Содержание к диссертации
Введение
1. Механические модели и аналитические оценки макроскопических свойств микро неоднородных сред 10
1.1.Современное состояние вопроса исследования 11
1.2. Постановка задачи и схема расчета эффективных свойств упруго пластических композиционных материалов 28
2. Макроскопические свойства двухкомпонентных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями 34
2.1 Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями одной конфигурации 34
2.2. Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями п различных конфигураций 47
Выводы 68
3. Макроскопические свойства многоком понентных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями 69
3.1. Упругопластические свойства трёхкомпонентного композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями 69
3.2. Упругопластические свойства многокомпонентного композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями 81
Выводы 93
Заключение 94
Список используемой литературы
- Постановка задачи и схема расчета эффективных свойств упруго пластических композиционных материалов
- Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями одной конфигурации
- Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями п различных конфигураций
- Упругопластические свойства многокомпонентного композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями
Введение к работе
В области естествознания и техники возникают задачи, связанные с изучением свойств неоднородных сред и происходящих в них процессов. Особенно большой интерес к их исследованию появился в последнее время в связи с конструированием композиционных материалов и оптимизацией их характеристик.
Прогресс в развитии многих направлений современного машиностроения, аэрокосмической техники и других специальных отраслей напрямую связан с увеличением доли использования таких материалов.
Исходя из модельных представлений механики деформируемого твердого тела, композиционный материал определяется как сплошная, неоднородная среда, образованная несколькими компонентами, как правило, существенно отличающимися по своим свойствам. Материальные характеристики-такой среды описываются с помощью разрывных по координатам быстро осциллирующих функций, которые считаются либо периодическими, либо слу-;: чайными неоднородными.
Для увеличения прочностных свойств и несущей способности элементов конструкций в них широко используются композиционные материалы, образованные матрицей, армированной дискообразными, волокнистыми, игольчатыми включениями, то есть включениями, имеющими эллипсоидальную форму.
Прогнозирование эффективных (макроскопических) характеристик таких материалов по известным свойствам компонентов, их концентрации и характеру распределения в пространстве дает возможность проводить расчеты конструкций и деталей с использованием хорошо развитых математических методов механики деформируемого твердого тела, конструировать материалы с заранее заданными свойствами.
Особенно актуальной в настоящее время является задача математического прогнозирования макроскопических свойств композиционных материалов, компоненты которых обладают нелинейными свойствами.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является нахождение макроскопических определяющих соотношений и определение эффективных механических характеристик многокомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи работы, ее научная новизна, применение и практическая ценность, изложены основные положения, выносимые автором на защиту.
В первой главе приводится краткий аналитический обзор литературы, отражающий современное состояние вопроса исследования. Здесь же рассматривается постановка задачи и описывается общая схема метода расчета макроскопических свойств микронеоднородных сред.
Во второй главе на основе разработанного варианта статистического метода осреднения системы уравнений равновесия для упругопластических двухкомпонентных микронеоднородных сред построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств двухкомпонентных матричных композиционных материалов армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций (фракций), компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. Метод основан на точном решении Эшелби для одного эллипсоидального включения в неограниченной матрице.
В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям матричных упругопластических (упругих) двухкомпонентных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями одной конфигурации.
Исследовано влияние конфигурации эллипсоидальных включений и их
6 концентраций на эффективные характеристики композиционного материала.
Полученные результаты показали удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.
Основные положения главы сформулированы в виде выводов.
В третьей главе на основе разработанного варианта статистического метода осреднения системы уравнений равновесия для упругопластических многокомпонентных микронеоднородных сред построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. Метод основан на точном решении Эшелби для одного эллипсоидального включения в неограниченной матрице. В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных сферическими включениями и к моделям, построенным в главе 2.
В третьей главе построены также аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, ослабленных невзаимодействующими трещинами.
Основные положения главы сформулированы в виде выводов.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы в целом.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые построены математические модели, позволяющие прогнозировать макроскопическое упругопластическое (упругое) поведение двухкомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций,
механические свойства компонентов которых описываются нелинейными функциями.
Впервые построены математические модели, позволяющие прогнозировать макроскопическое упругопластическое (упругое) поведение многокомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, механические свойства компонентов которых описываются нелинейными функциями.
Впервые построены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, ослабленных невзаимодействующими трещинами.
ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью постановки задач и использованием классических методов для их решения.
В предельных случаях найденные эффективные соотношения для рассматриваемых композиционных материалов совпадают с известными решениями.
Достоверность результатов также подтверждается хорошим совпадением теоретических расчетов с экспериментальными исследованиями других авторов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты, отраженные в математических моделях, могут быть использованы в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций, связанных с решением прикладных задач по разработке и проектированию композиционных материалов и конструкций из них.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ математические модели и аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств двухкомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигу-
раций (фракций), компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками;
математические модели и аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками;
аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, ослабленных невзаимодействующими трещинами.
АПРОБАЦИЯ. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались:
-на IX международной конференции "Математика, Компьютер, Образование", 2002 г., Дубна;
-на десятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 2000 г., Самара;
-на одиннадцатой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 2001 г., Самара;
-на двенадцатой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 2002 г., Самара;
-на тринадцатой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 2003 г., Самара;
-на первой научной конференции студентов, май 2000 г., СмиУ, Самара; -на научно-исследовательском семинаре кафедры "Высшей математики и информатики" Самарского государственного университета, апрель 2001 г., апрель 2002 г., апрель 2003 г. (руководитель проф. Л.А. Сараев).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 8 работ [35-37, 45, 148, 177 - 179].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, выводов, заключения, списка литературы. Объем работы 117 страниц, из них 95 страниц текста, 12 рисунков, список литературы включает 230 наименований.
Автор считает своим долгом выразить благодарность кандидату физико-математических наук B.C. Глущенкову за консультации, постоянную поддержку и внимание к данной работе.
Постановка задачи и схема расчета эффективных свойств упруго пластических композиционных материалов
Принципы, впервые сформулированные Фойгтом, легли в основу дальнейшего развития теории композитов. Позднее Рейсе предложил вычислять эффективные модули податливости микронеоднородных материалов по правилу механического смешивания в предположении, что напряжение равномерно по объему композита. Исходя из теоремы о минимуме потенциальной и дополнительной энергий, Р.Хилл показал [166, 205, 219], что значения эффективных упругих постоянных однофазных поликристаллических и многофазных композиционных сред, найденные осреднением по Фойгту и Рейссу, образуют вилку, т.е. дают соответственно верхнюю и нижнюю оценки. Методы непосредственного осреднения свойств по всему объему композита дают весьма приближенные результаты. В некоторых случаях к хорошим результатам приводит использование среднего арифметического оценок Фойгта и Рейсса, предложенное Р.Хиллом [204]. Для однофазных поликристаллов приближения Фойгта и Рейсса дают сравнительно узкую вилку. Однако для многофазных поликристаллов и композиционных материалов различие в упругих модулях может быть весьма существенным, поэтому необходимы методы, позволяющие сузить вилку. С этой целью нередко осреднение проводится в сочетании с некоторыми гипотезами о полях напряжений, деформаций и перемещений, учитывающими действительный характер взаимодействия между элементами. Наиболее достоверные результаты здесь получены для слоистых композитов [15, 16]. Благодаря четкому характеру взаимодействия между компонентами слоистого композита удается сформулировать вполне надежные гипотезы о полях напряжений и перемещений, аналогичные гипотезе Кирхгофа - Лява из теории пластин и оболочек. При описании поведения структурно-неоднородных материалов в механике композитов различают два подхода: макроскопический [13, 17, 124, 137-147] и структурный [25, 32, 77, 84, 85, 92, 98, 106, 112, 118, 152]. Макроскопический подход характеризуется тем, что композиционный материал моделируется однородной анизотропной средой с эффективными физико-механическими свойствами. Подход позволяет при расчете конструкций из композитов непосредственно применять известные методы механики однородного тела. Во втором случае композиционный материал рассматривается как система взаимодействующих друг с другом элементов структуры, например в рамках структурно-феноменологического подхода [25, 32, 152], особенность которого в том, что однородные физико-механические свойства элементов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических уравнений и критериев, а эффективные свойства композита вычисляются из решений краевых задач для уравнений механики с кусочно-постоянными быстро осциллирующими коэффициентами. Такой подход позволяет не только прогнозировать эффективные физико-механические характеристики композиционных материалов по известным свойствам компонентов, их концентрации и характеру распределения в пространстве, но и находить макроскопические определяющие соотношения и аналитические выражения для описания эффективных упругопластических (упругих) свойств различных композитов.
Одной из центральных задач в механике композитов является вычисление эффективных физико-механических свойств и анализ неоднородных полей деформирования в элементах структуры. Современный уровень исследований этой задачи отражают многочисленные монографии, журнальные публикации, материалы конференций и съездов по механике деформирования и разрушения композитов [25, 32, 47-53, 77, 92, 94, 98, 106, 112, 130,137-147, 152, 183, 184].
В монографиях [25, 152] указано на существование двух видов взаимодействий между включениями в матричных композитах: первое -однородное, второе - осциллирующее вокруг каждого включения. Однородная составляющая искомого поля деформирования в [25] вычислялась из решения задачи об одиночном включении в неограниченной среде. Амплитуда осциллирующей составляющей - быстро затухающая функция расстояний между включениями; отмечено, что вблизи произвольного включения осциллирующая составляющая искомого решения в основном формируется ближайшими к нему соседними включениями.
Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями одной конфигурации
Двухкомпонентный композиционный материал, армированный эллипсоидальными включениями двух различных конфигураций. Пусть рассматриваемый композиционный материал образован двумя компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых Vm играет роль матрицы, второй Vf представлен эллипсоидальными включениями двух конфигураций (фракций) Va, Vb с полуосями aj ,а2,а3 и bj ,b2, b3; Vf =Va U Vb .
Получим замкнутую систему уравнений деформирования рассматриваемого композиционного материала. Граничными условиями данной задачи будут условия отсутствия флуктуации полей напряжений и деформаций на поверхности S объема композиционного материала V:
Соотношение (2.1.21) показывает, что рассматриваемый композиционный материал в общем случае является макроскопически анизатропным даже при изотропности исходных компонентов. Поскольку в соотношение (2.1.21) входят величины Am;f, то для расчета деформационных характеристик композита при конкретных способах нагружения уравнение (2.1.21) необходимо решать совместно с уравнениями (2.1.20), задавая вид функций Ит;Длт.г) на основе экспериментальных данных.
Двухкомпонентныи композиционный материал, армированный эллипсоидальными включениями п различных конфигураций. Пусть рассматриваемый композиционный материал образован двумя компонентами соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых является связующей матрицей, а второй играет роль отдельных включений различных конфигураций (фракций), хаотически распределенных в матрице. Фракции представлены эллипсоидальными включениями с главными полуосями a[s), а а , s = l, п (Рисунок 2). Так как в соотношение (2.2.10) входят величины Am;f, то для расчета деформационных характеристик композита при конкретных способах нагружения его необходимо решать совместно с уравнениями (2.2.9). При этом следует задавать вид функций ц(Лт;Г), который определяется на основе экспериментальных данных, в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов. Частным случаем общих соотношений (2.2.10) является модель композита, в котором эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно.
Для решения этой системы необходимо задать вид функций HmjflAm-f ] выбираемый на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов.
Полученные результаты показывают, что для вычисления макроскопических характеристик композиционных материалов необходимо знать закон распределения включений по фракциям. На рисунке 7 представлена зависимость деформация — напряжение композиционного материала САП (14% А1203). САП получают путем последовательного брикетирования, спекания и прессования окисленной с поверхности алюминиевой пудры. Исходным материалом при получении пудры служит порошок — пульверизат, который изготавливается путем распыления расплавленного алюминия (марки А 97). Порошок размельчается в шаровых мельницах в атмосфере азота с добавлением 2-3 % кислорода и 0,25-1,2 % стеариновой кислоты. Кислород добавляется для окисления вновь образованных поверхностей пудры, стеарин - для облегчения скольжения и препятствия свариванию частиц пудры. Структура САП представляет собой алюминиевую матрицу, в которой хаотически распределены частицы окиси алюминия. Эти частицы представляют собой пластинки, средняя толщина которых принимается равной 0,0055 мкм, а линейный размер 10 — 50 мкм. Частицы окислов аппроксимируются эллипсоидами вращения — сплющенными сфероидами (0,0011 со 0,0055). Диаграмма растяжения рассчитывалась по формулам (2.1.26) - (2.1.28) в предположении, что включения представлены одной фракцией: со = 0,0033 и по формулам (2.2.12) - (2.2.13) в предположении нормального распределения включений по фракциям от со =0,0011 до со =0,0055.
Упругопластические свойства композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями п различных конфигураций
Предложен вариант статистического метода осреднения системы уравнений равновесия для упругопластических двухкомпонентных микронеоднородных сред позволяющий получить замкнутую систему уравнений для определения макроскопических величин и вычислить эффективные характеристики рассматриваемых композиционных материалов. На основе предложенного метода построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических свойств двухкомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций (фракций), компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям матричных двухкомпонентных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями одной конфигурации. Исследовано влияние формы эллипсоидальных включений и их концентраций на эффективные характеристики композиционного материала. Полученные результаты показали удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.
Свойство ближних взаимодействий включений в матричных композитах легло в основу метода локального приближения [152], согласно которому задача о макрооднородном деформировании композита сведена к более простой задаче о деформировании неограниченной области с ансамблем из малого числа включений. Свойство локальности взаимодействий не связано с конкретным характером взаимного расположения включений и с их формой, поэтому метод нашел применение и для композитов со случайными структурами [4].
В волокнистых композиционных материалах взаимодействие составляющих компонентов носит более сложный характер. Однако и здесь широко используется принцип осреднения [9, 33, 60, 91, 108, ПО, 122, 135, 175, 186, 224]. Наряду с приближенными используются и более точные методы, основанные на решении соответствующих задач теории упругости для неоднородной среды. Предполагая, что все волокна одинаковы, имеют форму кругового цилиндра и однонаправлены, задача о деформировании композита решается методом регуляризации структуры [24, 25].
Особое место среди композиционных материалов занимают стохастические композиты [171]. Для их исследования применяются методы, основанные на решении стохастических уравнений механики деформируемых сред. Вычисление эффективных модулей упругости предполагает учет упругого взаимодействия между элементами неоднородности материала и связано с использованием тензора перемещений или напряжений Грина.
Современным стохастическим методам решения задач механики композитов со случайной структурой посвящена обширная литература: математические аспекты постановки и решения стохастических краевых задач анализировались в [40, 41, 82, 83], приложения к задачам механики композитов - в [3, 4, 14, 18, 19, 21, 22, 27, 30, 32, 41, 42, 54, 55, 57, 73-76, 84, 90, 92, 94, 98-101, 105, 109, 111, 112, 114, 119, 152-155, 159, 160, 167, 170, 181-184] и др. Такие задачи со статистической точки зрения состоят в определении характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композиционного материала по известным статистическим свойствам структуры. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций получают, используя образцы композита или модель случайной структуры и имитационное моделирование [32, 84]. Известны разнообразные модели случайных структур [25-28, 32, 59, 84, 183]. Например, модель двухфазной структуры типа статистическая смесь в [84] была построена по следующей схеме: г некоторое конечное число базисных точек первой и второй фаз случайным образом распределялось в единичной области. Относительное число точек каждой из фаз приравнивалось к заданной, относительной объемной доле фазы в композите; далее, физико-механические свойства в произвольной точке области приравнивались к свойствам той фазы, чья базисная точка ближе к рассматриваемой. Совокупность многоточечных моментных функций упругих свойств является полной характеристикой случайной структуры композита [32, 84, 98-101, 152, 183]. Одноточечные функции или моменты содержат информацию об упругих свойствах и относительных, объемных долях фаз. Форма включений и характер их взаимной укладки учитывается двухточечной корреляционной функцией [159, 160] и моментными функциями более высоких порядков. В [84] использование трехточечной моментной функции позволило проанализировать влияние на решение формы эллипсоидальных включений, в частности: сферических, дисковых и игольчатых. Для решения широкого круга проблем механики композитов используется теория случайных функций [172, 184], которая позволяет представить эффективные характеристики композита в виде суммы регулярной составляющей и некоторой корреляционной добавки, учитывающей многочастичное взаимодействие между армирующими элементами. Намного более полная информация о случайном поле содержится в многоточечной функции распределения, включающей в себя все точки рассматриваемой среды. Однако построение такой функции на практике представляет собой весьма сложную проблему. Поэтому более широкое применение нашли корреляционное, одноточечное и сингулярное приближения.
Упругопластические свойства многокомпонентного композиционного материала, армированного эллипсоидальными включениями
Параметры линеаризации необходимо вычислять по формулам (3.2.26) после задания вида функций u(Am;s) на основе экспериментальных данных, вычисляя инварианты as, ps, полученные после обращения тензоров.
Полученные соотношения можно применить для нахождения эффективных механических характеристик многокомпонентных матричных хаотически армированных композиционных материалов, ослабленных различными дефектами — пустотами, порами, трещинами эллипсоидальной формы.
При вырождении эллипсоидов в сферы соотношения (3.2.25), (3.2.26) правильно преобразуются в формулы описывающие композиционные материалы типа "матрица - сферические включения": 1-сх 5=1ц + а((ц8(Л8)-ц)) (3.2.29). Предложен вариант статистического метода осреднения системы уравнений равновесия для упругопластических многокомпонентных микронеоднородных сред, позволяющий получить замкнутую систему уравнений для определения макроскопических величин и вычислить эффективные характеристики рассматриваемых композиционных материалов. На основе предложенного метода построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям многокомпонентных матричных композиционных материалов, армированных сферическими включениями и к моделям, построенным в главе 2. На основе предложенного метода впервые получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, ослабленных невзаимодействующими трещинами. В предельном случае полученные аналитические выражения сводятся к известным формулам для определения эффективных модулей тела, ослабленного невзаимодействующими трещинами.
Разработан вариант статистического метода осреднения системы уравнений равновесия для упругопластических многокомпонентных микронеоднородных сред, позволяющий получить замкнутую систему уравнений для определения макроскопических величин и вычислить эффективные характеристики рассматриваемых композиционных материалов. На основе предложенного метода впервые построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств двухкомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций (фракций), компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям матричных упругопластических (упругих) двухкомпонентных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями одной конфигурации. На основе предложенного метода впервые построены математические модели и получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, компоненты которых описываются нелинейными реологическими характеристиками. В предельных случаях полученные модели сводятся к известным моделям многокомпонентных матричных упругопластических (упругих) композиционных материалов, хаотически армированных сферическими включениями. На основе предложенного метода впервые получены аналитические выражения для тензоров эффективных упругопластических (упругих) свойств многокомпонентных матричных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями различных конфигураций, ослабленных невзаимодействующими трещинами. В предельном случае полученные аналитические выражения сводятся к известным формулам для определения эффективных модулей тела, ослабленного невзаимодействующими трещинами. Полученные результаты показали удовлетворительные соответствия экспериментальным данным.
Похожие диссертации на Прогнозирование макроскопических упругопластических свойств хаотически армированных многокомпонентных композиционных материалов
