Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 7
ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 13
1.1. Классическая постановка задач пространственной
теории упругости (статика) 13
Основные уравнения теории в компонентах вектора смещений и тензора напряжений 13
Задание краевых условий 17
1.2. Инвариантные формы общих действительных решений
уравнений п. 1.1.1 18
1.2Л. Представления для вектора смещений и тензора
деформации 18
1.2.2. Представления для тензора напряжений 20
1.3. Ортогональные криволинейные координаты 23
1.3 Л. Аксиально-симметричные задачи 25
1.3.2. Деформация тела вращения ....<. 27
1.4. Решение некоторых классов пространственных задач
методами теории функций комплексного переменного 27
1.4Л. Зависимости между пространственными и
некоторыми плоскими НДС по методу интегральных наложений...29
Применение двумерных комплексных потенциалов 31
Использование обобщённых комплексных
переменных и гиперфункций 32
1.5. Исходные понятия и их развитие в современной теории
функций многих комплексных переменных. 35
Выводы по главе I 42
Стр.
ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ( С2-П0ТЕН1ЩЛ0В) 43
2.1. Структура элементов комплексного
пространства 43
2.2.1. Базисы пространств Е^ и
Изоморфизм Гамильтона-Кели 44
Формы представления элементов в (С 48
Некоторые геометрические интерпретации 53
Предел последовательности комплексных
элементов 65
2.1.5. Функция переменной Гамильтона 66
2.2. Дифференцирование функций. 73
Дифференциальные операторы , 73
Простейшие применения дифференциальных
операторов 77
2.2.3. Производные от комплексной функции 79
2.3. Аналитические функции переменной
Гамильтона (С -потенциалы) 83
Условия аналитичности 84
Однородные аналитические полиномы 89
Аналоги рядов Тейлора и Лорана .. 95
2.4. Соответствие между конформным отображением
областей в пространствах Е^ и С 96
2.4.1. Геометрический подход и линеаризация
системы (I.7I) 97
Сравнение с известными результатами... 101
(D -потенциалы и конформное отображение., 102
Стр.
2.4.4. Обобщение теоремы Римана на пространство (С ....103
2.5. Комплексные представления общих решений
о
полигармонических уравнений в (С 106
Вспомогательные формулы и соотношения 107
Представления для гармонических и
бигармонических функций 108
2.5.3. Обобщение для полигармонических функций III
Выводы по главе II 114
ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ С2-ШТЕНЦИАЛ0В 116
3.1. Обобщение основных уравнений теории упругости
для Е^. Интерпретация формализма 116
3.2. Сведение задач пространственной теории
упругости к би гармоническим задачам 119
3.2.1. Обобщение тензора напряжений.
Представления дли компонент 120
Свойства функций напряжений 124
Задача Дирихле для бигармонического
вектора смещений. 132
3.2.4. Задача Неймана для бигармонических
функций напряжений 138
3.3. Комплексное представление пространственного
решения Буссинека-Галёркина для [перемещений. 147
Комплексные представления для компонент 6t.. 156
Редукция основных краевых задач пространственной
о
теории упругости на комплексное пространство (П .. 170
3.5.1. Формулировка пространственной краевой задачи
в напряжениях для С -потенциалов 170
Стр.
3.5.2. Формулировка пространственной краевой задачи
в смещениях для С -потенциалов 182
Выводы по главе III 191
ГЛАВА ІУ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ф2-ПОТЕНЦИАЛОВ 193
4.1. Квазилинейная форма представления степеней ъе и tt'... 193
4.1.1. Представление степеней эе и "ае через
инварианты матрицы "К, 193
4.1.2. Свойства гармоничности действительных
однородных полиномов р (і I ) , 200
4.1.3. Представления для однородных аналитических
полиномов Р^ (те) 202
4.2. Дифференцирование степеней 204
Общие формулы дифференцирования 204
Дифференцирование степеней инвариантов 209
Дифференцирование степеней % и *е 211
Сходимость полиномиальных рядов 212
Теорема Кош 215
Граничные свойства матричных аналитических
функций 219
Выводы по главе ІУ '. 221
ГЛАВА У. ПРИМЕНЕНИЕ ^-ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 223
5.1. Определение НДС тела и краевых условий из общих
решений уравнений теории упругости 223
Стр.
Задание вектора G Буссшека-Галёркина 224
Задание системы ( <$ , J» ) С -потенциалов 225
Задача в напряжениях для тела, ограниченного поверхностью (5.20). ..,.230
Температурная задача , 233
Выводы по главе У 237
ОБЩЕ ВЫВОДЫ 238
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 241
ПРИЛОЖЕНИЕ
Введение к работе
В 1861 г. Г.Б.Эри ввёл в рассмотрение действительную бигар-моническую функцию U двух действительншс переменных,через которую выразил компоненты тензора напряжений для двумерных упругих областей. Исходя из граничных условий задач двумерной теории упругости, исследователями предпринимались попытки построить такие граничные условия для функции Эри и её производных, которые давали бы эффективные решения различных прикладных бигармонических задач. В действительных областях двумерного пространства этого не удалось сделать-и решения бигармонических задач, определяющих функцию Эри,приходилось получать интуитивно.
В 1898 г. Э.Гурса методами теории функций одного комплексного переменного получил для действительной двумерной бигармонической функции комплексное представление через две аналитические функции.
Используя классические результаты работ физиков и механиков (Эри,Максвела и др.), хорошо разработанный к тому времени аппарат теории функций одного комплексного переменного (Коши,Римана,Гурса и др.), Г.В.Колосов для случая плоской задачи впервые получил физически ясные комплексные представления для компонент вектора перемещений и тензора напряжений через две аналитические функции и их производные.
Основываясь на комплексных представлениях Г.В.Колосова,Н.И. Мусхелишвили построил краевые условил,которым подчиняется указанная пара аналитических функций,т.е. свёл гармонические и бигармо-нические двумерные задачи теории упругости (в перемещениях и напряжениях) к краевым задачам теории функций одного комплексного переменного. Построение краевых условий во многом определило последующий успех Н.И.Мусхелишвили,И.Н.Векуа,их школ и последователей.
В самом общем шде метод Колосова-Мусхежшвили-Зекуа можно понимать как отработанный и полный алгоритм построения контактирующего взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) произвольных объектов евклидова двумерного пространства Е.и комплексной
і Z -плоскости (комплексного пространства С ).Тогда решениям задач
плоской теории упругости соответствуют решения краевых задач теории функций одного комплексного переменного.
Б ряде работ Н.И.Мусхешіітили,й.Н.Векуа и др. на основе теории аналитических функций одного комплексного аргумента были развиты методы решения широкого круга граничных и контактных задач плоской упругости,а также задач кручения и изгиба (гармонических и би гармонических).
Существенный вклад в развитие метода Колосова-Мусхежшвили-Векуа для решения различных классов задач плоской упругости внесли работы Г.Н.Савина,С.Г.1шхлина,Д.й.Шермана,И.И.Воровича, их школ и многочисленных последователей. К исследованиям теоретических и прикладных задач применения теории функций одного комплексного переменного в теории упругости относится также цикл работ нижегородской школы, в частности, работы по получению аналитических решений на ЭВМ.
Предложенный и разработанный Н.И.йЛусхелштили и И. Н. Веку а ма-
митегралоб
тематический аппаратТтйпа Копій и сингулярных интегральных уравнений в дальнейшем развивался в работах И.Н.Векуа,Н.П.Векуа,М.А.Лаврентьева, А.В.Бицадзе,Ф.Д.Гахова и др.
Следует отметить,что пр разшгах методах теории функции одного комплексного переменного путь от первичных (Зри) до итоговых результатов (шусхелищвнли-Векуа) был преодолен за столетие.
Попытки установить связи между пространственными (в основном осесимметричными) и соответствующим! им плоскими задачами предпри-
нимилась давно. С одной стороны, были найдены те или иные аналогии между формами записи их общих решений (А.и Д.йеппльД.Пёшль, К.Маргер,П.Й.Пашсович,й.1ЪлепкийД.Я.Александров и др.).С другой стороны, были установлены интегральные зависимости между решениями указанных задач (К.Вебер),где Функция напряжении осесимметрич-ной задачи связывалась с плоской бигармонической функцией.В работах Г.II .Положил зависимости между плоскими и осесимметричными задачами при помощи Ь -аналитических Функций одного комплексного переменного. Удобным приёмом получения интегральных зависимостей является метод наложений (В.К.Смирнова,С.Л.Соболева,А.Я.Алексаїйроьа)» который использовался при решении задач типа Буссинека для анизотропного полупространства. Получение вышеназванных зависимостей основано на введении определённых вспомогательных состояний,компоненты которых в прямоугольных координатах зависят лишь от двух переменных. В качестве таких состояний принимаются плоская деформация и деплаиация (двумерное состояние при отсутствии смещений в двух направлениях). Пространственное напряжённое состояние заданного тела рассматривается как суммарное состояние плоских напря -жённых состояний в плоских сечениях пучка цилиндров, пересечение которых и даёт объём заданного тела.
Наибольший вклад в применение методов теории функций одного комплексного переменного к пространственным задачам теории упругости внесли работы В.Т.Койтера,Я.Н.Снеддона,И.Й.Воровича,С.М. Белоносова и А.Я.Александрова.
Применение плоских комплексных потенциалов для описания пространственных задач стимулировало попытки механиков разработать методы трёхмерных комплексных потенциалов для приложений,несмотря на то, что современная теория функций многих комплексных переменных до сих пор не располагает эффективным аппаратом изучения структур и свойств комплексных функций, выделения из них класса анали-
тических функций ( С -потенциалов). Известны попытки обобщения описания уравнений равновесия и совместности с помощью функций двух комплексных переменных (А.И.Александрович), гиперфункций (Д.Д.Пенрод) и кватернионных функций (И.П.Мельниченко, Е.М.Пик). Однако, это не привело к получению трёхмерных обобщений комплексных потенциалов, выражению через них представлений Колосова-Мус-хелишвили и построению схемы сведения (Энгармонических задач теории упругости к краевым задачам теории функций двух комплексных переменных.
Целью работы является создание методологических основ для решения трёхмерных задач теории упругости с помощью аппарата пространственных комплексных потенциалов. Методологические основы включают в. себя:
введение аксиоматики для описания комплексного пространства С , соответствующего трёхмерному действительному пространству Еь ;
построение начал теории матричных комплексных функций в прост-
ранстве С .определение и изученив класса аналитических функций
г ( С -потенциалов);
описание НДС упругого тела с помощью системы <ь -потенциалов;
формулировка граничных условий (для определения системы С -потенциалов) по соответствию их краевым условиям бигармонических
задач трёхмерной теории упругости и постановки граничных задач
і теории С -потенциалов.
Тема диссертационной работы входит в перечень тем Федеральной Программы "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций".
В главе I выполнен обзор существующих описаний и решений систем дифференциальных уравнений статической пространственной теории упругости с помощью теории функций действительных и комплексных
переменных. Основное внимание уделено уточнению,формализации и обобщению на четырёхмерный случай систем уравнений равновесия,совместности и Гука и их решений для получения единого описания НДС упругого тела независимо от размерности задач и для выработки целостного подхода при анализе существующих и получаемых в главе III результатов.
