Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения теории нестационарной гидроупругости 18
1.1. Линейная теория упругости 18
1.2. Акустическая среда 22
1.3. Уравнения движения тонких упругих оболочек 24
1.4. Начально-краевые задачи для двусвязных областей. 27
1.5. Некоторые свойства модифицированных сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра 35
Глава 2. Распространение нестационарных волн от сферического включения в упругом полупространстве 42
2.1. Распространение кососимметричных волн сдвига от сферического включения в полупространстве 42
2.2 Распространение осесимметричных волн от сферической полости в упругом полупространстве 50
2.3 Алгоритм обращения преобразования Лапласа и примеры расчетов 60
Глава 3. Нестационарные колебания упругого полупространства с включением в виде сферической оболочкой или шара 70
3.1. Распространение в упругом полупространстве нестационарных волн от сферической полости, подкрепленной тонкой сферической оболочкой 70
3.2. Дифракция нестационарных волн на тонкой сферической оболочке в упругом полупространстве 79
3.3. Результирующая сила на неподвижном абсолютно жестком шаре в упругом полупространстве 93
3.4. Численные результаты 99
Глава 4. Нестационарные колебания упругого пространства с двумя сферическими включениями 106
4.1. Нестационарное поведение упругого пространства с двумя сферическими полостями 106
4.2. Нестационарные колебания упругого пространства, содержащего сферическую полость и шар 121
4.3. Нестационарные колебания упругого пространства со сферической полостью или абсолютно жестком шаром и оболочкой 123
4.4. Нестационарные колебания упругого пространства с двумя тонкими сферическими оболочками 134
4.5. Численные результаты 141
Глава 5. Динамика упругой среды, ограниченной двумя тонкими эксцентричными сферическими оболочками 148
5.1. Нестационарное поведение тонкой сферической оболочки, заполненной упругой средой с эксцентричной расположенной сферической полостью 148
5.2. Нестационарное колебание упругой среды сферической формы с внутренней эксцентричной сферической оболочкой 187
5.3. Нестационарные колебания системы двух эксцентрично расположенных тонких сферических оболочек. 198
5.4. Численные результаты 203
Заключение 209
Список литературы 211
- Уравнения движения тонких упругих оболочек
- Распространение осесимметричных волн от сферической полости в упругом полупространстве
- Дифракция нестационарных волн на тонкой сферической оболочке в упругом полупространстве
- Нестационарные колебания упругого пространства, содержащего сферическую полость и шар
Введение к работе
Развитие различных областей техники и создание новых конструкций, работающих при нестационарных динамических воздействиях, современные задачи самолетостроения, судостроения, геофизики и сейсмологии, а также ряд других тенденций научно-технического характера способствуют повышению актуальности проблем динамики деформируемых тел. К числу таких проблем относятся вопросы распространения и дифракции ударных волн на различного типа неоднородностях (включения, полости и т. д.). Их исследование связано, как правило, с большими сложностями, как в силу математических проблем, возникающих при решении соответствующих начально-краевых задач, так и физической трактовки результатов, что привлекает внимание физиков, математиков и механиков актуальностью, сложностью и многообразием явлений, связанных с различными механическими и физическими процессами.
Рассмотрению возникающих при изучении этой проблемы разнообразных вопросов посвящены многочисленные публикации в периодической научной литературе, а также монографии В. М. Александрова и Е. В. Коваленко [1], В. И. Буйвола [17], А. С. Вольмира [23], Ш. У. Галиева [24, 25], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [34, 35], Э. И. Григолюка и А. Г. Горшкова [48, 49], А. Н. Гузя и В.Т. Головчана [50], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], Б. В. Замышляева и Ю. С. Яковлева [58], В. Д. Кубенко [65], Е. Н. Мнева и А. К. Перцева [80], Ш. Маматкулова [77], Ш. Наримова [82], У. К. Нигула, Х.А. Метсавээра, Н. Д. Векслера и М. Э. Кутсера [84], Г. И. Петрашеня [89], В. Б. Поручикова [91], X. А. Рахматулина, Я. У. Саатова, И. Г. Филиппова и Т. У. Артыкова [92], Т. Рашидова [93], Т. Рашидова, Г. X. Хожметова и Б. Мардонова [94], Я. У. Саатова [96], И.Г. Филиппова, Т. Ш. Ширинкулова и С. Миркабилова [106], Е. И. Шемякина [107, 108], Ю. С. Яковлева [119], Y. Н. Pao, С.-С. Mow [141], Н. Huang a, Y. P. Lu и Y. F .Wang a [131] и других.
Обширную библиографию, посвященную исследованиям этого направ-ления, можно найти в обзорных статьях и монографиях А.Г. Горшкова [29], A. Г. Горшкова и В.И. Пожуева [31], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [33], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], А. В. Вестяка, А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [19, 20].
В настоящее время достаточно полно изучены вопросы о распространении и дифракции нестационарных ударных волн на единичном препят- {\ ствии типа полости или инородного включения в безграничных упругой и акустической средах. Этой тематике посвящены монографии и работы Ш.У. Галиева [24], Э. И. Григолюка и А. Г. Горшкова [48, 49], А.Г. Горшкова и Д. B. Тарлаковского [34], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], Б. В. Замышляева и » Ю. С. Яковлева [58], В. Д. Кубенко [65], С. С. Кохманюка, Е. Г. Янютина и Л. Г. Романенко [62], Е. Н. Мнева и А. К. Перцева [80], У. К. Нигула, X. А. Мет савээра, Н. Д. Векслера и М. Э. Кутсера [84], А. К. Перцева и Э. Г. Платонова [88], В. Б. Поручикова [91], Л. И. Слепяна [100], И. Г. Филиппова и О. А. Егорчева [105], Y. Н. Рао, С.С. Mow [141], Н. Huang a, Y. P. Lu, Y. F. Wang a [131], Н. Huang a, Y. F. Wang a [132] и других авторов.
Область приложений результатов, полученных в нестационарной аэро гидроупругости тонкостенных конструкций, непрерывно расширяется. Halt пример, в монографии Горшкова А.Г., Морозова В.И., Пономарева А.Г. и Шклярчука Ф.Н. [30] излагается постановки и методы решения самых разнообразных задач из области аэрогидроупругости в приложении к летательным и подводным аппаратам различного назначения, а в монографии Бадалова Ф.Б. и Хашимова Ж. [12] приведены решения задач и расчеты, k используемые в области гидроупругости пластин и оболочек.
В монографии [2] приведены методы и результаты решения для неклассических пространственных задач механики контактных взаимодействий упругих тел, полуограниченных и ограниченных размеров. Задачи рассмотрены в рамках линейной теории упругости, решения которых построены численно-аналитическими методами.
Ниже приводится кроткий обзор литературы, содержащей исследования по двум направления: 1) стационарные и 2) нестационарные волновые процессы в многосвязных областях, занятых упругой или акустической средой.
Большое число публикаций посвящено задачам о распространении и дифракции стационарных волн в многосвязных областях. Полученные результаты по этому вопросу приведены в монографиях А.Н. Гузя и В.Т. Головчана [50], А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко и А.Э. Бабаева [51], В.Н. Буйвола [17], В.Т. Головчана, В.Д. Кубенко, Н. А. Щульги, А.Н. Гузя и В.Т. Гринченко [28] и опубликованы в работах [3, 16, 56, 57, 66, 73, 75, 87, 95, 97]. В статье В.Д. Кубенко [66] изложен подход к решению задач о рассеянии стационарных акустических волн на двух непараллельных круговых цилиндрах, расположенных в безграничной среде. В результате получена бесконечная система интегроалгебраических уравнений. Влияние полуограниченности акустического пространства при падении плоской волны на тонкую упругую сферическую оболочку изучено в [95]. Искомое давление представляется в виде разложений в ряды по сферическим функциям. Получена бесконечная система алгебраических уравнений с использованием метода мнимых источников и теоремы сложения для сферических волновых функций. В [87] приведено решение задачи об установившихся колебаниях сферической оболочки в идеальной жидкости со свободной поверхностью. Определяется влияние свободной поверхности жидкости на частоты колебаний сферической оболочки. И. В. Савиной [97] исследовано взаимодействие плоских акустических волн с гидроупругой системой коаксиальных бесконечно длинных цилиндрических пьезокерамических оболочек, лежащих вблизи плоской границы полупространства. Задача сведена к решению бесконечной линейной алгебраической системы с комплексными коэффициентами.
С. А. Лунева [75] изучила волновые поля, возникающие в результате дифракции плоской продольной волны на двух параллельных частично защемленных круговых цилиндрах. В [73] методом разделения переменных в эллиптических координатах решена задача о рассеянии плоских волн при нормальном падении на бесконечную решетку одинаково ориентированных идеально податливых эллиптических цилиндров. Л. А. Алексеевой [3] получено аналитическое решение задачи о стационарной дифракции волн на круговом отверстии в упругой полуплоскости. Использованы метод разделения переменных, переразложения цилиндрических функций на плоские волны и метод многократных отражений. В [56, 57] рассмотрены взаимодействия двух твердых тел при дифракции плоской акустической волны в неограниченной идеальной жидкости. С использованием теоремы сложения сферических функций задача сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Колебания упругого полупространства с цилиндрической полостью под действием подвижной нагрузки, приложенной на плоской границе, изучены в [85]. Поверхность полости свободна от напряжений. Исследовано изменение во времени поля напряжений вокруг полости. Соответствующая система уравнений в частных производных, записанная в биполярной системе координат, проинтегрирована численным методом С. К. Годунова. В [120] рассмотрено однократное отражение продольных и поперечных упругих волн от цилиндрической полости, расположенной в упругом полупространстве, на плоской границе которого приложено нормальное давление.
Дифракция стационарной плоской упругой волны сдвига на цилиндрических полостях в изотропном полупространстве рассмотрена в [16]. Краевая задача сводится по решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов рассеянных волн. Задача о дифракции сдвиговых волн на полостях и жестких включениях в полупространстве с защемленной и свободной от сил границей исследована также в [81]. Расчеты проводились для цилиндрических полостей и жестких включений эллиптического сечения. Дифракция стационарной сферической волны на системе двух сферических полостей разного диаметра, находящихся в безфаничной однородной изотропной упругой среде изучена в [133]. Поверхности полостей свободны от напряжений. Напряженное состояние среды определяется путем суперпозиции потенциалов отраженных волн от обеих полостей. Потенциалы отраженных волн представлены в виде рядов по функциям Ханкеля и полиномам Лежандра. Определяется динамический коэффициент концентрации напряжений в окрестности полостей.
В [123] исследована дифракция пульсирующей волны Релея на сферической полости в упругом полупространстве. Подобная задача для цилиндрической полости рассмотрена также в работе [125].
В статье [124] изучена дифракция упругих стационарных волн на системе жестких параллельных цилиндров, находящихся в неограниченной упругой изотропной среде. Численные результаты приведены для случая двух цилиндров. Аналогичная задача для двух параллельных цилиндрических полостей исследована в [143, 144]. В первой работе получено решение задачи, во второй - приведены численные результаты и их анализ. В работе [122] исследована дифракция волны сдвига в неограниченной изотропной упругой среде, содержащей N параллельных жестких цилиндров. В [130, 147] рассмотрены гармонические колебания упругого полупространства с цилиндрической полостью. Плоская граница полупространства свободна от напряжений. В [147] полагается, что к поверхности полости приложены нормальные и касательные напряжения. Решения волновых уравнений определяются методом многократных отражений. В работах [121, 145] изучена динамическая реакция упругого изотропного полупространства со сферической полостью. В [121] на поверхности полости задано давление.
Потенциалы продольных и поперечных волн раскладываются в ряды по функциям Ханкеля и полиномам Лежандра. В [146] решение задачи получено с использованием метода многократных отражений волн от плоской границы и от поверхности полости.
В работе [126] изучена задача о дифракции волны на некруговой цилиндрической полости, расположенной в круговом цилиндре. Краевая задача решалась с использованием комбинированного метода конечных элементов. Найдены динамические напряжения и перемещения в окрестности некруговой полости.
В [139] рассмотрено отражение стационарной сферической продольной волны, излучаемой сферическим источником, от плоской границы упругого полупространства.
В настоящее время актуальными, но малоизученными являются задачи о распространении и дифракции нестационарных ударных волн в многосвязных областях. В частности, представляют интерес исследования переходных процессов в областях с системой отражающих тел, границы которых не принадлежат к одному семейству координатных поверхностей. Результаты исследований закономерностей распространения и дифракции нестационарных волн в акустическом полупространстве с преградами (жесткая сфера, сферические и цилиндрические оболочки), приведены в монографии А. Э. Бабаева [7] и публикациях [5, 6, 8, 9, 10, 27, 61, 67, 90]. В [7] изложен аналитический метод решения нестационарных задач аэрогидроупругости и гидроэлектроупругости, позволяющий сводить их к интегральным уравнениям Вольтерра с запаздывающими аргументами, и приведены решения задач о дифракции акустических ударных волн на полых цилиндрической или сферической оболочках, находящихся вблизи плоской границы. Исследовано влияние жесткой стенки и свободной границы полупространства на напряженно-деформированное состояние сферической и цилиндрической оболочек. Обоснована правомерность применения к полученной бесконечной t системе интегральных уравнений метода редукции.
Взаимодействие плоской акустической ударной волны давления с системой двух жестких параллельных круговых цилиндров разного радиуса рассмотрено в [5]. Начально-краевая задача решается методом, предложенным в [6]. Исследование задачи о дифракции нестационарной волны давления на жесткой сфере, расположенной вблизи свободной поверхности, приведено в [67]. Получена формула для гидродинамического давления.
Наряду с аналитическими и полуаналитическими подходами наблюда- } ется развитие и широкое использование численных методов: конечно разностных, конечного элемента, характеристик и др., что обусловлено повышением технических возможностей современных ЭВМ. При исследовании переходных процессов в сплошных средах они применялись В.Г. Баженовым [13, 14], В.Д. Кубенко, М.В. Степаненко [68, 69], Ш.У. Галиевым [24], А.И. Бабичевым [11] и др. Численные методы привлекают своей универсаль-ностью и позволяют проводить расчеты с учетом нелинейных эффектов для сред с разрывными параметрами (сильные ударные волны) и в случае границ раздела сложного очертания. Несмотря на универсальность численных схем, они нуждаются в проверке достоверности с помощью тестовых примеров, что подтверждает целесообразность развития аналитических методов.
В работе [138] приведены решение задачи о распространении нестационарных волн от полости в акустическом полупространстве и сравнение с результатами, полученными авторами работы [36]. В первой статье эта задача решена методом конечных элементов, а во второй решение построено аналитическим методом.
Численное решение задач о нестационарном действии ударных волн на -f тонкостенные оболочки, расположенные вблизи жесткой стенки акустичес кого полупространства, дано в [10]. Движение жидкости описывается системой нелинейных уравнений газовой динамики, а динамическое поведе ниє оболочек — уравнениями геометрической нелинейной теории оболочек ,(» типа С. П. Тимошенко. Напряженно-деформированное состояние неограни ченной упругой изотропной среды с двумя сферическими полосями рассмотрено в [28]. Полагалось, что на поверхностях полостей заданы нормальные и касательные напряжения.
В статье [53] изучены нестационарные колебания упругого полупространства, содержащего бесконечно длинное жесткое цилиндрическое тело. Плоская граница свободна от напряжений. Движение тела задано. Соответствующая начально-краевая задача, представленная в биполярной системе j координат, интегрировалась методом конечных разностей.
Публикации [61, 74, 78, 83, 107, 148] посвящены исследованию отражения волн от свободной поверхности упругого полупространства, содержащего сферический и точечный источники. В [61] построено поле смещений, « возникающее в результате отражения от свободной границы упругого полу пространства падающей на нее осесимметричной упругой волны, излуча-емой внутренней сферической полостью. Полученные результаты справедливы лишь до того момента времени, пока отраженные волны не дошли до сферы. Напряжения в упругом полупространстве, возникающие под действием нестационарного линейного источника, распределенного вдоль прямой линии, параллельной плоской границе, исследовано в статье [74]. Решение получено с использованием преобразований Лапласа по времени и Ханкеля по радиальной координате. В [83] изучено распространение малых возмущений в слоистом полупространстве при действии нормальных симметричных сжимающих напряжений на поверхности сферического источника. Интегрирование системы уравнений в частных производных выполняется численным методом.
Методом источников и стоков проведено исследование отражения сферической волны от свободной поверхности упругого полупространства в работе [78]. Волна генерируется давлением, заданным на поверхности сферической полости. В [107] получены формулы, позволяющие провести і» исследования поля перемещений на поверхности упругой среды. Методом граничных элементов приведен анализ перемещений поверхности полупространства и процессов распространения волн от сферического источника в [148].
В работах [86, 142] изучено колебание упругого полупространства под действием внутренних точечных источников возмущений. Статьи [59, 89] посвящены исследованию распространения возмущений в упругом полу 1 пространстве, покрытым слоем жидкости. Точечный источник возмущения j находится в полупространстве.
В [79] рассмотрено распространение нестационарных возмущений от сферического источника в слое жидкости. Слой находится в контакте с упругим полупространством. Численным методом решена задача о распрос •г транении волн в упругой полуплоскости с неоднородностями (прямоуголь ные отверстия) при воздействии динамических нагрузок на границе в [55]. Исследовано влияние неоднородностей на волновое поле.
В [72] рассмотрены движения, возникающие в полупространстве, заполненном сжимаемой жидкостью, с включенной жесткой сферой под воздействием импульса, заданного на плоской границе. В работе [129] решалась плоская динамическая задача теории упругости для однородной изотропной полуплоскости с круговым отверстием. К границе отверстия мгновенно прикладываются нормальные и касательные усилия, являющихся функциями точки контура и остающиеся постоянными во времени. Граница полуплоскости свободна от усилий. Решения волновых уравнений разыскиваются в виде суперпозиции и последовательных отражений волны от грани-цы полуплоскости и от контура отверстия. Распространение волн в упруго , вязкопластическом полупространстве с цилиндрической полостью исследо вано в [140]. На границе полости задано переменное по времени и по пространственной координате давления.
Распространения нестационарных волн от полости в упруго-пористом полупространстве рассмотрены в работах [109, 112], а в [102, ПО] изучены задачи о дифракции нестационарных волн на сферических включениях в упруго-пористом полупространстве. Решения задач построены с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений получены бесконечные системы алгебраических уравнений.
Метод граничных элементов используется для решения динамической задачи для упругого полупространства с цилиндрической полостью в [137]. К поверхности цилиндрической полости внезапно приложено давление. Динамические напряжения в окрестности цилиндрической полости, расположенной в неограниченной упругой полосе с осью, параллельной плоским границам, во время прохождения плоской нестационарной волны напряжения рассмотрены в [135]. Плоские границы полосы и поверхности полости свободны от напряжений. Начально-краевая задача решена с использованием преобразований Лапласа по времени и Фурье по углу, а также с применением метода ортогонализации Шмидта. Переход к оригиналам осуществляется численным методом. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными другими авторами.
Аналогичные нестационарные задачи рассматриваются в работах [134, 136]. Первая статья посвящена исследованию концентрации напряжений на круговом отверстии в неограниченной плоской полосе. Во второй работе изучалась дифракция плоской ударной волны на двух круговых цилиндрических полостях. В статье [128] исследовано распространение нестационарного возмущения от сферического источника, расположенного в упругом слое.
Широкое распространение получил метод разделения пространственных переменных в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа по времени. При этом неизвестные величины определяются в виде ряда по собственным формам колебаний. Основные трудности возникают при инвер сии полученных формул. Существуют различные приближенные способы перехода в пространство оригиналов, как например: численное обращение преобразования Лапласа; использование различных аппроксимаций в области изображений; применение приближенных схем вычисления интеграла обращения (в частности - метод перевала); представление оригинала в виде асимптотически эквивалентного (степенного) ряда. В ряде исследований инверсия полученных формул осуществлялась на основании теории вычетов.
Из приведенного выше анализа литературных источников следует, что к настоящему времени ряд нестационарных задач динамической теории упругости для полупространства, содержащего сферические границы раздела, мало изучен: распространение возмущений от сферической полости в упругом полупространстве; дифракция плоской волны на жесткой сфере, расположенной в полупространстве; динамика упругой сферы ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями и т. д. Аналитические решения этих задач и их частных случаев и являются предметом исследования в данной диссертации.
Во многих практических задачах, как правило, окружающая среда имеет плоскую границу (жесткая стенка или свободная поверхность), влияние которой часто приводит к изменению напряженно-деформированного состояния среды. Постановка задач данного класса, разработка эффективных методов их решения и влияние закономерностей распространения и дифракции с учетом влияния многократно отраженных от системы преград волн, представляют важную и актуальную проблему современной механики.
Цель работы заключается в постановке и исследовании новых задач о распространении и дифракции нестационарных волн на преградах (сферическая полость, жесткая сфера, тонкая сферическая оболочка), находящихся в упругом или акустическом полупространстве, а также в изучении динамики упругой среды, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приведены основные зависимости теории упругости, уравнения движения упругих, акустических сред и тонких оболочек. Даны математические постановки начально-краевых задач о распространении возмущений в двусвязных областях в произвольной криволинейной системе координат. Изложен метод неполного разделения переменных, который применяется в данной работе при решении нестационарных задач. Приведены теоремы сложения для сферических функций и некоторые свойства функций Бесселя и полиномов Лежандра.
Во второй главе получены аналитические решения нестационарных задач о распространении волн сдвига от сферической полости и о вращении абсолютно жесткого шара в упругом полупространстве. Приведены переходы к оригиналам. Применяется метод неполного разделения переменных с последующим использованием преобразования Лапласа. Даны результаты численных исследований.
В третьей главе рассмотрены задачи о распространении нестационарных волн от сферической полости, подкрепленной тонкой сферической оболочкой в упругом полупространстве, и о дифракции нестационарных упругих волн на сферической оболочке в полупространстве. Определена результирующая сила на неподвижном абсолютно-жестком шаре в упругом полупространстве. Даны результаты численных исследований в виде графиков.
В четвертей главе изучены нестационарные колебания упругого пространства, содержащего два сферических включений (полость, шар или тонкая сферическая оболочка). Предельным переходом получены решения для акустической среды. Приведены численные результаты исследований.
В пятой главе рассматриваются задачи о динамике упругой среды, ограниченной либо эксцентричными тонкой сферической оболочкой и сферической поверхностью, либо двумя эксцентричными тонкими сферическими оболочками. Предельным переходом получены решения для акустической среды из решения рассмотренных задач. Приведены численные результаты в виде графиков.
В заключении сформулированы основные результаты и отражены выявленные специфические механические эффекты.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21, 22, 36, 38,39,40,41,42,43,44,45,46,98, 104, 111, 113, 114, 115, 116, 117, 118].
Уравнения движения тонких упругих оболочек
Применительно к упругим тонкостенным элементам конструкций, у которых толщина мала по сравнению с другими геометрическими размерами, широкое распространение получили различные прикладные теории. Системы уравнений, полученные разными авторами, отличаются одна от другой. Эти отличия являются следствием допущений при выводе кинематических и статических соотношений и определяются условиями решаемых задач. Одним из путей построения модели тонкой оболочки является использование известных гипотез Кирхгофа - Лява. При этом система уравнений является параболической. Однако она хорошо зарекомендовала себя при решении многих статических и динамических задач [23, 51, 52].
Другая модель теории оболочек связана с учетом сдвигов и инерции вращения поперечного сечения оболочки. В этом случае система уравнений имеет гиперболический тип и позволяет описывать распространение волн в оболочках. Эта модель связывается с именем С.П.Тимошенко, предложившего ее для расчета балок. Отметим, что на различных участках поверхностей Рх и Р2 могут быть заданы условия разных типов. Как правило, система координат (х1 ,х2,х3) выбирается так, что одна из поверхностей Рх или Р2 является координатной. Если и вторая поверхность тоже является таковой, то сложности решения соответствующей начально - краевой задачи связаны лишь с системой координат. Если же вторая поверхность не координатная, то появляются дополнительные трудности, обусловленные необходимостью удовлетворения гранич Рис. 1.1 ным условиям на этой поверхности.
Во всех трех задачах полагается, что граничные условия обеспечивают независимость решения от угла в сферической системе координат. В том числе в задачах дифракции набегающую волну будем считать плоской упругой продольной волной с фронтом, параллельным границе Р2 и Рис. 1.3 Рис. 1.4 потенциалом р, (г, 0, т) = /(т + rcosG - 1)#(т + rcosG -1), (1.46) где f{x) - произвольная функция, задающая закон изменения потенциала во времени; Н{т) - единичная функция Хевисайда. В работе также рассматривается более сложные задачи, в которых расположенная в области G среда контактирует с другими деформируемыми телами. При этом вид условий на поверхностях Рк зависит от физической природы соприкасающихся сред, а для упругих объектов - и от характера их сцепления. Положим, что поверхность Рк совпадает с одной координатной поверх ностью х = const в ортогональной криволинейной системе координат х\х2, хг. При этом координатная линия [х3] направлена по нормали к поверхности Рк, а линии [х ], [х ] совпадают с направлениями главных кривизн поверхности Pk.
Введение коэффициентов к12 в (1-47) позволяет рассматривать два случая граничных условий: кх 2 - 0 - свободное проскальзывание, кх 2 = жесткое сцепление. Если поверхность Далее решение начально-краевых задач для волновых уравнений (1.11) строим с использованием метода неполного разделения переменных.
Если движение среды рассматривается в неограниченной области, то необходимо учитывать условие отсутствия возмущения на бесконечности (см. раздел 1.4), которое согласно свойствам функций Бесселя приводит к равенствам B (s) = 0, D (s) = 0. В случае конечной области используется условие ограниченности потенциалов. При этом в (1.61) и (1.62) следует положить A„(s) = Q и CJ;(s) = 0.
Распространение осесимметричных волн от сферической полости в упругом полупространстве
Для той же двусвязной области, рассмотрим другой тип возмущений. А именно, к поверхности полости приложены осесимметрич-ные поверхностные нагрузки или заданы перемещения. Возмущенное движение среды рассматривается в сферической системе координат г,8,0 с началом в центре полости и декартовой системе координат 02xyz. Решения уравнений (1.59), (1.60) с использованием (1.61), (1.62) и (2.55) запишем следующим образом: n=oVr p=0yjr{ ці1 = -sineJ4- ( +1/2( 5)C (cose) - (2.56) -8 9, 4- ) ./2 ) (0080,), где A (s), B (s), C (s) и D {s) - неизвестные функции параметра s; rx и 0, - радиус и угол введенной в 2.1 сферической системы координат. В разделе 2.1 полученная бесконечная система алгебраических уравнений написана в виде одного матричного уравнения, в котором только один неизвестный вектор А и две экспоненциальные функции х и у. Бесконечная же система (2.69) является более сложной. Она состоит из двух матричных уравнений с двумя неизвестными векторами и четырьмя экспоненциальными функциями х, у, z, t. Как указано в 1.2, предельным переходом при rj-»oo (%-»1) из полученных результатов для упругой среды можно найти решения задачи для акустической среды.
Прежде всего, отметим, что внешние ряды в (2.44) и (2.74) являются рядами по экспонентам, и в пространстве оригиналов при рассмотрении ограниченного временного интервала они переходят в конечные суммы. Кроме того, при учете в разложениях (2.31), (2.59), (2.60) конечного числа членов функции a)p{s), аЙ/С?) и b {s), а, следовательно, и коэффициенты при экспонентах в (2.44) и (2.74) есть рациональные функции параметра преобразования Лапласа s, что позволяет достаточно просто находить их оригиналы с помощью теории вычетов. Покажем это на примере коэффициентов (5) для менее громоздкой задачи 2.1. Рис. 2.1 и 2.2 соответствуют кососимметричным возмущениям (см. 2.1). Здесь приведены полученные с учетом четырех членов рядов по полиномам Гегенбауэра зависимости от времени напряжения аг9 для полупространства из алюминия (г\ = 1,9853) при свободной граничной плоскости и глубине залегания включения h = 1,5. Графики на рис. 2.2 соответствуют полости при равномерном давлении в виде единичной функции Хевисайда q{x, 9) = Н(х) и следующим точкам: кривая 1 - г = 1,2 и 0 = Зл / 4, кривая 2- г = 1,2 и 0 = я / 2. Аналогичные зависимости на рис. 2.2 построены для абсолютно жесткого шара при V(x, 0) = Н(х) в следующих точках: кривая 1 - г —1,0 и 0 = Зтс / 4, кривая 2 - г = 1,0 и 0 = тт/ 2.
Остальные результаты приведены для задачи А при осесимметричных возмущениях и q(x,Q) = 0. Рис. 2.3 - 2.6 соответствуют акустической среде. Графики на первых двух из них получены при pl(x,Q) = р0Н(х), где р0 = const; Н(х) - единичная функция Хевисайда. Из анализа графиков следует, что на промежутке времени 0.2 х 0.8 в точке г = 1.2, 0 = тс (кривая 1, рис. 2.3 и 2.4) отсутствует влияние волны, отраженной от плоской границы. В дальнейшем, при х 0.8 плоская граница оказывает значительное влияние на распределение гидродинамического давления. Так, в случае свободной поверхности в момент времени х = 0.2, 0.4 соответственно в точках г = 1.2, 0 = тг (кривая 1)и г = 1.4, 0 = тг (кривая 2) (рис. 2.3) значение давления р заметно понижается, а в случае жесткой стенки значение давления существенно возрастает (рис. 2.4).
При вычислениях удерживалось четыре члена ряда по полиномам Лежандра. Это ограничение обеспечивает достаточную точность результатов, так как полученная сумма для давления отличается от точного значения при х 1.8 приблизительно на 7%. Рі(т,6) = р0е-тН(т). При расчетах полагалось а = 1, h = l.5 и р0 =1. В случае жесткой стенки значение давления в точках: г = 1.2, 0 = п (кривая 1) и г = 1.4, 0 = тс (кривая 2) с приходом отраженной волны возрастает, а с приходом вторично отраженной от поверхности полости волны значение давления понижается (рис. 2.6). На рис. 2.5 приведены графики, показывающие изменение давления со временем, в случае свободной поверхности.
Дифракция нестационарных волн на тонкой сферической оболочке в упругом полупространстве
Рассмотрим теперь напряжение указанной в 3.1 системы. На сферическую оболочку набегает плоская волна расширения-сжатия, задаваемой потенциалом (см. (1.46)) (P,=/(T + Z-1-/0#(T + Z-1-A), у,=0. (3.28) Фронт этой волны параллелен плоской границе полупространства и в момент времени т = 0 касается лобовой точки оболочки, рис. 3.1. Движение окружающей оболочку среды представим в виде суперпозиции волн: падающей, отраженной от плоской границы без учета включения с потенциалом ф0 и отраженных от оболочки с потенциалами ф и VJ/ , которые удовлетворяют волновым уравнениям (1.11). Движение оболочки описывается системой уравнений гиперболического типа (1.25), которые запишем в виде (3.2) при ps = О: Y?u = L(u) + a0p0, Ро = (Чо,Ро,ОУ- (3.29) Плоская граница полупространства является либо свободной поверхностью (а22 + сО[=о = 0, (a„ + О[=о =0, (3.30) либо жесткой стенкой (uz+uz)l_o = 0, (их+их)[_о = 0, (3.31) где = CTzzO + zzs zx = zxO + zxs и =un+u , и =un+u . Z zO Z5 JC 0 X! Здесь ux, uz, JZ2 и JZX - перемещения и напряжения, порожденные упругими потенциалами ф и v/; их, uz, a z и a - суммарные перемещения и напряжения, определяемые потенциалами ф0 и ф ; индексами «s» и «0» отмечены компоненты напряженно-деформированного состояния в набегающей и отраженной от плоскости волнах.
С учетом условий на бесконечности (3.48) и осевой симметрии задачи решения уравнений (3.42) ищем в виде рядов (2.56). Далее, как и ранее в 2.2 и 3.1, удовлетворяя граничным условиям (3.46), (3.47), устанавливаем связи (2.58) между функциями Ап (s) и C (s), B„(s) и D (s) (2.59), а также получаем формулы (2.61), (2.62) для коэффициентов q (r,s), \\f (r,s), а также равенства (2.62), (2.64) для коэффициентов рядов (1.55).
Приведем результаты примеров численных расчетов для рассмотренных в этой главе задач. В них использовался алгоритм, описанный в 2.3. Правомерность его применения основана на том, что разрешающие системы уравнений в этой главе (см. (2.69) и (3.59)) качественно аналогичны соответствующим системам главы 2. Следовательно, коэффициенты при экспонентах в (2.74), (3.65) и (3.76) есть рациональные функции параметра преобразования Лапласа s, что позволяет достаточно просто находить их оригиналы с помощью теории вычетов.
Все результаты получены для включений, залегающих на глубине h = 1.5. В задачах 3.1 полагалась, что в (3.1) /?5(х,0) = Н{х), qs(x,Q) = 0. Расчеты для задач дифракции проводились при единичной форме падающей волны, т.е. считалась, что в (3.28) /(х) = 1. Все вычисления проведены с учетом четырех членов рядов в разложениях функций по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Добавление последующих членов приводит к уточнению на 3 - 5%. Рис. 3.2 и 3.3 соответствуют задаче о распространении возмущений от подкрепленной оболочкой толщины 8 = 0.01 сферической полости в акустическом полупространстве ( 3.1). Полагалось, что окружающая среда вода, а материал оболочки - сталь: =2.01-105 МПа, Vj=0.3, Pj = 7800кг/м3 , с0 = 1500м/сек, р0 =1000кг/м3, что отвечает следующим безразмерным параметрам [37]: а0=91.0, а! =0.601, а2 =1.601, а3=2.6, а4 =361.2, а5 =361.5, а6 =30.1, а7 =0.301, Р, =89.3495, у, =0.282. На рис. 3.2 приведены графики изменения гидродинамического давления р = р0 среды в точке г = 1.2, 0 = тс (кривые 1, 2) и на поверхности оболочки г = 1, 0 = 71 (кривые 2, 4). При этом кривые 1, 3 соответствуют свободной поверхности полупространства, а кривые 2, 4 - жесткой стенке. На рис. На рис. 3.4 и 3.5 приведены результаты расчетов для задачи о дифракции волны на оболочке ( 3.2). Материалы среды и оболочки такие же, как указано выше. Здесь продемонстрировано изменение гидродинамического давления р по времени т в следующих точках на поверхности оболочки г = \ : 0 = 0 (кривая 1), 0 = 7г/2 (кривая 2), 0 = тс (кривая 3). Графики на рис
Остальные рисунки соответствуют задаче о дифракции волны на абсолютно жестком шаре ( 3.3). Графики на рис. 3.6 и 3.7 получены для акустической среды (вода). Они показывают изменение гидродинамического давления р на поверхности сферы: кривая 1 - г = \ и 0 = 0, кривая 2 - г = \ и 0=тс/2, кривая 3 - г = \ и 0 = 7С. Рис. 3.6 соответствует плоской границе z = 0, свободной от давления, а рис. 3.7 - жесткой стенке. Результаты, полученные в данной работе и приведенные в [7], отличаются незначительно, что доказывает работоспособность разработанного метода.
Кривые на рис. 3.8-3.10 получены для окружающей среды из алюминия (г=1,9853) при жестком сцеплении шара со средой {к = оо). На рис. 3.8 и 3.9 даны зависимости напряжения огг от времени в следующих точках на поверхности шара г -1: кривая 1 - 0 = 0, кривая 2 - 0 = 7i/2, кривая 3 - 0 = тс. Графики на рис. 3.9 построены для жесткой стенки на плоской границе полупространства, а на рис. 3.8 - для свободной поверхности. Рис. 3.10 демонстрирует изменение результирующей силы R2 по времени на неподвижном шаре в упругом полупространстве. Кривая 2 получена в случае, когда плоская граница z = 0 является жесткой стенкой, а кривая 1 -для свободной поверхности полупространства.
Нестационарные колебания упругого пространства, содержащего сферическую полость и шар
На поверхности шара выполняются следующие граничные условия: иг\ _ = 0, arfi I = &v2 _ . (4.40) С учетом осевой симметрии задачи возмущенное движение среды удовлетворяют волновым уравнениям (4.3). Нулевые начальные условия и условия на бесконечности задаются соотношениями (2.49) и (2.50). Сформулированная начально-краевая задача отличается от задачи 4.1 только граничными условиями на поверхности шара. Поэтому алгоритм ее решения аналогичен алгоритму предыдущего параграфа. Соответствующая разрешающая система линейных алгебраических уравнений имеет вид (4.17), где необходимо положить к =к =0. Элементы бесконечных матриц М(Л, № \ Ff} и столбец ки) (у = 1,2; к = 1,4) первых двух уравнений системы определяются в зависимости от типа граничных условий выражениями (4.18), (4.19), (4.22) и (4.23), а элементы бесконечных матриц М , N , F/ (/ = 3,4; = 1,4) последних двух уравнений системы для свободного проскальзывания (к = 0) имеют вид (4.24) и (4.21), а для жесткого сцепления (к = оо) они приобретают вид (4.24) и (4.25). Используя ряды (4.26), опять приходим к рекуррентным соотношениям (4.27), где начальное условие (4.272о) принимает такой вид %)boio(s) = d( ) = 0, так как 3 (s) = 0, к (s)ЕЕ 0, и Y(s) ЕЕ 0, Y(s) = 0. Предельным переходом г-»оо (х-- 1) из полученных результатов аналогично предыдущему параграфу можно найти решения рассмотренных задач для акустической среды. Соответствующая бесконечная система уравнений имеет вид (4.30), где необходимо положить к =0. Разыскивая решение системы в виде (4.35), приходим к рекуррентным соотношениям (4.36), где #001 0у) = 0 Элементы матриц первого уравнения системы определяются выражениями (4.31) или (4.33) в зависимости от типа граничных условий на поверхности полости, а элементы коэффициентов второго уравнения системы задаются формулами (4.34).
Рассмотрим теперь более сложную задачу 2 параграфа 1.4. В этом случае сферическая полость является первым включением, а тонкая сферическая оболочка - вторым, рис. 4.1. Движение среды и нестационарные колебания оболочки рассматривается, как и ранее, в двух сферических системах координат -,0,-, &, соответственно с центрами в точках Ot (/ = 1,2) - центрах сферических полости и оболочки.
В начальный момент времени т = 0 к внутренней поверхности полости приложены осесимметричные радиальная (1,0 и тангенциальная q x i) нагрузки или на поверхности полости заданы компоненты / (1,0 , (т,!) вектора перемещения, что соответствует граничным условиям (4.38) или (4.39). Изображения волновых уравнений и условий на бесконечности совпадают с (4.3) и (4.7). Здесь они приведены для полноты формулировки задачи. Искомые и заданные функции разложим в ряды по полиномам Лежан-дра и Гегенбауэра (4.10), (4.11), а также аналогично формулам (3.14), (3.15) представим контактные нагрузки, компоненты вектора перемещения оболочки и угол поворота нормали к срединой поверхности рядами во второй сферической системе координат . Удовлетворяя граничным и контактным условиям (4.52) - (4.55) с помощью (4.59), а также (4.16) или (4.15) при i = \ и і = 2, после некоторых преобразований, получим бесконечную систему (4.17) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных функций Ащ {$) и Вщ (s).
Аналогично решается задача 2 1.4 в варианте шара и тонкой сферической оболочки, радиусы которых соответственно равны R{ и R2, рис. 4.2. В начальной момент времени окружающая среда, шар и оболочка находятся в покое, что соответствует нулевым начальным условиям (4.43). В момент времени т = 0 к внутренней поверхности оболочки приложены осесимметри-чные нормальная Ргі г) и тангенциальная #2(т 2) поверхностные нагрузки. Движение среды описывается волновыми уравнениями (4.3), а нестационарные колебания оболочки - системой (4.41).
Данную задачу в пространстве изображений преобразования Лапласа решаем аналогично предыдущим параграфам. В результате тем же способом получим бесконечную систему четырех матричных уравнений (4.17), где необходимо положить k =к = 0.
Рассмотрим .теперь наиболее сложную задачу 2 параграфа 1.4. Будем, считать, что в упругой среде расположены две тонкие сферические оболочки, расстояние между центрами которых равно / (/ + R2), рис. 4.3.
В момент времени х = 0 к внутренним поверхностям оболочек приложены осесимметричные радиальные / ДтД-) и тангенциальные #,(т,9г) поверхностные нагрузки. С учетом осевой симметрии задачи движение среды относительно потенциалов ф и цг описывается волновыми уравнениями (4.3), а нестационарные колебания оболочек, согласно (1.25), описываются системой уравнений (см. также (4.41)).
Графики на рис. 4.6 и 4.7 относятся к задаче для пространства с включениями в виде полости и оболочки радиуса R2 = 2, расстояние между которыми / = 4 ( 4.3). Полагалось, что к поверхности оболочки приложены нагрузки вида (4.79). На этих рисунках соответственно показаны изменения гидродинамического давления р- р0 на поверхности оболочки r2= R2 и радиального перемещения w02 оболочки по времени т в следующих точках: 02 = 0 (кривая 1), 92 = 7г/2 (кривая 2) и 02 = п (кривая 3).
