Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса
1.1. Аналитический обзор 11
1.2. Основные допущения, понятия и зависимости 20
1.3. Условия текучести 36
2. Определение параметра предельных значений теплосмен при циклическом пластическом разрушении
2.1. Статическая формулировка задачи 41
2.2. Кинематическая формулировка задачи 44
2.3. Двойственные соотношения 47
2.4. Математические модели для сжато-растягиваемых систем 52
2.5. Определение параметра предельных значений теплосмен при повышенных температурах 55
3. Определение оптимального распределения предельного усилия в условиях теплосмен
3.1. Статическая формулировка 60
3.2. Кинематическая формулировка 63
3.3. Двойственные соотношения 66
3.4. Математические модели оптимизации сжато-растягиваемых стержневых систем 69
4. Анализ стержневых систем при действии повторно-переменных теплосмен в условиях приспособляемости
4.1. Постановка задачи 75
4.2. Статическая формулировка 77
4.3. Кинематическая формулировка 80
4.4. Двойственные соотношения 82
4.5. Математические модели анализа снато-растягиваемых систем 86
4.6 Примеры решений задач 88
Заключение 116
- Основные допущения, понятия и зависимости
- Кинематическая формулировка задачи
- Кинематическая формулировка
- Кинематическая формулировка
Введение к работе
Основными направлениями развития народного хозяйства СССР на I98I-I985 годы [і] в числе основных задач предусматривается улучшение качества проектирования, развитие научных работ, направленных на широкое и эффективное применение в народном хозяйстве электронной вычислительной техники. Огромный рост строительства в нашей стране наряду с вопросами качества выдвигает проблему экономичности, которая становится одной из главных в процессе проектирования.
В постановлении декабрьского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС намечается обеспечить дальнейший рост эффективности экономики,сделать главный упор на ускорение научно-технического прогресса. Следует разработать и осуществить конкретные меры по снижению расхода сырья, материалов, добиваться снижения себестоимости продукции, улучшения качества изделий [2J.
В связи с этим перед исследователями, работающими в области расчета конструкций, встает вопрос о создании и развитии новых прогрессивных методов расчета, использующих новейшие средства вычисления и улучшающих качество и экономичность проектных решений.
Экономичность различных конструкций, применяемых во всех отраслях народного хозяйства, может быть достигнута выбором их наиболее рациональных форм с учетом дополнительных возможностей материалов. Одним из направлений решения данной проблемы является развитие методов расчета, более точно учитывающих реальное поведение материала. С другой стороны, теория расчета должна быть достаточно простой, чтобы ее можно было применить к решению практических задач и довести до численных результатов. Поиски методов, удовлетворяющих обоим требованиям, вызвали бурное развитие различных теорий неупругого материала, среди которых наибольшее рас-
пространение получила теория идеальной пластичности.
Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов представляет весьма важную для инженерной практики задачу. Этому вопросу посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований. Надо отметить, что большинство этих исследований проведено для конструкций, испытывающих воздействие лишь механических нагрузок. Однако в процессе эксплуатации на элементы конструкций,кроме механических нагрузок,часто оказывают влияние и тепловые потоки. Влияние температурного поля находит отражение не только в возникновении соответствующих тепловых деформаций и напряжений. Оно сказывается на всем комплексе тепло-физических и механических свойств материала, приводит к проявлению новых свойств, которые при нормальной температуре не обнаруживаются. Практически невозможно определить, какое влияние температурное поле оказывает на все механические и тешюфизические характеристики материала. Расчет конструкций от температурного воздействия обычно ведется при ряде допущений, т.е. учитываются только основные факторы, оказывающие ощутимое влияние на работу конструкций. Второстепенные, менее важные факторы не учитываются.
В последнее время появляется все больше работ из области машиностроения, посвященных проблемам термопрочности. Методика же расчета строительных конструкций, испытывающих теплосмены,еще недостаточно развита.
Известно, что строительные конструкции крупных металлургических заводов, конструкции ядерных реакторов, а также строительные конструкции, работающие в условиях Крайнего Севера, где бывают большие годовые и суточные температурные колебания, испытывают достаточно ощутимые теплосмены. Поэтому возникла необходимость разрабатывать новые и совершенствовать старые методы расчета термоупругих и термопластических строительных конструкций.
В настоящей работе исследуются стержневые системы, изготовленные из идеально упругопластического материала, подвергающиеся действию теплосмен. Основные упругие характеристики материала (модуль упругости и коэффициент линейного температурного расширения) принимаются постоянными при изменении температуры,так как их изменения мало влияют на результаты расчета [12, 17, 93].Предел текучести материала принимается зависимым от температуры.
Целью данной работы является построение дискретных математических моделей для упругопластических стержневых систем, позволяющих определить напряженно-деформированное состояние от действия повторно-переменных теплосмен при постоянной внешней нагрузке, а также решение численных примеров на ЗВМ. Исследования охватывают только прочностные вопросы.
Новизной работы является построение вышеупомянутых моделей с применением основных экстремально-энергетических принципов и методов математического программирования.
В первой главе данной работы дается обзор литературы по расчету температурных напряжений, описываются виды и характер теплосмен, действующих на стержневые системы. Обосновывается предлагаемый метод расчета систем данного типа. Приведены основные допущения и зависимости дискретной системы. Рассматривается методика определения упругих усилий. Описаны условия пластичности для стержней различного сечения. Для прямоугольного и двутаврового сечений показаны нелинейные и линеаризованные условия пластичности, а для идеального сечения - линейные.
Во второй главе представлены математические модели определения параметра предельных значений теплосмен в упругопластических стержневых системах от повторно-переменного теплового воздействия. На основании экстремальных энергетических принципов выведена статическая и кинематическая формулировка задач, показана
двойственная связь между этими задачами. Учитывается влияние изменения предела текучести при повышенных температурах.
Третья глава посвящена задачам оптимизации,в частности,рассматривается методика определения оптимального распределения предельного усилия в условиях теплосмен. Дана статическая и кинематическая формулировка задач. Построены математические модели для сжато-растягиваемых систем.
Четвертая глава посвящена определению напряженно-деформированного состояния упругопластических стержневых систем в условиях приспособляемости. Даны дискретные математические модели в статической и кинематической формулировке, представляющие собой двойственную пару задач квадратичного программирования.
Пятая глава целиком посвящена вопросам практической реализации задач, рассматриваемых во второй, третьей и четвертой главах. Приведены примеры численного решения задач на ЭВМ.
Для изложения материала в настоящей работе применяется векторно-матричная форма записи, которая наиболее удобна для численного решения задач на ЭВМ.
Заключительные выводы представлены в конце работы.
Основные допущения, понятия и зависимости
Действие нагрузок - квазистатическое. Динамические эффекты, а также явления усталости материала в настоящей работе не рассматриваются. 3. Сечения элементов изгибаемых систем имеют идеальную форму. Под идеальным сечением подразумевается сечение, в котором вся площадь сосредоточена в крайних слоях, наиболее удаленных от нейтральной оси. Пластическое течение в таком сечении наступает одновременно по всей площади. 4. Деформации при разрушении малы, вследствие чего уравнения равновесия составляются для недеформированной системы. 5. Предельным состоянием системы считается наступление циклического пластического разрушения. Предельное состояние,связанное с потерей устойчивости, не рассматривается. 6. Влияние упрочнения или ползучести не учитывается. 7. Теплофизические характеристики материала не зависят от температуры. 8. Теплосмены принимаются постоянными по всей длине каждого элемента, но могут быть различными на противоположных сторонах стержня. Принятые допущения определяют область конструкций и внешних воздействий, для которых применим метод расчета, предлагаемый в данной работе. Кроме этих допущений, будут вводиться и обсуждаться в тексте и другие, не столь важные. 1.2.2. Основные понятия Многообразие распределения теплосмен на стержневых конструкциях и оценка физико-механических характеристик обусловливают сложность определения напряженно-деформированного состояния системы. В литературе можно найти методы определения перемещений как от простого, равномерного нагрева стержня при постоянных упругих характеристиках материала, так и от сложного температурного, .нагружения, когда распределение теплосмен по длине и по высоте подчиняется нелинейному закону при упругих характеристиках материала, изменяющихся в зависимости от температуры. В первом случае перемещение по к -му направлению определяется сравнительно просто, т.е. по формуле Максвелла-Мора, на случай силового и теплового нагружения упругой системы: Во втором случае выражение определения перемещения намного сложнее. И.И.Гольденблат в [іб] дает следующее выражение: Формула (1.2) выведена при произвольном изменении температуры вдоль осей симметрии поперечных сечений и вдоль продольных осей стержней системы с учетом зависимости модуля упругости и коэффициента линейного температурного расширения материала от температуры.
Очевидно, что определение перемещений стержневой системы по выражению (1.2) является очень сложной и практически нереализуемой задачей. Более того, при проектировании конструкций законы распределения теплосмен по длине и по высоте стержня чаще всего неизвестны и априорно задаются линейными зависимостями. Следует отметить, что очень часто стержневые конструкции испытывают равномерный нагрев, т.е. теплосмены являются одинаковыми со всех сторон стержня и постоянными по его длине. Немало примеров, когда теплосмены постоянны по длине стержня, но являются различными по обеим сторонам элемента. В таких случаях распределение теплосмен по высоте элемента чаще всего выражается линейной или нелинейной зависимостью. Изменение упругих характеристик материала (модуля упругости и коэффициента линейного температурного расширения) в зависимости от температуры в прочностных расчетах, когда расчетные температуры не слишком высоки, мало влияет на результаты расчета. Математические модели расчета строятся значительно упрощенными. Это объясняется значительной трудностью реализации температурных задач при сложном температурном нагружении, а также наличием многих факторов, отбрасывание которых мало влияет на результаты расчета. Так распределение теплосмен по длине элемента принимается постоянным, а по высоте поперечного сечения оно изменяется по линейному закону. Упругие характеристики материала считаются постоянными, пластические же (предел текучести) - изменяются в зависимости от температуры. Для построения математических моделей в настоящей работе применены основные положения и понятия теории идеально упруго-пластических систем, а для их анализа использованы понятия и метод линейного и квадратичного программирования. Прежде чем перейти к дискретизации системы, что необходимо, так как для ее расчета применяется аппарат математического программирования, рассмотрим характер внешних воздействий. Как уже отмечалось, внешние воздействия в рассматриваемых одномерных системах состоят из постоянных механических нагрузок, приложенных в узлах системы,и из повторно-переменных теплосмен. Механические нагрузки действуют по направлению возможных перемещений и представляют собой trt-мерный вектор F= (F .) » L = 1,2,,.., m. Здесь m. = 3n-k, где m - число степеней свободы узлов, и -число стержней, к - степень статической неопределимости системы. Рассмотрим действие теплосмен на различные стержневые системы. Как уже известно из ранее сделанных пояснений, элемент конструкции может находиться под действием равномерного или неравномерного теплоизменения (см. рис.1.2а). Когда теплосмены на противоположных сторонах стержня изменяются одинаково ( Т, = Т2), происходит равномерный нагрев, в противном случае нагрев неравномерен. Температурные задачи стержневых систем можно разделить на две группы: 1) температурные задачи для изгибаемых систем; 2) температурные задачи для сжато-растягиваемых систем.
Системы первого типа деформируются как от равномерного, так и от неравномерного нагрева, т.е. место имеют продольные и угловые деформации. В системах второго типа получаются только продольные деформации. Возможные виды температурных воздействий на стержневых систем показаны на рис.1.2 (6-е). Итак, при неравномерном нагреве теплосмены описываются двумя векторами: "Г, = (1,0 и Т2 -(T2-J ,l = 1,2,...,п , где кі -число стержней. При повторно-переменном тепловом воздействии действует система теплосмен, каждая из которых может независимо изменяться в заданных пределах. Верхний предел компонентов вектора этих теплосмен будем обозначать Т ц, а нижний -ТІ . Таким образом, при повторно-переменном тепловом воздействии в случае неравномерного нагрева будем иметь четыре и. -мерных вектора теплосмен: Т„ Ч 2 2 Если же система подвергается равномерному повторно-переменному тепловому воздействию, то теплосмены описываются двумя W-мерными векторами Т и Т . Распределение пределов теплосмен считается известным и характеризуется векторами и+=(п+[) Таким образом, повторно-переменные теплосмены считаются заданны- ми до одного параметра следующим образом: I =Т0и+ , Т Х, - . Изменение параметра Т0 означает одинаковое изменение обоих пределов. При повторно-переменном тепловом воздействии каждая комбинация теплосмен в отдельности может и не вызвать пластического разрушения, хотя при определенных их сочетаниях могут возникнуть циклы пластических деформаций, которые приведут к их неограниченному нарастанию или их чередованию по знаку, вследствие чего произойдет пластическое разрушение. В первом случае происходит так называемое прогрессивное разрушение, во втором - переменная пластичность. Оба случая предельного состояния конструкций называются циклическим пластическим разрушением. При однократном нагружении напряженное состояние конструкции характеризуется 3 п.-мерным вектором действительных усилий 1 YI] k = l,2,...,KL . Здесь M - 2и.-мерный вектор изгибающих моментов системы, N - и-мерный вектор продольных сил. В случае повторно-переменного нагружения напряженное состояние расчетного элемента характеризуется не одним значением усилий, а двумя,соответствующими нижним и верхним пределам нагрузки. Таким образом, для системы в целом получаются два вектора экстремальных усилий S и S". Экстремальные усилия упругого решения определяются при помощи упругого расчета конструкции и их выражения считаются известными. Двойственная постановка задачи требует, чтобы деформации определялись также 3 и.-мерным вектором деформаций q-(0;) = ( ,д) Здесь U7 - 2 и.-мерный вектор угловых поворотов концевых сечений, Л - п-мерный вектор осевых удлинений. Вектор перемещений является двойственным вектору внешней нагрузки и описывается m-мерным вектором u s ( Щ), [=1,2,..,,m.
Кинематическая формулировка задачи
Математическую модель задачи (2.II) в кинематической формулировке можно получить формальным путем, на основании теории двойственности линейного программирования. Подробное пояснение теории двойственности, применяемое для кинематической формулировки задач, можно найти в [78] и [84]. Сначала .для задачи (2. II) следует построить функцию Лагранжа: тде Xj. , u , A - множители Лагранжа. При дифференцировании функции Лагранжа по переменным исходной задачи,т.е. поТ0 ,МгиМг, приравнивая первые производные нулю, были получены условия двойственной задачи: Это и есть математическая модель задачи предельного равновесия в кинематической формулировке, двойственная задаче (2.12). В этой задаче линейного программирования неизвестными являются векторы \[ и иг . Первые два равенства в условиях (2.14) являются геометрическими уравнениями изгибаемой стержневой системы и обусловливают кинематически возможный вектор скоростей остаточных перемещений Ur. Неравенства в условиях (2.14) отвечают понятию допустимого вектора скоростей остаточных перемещений йг,а все условия вместе взятые определяют его кинематическую допустимость. Физический смысл функции цели является скоростводиссипации энергии в цикле, а вся задача (2.14) соответствует кинематической теореме о повторно-переменной нагрузке: из всех кинематически допустимых распределений остаточных скоростей перемещений при циклическом пластическом разрушении действительным является то распределение, при котором скорость диссипации энергии в цикле минимальна. Таким образом, статический и кинематический принципы, позво- лягощие определять напряженно-деформированное состояние от повторно-переменного нагружения при исчерпании несущей способности, являются двойственными.
Определим их основные двойственные связи. Представим двойственную пару математических моделей для определения параметра предельных значений теплосмен в упругоплаети-ческих стержневых изгибаемых системах от повторно-переменного теплового воздействия: В данной задаче, кроме напряженно-деформированного состояния, определяется параметр предельных теплосмен То . Итак, в статической формулировке задачи было получено всего (3n+i) неизвестных (2п -мерный вектор И г , и -мерный векторМг и параметр То ), а в кинематической - (11 и-к) (8 п.-мерный вектор скоростей пластических деформаций и (Зц-к)-мерный вектор скоростей перемещений). Следует отметить, что в векторное равенство Х = Х -»-Х2 ,-Х3-,-Х4 для каждого сечения может войти лишь один компонент из четырех. В статической формулировке задачи имеется всего (4i t"k i ) условий, из которых (Зп-k) являются равенствами, а (8и+1) - неравенствами. Как известно, невырожденный план задачи линейного программирования обладает тем свойством, что число линейно независимых ограничений, удовлетворяемых как равенства, равно числу неизвестных в задаче. Следовательно, из всех ограничений задачи (2.15) в статической формулировке в невырожденном плане (Зп+1) условия должны быть равенствами. В задаче ( Зп-k) условий выражены равенствами, следовательно, из оставшейся группы неравенств должны стать равенствами (Зц+1 ) - (Зц-к) = ( к+1 ) условий. Система теплосмен, отвечающая этому случаю в работе, называется полноразрушающей системой предельных теплосмен, а соответствующий ей механизм разрушения - полным механизмом разрушения. Он состоит из ( к+1 ) пластических шарниров, в которых изгибающий момент будет равен предельному. Когда в равенства превращается более чем ( k+i) условий допустимого поля, план называется вырожденным. Физически это значит, что изгибающий момент равен предельному более чем в ( k+-l ) сечениях. Система теплосмен, отвечающая этому условию, в работе названа избыточно-разрушающей системой предельных теплосмен. Как известно, вырожденному оптимальному плану задачи соответствует множество планов двойственной задачи. Таким образом, избыточно-разрушающая система теплосмен может вызвать множество механизмов разрушения. Все они представляют собой выпуклую линейную комбинацию основных механизмов разрушения. В кинематической формулировке задачи (2.15) имеется всего ( Hn+i ) условий. Из них Зи условий являются равенствами (ус- ловия кинематической совместимости), а ( 8и+1 ) - неравенствами. Следовательно, невырожденный оптимальный план задачи образуется тогда, когда (lln— k) условий будут удовлетворены как строгие равенства.
Так как Ъп условий,выраженных равенствами, уже имеются, то из оставшихся ( 8и+1 ) неравенств ( Sn-k ) должны стать равенствами. Следовательно, ( k+1 ) переменных ХЧ,Х2,ХЬИХА должны быть отличны от нуля. Такой план отвечает полному механизму разрушения, когда система теплосмен зависит от одного параметра. Если в план задачи в кинематической формулировке войдет менее чем ( к + 1 ) неизвестных Хл , Х2 , Х3 и Х«, это будет указанием, что распределение усилий должно быть не единственным.Такому вырожденному плану задачи в кинематической формулировке соответствует частичный механизм разрушения. Для двойственной пары задач (2.15) в работе применялись теоремы двойственности [75]. Согласно второй теореме двойственности (о дополняющей нежесткости) найденные значения неизвестных X , Х2 , X, М,. и Т0 должны удовлетворять условиям: Физически это значит, что в тех элементах, в которых происходит пластическая деформация, множитель X; должен быть отличен от нуля, а там, где жесткие зоны, \[ равен нулю. Следует отметить, что множитель Xi означает скорости деформаций. Применение второй теоремы двойственности к уравнениям равновесия приводит к соотношению или в сокращенном виде Так как ( й ґ У I A3 = ( qfr У", где cj,r - скорости остаточных деформаций, получается Выражение (2.20) означает, что скорость диссипации энергии для действительных векторов остаточных усилий и остаточных скоростей деформаций равна нулю. Первая теорема двойственности гласит, что для оптимального плана функции цели задач получаются одинаковыми и в статической, и в кинематической формулировках. Следовательно, Выражение (2.21) позволяет непосредственно из решения задачи в кинематической формулировке получить значение параметра предельных повторно-переменных тешюсмен. Следует добавить, что если для данного сечения j множите-ли Лагранжа X j О и X j 0 , то наступает "переменная пластичность", а если как строгое неравенство удовлетворяется только один из множителей, то наступает "прогрессирующее" разрушение.
Кинематическая формулировка
Математическая модель проектной задачи в кинематической формулировке в работе получается формальным путем на основании теории двойственности. Для этого строим функционал Лагранка Задача (3.II) двойственна задаче (3.5). функция цели задачи (3.II) означает мощность внешних воздействий. Равенства в условиях определяют кинематически возможный, а-неравенства - допустимый вектор скоростей перемещений. Таким образом, математическая модель в кинематической формулировке отвечает следующему экстремальному принципу: из всех кинематически допустимых векторов скоростей остаточных перемещений при циклическом пластическом разрушении действительным является тот, при котором мощность внешних воздействий в цикле максимальна. При решении задачи (3.II) получается вектор скоростей перемещений йг и векторы множителей Х4,Ха , Х3 , Х , выражающие скорости деформации системы. Кинематическая формулировка однопараметрической задачи (3.8) получается чисто формальным путем, аналогичным вышепоказанному, получаем задачу, двойственную задаче (3.8): Решением задачи (3.16) являются векторы Mo , Mr , Hr , иг , Xt . X2 , Xj и X/, , которіе удовлетворяют воем условиям обобщенной задачи Лагранжа. Следует отметить, что обобщенная задача Лагранжа (3.16) имеет более теоретическое значение чем практическое, так как эффективные алгоритмы для решения задач такого типа пока что отсутствуют. В этом разделе описывается построение математических моделей определения оптимального распределения предельного усилия в сжато-растягиваемых стержневых системах, используя вышеупомянутые экстремальные принципы. Представим статическую и кинематическую формулировку задачи. Как известно, сжато-растягиваемые стержневые системы, находящиеся под действием теплосмен и механической нагрузки, испытывают только продольные деформации. В связи с этим вектор усилий состоит только из продольных сил. Следует отметить, что в отличие от изгибаемых систем здесь выражения условий текучести не зависят от формы поперечного сечения элемента. В статической формулировке математическая модель задачи оптимального распределения предельных усилий при действии повторно-переменных теплосмен будет иметь следующий вид: В последнее время теория приспособляемости привлекла внимание многих усследователей как в нашей стране, так и за рубежом.
Она является частью общей теории идеальных упругопластических систем и основывается на идеализированной диаграмме деформирования, не учитывающей упрочнения материала. Наиболее близкими к такой идеализации являются диаграммы нелегированных сталей со средним содержанием углерода, которые имеют площадку текучести. Для конструкционных элементов из таких сталей предпосылки и,следовательно, выводы теории приспособляемости выполняются наиболее точно. Возникает вопрос, насколько существенные изменения в описании поведения конструкции вносит пренебрежение упрочнением материала при циклическом нагружении; как повлиял бы на условия приспособляемости учет этих свойств, обнаруживаемых при испытаниях реальных материалов. Качественный анализ влияния этих факторов проведен в работе ГІ7]. При учете упрочнения задачи приспособляемости существенно усложняются, к тому же необходимые экспериментальные данные для условий неизотермического нагружения пока практически отсутствуют. Наконец, оценка прочности при таком подходе потребовала бы разработки соответствующих критериев разрушения с учетом частных особенностей данного материала и конструкции. Поэтому использование идеализированной модели материала на данном этапе является вполне оправданным. фундаментальные теоремы позволяют непосредственно определять условия приспособляемости и соответственно условия возникновения предельных состояний типа знакопеременного - пластичного течения или накопления односторонней деформации, избавляя от необходимости последовательного расчета кинетики деформирования в процессе стабилизации цикла. Получить представления о самих процессах стабилизации цикла напряжений при повторных нагружениях,об их свойствах в различных ситуациях и влиянии принятой в данной теории идеализации механического поведения материала проще всего на стержневых системах. Соответствующий анализ, использующий наглядные графические представления, дается в работе ІІ7І. Статические методы анализа условий приспособляемости при повторных нагружениях опираются на соответствующую первую (статическую) теорему, установленную Е.Меланом в 1938 г. [ЗО]. Эта теорема включает следующие утверждения. Конструкция приспособится к повторным нагружениям, т.е. ее поведение после некоторого числа первых циклов станет чисто упругим, если можно найти такое, не зависящее от времени, распределение остаточных напряжений &r , что их сумма с упругими напряжениями Ge в каждой точке тела образует безопасное напряженное состояние о , т.е. напряженное состояние внутри поверхности текучести при любых комбинациях нагрузок, не выходящих из установленных пределов. Сущность этого утверждения состоит в том, что если приспособляемость при повторных нагружениях заданными силами или температурными воздействиями вообще возможна, то она обязательно будет иметь место.
Это явится результатом пластического деформирования при начальных циклах нагружения и возникновения некоторого в дальнейшем не изменяющегося распределения остаточных напряжений. Причины возникновения действительных напряжений не играют роли Ї19]. Напряжения в равной степени могут быть вызваны внешними (механическими) нагрузками или температурным полем, либо тем и другим одновременно (как, впрочем, и другими возможными видами воздействий). Таким образом, обобщение теоремы на случай температурных циклов становится вполне очевидным и не требует отдельного обоснования. В связи с определением условий приспособляемости при циклических воздействиях тепловых потоков на конструкцию, возникает вопрос об учете температурного изменения физико-механических характеристик материала. Это в особенности относится к пределу текучести, поскольку пренебрежение влиянием на него температуры привело бы к ошибкам, как правило, идущим не в запас прочности. Учет изменений предела текучести в зависимости от температуры рассмотрен во второй главе. В определенном диапазоне температур становится существенной также длительность воздействия нагрузок. Температура оказывает влияние и на упругие характеристики материала. На основании примеров расчета в работе [ 94] делается вывод об относительно слабом влиянии на условия приспособляемости изменения упругих характеристик материала в течение цикла в реальных диапазонах температур. Поэтому в дальнейшем не будем учитывать влияние температуры на упругие характеристики материала ограничимся лишь учетом изменения пластических свойств материала. Вторая (кинематическая) теорема была установлена В.Койтером [ЗО] в 1956 г. Автор основывался на аналогии между теоремами предельного равновесия и приспособляемости, которая до этого не была достаточно хорошо осознана. Исходя из этой аналогии он полагал, что вторая теорема упростит анализ приспособляемости подобно соответствующей ей теореме предельного анализа, которая в при- ложениях часто оказывается более удобной, чем статическая. В основе кинематической теоремы лежит фундаментальное предположение о допустимом цикле скоростей пластической деформации. Кинематическая теорема о приспособляемости формулируется в виде двух утверждений.
Кинематическая формулировка
Кинематическая формулировка задачи (4.II) была получена чисто формальным путем на основании теории двойственности. Следует подчеркнуть, что множителями Лагранжа в уравнениях равновесия являются не скорости остаточных перемещений, а сами перемещения. Это и есть кинематическая формулировка задачи анализа стержневой упругопластической системы от действия повторно-переменных теплосмен. Искомыми неизвестными в ней являются вектор остаточных изгибающих моментов Мг , вектор остаточных продольных сил Hr , вектор остаточных перемещений ULr и вектор множителей X t . Первое и второе условия в ограничениях задачи (4.14) означают геометрические уравнения, связывающие остаточные перемещения и деформации. Геометрические уравнения вместе с ограничениями выражают кинематически допустимое поле остаточных перемещений. Первый член функции цели означает упругий потенциал усилий самонапряжения, а с второго по пятый - диссипацию энергии самонапряжения. Задача (4.14) отвечает экстремальному принципу о минимуме дополнительной работы для кинематически допустимого вектора остаточных перемещений: из всех кинематически допустимых векторов остаточных переме- щений в состоянии приспособляемости действительным является тот, при котором дополнительная работа имеет максимальное значение. Этот кинематический принцип является двойственным к вышеприведенному статическому принципу, а задачи (4.II) и (4.14) представляют собой двойственную пару задач квадратичного программирования. Для наглядности запишем рядом двойственную пару математических моделей анализа стержневых упругопластических систем от повторно-переменного теплового воздействия Здесь векторы Mr , Пг , Xi , X2 , X3 , Хг. и ULr , удов-летворяющие всем условиям (4.19), являются решением задачи,единственным для строго выпуклых условий текучести. Решение двойственной пары задач квадратичного программирования (4.15) имеет свои особенности: план задачи в статической формулировке может быть невырожденным или вырожденным. В первом случае в равенства превращается не более к неравенств условий текучести.
Тогда получается единственное распределение остаточных пластических деформаций и остаточных перемещений. Во втором случае число пластических шарниров о- больше, чем k , следовательно, задача (4.15) в кинематической формулировке может иметь много решений (деформированное состояние системы может быть не единственным). Для определения наиболее опасного деформированного состояния при вырожденном плане в статической формулировке следует рассмотреть все опорные планы кинематической формулировки задачи и выбрать экстремальные значения остаточных перемещений. Качественный анализ вырожденных задач приспособляемости для идеально упругопластических изгибаемых стержневых систем проведен в работе [86І. По аналогии с задачей (5) из [86] построим математическую модель для определения экстремальных значений остаточных перемещений от повторно-переменных теплосмен. Здесь Z - значение функции цели задачи (4.15 а). Задача (4.20) является задачей линейного программирования. Исходные величины 2 , Мг и Mr определяются из решения задачи (4.15 а). Итак, методика расчета напряженно-деформированного состояния стержневых сжато-изогнутых систем при циклическом воздействии теплосмен строится на основе математических моделей (4.15) и (4.20). Задачи (4.15) и (4.20) являются задачами математического программирования и их решение без особого труда алгоритмизируется и реализуется с помощью ЭВМ. Математические модели для определения напряженно-деформированного состояния стержневых сжато-растягиваемых систем в стадии приспособляемости строятся,используя те же экстремальные энергетические принципы, что и для моделей изгибаемых систем. Математическое выражение упругого потенциала остаточных усилий записывается так: Статически допустимым вектором самонапряжения считается тот, который, будучи самоуравновешенным в сумме с экстремальными осевыми силами упругого решения удовлетворяет условиям текучести: Экстремальные продольные силы упругого решения для шарнирных систем выражаются следующим образом: Математическая модель задачи анализа упругопластической стержневой шарнирной системы в статической формулировке получается следующего вида: Это задача квадратичного программирования, решая которую получаем вектор остаточных продольных сил Иг , отвечающий состоянию приспособления шарнирной системы к чисто упругому поведению.
Пределы действительных продольных сил от любой комбинации тепло-смен получаются суммированием вектора остаточных продольных сил с вектором экстремальных значений продольных сил упругого решения. Кинематическую формулировку задачи (4.24) получаем обычным формальным путем. Она имеет следующий вид: Это задача квадратичного программирования, которая является двойственной задаче (4.24). Решая ее, получаем вектор остаточных продольных сил Мг и вектор остаточных перемещений Ur , отвечающие состоянию приспособляемости. Описанные экстремальные задачи расчета стержневых упругопла-стических систем при действии повторно-переменных теплосмен относятся к задачам математического программирования. При этом задачи определения параметра предельных значений теплосмен и напряженно-деформированного состояния системы при циклическом пластическом разрушении, когда условия текучести линейны, являются задачами линейного программирования, а задачи определения напряженно-деформированного состояния в условиях приспособляемости - задачами квадратичного программирования. Следует отметить, что решение всех вышеупомянутых в работе задач полностью автоматизировано. Для этого применены специальные алгоритмы и составлены программы для ЭВМ. Определение напряженно-деформированного состояния системы в условиях приспособляемости состоит из трех основных этапов: 1) определения упругих экстремальных усилий и перемещений, 2) определения параметра предельных значений теплосмен, 3) определения остаточных усилий и перемещений. На рис.5.1 показана блок-схема всего алгоритма расчета. Представим несколько примеров решения задач. Пример I. Расчет рамы, показанной на рис.5.2. Рама подвергается циклическому действию теплосмен, соотношение которых задано до одного параметра, и действию постоянной внешней нагрузки. Требуется найти параметр предельных значений теплосмен Тс при циклическом пластическом разрушении и определить напряженно-деформированное состояние в условиях приспособляемости. Жесткость стержней постоянная.
