, (38) согласно [40], соотношения (14), (38) определяют пластическое состояние материала. Система четырех уравнений (14), (38) является статически неопределимой. Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформации определяются согласно ассоциированному закону течения е=Х -, Х 0. (39) В случае удовлетворения напряженного состояния двум соотношениям /1( )=0,/2( )=0, (40) согласно [40], соотношения (14),(40) определяют развитое пластическое состояние. Система уравнений (14), (40) продолжает оставаться статически неопределимой. В случае статически неопределимых соо і ношений имеет место прямая зависимость напряжений от скоростей деформаций. Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформации определяются согласно обобщенному ассоциированному закону течения е=хЖ+Х&, 1,Л2 0. (41) Статическая определимость соотношений теории идеальной пластичности имеет место при выполнении трех условий пластичности /iKM /2(aj=0, /зЦ/Н (42) Система шести уравнений (14), (42) является относительно шести компонент напряжения atj замкнутой. Скорости деформации определяются из соотношений ассоциированного закона течения при условиях пластичности (42) s=L - + L- - + L- -, 1,1, 0. (43) да., да., да.. v и v Для изотропного материала три независимых условия /i(a„G2,a3)=0, /2{G1,G2,G3)=0, /3(°і а2 °з)=0, (44) приводят к полю напряжений Gx=const, G2=const, G3=const. (45) Для изотропного материала статическая определимость имеет место при условии полной пластичности [40] Gi=a2, G$=G\ +2к, к = const. (46) Из соотношений связи ax=Cili+c2mi+G3nft Txv=Gllll2+o2mlm2+G2nln2, 7 7 7 Gv=Gll2+G2m2+G3n2, xxz=G]lll3+G2mim3+G3n]n3, (47) 7 7 7 az =cjj/3 +G2m3+G3n\(, т =а1/2/з+а2/и2/Из+а3«2«з, где ll,ml,nl - направляющие косинусы, определяющие ориентацию ортогональных главных направлений 1,2,3 в декартовой системе координат xyz, и соотношений (46) следует 2 2 ох=о—к+2кп{, xxv=2kn{n2, Jv=G--k+2knl, xyz=2kn2n3, (48) 2 з GZ=U—к+2кп3, хх2=2кп{Пт), nf+nj+n =\, a=-(ox + av + 3z), где пі,П2,пз - направляющие косинусы главного напряжения сг} в пространстве главных напряжений cr,, т2, т3. Из(48)следует т т т т т т 2 vwtxz 2 lxylvz 2 xz yz ,, m Я, = , л2=——, «3 = • (49) 2rvz 2kxxz 2kxxv Из (48), (49) получим , JCV Z a =G—k+ vz 3 T av=a-i , (50) 3 Txz 3 T T T T T T T Tj +W + L=2k m (51) T T X ljrz jrz ujrv Из (14), (48) следует система уравнений да п дщ дщ дщ дщ дщ п +2щ—1-+п2—-+щ—-+щ—1+щ—-=0, 2к дх дх ду ду dz ду 1 да дщ дп2 - дт дщ дщ +щ—1+щ—±-+2щ—-+щ—-+щ—-=0, (52) 2А: ф дх дх ду dz dz 1 да дщ дщ дщ дщ _ сЦ . +щ —1+щ —-+щ —-+п2 —-+2щ —-=0, 2к dz дх дх ду ду dz щйщ +n2dn2 +щс1щ =0. Система уравнений (52) принадлежит к гиперболическому типу. Представляя уравнение характеристической поверхности системы уравнений (52) в виде V(x,y,z) = 0, (53) получим (ngradVJ(2{ngracW)2 -(gracW)1 ]= 0, (54) где п = щі + п2\ + щк, gracW = 4,xi + 4, ] + 4 zk. Из (54) следует, что характеристическим является направление n, а также направление, составляющее угол — с направлением п. Другими словами, характеристики образуют конус с раствором — с осью вдоль п, на характеристических поверхностях касательные напряжения достигают максимального предельного значения. Соотношения ассоциированного закона течения при условии полной пластичности имеют вид [34 ] Щ Щ п2 П2 Щ Щ 8V+SV+8Z=0. (56) Согласно (48) соотношения (55) можно записать в виде ot-o+2/3 ог-о+2Ш X ЛТ vz rz XV wjrv o7-o+2&/3 + 87, Gx-a+2k/3 v.2 — xy г Є v + C ,z Tjrv Tvz o,-o+2 /3 ov-o+2A73 = 8 vz ;;z - + vz X« (57) или "XV -+є. T« Є 0,-0+2 /3 ""о -о+гШ •VV VZ vv - + 8,,+8, xyav-G+2k/3 y yzGv-a+2k/3 (58) ";vz "xz = 8, - + 8, о2-о+2Ш o2-o+2Jfc/3 +c2, или • ,Z4. vz_ T z , xz _ xy -УУ f OA v yz "XZ T T T MZ bJTV vz JT "ЛГУ „ vxz vxy д- jrv xz — XV v vz ;cz vz +CZ. V- - J "xz Переходя в соотношениях (55) к компонентам скоростей перемещений по формулам Коши сху 2 _ди _dv _dw х "Т" ev Т- Z — л га: су oz -+— , си=- сЪ cbrj 2 \(ди_ dv] _Udu dw\ 1 \ду дх) dv cHv (60) получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных u,v,w дх Я) ди dv ду дх \wJ Пл \ + П ґ ди dws Kdz дх, =2—+ ( ( dv щ dv dw + П: + - ди dv —+ ду п2\ду дх) n2\dz ду (61) dz пъ ди dwy Kdz дх j dv dw dz ду ди dv dw n ox: dy dz Система уравнений (61) принадлежит к гиперболическому типу. Уравнение для определения характеристических поверхностей (53) системы (61 Совпадаете (54). Диссертационная работа состоит из четырех глав. Глава первая содержит исследование общих статически определимых соотношений теории предельного состояния пластических тел в обобщенных переменных. Обобщенные переменные широко используются в теории конструкций, пластичности, оболочек. В этом случае в качестве обобщенных переменных выступают изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные усилия и соответствующие им параметры, характеризующие изменение геометрии срединной поверхности. Ниже в качестве обобщенных переменных используются переменные, зависящие от компонент главных напряжений и параметров, определяющих ориентацию главных напряжений в физической системе координат. Полученные соотношения обобщают известные результаты А.Ю. Ишлинского и позволяют выделить члены, определяющие анизотропию материала. Для изотропных тел из полученных соотношений следуют выражения А.Ю. Ишлинского.
Рассмотрены свойства общих статически определимых соотношений теории предельного состояния пластических тел. Показано, что при определенных предположениях общая система уравнений, описывающая предельное статически определимое состояние твердого деформируемого тела принадлежит к гиперболическому типу. Определены характеристические поверхности исследуемых соотношений.
Исследованы статически определимые состояния среды, когда предельное условие зависит только от направлений главных напряжений, а также когда предельное условие зависит только от величин главных напряжений. Этот случай рассмотрен также в работе [52]. Показано, что в рассматриваемых случаях направления главных напряжений являются характеристическими. Определено поле скоростей перемещений. Показано, что характеристические поверхности соотношений, описывающих как напряженное, так и деформированное состояния, совпадают.
Рассмотрены общие соотношения статически определимых состояний пластических тел при условии сопротивления отрыву, не связанные с ограничениями на величины главных напряжений. Построены характеристические поверхности для рассматриваемых соотношений. Полученные результаты обобщают результаты работ [34],[36].
Вторая глава посвящена исследованию общей плоской задачи теории идеальной пластичности.
Соотношения общей плоской задачи, включающие в себя как частные случаи соотношения плоской и антиплоской деформации, при условии полной пластичности рассмотрены в [49]. Предельное состояние идеальнопластического полупространства при вдавливании штампа с учетом сдвиговых усилий в условиях общей плоской задачи исследованы в [53],[54].
Согласно [49 ] соотношения (48) имеют вид JI = о —k + k(\ + cos#)cos2 P, cry = 7—к + k(\ + cos0)sm2 (p, (62) Gz = (7 —k+k(\- cos#), vti = -(1 + cos#)sin2# , r7 = къ\пв?лп(р, Tx =ks\\\0cQS(p, J--\C7x+ 7 +CTJ, где в в в п. = cos—cos ер, n, =cos—sine?, nx =sin- і 2 v» 2 2 v з (63) Из (63)следует T = + r;f= sin0. (64) Предположим, что имеет место общая плоская задача ay=ffMy)y Р = Р( Л 0 = 0( )- (65) Из уравнений равновесия (14), соотношений (63) имеет место система трех уравнений относительно трех неизвестных а,в,ср. Полученная система уравнений принадлежит к гиперболическому типу, имеет три характеристики dx /12 = tg U Р± (п -м , tgty = -cos# 2vcos# (66) Вдоль характеристик (66) имеют место соотношения , , (l + cos0) . Л 1/ \ Vcos# З (67) Третья характеристика имеет вид = tg P /з вдоль которой имеет место соотношение S1" da-kd0 = O. (l + cos 9) Аналогично рассматривается соответствующее поле скоростей. а) 7! (68) (69) Рис. 1 На рис. 1 показано сечение конуса характеристик плоскостью. Рис. 1а соответствует случаю, когда главное напряжение а3 лежит в плоскости сечения, характеристики ортогональны, этому случаю соответствует состояние плоской деформации. Случай общей плоской задачи соответствует рис.16, случай антиплоской деформации и кручения -puc.le В случае плоской деформации л3=0, 9 = 0. (70) °"1 = 2k+0 )+ cos2 с, =-( r,+o\)- cos2p, (71) rt = к sin 2cp, (0,-0 + 4 =4 , о Л +о-,)- , rB = r„=0. В случае анти плоской деформации Из (62), (72) следует riz=kcos p, T2=ks m p. (73) Согласно (14), (73) для определения компонент тЛ2,т имеет место система уравнений % + = 0, т2г! + т2 г=к2, k = const. (74) га: гТу Согласно (72) из (66)-(69) следует d p = 0, dcr = 0, y = xtgcp + C, С-const. (75) В случае антиплоской деформации (72) при условии полной пластичности (62) компоненты GX,GV,GZ,XXV ОТЛИЧНЫ ОТ нуля. Из (62), (72), (73) будем иметь к 7x=ffi- + , сту=ст!-к + -, (76) г г т = Рис.2 Если боковая поверхность стержня свободна от напряжений, то касательные напряжения направлены по касательной к контуру стержня L (рис.2). В локальной системе координат г в точке А (рис.2) согласно (72) вдоль характеристики (68) имеет место т =0 Tnz= n"0 (77) Из условия ас =0 в точке А (рис. 2) из (75), (76) следует, что вдоль характеристики (68) az=k, ац=к. (78) Соотношения (66)-(69) позволяют распространить результаты по плоской деформации теории идеальной пластичности на случай действия продольных сдвигов тЛ2,ту2. Рассмотрены статически определимые соотношения общей плоской задачи в случаях, когда условие предельного состояния не совпадает с условием полной пластичности. Для рассматриваемых случаев показано, что статически определимые соотношения общей плоской задачи принадлежат к гиперболическому типу. Определены характеристики исследуемых соотношений и соотношения вдоль этих характеристик. Полученные соотношения обобщают результаты работы [49]. В третьей главе рассмотрено предельное состояние пластических тел в случаях, когда условия пластичности имеют вид а также ,= , = , „= 0, (79) и Гх=Рх ° =Рі °г=Ру (8°) Исследованы свойства соотношений, описывающих рассматриваемые предельные состояния тел. Определены уравнения характеристических поверхностей соотношенй как для статики, так и для кинематики течения. Показано, что исследуемые соотношения принадлежат к гиперболическому типу. Рассмотрена задача о кручении цилиндрическиих и призматических стержней при условии пластичности Мизеса в предположении, что боковая поверхность стержня находится под давлением, линейно меняющимся вдоль его образующей. Аналогично исследована задача о кручении сектора кругового кольца при условии пластичности Мизеса, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящем от угла поворота вокруг оси сектора.
Рассмотрено также кручение стержня переменного сечения при условии пластичности Мизеса, когда боковая поверхность стержня находится под давлением, линейно меняющимся вдоль оси стержня.
Во всех рассмотренных задачах определены характеристики исследуемых соотношений, найдены касательные усилия и поле скоростей перемещений вдоль характеристик.
Четвертая глава посвящена исследованию свойств общих линеаризованных уравнений теории идеальной пластичности и предельного состояния.
АЛО. Ишлинский в [66] в линеаризованной постановке рассмотрел плоское идеальнопластическое состояние растягиваемой полосы переменного сечения.
В аналогичной постановке в [8] рассмотрено предельное состояние состояние анизотропной идеальнопластической полосы, а также растягиваемых брусьев прямоугольного поперечного сечения при условии полной пластичности и условии пластичности Мизеса.
В [70] рассмотрено пространственное идеальнопластическое состояние призматических тел переменного прямоугольного сечения при условии соответствия напряженного состояния граням и ребрам кусочно-линейных условий текучести.
Получены общие линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния. Рассмотрено пространственное течение анизотропных идеальнопластических тел переменного сечения для гладких и кусочно гладких поверхностей текучести.
Методом малого параметра получено приближенное аналитическое решение пространственных задач теории идеальной пластичности в цилиндрической системе координат при условии полной пластичности. При этом за исходное нулевое приближение было принято решение Прандтля о сжатии слоя жесткими параллельными плитами.
Результаты диссертации опубликованы в работах [101]-[117].
Отдельные результаты и работа в целом докладывалась:
на семинарах по механике деформируемого твердого тела при кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1998-2006);
на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1999-2006);
на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТГУ, 2003);
на Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, ВГУ, 2004);
на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005).
Об определении общих статически определимых состояний на основе состояния полной пластичности
Коши в 1828 году предложил соотношения для определения напряжений в пластических телах; исходя из молекулярных представлений. Коши предполагал среду лишенной сил сцепления и не вышел за рамки представлений гидродинамики. Именно представление о силах сцепления лежит в основе теории предельного состояния грунтов и теории пластичности металлов, хотя приложения теории предельного равновесия и теории пластичности не ограничиваются названными средами. Представления о предельном состоянии фунтов и сыпучих сред в дальнейшем были развиты в работах Моузли (1833г.), Ренкина (1853г.), Леви (1869г.), Сен-Венана (1870г.) и др. Ренкин рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения. Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работ французского инженера Треска (1864г.). На основе экспериментов по штамповке и выдавливанию свинца, Треска выдвинул гипотезу о предельном значении максимального касательного напряжения, при достижении которого в теле возникают необратимые деформации. Предельное значение максимального касательного напряжения характеризует, согласно Треска, предельное значение сил сцепления материала. Сен-Венан (1870г.) положил условие пластичности Треска в основу вывода соотношений теории пластического течения, в случае плоской деформации.
Соотношения Сен-Венана: два уравнения равновесия условие пластичности Треска условие несжимаемости условие изотропии материала, устанавливающее коаксиальность тензора напряжений и тензора скорости деформации где сгх,а},тп - компоненты напряжения, dex,de ,dexi - приращения компонент деформации. Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности (1)-(4), сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение. Позднее Прандтль (1920г.) сформулировал представление об идеальном жесткопластическом теле и переход от приращений деформаций de к скоростям пластических деформаций Б =—-, что " " dt позволило использовать эйлерово представление о течении в теории идеального жесткопластического тела. Условию изотропии (4) можно придать форму Пространственные соотношения теории идеальной пластичности впервые были даны Леви (1871г.). Он записал условие пластичности Треска в общем виде. Соотношения, определяющие пластическое течение, Леви определил из условия пропорциональности сдвиговых напряжений и приращений сдвигов. С современной точки зрения Леви использовал условие пластичности Треска и соотношения ассоциированного закона течения при условии пластичности Мизеса. Леви при помощи замены переменных удовлетворил условию пластичности (2) и из (1) получил систему квазилинейных уравнений
Статически определимые соотношения при неполном пластическом состоянии
Отметим введение Мизесом (1913г.) квадратичного условия пластичности а уо у =к2, ранее аналогичное условие пластичности было предложено Губером (1904г.). Прандтлю и Генки принадлежит выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности. Прандтль (1921г.) ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом Прандтль рассматривал идеальнопластический материал, свойства которого зависят от среднего давления г = /(сг), где г - касательное напряжение, а- среднее давление. Генки (1923г.) ограничился рассмотрением идеальнопластического материала , свойства которого не зависят от среднего давления. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности. Им даны решения статически определимых задач о вдавливании штампов, обобщающее решение Прандтля, при этом Генки предполагал, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач.
В этой же работе Генки выводит уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и определяет предельную нагрузку при вдавливании осесимметричного жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство, в предположении, что имеет место сетка скольжения плоской задачи, определенная Прандтлем. Прандтль (1923г.) указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеальнопластическою напряженного состояния материала, дал численные методы решения, определил постановки задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнопластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. В этой работе Прандтль дал замечательное асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением где 2h - ширина сдавливаемой полосы. Позднее Надай дополнил это решение построением поля скоростей перемещений. Генки определил интегралы, установившие свойства линий скольжения где а,Р - линии совпадают с линиями действия максимальных касательных напряжений. Гейрингер (1930 г.) исследовала уравнения (3), (4) для определения поля скоростей перемещений и установила, что уравнения (10) принадлежат к гиперболическому типу, характеристики уравнений (10) совпадают с характеристиками уравнений, определяющих поле напряжений (7) и вдоль характеристик имеют место соотношения где U,V - компоненты скоростей перемещений вдоль а,Р -линий. Результаты упомянутых исследований открыли широкие возможности для решения различных задач теории идеальной пластичности.
Отметим, что характерной особенностью решений задач теории идеальной пластичности является неединственность поля скоростей перемещений, при этом предельная нагрузка определяется единственным образом. Впервые соотношения ассоциированного закона течения были даны Мизесом (1928г.). Мизес определил соотношения ассоциированного закона течения для гладкой поверхности текучести Позднее Рейсе (1933 г.) предложил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения где 7Г главные компоненты тензора напряжений, st- главные компоненты скоростей деформации. А.Ю. Ишлинский (1946г.) предложил соотношения пространственной задачи теории изотропного идеальнопласгического тела в следующем виде:
Свойства соотношений общей плоской задачи теории предельного состояния
Исследованы свойства соотношений, описывающих рассматриваемые предельные состояния тел. Определены уравнения характеристических поверхностей соотношенй как для статики, так и для кинематики течения. Показано, что исследуемые соотношения принадлежат к гиперболическому типу. Рассмотрена задача о кручении цилиндрическиих и призматических стержней при условии пластичности Мизеса в предположении, что боковая поверхность стержня находится под давлением, линейно меняющимся вдоль его образующей. Аналогично исследована задача о кручении сектора кругового кольца при условии пластичности Мизеса, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящем от угла поворота вокруг оси сектора. Рассмотрено также кручение стержня переменного сечения при условии пластичности Мизеса, когда боковая поверхность стержня находится под давлением, линейно меняющимся вдоль оси стержня. Во всех рассмотренных задачах определены характеристики исследуемых соотношений, найдены касательные усилия и поле скоростей перемещений вдоль характеристик. Четвертая глава посвящена исследованию свойств общих линеаризованных уравнений теории идеальной пластичности и предельного состояния. АЛО. Ишлинский в [66] в линеаризованной постановке рассмотрел плоское идеальнопластическое состояние растягиваемой полосы переменного сечения.
В аналогичной постановке в [8] рассмотрено предельное состояние состояние анизотропной идеальнопластической полосы, а также растягиваемых брусьев прямоугольного поперечного сечения при условии полной пластичности и условии пластичности Мизеса. В [70] рассмотрено пространственное идеальнопластическое состояние призматических тел переменного прямоугольного сечения при условии соответствия напряженного состояния граням и ребрам кусочно-линейных условий текучести. Получены общие линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности и предельного состояния. Рассмотрено пространственное течение анизотропных идеальнопластических тел переменного сечения для гладких и кусочно гладких поверхностей текучести. Методом малого параметра получено приближенное аналитическое решение пространственных задач теории идеальной пластичности в цилиндрической системе координат при условии полной пластичности. При этом за исходное нулевое приближение было принято решение Прандтля о сжатии слоя жесткими параллельными плитами. Результаты диссертации опубликованы в работах [101]-[117]. Отдельные результаты и работа в целом докладывалась: на семинарах по механике деформируемого твердого тела при кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1998-2006); на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1999-2006); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТГУ, 2003); на Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, ВГУ, 2004); на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005).
Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей
Следовательно, вектор касательного напряжения т всегда направлен ортогонально к характеристике. Предположим, что боковая поверхность стержня свободна от касательных усилий. Следовательно, вектор касательного напряжения т во всех точках контура L направлен по касательной к ней. Отсюда следует, что характеристики есть окружности нормальные к контуру. Таким образом, характеристики уравнения (3.2.1.6) в плоскости ху 1 есть окружности радиуса т—, причем центры этих окружностей 1 расположены на касательных к контуру L и расстоянии -г— от точки касания. Согласно (3.2.1.8) и(3.2.1.10), из (3.2.1.7) имеем re=cosp0 + A(x-x0),Tt, = sin pQ+ Л(у- y0), (3.2.1.14) где р0-угол, образованный касательной к контуру L в точке (х0,у0) и осью х. 2. Рассмотрим кручение цилиндрического стержня (рис. 3.2.2), контур поперечного сечения L которого есть окружность радиуса R. Напряженное состояние определяется только в кольце, ограниченном окружностями L и L,, где L, - огибающая характеристик. Характеристики уравнения (3.1.1.6) ортогональны к контуру L и касаются огибающей Lr Вектор касательного напряжения т во всех точках I, направлен к ней ортогонально. Решение задачи не может быть продолжено внутрь круга, ограниченный огибающей I,. Стержень следует рассматривать как полый, поперечное сечение которого офаничено изнутри огибающей Lr На внутренней стенке стержня действуют касательные усилия направленные вдоль его образующей, которые уравновешивают действия усилий на концах стержня. В тех случаях, когда через данную точку сечения могут проходить две и более характеристик, имеет место линия разрыва напряжений. Рассмотрим соотношения на линии / разрыва напряжений. Разложим вектор касательного напряжения т на линии разрыва на две составляющие г, и тп2, направленные соответственно по касательной и нормали к ней.
Пусть а - угол, образованный касательной к линии разрыва и осью х. Тогда Припишем компонентам слева от линии разрыва индекс «плюс» наверху и справа от линии разрыва - индекс «минус» наверху. Из равенства т п, = г , нормальных к линии разрыва напряжений получим Рассмотрим случай, когда контур поперечного сечения L стержня образует прямой угол {рис.3.2.3), который совпадает со вторым координатным углом. Для определения напряженного состояния необходимо найти линию разрыва напряжений. В этом случае, линия разрыва напряжений / выходит из вершины прямого угла и ее уравнение имеет следующий вид На отрезке АВ касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль отрезка АВ необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик BD и ВС. Вдоль линий BD и ВС действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления crz. 3. Деформированное состояние стержня определим из соотношений ассоциированного закона пластического течения. Из условия экстремума функционала Постоянная с определяется из граничных условий для перемещения w. Рассматривая линию разрыва напряжений / как предельное положение жесткого слоя, положим деформацию сдвига на этих линиях равной нулю. Тогда получим Согласно (3.1.3.12), вдоль линии разрыва имеем Так как w определяется с точностью до жесткого перемещения, то, принимая в какой-нибудь точке линии разрыва w=0 и интегрируя (3.2.3.13) вдоль линии разрыва, находим значение w во всех точках линии разрыва, а следовательно, сможем определить константу с для каждой характеристики.
