Содержание к диссертации
Введение
1. Кручение цилиндрических и призматических стержней при действии переменного внешнего давления 12
1.1. Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей 12
1.2. Определение перемещений при кручении призматических стержней, находящихся под действием линейного давления 28
1.3. Кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием, при действии переменного давления 31
2. Кручение анизотропных тел при действии переменного внешнего давления 36
2.1. О предельном состоянии анизотропных тел 36
2.2. Кручение анизотропных призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей 41
2.3. Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления 51
Заключение 58
- Определение перемещений при кручении призматических стержней, находящихся под действием линейного давления
- Кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием, при действии переменного давления
- Кручение анизотропных призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей
- Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления
Введение к работе
Теория предельного состояния принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространения волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе теорий предельного состояния и идеальной пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения. В рамках этих теорий и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений.
Основные представления о предельном состоянии тел заложены Галилеем и Кулоном (1776 г.). Первые систематические исследования пластических течений металлов были проведены Г. Треска [88]. В 1864 г. им был опубликован ряд результатов своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения.
Начало развития теории пластичности восходит к семидесятым годам 19 века. Сен-Венан сформулировал уравнения теории идеальной пластично- сти для плоской задачи, сохраняющие свое значение до настоящего времени. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости». Теоретические основы описания этого явления были заложены Сен-Венаном [86] в 1870 г. Им были впервые сформулированы статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для случая плоской задачи: два уравнения равновесия и условие пластичности Треска дет Зг„, дт„, д<7л, ^ + ^^- = 0,-^- + -^ = 0. (1) дх ду дх ду (стх -(jyf + Arly =4к2,к = const. (2)
Л. Прандтль и Г. Генки и обратили внимание на двумерные задачи теории идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации. Прандтль (1921 г.) показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеально-пластическое полупространство и в усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки [13], ко- торый предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности.
Прандтль (1923 г.) [64] указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. В этой работе дано асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением. Позднее Надай дополнил это решение построением поля скоростей перемещений
Вместе с работой X. Гейрингер (1930 г.), в которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее.
Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.
Одни из первых работ по теории пластичности в нашей стране были выполнены А. А. Ильюшиным и С.А. Христианович.
В 1944 г. А. Ю. Ишлинский [32] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеально пластическое пространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля.
Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара — Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским, который также использовал обобщенный закон* пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и. девиатора тензора напряжений.
Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [20-23], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара — Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.
Отметим, что как статические, так и кинематические уравнения осе-симметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [22].
С.А. Христианович и Е.И. Шемякин рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния и пришли к выводу, что пластическое состояние может наступать только через полную пластичность.
Б.Г. Миронов [49-52] исследовал статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния, не совпадающих с условием полной пластичности. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, включающие в себя, как частный случай, состояния плоской и антиплоской деформации рассмотрены в работах [49], [54].
Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [4], Г.И. Быковцевым [7], В.Г. Зубчанино-вым [17], Д.Д. Ивлевым [21], А.А. Ильюшиным [29], А.Ю. Ишлинским [31], Л.М. Качановым [33], А.А. Маркиным [44], Р.И. Непершиным [59], Ю.Н. Ра-ботновым [65], Ю.Н. Бадаевым [66], В.В. Соколовским [71], С.А. Христиано- вичем [75], Е.И. Шемякиным [76].
Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием переменного внешнего давления вдоль образующей.
Частным случаем антиплоской деформации является кручение. Кручение — вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней при кручении остаются плоскими. При кручении призматических стержней происходит деплана-ция сечения. Если депланация в разных сечениях различна, то наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения. В этом случае кручение называется стеснённым. При свободном кручении в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.
Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня, рассмотрена А. Надай [58]. Функция напряжений F(x,y) _8F _8F Txz~ dy,Tyz~ дх w удовлетворяет условию постоянства на каждом из ограничивающих контуров. Поверхность напряжений z=F(x,y) является поверхностью постоянного ската, «крышей», построенной на заданном контуре; она определяется без особых затруднений. Ребра и конические точки поверхности напряжений соответствуют линиям и точкам разрыва касательных напряжений. При этом величина вектора касательных напряжений постоянна, скачком изменяется его направление.
Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером (в 1953 - 1954 гг.)
В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут быть криволинейными.
К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось z направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским (1945, 1950 г.).
Г.И. Быковцев в работе [10] рассмотрел кручение призматических стержней из идеального жесткопластического анизотропного материала.
Кручение изотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при действии внешнего давления, рассмотрены в работах Б.Г. Миронова.
Целью диссертационной работы является исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических и призматических тел из изотропного и анизотропного материалов при кручении, находящихся под дей- ствием давления, линейно меняющегося вдоль образующей стержня.
Работа состоит из введения, двух глав и заключения.
В первой главе рассматривается кручение изотропных призматических стержней в предположении, что боковая поверхность стержня находится под действием переменного давления. В первом параграфе решена задача определения напряженного состояния призматических стержней, которое линейно меняется вдоль образующей. В случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол, найдены линии разрыва напряжений и построено поле характеристик. Второй параграф продолжает исследования первого параграфа и посвящен изучению деформированного состояния призматических стержней и определению компонентов перемещений. В третьем параграфе исследовано кручение цилиндрических и призматических стержней с полостями. Построено поле характеристик для случая, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол.
Во второй главе исследуется кручение анизотропных призматических стержней при условии пластичности Мизеса при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. В первом параграфе рассмотрены предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Во втором параграфе изучено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней. В третьем параграфе исследовано кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления, линейно зависящего от угла поворота вокруг оси кольца.
Определение перемещений при кручении призматических стержней, находящихся под действием линейного давления
Теория предельного состояния принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространения волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе теорий предельного состояния и идеальной пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения. В рамках этих теорий и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений. Основные представления о предельном состоянии тел заложены Галилеем и Кулоном (1776 г.). Первые систематические исследования пластических течений металлов были проведены Г. Треска [88]. В 1864 г. им был опубликован ряд результатов своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения. Начало развития теории пластичности восходит к семидесятым годам 19 века. Сен-Венан сформулировал уравнения теории идеальной пластично- сти для плоской задачи, сохраняющие свое значение до настоящего времени. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости».
Теоретические основы описания этого явления были заложены Сен-Венаном [86] в 1870 г. Им были впервые сформулированы статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для случая плоской задачи: два уравнения равновесия и условие пластичности Треска Л. Прандтль и Г. Генки и обратили внимание на двумерные задачи теории идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации. Прандтль (1921 г.) показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеально-пластическое полупространство и в усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки [13], торый предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности. Прандтль (1923 г.) [64] указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. В этой работе дано асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением. Позднее Надай дополнил это решение построением поля скоростей перемещений Вместе с работой X. Гейрингер (1930 г.), в которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее. Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.
Кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием, при действии переменного давления
В 1944 г. А. Ю. Ишлинский [32] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеально пластическое пространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля. Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара — Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским, который также использовал обобщенный закон пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и. девиатора тензора напряжений. Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [20-23], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара — Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. Отметим, что как статические, так и кинематические уравнения осе-симметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же как и главные направления тензора напряжений.
Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [22]. С.А. Христианович и Е.И. Шемякин рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния и пришли к выводу, что пластическое состояние может наступать только через полную пластичность. Б.Г. Миронов [49-52] исследовал статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния, не совпадающих с условием полной пластичности. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, включающие в себя, как частный случай, состояния плоской и антиплоской деформации рассмотрены в работах [49], [54]. Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [4], Г.И. Быковцевым [7], В.Г. Зубчанино-вым [17], Д.Д. Ивлевым [21], А.А. Ильюшиным [29], А.Ю. Ишлинским [31], Л.М. Качановым [33], А.А. Маркиным [44], Р.И. Непершиным [59], Ю.Н. Ра-ботновым [65], Ю.Н. Бадаевым [66], В.В. Соколовским [71], С.А. Христиано- вичем [75], Е.И. Шемякиным [76]. Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием переменного внешнего давления вдоль образующей. Частным случаем антиплоской деформации является кручение. Кручение — вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней при кручении остаются плоскими. При кручении призматических стержней происходит деплана-ция сечения. Если депланация в разных сечениях различна, то наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения. В этом случае кручение называется стеснённым. При свободном кручении в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.
Кручение анизотропных призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей
Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером (в 1953 - 1954 гг.) В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут быть криволинейными. К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось z направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским (1945, 1950 г.). Г.И. Быковцев в работе [10] рассмотрел кручение призматических стержней из идеального жесткопластического анизотропного материала. Кручение изотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при действии внешнего давления, рассмотрены в работах Б.Г. Миронова. Целью диссертационной работы является исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических и призматических тел из изотропного и анизотропного материалов при кручении, находящихся под дей- ствием давления, линейно меняющегося вдоль образующей стержня. Следовательно, вектор касательного напряжения х всегда направлен ортогонально к характеристике. Предположим, что боковая поверхность стержня свободна от касательных усилий. Следовательно, вектор касательного напряжения х во всех точках контура L направлен по касательной к ней. Отсюда следует, что характеристики есть окружности, нормальные к контуру. Таким образом, характеристики уравнения (1.1.6) в плоскости ху есть 1 окружности радиуса у—г, причем центры этих окружностей расположены г 1 на касательных к контуру L и расстоянии г-г от точки касания. Согласно (1.1.8) и (1.1.10), из (1.1.7) имеем где р0 — угол, образованный касательной к контуру L в точке (х0,у0) и осью х. Рассмотрим кручение призматического стержня, контур поперечного сечения которого обозначим L. В тех случаях, когда через данную точку сечения могут проходить две и более характеристики, имеет место линия разрыва напряжений. Рассмотрим соотношения на линии / разрыва напряжений. Разложим вектор касательного напряжения т на линии разрыва напряжений на две составляющие riz и тш, направленные соответственно по касательной и нормали к ней.
Пусть у — угол, образованный касательной к линии разрыва напряжений и осью х. Тогда Припишем компонентам слева от линии разрыва напряжений индекс «плюс» наверху и справа от линии разрыва напряжений — индекс «минус» наверху. Из равенства т = т нормальных к линии разрыва напряжений получим где — = tg у. Таким образом, для определения линии разрыва напряжений ах имеет место дифференциальное уравнение (1.1.18). Рассмотрим случай, когда контур поперечного сечения L стержня образует произвольный угол в, одна из сторон которого совпадает с отрицательной осью ОХ и с вершиной в начале координат. Для определения напряженного состояния необходимо найти линию разрыва напряжений, которая согласно (1.1.18) имеет вид. В этом случае линия разрыва напряжений / выходит из вершины этого угла и, согласно (1.1.19) ее уравнение имеет вид: На рис. 1.3 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений. На отрезке ВС касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль отрезка ВС необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к левому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к правому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик ABD, вдоль этих линий действуют касательные напряжения, на- правленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления а .Работа состоит из введения, двух глав и заключения. В первой главе рассматривается кручение изотропных призматических стержней в предположении, что боковая поверхность стержня находится под действием переменного давления. В первом параграфе решена задача определения напряженного состояния призматических стержней, которое линейно меняется вдоль образующей.
В случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол, найдены линии разрыва напряжений и построено поле характеристик. Второй параграф продолжает исследования первого параграфа и посвящен изучению деформированного состояния призматических стержней и определению компонентов перемещений. В третьем параграфе исследовано кручение цилиндрических и призматических стержней с полостями. Построено поле характеристик для случая, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол. Во второй главе исследуется кручение анизотропных призматических стержней при условии пластичности Мизеса при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. В первом параграфе рассмотрены предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Во втором параграфе изучено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней. В третьем параграфе исследовано кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления, линейно зависящего от угла поворота вокруг оси кольца. Рассмотрим призматический стержень, ориентированный в декартовой системе координат xyz, причем образующие стержня направлены параллельно оси z. Предположим, что стержень закручивается вокруг своей оси (рис. 1.1).
Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления
На отрезках АХА2, ВХВ2, СХС2, DXD2 касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения г направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик АХВХ, ВХСХ, CXDX и AXDX. Вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления т . На отрезках ОА2, ОВ2, ОС2, OD2 касательное напряжение не спрягается. Вдоль них предполагается наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Случай, когда радиус окружности т— больше а, представлен на рис. 1.8. \Я\ Кривые АА2 , ВВ2, СС2, DD2 — линии разрыва напряжений. На отрезках OA2,OB2,OC2,OD2 касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления а2. На отрезках AxA2,BlB2,CxC2,DxD2,ElE2,FxF2 касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели.
Контур является огибающей характеристик, внутрь этой области решение задачи не может быть продолжено. Случай, когда радиус окружности у—г больше а, представлен на рис. 1.11. Кривые АА2, ВВ2, СС2, DD2, ЕЕ2, FF2 — линии разрыва напряжений. На отрезках OA2,OB2,OC2,OD2,OE2,OF2 касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Так как w определяется с точностью до жесткого перемещения, то, принимая в какой-нибудь точке линии разрыва напряжений w=0 и интегрируя (1.2.13) вдоль линии разрыва напряжений, находим значение w во всех точках линии разрыва напряжений, а, следовательно, сможем определить константу с для каждой характеристики. Рассмотрим цилиндрический стержень с круговым отверстием, ориентированный в декартовой системе координат xyz, причем образующие стержня направлены параллельно оси z. Контур поперечного сечения L отверстия стержня есть окружность произвольного радиуса R, центр которой совпадает с центром внешнего контура поперечного сечения стержня. Предположим, что стержень закручивается вокруг своей оси (рис. 1.13). Пусть внутренняя боковая поверхность стержня свободна от касательных усилий. Следовательно, вектор касательного напряжения т во всех точках внутреннего контура L направлен по касательной к ней. Из (1.1.10) — (1.1.13) следует, что характеристики уравнения (1.1.6) плоскости ху есть ок- ружности, нормальные к внутреннему контуру, радиуса -г—і, причем центры этих окружностей расположены на касательных к внутреннему контуру L. Расположение характеристик соотношения (1.1.6) и огибающей характеристик приведено на рис. 1.14. Напряженное состояние определяется только в кольце, ограниченном окружностями L и L], где Li, — огибающая характеристик. Характеристики уравнения (1.1.6) ортогональны к контуру L и касаются огибающей Lj. Вектор касательного напряжения т во всех точках Lj направлен к ней ортогонально вдоль образующей стержня.
Решение задачи не может быть продолжено за круг, ограниченный огибающей Lj. Рассмотрим стержень с отверстием, ориентированный в декартовой системе координат xyz. Контур поперечного сечения L отверстия стержня образует произвольный угол в. Предположим, что одна из сторон угла в совпадает с положительной полуосью ОХ, вершина в начале координат. На отрезке ВС касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль отрезка ВС необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к левому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к правому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик EBADF, вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления . Согласно (2.1.6) и (2.1.15), а является углом между вектором касательного напряжения = 7 1 + 7 j и характеристикой, который определяется ориентацией вектора т в плоскости ху. Предположим, анизотропное тело ориентировано вдоль оси z, и его боковая поверхность свободна от касательных усилий. Тогда вектор касательного напряжения т направлен по касательной к контуру, получаемого сечением тела плоскостями, параллельными плоскости ху. В тех точках контура, в которых угол наклона вектора т к оси ОХ не изменен, характеристики пересекают контур поперечного сечения под одним и тем же углом а. В частности, когда контур содержит прямолинейный участок, характеристики ортогональны к этому участку контура тела. Рассмотрим анизотропный призматический стержень, ориентированный в декартовой системе координат xyz, причем образующие стержня направлены параллельно оси z. Предположим, что стержень закручивается вокруг своей оси (рис. 2.2).
