Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения нелинейной теории упругости .12
1.1. Литературный обзор 12
1.2. Основные соотношения нелинейной механики деформируемого тела 16
1.2.1. Движение и деформация 16
1.2.2, Напряжения. Уравнения движения 19
1.3. Деформационные зависимости и уравнения движения в комплексном виде ...22
1.4. Комплексная форма законов упругости 25
1.5. Инвариантные интегралы в нелинейной теории упругости 28
2. Нелинейная задача механики деформируемого тела для плоскости с вырезом 30
2.1. Плоская задача для несжимаемого материала. Вывод инвариантных интегралов 30
2.2. Решение задачи о плоскости с клиновым вырезом с использованием комплексного инвариантного «/-интеграла 37
2.2.1. Плоскость с клиновым вырезом при статических (силовых) граничных условиях 37
2.2.2. Плоскость с клиновым вырезом при граничных условиях жесткого края 42
2.2.3. Плоскость с клиновым вырезом при комбинированных граничных условиях 48
2.3. Плоскость из стандартного редуцированного несжимаемого материала с клиновым вырезом 51
2.4. Плоскость из неогуковского материала с клиновым вырезом 56
2.5. Плоскость из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом 59
3. Решение плоской задачи с вырезом по методу асимптотического разложения 61
3.1. Нелинейная задача о пластине из неогуковского материала с клиновым вырезом 61
3.2. Нелинейная задача о пластине из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом 66
4. Экспериментальные исследования эластомеров 72
4.1. Проблемы исследования больших деформаций 73
4.2. Экспериментальная установка 74
4.3. Резина марки 2130 78
4.4. Образцы из высокоэластичной резины (марки 3012) 97
4.5. Выводы по экспериментальным исследованиям 103
Основные результаты и выводы 104
Список использованных источников 106
- Деформационные зависимости и уравнения движения в комплексном виде
- Плоскость с клиновым вырезом при статических (силовых) граничных условиях
- Нелинейная задача о пластине из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом
- Образцы из высокоэластичной резины (марки 3012)
Введение к работе
Актуальность темы об исследовании концентрации напряжений и деформаций в окрестности вершины выреза при помощи соотношений теории упругости возникает в связи с все более частым использованием новых материалов, работающих при больших деформациях. В связи с все более широким применением эластомеров в современном машиностроении, в механике деформируемого твердого тела получили развитие нелинейная теория упругости и нелинейная теория оболочек. Четкая и обозримая теория, позволяющая решать задачи нелинейной теории упругости, развивалась постепенно и, со временем, в рамках различных научных школ появились различные ее варианты. Наиболее полные из них представлены в монографиях В.В.Новожилова [119], A.E.Green и W. Zerna [20], А.И.Лурье[105], К.Ф.Черныха[152].
Необходимость дальнейшего развития нелинейной теории упругости обусловлена тем, что в настоящее время, в частности, строительные конструкции содержат элементы, работающие при больших деформациях. Недостаточные теоретические и экспериментальные исследования часто оборачиваются катастрофами (с большими человеческими жертвами). Теоретические исследования также позволяют оценивать степень точности «машинных» методов расчета, используемых в проектных организациях.
Несмотря на то, что фундаментальные работы по нелинейной теории упругости были опубликованы в течение последних пятидесяти лет, число построенных аналитических решений конкретных задач в нелинейной теории упругости невелико. Для задач, содержащих особые точки, такие решения фактически отсутствуют. Также отсутствуют и экспериментальные результаты для случая больших деформаций растяжения образцов с клиновыми вырезами. Цель диссертационной работы в построении решения задачи о растяжении плоскости с клиновым (прямолинейным) вырезом из нелинейно-упругого материала.
Для достижения указанной цели необходимо:
1. показать, что при условии несжимаемости можно использовать метод инвариантного J- интеграла;
2. получить асимптотику условных напряжений в вершине выреза (прямолинейного разреза и клинового выреза) для плоскости из следующих потенциалов: неогуковского, несжимаемого стандартного редуцированного и Бартенева-Хазановича;
3. исследовать форму раскрытия выреза;
4. провести экспериментальные исследования по плоскому растяжению образцов, содержащих прямолинейный разрез и клиновидный вырез;
5. сравнить экспериментальные результаты с теоретическими решениями.
Методы исследования. В работе использовались как теоретические методы исследования напряженно-деформируемого состояния в окрестности особых точек (метод инвариантного J - интеграла и метод асимптотического разложения), так и экспериментальные (исследование поля деформаций реальных резиновых образцов на опытной установке).
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
1. Построены асимптотики условных напряжений в плоскости с клиновым вырезом для случая нелинейно-упругого материала при силовых граничных условиях, граничных условиях жесткого края и смешанном типе граничных условий.
2. С помощью метода инвариантного интеграла решена задача поиска асимптотики условных напряжений в вершине клинового выреза плоскости из материалов: неогуковского, Бартенева-Хазановича и несжимаемого стандартного редуцированного. 3. Исследовано распределение напряжений в окрестности вершины разреза (прямолинейного и клинового) для неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича.
4. Впервые поставлены эксперименты по одноосному растяжению резиновых образцов с клиновыми разрезами.
5. Экспериментально исследована форма деформированного выреза при различных углах раствора, глубинах выреза. Произведена оценка максимальной кратности удлинения, при которой происходит разрушение образцов.
Практическая ценность. Полученные решения могут быть использованы для предсказания поведения различных конструкций из эластомеров при больших нагрузках и деформациях на стадии проектирования. Предложенный метод J- интеграла может быть использован при исследовании асимптотики напряжений в окрестности особых точек при решении нелинейных задач.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач, сопоставлением авторских решений с решениями, опубликованных в литературных источниках, экспериментальной проверкой теоретических результатов, в том числе и экспериментами автора.
Апробация результатов работы. Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела Санкт-Петербургского государственного университета. Содержание диссертационной работы было доложено на конференции «Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела» СПбГУ (Санкт-Петербург, 2001, 2003, 2004, 2005, 2006); на VI Международной конференции «Assessment of reliability of materials and structures: problems and solutions» СПбГПУ (Санкт-Петербург, 2005); на Международной конференции «Stability and Control processes», СПбГУ (Санкт-Петербург, 2005). Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 работ, которые содержатся в списке использованных источников на стр. 115-116, 120.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 120 страницах, содержит 37 рисунков и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.
Деформационные зависимости и уравнения движения в комплексном виде
Плоская задача является одной из основных задач теории упругости. Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двумерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоскости. Общий метод решения плоской задачи линейной теории упругости, основанный на аппарате теории аналитических функций, был разработан Г.В.Колосовым [98] и Н.И.Мусхелишвили [115]. В монографии В.В. Новожилова [120] рассмотрены только односвязные области, что позволило обойтись без аппарата интегралов типа Коши. Используя методы теории функций комплексного переменного, К.Ф.Черных [151] получил достаточно большое количество точных аналитических решений нелинейных задач, в том числе и плоских.
Большинство задач нелинейной теории упругости решается по методу конечных элементов с применением современных вычислительных систем I.Gu[21]; Е.Е. Gdoutos, G.Papakaliatakis[18]; G.X. Chen, C.H. Wang, L.R.F. Rose[7]; G. Song, K.Chandrashekhara, W.F.Breig, D.L.Klein, L.R.01iver[54]; E.F.Rybicki, M.F.Kanninen[51]; S. Raliman[43,44,45], T.Nishioka[35,36], R. Murakami[36], Y.Takemoto[36]; Y. Guo, J.A. Nairn[22]; P.T. Williams, B.R. Bass[62]; U. Weerts, H. Kossira[61]; А.П.Господариков[87], Б.Е.Мельников[86], С.А.Кабриц[93,94,95],В.А.Постнов[131].
В работах К.Ф. Черныха[149-152]; В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П.Дацышина[125]; П.Е. Товстика[143], A.M.Taran(ino[57,58] содержатся аналитические решения нелинейных задач.
В механике разрушения широко используются так называемые гишариаптпые интегралы (контурные интегралы, не зависящие от пути интегрирования). Введение их в практическое использование связывают, прежде всего, с именами J.D.Eslielby [14,15], J.L.Sanders [52], Г.П.Черепанова [147], J.R.Rice [46,48,132]. Рассмотрим способ применения инвариантных интегралов при решении плоских задач.
Существует косвенный метод [90] для получения решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в вершине трещины, в основе которого лежит ./-интеграл, определяемый выражением где Г - замкнутый контур, который обходится против часовой стрелки, окружающей в напряженном теле некоторую область (рис. 1.1); Т - вектор напряжений, перпендикулярный контуру Г и направленный во внешнюю сторону, Т. = оцп}\и -вектор перемещения, ds - элемент контура, упругий потенциал. Показано [49], что если Г - замкнутый контур, то ,7 = 0. J.R.Rice [48] применил этот интеграл к задачам о трещине.
В работе [150] К.Ф.Черных, применительно к обобщенной плоской деформации и плоскому напряженному состоянию, получил удобные для практического использования, компактные комплексные формы закона упругости. Полученные К.Ф.Черных комплексные инвариантные интегралы позволили получить асимптотику условных напряжений. Примененный к плоской задаче комплексный подход, дал возможность рассмотреть проблему комплексных инвариантных интегралов и получить асимптотику условных напряжений для плоскости с клиновым вырезом из сжимаемого (немодифипировашюго) стандартного редуцированного материала [150].
Определение ./-интеграла. В диссертационной работе предпочтение отдается несжимаемым материалам, которыми и являются эластомеры. В отличие от металлов, эластомеры образованы из гибких длинно-цепочных молекул, соединенных «сшитыми» химическими связями. Высокомолекулярные цепочки могут испытывать большие обратимые деформации. При этом связь между напряжениями и деформациями также формулируется с помощью упругого потенциала.
Если для несжимаемого изотропного материала упругий потенциал является функцией всех трех инвариантов тензора деформации, то для высокоэластичного потенциала только двух.
При всестороннем сжатии эластомер ведет себя как низкомолекулярное тело с модулем объемного сжатия порядка 103-104кг/см2 и с модулем сдвига порядка 1-150 кг/см2 [156]. Сопоставление модулей сдвига и объемного сжатия показывает, что последний на два - три порядка больше. Отсюда и следует широко используемое предположение о несжимаемости эластомеров. Экспериментальные данные показывают, что при действии нагрузок резиноподобные материалы [68, 149, 156] обычно меняют форму, а не объем, что доказывает справедливость условия несжимаемости.
На основании различных экспериментов по одноосному и двухосному растяжению плоских образцов для резиноподобных материалов предложено большое число разнообразных упругих потенциалов [154]. Теоретическое сопоставление большинства из них проводилось лишь в единичных случаях, главным образом для закона Муни-Ривлина [156].
Плоскость с клиновым вырезом при статических (силовых) граничных условиях
Высокомолекулярными соединениями, или полимерами называют сложные вещества с большими молекулярными массами, молекулы которых построены из множества повторяющихся элементарных звеньев, образующихся в результате взаимодействия и соединения друг с другом одинаковых или разных простых молекул - мономеров [136,156].
Для реальных полимеров число молекулярных звеньев цепи имеет порядок 10і -105, что отвечает молекулярным массам. Поэтому полимеры часто называют высокополимерами, а их молекулы макромолекулами [4,28,136].
Каучуки, резины, некоторые каучукоподобные полимеры, а также набухшие жесткоцепные полимеры являются типичными высокоэластичными материалами в интервалах температур -100 Г ОСГС. Полимеры, находящиеся в высокоэластичном состоянии, широко используются в технике для создания различных резинотехнических изделий (уплотнителей, клапанов, амортизаторов и др.), автомобильных и авиационных шин и др. Основные технические свойства высокоэластичных материалов - низкие модули упругости и хорошие амортизирующие способности. Требование стабильности этих свойств в широком диапазоне температур заставляет использовать резины в тех температурных областях и частотповременных режимах нагруження, в которых деформации относительно близки к равновесным. [136]
Упругая деформация твердых полимеров обусловлена изменением средних межатомных и межмолекулярных расстояний и деформаций валентных углов полимерной цепи, высокоэластичная - ориентацией и перемещением звеньев гибких цепей.
Макромолекулы могут находиться в различных конформациях. Переход от одних конформаций к другим происходит путем вращения звеньев цепи вокруг одиночных связей. В реальной молекуле вполне свободного вращения нет из-за внутри- и межмолекулярных взаимодействий. Макромолекулу можно приближенно рассматривать как смесь ее повторных изомеров. Растяжение макромолекулы сопровождается: , 34, 69] 1. перераспределением повторных изомеров звеньев цепи без изменения их полного набора; 2. изменением набора повторных изомеров при переходе от свернутых к транс-изомерам. Обратимая деформация реальных эластомеров достигает 1000%, поэтому необходимо учитывать при расчетах резинотехнических изделий геометрическую и физическую нелинейность, и использовать для этого нелинейную теорию упругости [151].
Большая часть экспериментальных исследований была проведена на материалах, разрушающихся при сравнительно небольших деформациях [96, И6, 129]. Их поведение традиционно описывалось законом Гука. Обычно в таких экспериментах использовались металлы, стекло, дерево, бетон и т.п. В статьях и монографиях представлен обширный исследовательский материал, который послужил основой для разработки экспериментальных установок и методик для проведения экспериментов [116,129].
В 20 веке стали широко использоваться новые высокоэластичные материалы для решения ряда технических задач, неразрешимых на основе традиционных материалов. Такими высокоэластичными материалами являются природный и искусственный каучуки, полимеры, резины, материалы биологического происхождения, используемые в современной технике и в быту. При больших деформациях возникают большие погрешности при определении деформаций и напряжений в изделии; невозможность определять напряжения между различными частями изделия с помощью тензородатчиков; искажения измерений из-за «граничных» условий (как правило, зажимы не «держат» материал и, соответственно, их относительное перемещение не совпадает с относительным изменением первоначально зафиксированного размера образца); погрешности измерений из-за искажения формы меток [63, 99,107,116,156].
По экспериментальным исследованиям больших деформаций существует небольшое число работ, большая часть из которых посвящена одноосному или двухосному растяжению плоских резиновых мембран или полимерных пленок, а также одноосному растяжению нити [59, 66, 67, 74,75,107, 128, 140, 144]. Как правило, целью этих экспериментов было построение нелинейной зависимости «нагрузка-деформация», и на основе экспериментальных данных построить различные варианты упругого потенциала [154, 156], Сопоставление значительного числа экспериментальных данных различных авторов дано в работах [151, 152, 154], где показано, что большинство экспериментальных данных укладывается в концепцию трех константного упругого потенциала [68, 100,156].
В данной работе исследовалось поведение резиновых образцов при больших деформациях, не содержащих или содержащих вырезы. В качестве экспериментального материала использовались различные марки изопреновых резин (марок 2130 и 3012, ГОСТ 7338-90), изготовленные в НИИРПе. Брались полосы, ширина которых 55 мм или ПО мм, толщиной 0,8 мм или 0,4 мм, и длина изменялась в диапазоне от 200 до 600 мм (рис 4.1).
Выбор образцов длиной 20 см при длине рабочего хода 140 см обеспечивает возможность получения деформации до 600%.
На середину верхней поверхности образца чернилами с помощью штампа наносилась прямоугольная сетка с шагом 5 мм, размерами 50x100 мм (рис 4.2).
Нелинейная задача о пластине из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом
По зависимости 4.24-4.26 видно, что кратность удлинения в вершине выреза меньше, чем кратность удлинения в зоне выреза при заданных нагрузках.
При прекращении исследования поведения образца резины с вырезом под действием нагрузки, т.е. после снятия нагрузки, образец вернулся в плоское состояние.
По экспериментальным исследованиям опубликована работа [157]. Диссертанту в этой работе принадлежат результаты, связанные с растяжением полосы с клиновым вырезом. Остальные результаты принадлежат соавторам. 1. Поведение образцов из резины марки 2130 может быть описано с помощью потенциала Бартенева-Хазановича, а поведение низкомодульной (высокоэластичной) резины марки 3012 может быть описано с помощью неогуковского потенциала (рис. 4.0,4,8,4.22), 2. Образцы без выреза из резины марки 3012 не разрушались. Это согласуется с тем, что решение, содержащее сингулярность для потенциала Бартенева-Хазановича по методу асимптотического разложения найдено не было. Это согласуется также с экспериментальными результатами других авторов [63], отмечающих отсутствие особенности в вершине разреза. 3. Глубина выреза при углах более 90 существенно не влияет на прочностные характеристики резинового образца. 4. Наблюдается эффект выхода края выреза из плоскости при одноосном растяжении тонких мембран. 5. Общие деформации в испытуемых образцах в зоне вершины выреза в два раза больше, чем деформации образца, 6. Чем меньше угол выреза, тем больше коэффициент концентрации деформаций. 1. В работе показана эффективность применения метода инвариантных интегралов в плоской задаче нелинейной теории упругости для несжимаемых материалов. 2. С помощью применения метода инвариантного ./ - интеграла решена задача поиска асимптотики условных напряжений в вершине клинового выреза плоскостей из неогуковского, стандартного редуцированного несжимаемого и Бартенева-Хазановича материалов. Частными случаями решения являются асимптотика условных напряжений в вершине прямолинейного выреза и асимптотика в вершине клинового выреза плоскостей из сжимаемых материалов. Для неогуковского материала, материала Бартенева-Хазановича и стандартного редуцированного материала асимптотика получена при силовых граничных условиях (2.60, 2.70,2.73, соответственно). 3. В случае упругого потенциала типа Огдена (1.31) асимптотика условных напряжений в вершине клинового выреза имеет особенности в решении, зависящую от «параметров нелинейности», в отличие от линейной теории с особенностью уг. 4. По методу асимптотического разложения, осуществлен поиск компонент тензоров деформации и напряжений в окрестности вершины выреза (прямолинейного и клинового) плоскости из неогуковского материала. Показано, что для некоторых материалов решение может не содержать особенность. 5. Впервые проведены экспериментальные исследования по одноосному растяжению резиновых образцов с клиновым вырезом и дано их сопоставление с теоретическими результатами. Деформации в испытуемых образцах в окрестности вершины выреза в два раза больше, чем деформации образца (рис. 4.24). 6. Построены зависимости предельной кратности удлинения образца в зависимости от угла клинового выреза и глубины выреза (рис. 4.15, 4.16). Сделан вывод, чем меньше угол клинового выреза, тем меньше предельная кратность удлинения образца. 7. Эффект выхода края выреза из плоскости при одноосном растяжении тонких мембран наблюдался при проведении экспериментов. 8. Показана форма раскрытия клинового выреза (3.15) с использованием метода асимптотического разложения. Эта форма соответствует экспериментальным данным рис. 4.10-4.13. В процессе растяжения клиновой (V -образный) вырез переходит в [/-образный.
Образцы из высокоэластичной резины (марки 3012)
Первым этапом эксперимента было построение зависимости нагрузка -кратность удлинения для резины марки 2130 (использовалась полоса без выреза).
Кратность удлинения бралась как отношение ///", где Г и / - расстоянии между граничными метками до и после растяжения. В некоторых экспериментальных работах [74] граничные метки ставят на линии зажимов, но при больших деформациях кратность удлинения, определяемая как отношение расстояния между зажимами до и после деформирования, при некачественной сборке может значительно отличаться от кратности удлинения, определяемой как расстояние между метками, нанесенными до деформации не на уровне зажимов. Такое отличие достигает 5 % (относительная погрешность определения кратности удлинения). Причина этого краевые эффекты у зажимов (неоднородность деформации образца), пример такого эффекта показан на рисунке 4.6. Поэтому, при больших деформациях, следует использовать центральную часть растягиваемого образца, в которой состояние более близко к однородному, чем в области края. Именно по этой причине надо брать достаточно длинную полосу, поскольку в этом случае краевые условия не будут оказывать существенное влияние на напряженное состояние вдали от края.
Для задания нагрузки в установку между подвижной пластиной 4 и винтом 5 подсоединялся динамометр. При больших деформациях (порядка 200%) становиться заметна релаксация напряжений. Через 2-3 минуты после увеличения нагрузки «быстрая » релаксация заканчивается [67]. На рис. 4.8. представлена экспериментальная зависимость «нагрузка кратность удлинения». При построении зависимости «нагрузка - кратность удлинения» по экспериментальным данным между метками реализуется напряженное состояние, близкое к однородному. Такое предположение допустимо для достаточно длинной полосы. Так для полосы размерами 500у55х0,8 мм две метки наносились на расстоянии /]00=100 мм, две на расстоянии /200 =200 мм друг от друга симметрично относительно захватов (/50()=500 мм друг от друга). При растяжении полосы при заданном значении нагрузки измерялось расстояние между этими метками, и затем, определялась относительная кратность удлинения. Результаты измерений одного из образцов в виде зависимости между нагрузкой и кратностью удлинения (между соответствующими метками) приведены в таблице 1. Как следует из таблицы, максимальное отличие в найденных значениях трех относительных кратностей удлинений составляет около 8%. В рассматриваемом случае она составляла около 3%. Нагрузка определялась с относительной погрешностью 5%. При малых деформациях - порядка 5% ошибка составляет уже около 10%. На рисунках 4.7, 4.10-4.13, 4.20 отрезок I 11 соответствует 1 см недеформированпого образца. На рис. 4.7 представлен вид сверху на образец при разных значениях кратностей удлинения (нагрузок). Предельное удлинение, при котором образец разрушался, без выреза 2,8; как следует из рис. 4.7, однородное напряженное состояние реализуется в отсутствии вырезов. Экспериментальная кривая может быть хорошо описана с помощью потенциала Бартенева-Хазановича при G 3.2—- (сплошная расчетная кривая на рисунке 4.8). Вторым этапом эксперимента являлось исследование поведения выреза на резиновом образце; то есть, какова форма выреза при больших деформациях, S2 что происходит в вершине выреза и какая зависимость максимальной кратности удлинения (разрыва) от угла выреза /3 и от глубины выреза а (рис. 4.9). Для пробивания углов различных растворов были изготовлены специальные пробойники. При использовании ножниц или ножей для прорезания в вершине выреза образуются или скос, или «заусенец», или утонение, причем обычно незаметные без специального оборудования, но все эти эффекты становятся очень заметными при растяжении. Скос в 10% от размера выреза при растяжении приводит к разрыву не по продолжению угла выреза, а по продолжению скоса, кроме того, он дает дополнительную устойчивость образца к разрыву, объяснение данного эффекта будет дано чуть позже. Похожую картину дает и «заусенец», но здесь возможен разрыв, как справа, так и слева от «заусенца». Утонение же приводит к более раннему разрыву образца, по сравнению с образцом без этого дефекта.
Угол выреза пробивался на глубину а - 9 мм от края образца по нанесенной на поверхность сетке, что составляет порядка 16% от ширины резинового образца. В итоге вырез находился на середине длинны полосы, края выреза свободны от нагрузки. Далее образец закрепляется на установке, и происходило постепенное его растяжение. На рисунках 4.10-4.13 представлены растяжения образца при различных углах выреза.
На рис. 4.10-4.13 представлено раскрытие угла в окрестности выреза. По аналогии с рис. 4.5, видно, что искажение сетки на поверхности образца при растяжении происходит неравномерно только на 3 клеток от каждой стороны выреза, далее же, сетка растягивается так, как будто выреза на образце нет (это видно из сравнения рисунков 4.10-4.13 с рисунками 4.7). В связи с этим, на фотографии пририсован единичный отрезок, соответствующий 1 см линейки, которая также была сфотографирована.
