Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов решения обратных задач, применение искусственных нейронных сетей 17
1.1. Обратные задачи теории упругости 17
1.1.1. Прямые и обратные задачи 18
1.1.2. Обратные задачи рассматриваемые в работе 22
1.2. Применение искусственных нейронных сетей 23
1.2.1. Нейросетевые методы реконструкции дефектов, основанные на измерении электрических токов, магнитных потоков и рентгеновских снимках. 23
1.2.2. Нейросетевые методы реконструкции дефектов, основанные на измерении механических величин – смещений, ускорений и температуры 26
1.2.3. Применение ИНС коэффициентных обратных задачах. 36
1.3. Упругие и диссипативные характеристики 37
Глава 2. Поставки прямых и обратных задач теории упругости 41
2.1. Постановка прямых задач 41
2.2. Постановка обратных задач
2.2.1 Постановка задачи 1 46
2.2.2 Постановка задачи 2 49
2.2.3 Постановка задачи 3 и 4
2.2.3.1 Модель трубы с объемным дефектом (задача 3) 51
2.2.3.2 Модель трубы с трещиноподобным дефектом (задача 4) 52
2.2.3.3 Постановка обратных задач 3 и 4 53
2.2.4 Постановка задачи 5 54
Глава 3. Исследование и разработка программного комплекса . 58
3.1. Искусственные нейронные сети 59
3.1.1. Архитектуры искусственных нейронных сетей 60
3.1.2. Обучение нейронной сети 62
3.1.3. Программирование искусственной нейронной сети . 65
3.1.3.1. Структура программы 65
3.1.3.2. Основные функции программы 66
3.1.3.3. Решение обратных задач с помощью ИНС. 67
3.2. Комплексные искусственные нейронные сети 70
3.2.1. Архитектура КИНС 70
3.2.2. Обучение комплексных искусственных нейронных сетей 70
3.2.3. Основные функции программы 72
3.3. Разработка системы грид-вычислений Anthill 73
3.3.1 Система распределенной обработки. 73
3.3.2. Алгоритм распределенных вычислений 74
3.3.3. Основные функции программы 78
3.4. Разработка платформы для параллельного обучения искусственных нейронных сетей DisANN 80
3.4.1. Основные концепции DISANN 81
3.4.2. Техническая реализация 84
3.4.3. Алгоритм функционирования 86
3.4.4. Основные функции программы 87
3.4.5. Результаты испытаний 90
Выводы 92
Глава 4. Решение обратных коэффициентных задач с помощью ИНС или КИНС 94
4.1. Применение ИНС к задаче идентификации модуля Юнга и коэффициента Пуассона для цилиндра (Задача 1.1). 95
4.1.1. Процесс обработки входных данных. 95
4.1.2. Численные результаты 98
4.2. Применение КИНС к задаче идентификации модуля Юнга, коэффициента Пуассона и и диссипативных характеристик (a, b) для цилиндра (Задача 1.2) 101
4.2.1. Процесс обработки входных данных 101
4.2.2. Численные результаты 103
4.3. Применение КИНС к задаче идентификации модуля Юнга и добротности (Задача 2.1). 104
4.3.1. Процесс обработки входных данных. 104
4.3.2. Численные результаты 109
4.4. Идентификации диссипативных коэффициентов деформируемого твердого тела (Задача 2.2). 112
4.4.1. Процесс обработки входных данных. 112
4.4.2. Численные результаты 116
4.5. Идентификации упругих свойств и диссипативных коэффициентов деформируемого твердого тела (Задача 2.3) 118
4.5.1. Процесс обработки входных данных 118
4.5.2. Численные результаты 121
Выводы 123
Глава 5. Решение обратных геометрических задач с помощью ИНС 125
5.1. Реконструкция параметров дефекта в трубе для задачи 3 127
5.2. Реконструкция параметров дефекта в трубе для задачи 4 133
5.3. Реконструкция параметров дефекта в трубе для задачи 5 1
5.3.1 Реконструкция перпендикулярных трещин. 143
5.3.2 Реконструкция наклонных трещин. 147
5.3.3 Реконструкция расстояния до дефектов. 148
Выводы 149
Заключение 151
Список литературы
- Обратные задачи рассматриваемые в работе
- Постановка задачи 1
- Программирование искусственной нейронной сети
- Реконструкция параметров дефекта в трубе для задачи 4
Обратные задачи рассматриваемые в работе
С точки зрения соотношений «причина-следствие», все задачи математического моделирования можно разбить на два больших класса: прямые задачи и обратные задачи [7].
Прямые задачи. Для этого класса задач известны причины, требуется найти следствие. В качестве причин могут фигурировать сама математическая модель, начальные условия, коэффициенты дифференциальных операторов, граничные условия, геометрия области.
В качестве следствий в механике используются обычно компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал).
Прямые задачи составляют суть современной математической физики, которая формировалась как область математики на протяжении более двух столетий. Для таких задач детально разработаны методы решения, доказаны теоремы существования и единственности.
Обратные задачи и их классификация. Для этого класса задач известны следствия, требуется найти причины и определить их по некоторой дополнительной информации об объектах исследования. Эти задачи стали предметом исследований в математике относительно недавно, первые работы в этом направлении относятся к началу XX века, а более интенсивно разработки в этой области математического моделирования начали проводиться в 70-80-х годах прошлого века [14, 19, 25].
Обратная задача используется в самых разных областях механики, физики, геологии и многих других. В качестве примеров обратных задач назовем обнаружение ресурсов, определение материальных констант, граничных условий, диагностика трещин, определение остаточных напряжений и другие. Методы решения подобных задач в настоящее время хорошо развиты [7]. Методы определения неизвестных параметров основаны на анализе реакции системы на определенные воздействия.
К настоящему времени сложилась следующая условная классификация обратных задач [3, 14]. 1) Ретроспективные обратные задачи (задачи с обращенным временем) - задачи об определении начального состояния ОИ (начальных условий) по некоторым функционалам или операторам от решения. 2) Коэффициентные обратные задачи - задачи определения коэффициентов дифференциальных операторов. 3) Граничные обратные задачи (задачи об определении граничных условий). 4) Геометрические обратные задачи (задачи об определении области, занятой ОИ). 5) Обратные задачи смешанных типов (неизвестными являются несколько факторов 1-4; например, коэффициенты дифференциальных операторов и область, занятая ОИ).
Следует отметить, что вышеприведенная классификация ОЗ является весьма условной, и постановки задач легко трансформируются одна в другую. Например, задача об определении дефекта в упругом теле в общей постановке относится к геометрическим ОЗ. В том случае, когда геометрия тела такова, что для описания его поведения используется стержневая модель, задача сводится к коэффициентной ОЗ, которая, в свою очередь, в рамках линеаризованной постановки трансформируется в задачу об определении нагрузки, т. е. в граничную ОЗ.
К сожалению, решение многих обратных задач можно найти лишь приближенно, при помощи численных алгоритмов, и требуются достаточно тонкие математические средства анализа для обоснования сходимости и устойчивости решений таких задач [10, 14, 42-45].
В качестве наиболее значимых приложений ОЗ в современной практике отметим следующие. 1) Построение определяющих соотношений для новых материалов (на этапе параметрической идентификации), нахождение механических, теплофизических постоянных, оцифровка полимерных и композитных материалов. 2) Совершенствование моделей строения Земли и их приложения к задачам горной механики, геофизики, разведки полезных ископаемых (определение расположения и мощности залежей полезных ископаемых по отраженным от месторождения звуковым сигналам, модулей упругости, являющихся некоторыми функциями координат). 3) Модификация схем неразрушающего контроля (определение расположения и конфигурации дефекта по отраженному полю) на основе закономерностей отражения ультразвуковых волн от ОИ и явления акустической эмиссии. 4) Задачи рентгеновской и акустической томографии [20, 32], когда по семейству плоских проекций трехмерного тела требуется восстановить его пространственную конфигурацию, причем особое значение приобретает идентификация при таких схемах просвечивания, когда ОИ может быть прозондирован лишь из ограниченной области (неполные данные). 5) Задачи акустики океана (определение плотности, солености некоторой акватории океана как функций пространственных координат по информации о волновых полях в жидкости, обнаружение движущихся в океане объектов). 6) Обратные задачи биомеханики (описание свойств и нахождение количественных характеристик биологических тканей - мышц, сухожилий, костной ткани по косвенной информации о физических полях в них). 7) Задачи наномеханики по определению свойств наноразмерных покрытий по измеренным полям.
Обратные задачи обладают рядом неприятных, с точки зрения обработки информации, свойств. Во-первых, как правило, ОЗ являются нелинейными. Во-вторых, возможна неединственность при решении ОЗ, и, в-третьих, наиболее неприятным свойством ОЗ является их неустойчивость по отношению к малым изменениям входной информации. Для обратных задач погрешность, присущая всем измерениям, может оказывать очень сильное влияние на погрешность восстановления каких-либо свойств объекта. Это означает, что увеличение точности проведения эксперимента не может кардинально улучшить ситуацию в процедуре идентификации
Постановка задачи 1
Дополнительной информацией для решения обратной задачи являются амплитуда и фаза смещений uk , измеренные в точках 2 – 5 (рис. 2.2), через которые определяются их действительные и мнимые части
Коэффициенты упругости соответствуют изотропному телу (2.9) c11 =c22 =l+2m, c12 =c21 =l, c44 =m, l, m - коэффициенты Ламе. Частота колебаний w совпадает с первой собственной частотой резонанса для тела, в котором не учитывается диссипация механической энергии. Коэффициенты a, b - характеризующие диссипацию в случае задании добротности Q вычисляются по соотношения (2.7).
На рис. 2.2 показаны точки 2-3-4-5, в которых проводятся «измерения» перемещений. В работе натурный эксперимент заменялся численным расчетом в конечноэлементном пакете ANSYS. Рассматриваются три типа коэффициентных обратных задач для пластины: Задача 2.1: идентификации упругих (модуль Юнга) и диссипативных (добротность) свойств.
Задача 2.2: идентификации коэффициентов a, b, описывающих диссипативные свойства при условии, что упругие свойства известны. Задача 2.3: идентификации упругих свойств (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) и диссипативных коэффициентов а, /3.
Так же, как в задаче 1, здесь исследуются вопросы точности идентификации механических свойств материала в зависимости от числа точек измерения, их расположения и частотного диапазона.
Рассматривается два типа обратных геометрических задачах идентификации объемного дефекта выходящего на внешнюю или внутреннюю поверхности трубы (задача 3) и задача идентификации трещины, также выходящей на внешнюю или внутреннюю поверхности трубы (задача 4). Дополнительной информацией в обоих задачах является АВХ смещений измеренных в точке приложения силы возбуждающей упругие волны.
Модель трубы с дефектом и размеры Рассматривается решение прямых нестационарных задач для фрагмента трубы (рис. 2.3, справа) с дефектом, который имеет прямоугольную форму в осевом сечении размером drx dl (рис. 2.3, слева и в центре), где / - длина трубы, і - внутренний радиус верхней трубы , tr - толщина трубы, s - расстояние от датчика до дефекта.
Возбуждение волн осуществляется приложением в датчике радиальной силы со ступенчатой зависимостью от времени. В качестве измеряемой информации выступают АВХ радиального и осевого смещений на поверхности трубы в точке приложения силы (датчик на рис. 2.3). Измерение отраженного от дефекта сигнала производилось на отрезке времени [t1,t2 ] , где t1 время когда отраженный от дефекта сигнал приходит на датчик, а время t2 выбирается из условия, что отраженные от торцов трубы волны не достигли датчика, тем самым моделируется процесс измерения на «бесконечной» трубе.
Рассматривается решение прямых нестационарных задач для фрагмента трубы (рис. 2.4 справа) с круговой трещиной глубиной dr (рис. 2.4 слева и в центре), выходящей на внешнюю или внутреннюю поверхность трубы. Рассматривается такой же , как в 2.2.3.1 фрагмент трубы, в котором объемный дефект заменяется на трещиноподобный. а) модель трубы с трещиноподобным дефектом и размеры. б) модель трубы без жидкости. в) модель трубы с жидкостью. (1,3 – металл, 2 - жидкость). Возбуждение волн и измерение сигналов отраженных от дефекта осуществляется так же, как и в 2.2.3.1
Напряженно деформированное состояние трубы исследуется в рамках осесимметричной задачи линейной теории упругости. Фрагмент трубы занимает в цилиндрической системе координат (r„6,z,) область Q: торцевая плоскость z = О закреплена, верхняя торцевая плоскость и внутренняя цилиндрическая поверхность свободны от напряжений, внешняя поверхность трубы также свободна от напряжений, а в месте расположения датчика действует осесимметричная динамическая нагрузка (нормальные сила) F(z.,t) = F0(t) S(z.-l/2), границы дефектов, расположенных на внутренней и внешней поверхностях трубы так же свободны от напряжений.
В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения однородной упругой среды в цилиндрической системе координат записываются в виде [36]:
Соотношения (2.34)-(2.37) представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи теории упругости. В том случае, когда труба заполнена жидкостью (рис. 2.4в) к уравнениям (2.34)-( 2.37) добавляются уравнения акустики с учетом линейных диссипативных эффектов (2.15) и (2.16) и импедансные граничные условия на торцах, моделирующие бесконечную среду.
Постановка задачи 5 Рассматривается обратная геометрических задачах идентификации трещины, также выходящей на внешнюю или внутреннюю поверхности трубы (такая же как задача 3). Возбуждение волн осуществляется пьезоэлектрическим актуатором, дополнительной информацией в задаче 5 является АВХ электрического потенциала измеренного на пьезоэлектрических сенсорах расположенных на внешней поверхности трубы.
Рассматривается решение прямых нестационарных задач для фрагмента трубы (рис. 2.5 справа) с круговой трещиной глубиной dr (рис. 2.5 слева), выходящей на внешнюю или внутреннюю поверхность трубы. Где h - длина трубы , r - внутренний радиус, tr - толщина, s1 - расстояние от первого пьезосенсора до дефекта, l1 - расстояние от дефекта до конца трубы, s2 расстояние от пьезоактуатора до второго пьезосенсора, l2 - расстояние от второго пьезосенсора до конца трубы.
Программирование искусственной нейронной сети
ИНС представляют собой математическую модель, построенных по принципу и функционированию биологических нейронных сетей - сетей нервных клеток живого организма [80]. Сети ИНС была впервые введена в 1943 году Warren McCulloch и Walter Pits. ИНС представляют собой простую модель биологических нейронных связей. Структура сети состоит из простых вычислительных блоков (представляющихся собой нейроны), связанные взвешенными дугами (представляющиеся собой синапсы). Вероятность приближения функции искусственной нейронной сети зависит от формы и интенсивности связей (значение весов). В ходе своего развития, ИНС широко применяются в различных областях науки – физике, медицине, бизнесе, технике, геологии [50, 72, 91, 150, 198]. Одним из применения их в механике является решение коэффициентных и геометрических обратных задач.
В начале 90-х годов прошлого столетия в работах T. Nitta были предложены КИНС, которые в настоящее время широко используются для решения прикладных задач [124-126]. КИНС, параметры которых (веса, пороговые значения, входы и выходы) являются комплексными числами, применяются в различных областях современной техники, таких как оптоэлектроника, воспроизведение изображений, синтез речи, машинное зрение, распределённый сбор данных, квантовые аппараты, пространственно-временной анализ физиологических нейронных аппаратов и систем. Применение КИНС в задачах механики является новой областью исследований, которая начала развиваться только в последние годы.
В настоящей главе описаны результаты, полученные в области создания комплексов программ, реализующих применение ИНС и КИНС для решения обратных задач механики на основе их сочетания с разработанными пакетами конечноэлементных программ, в частности на языке ANSYS APDL, языке пакета FlexPDE. Ниже описаны: - Разработка программной системы ИНС, в которой использовались оригинальные библиотеки на Python, а также библиотеки для моделирования ИНС, Feed-forward neural network (FFNET).
В ходе исследования были использованы конечно-элементные пакеты FlexPDE, ANSYS. ANSYS выполнялся в пакетном режиме с передачей параметров через командную строку. Данные экспортировались в файловую систему. Разработанные скрипты ANSYS APDL, программы ИНС, КИНС и распределённого моделирование проводилось с помощью программного обеспечения приведенного в приложениях 1, 2, 3, 4.
Применение ИНС отличается от традиционного подхода (интерполяции, экстраполяции) и представляет собой гипотетическую модель или функцию явно выражающую отношение между входными и выходными переменными с помощью накопленных знаний сети, заключенных в значениях весовых матриц связи W , в структуре сети и порогах активации в нейронах.
Все эти параметры легко изменяются, добавляются или обновляются в процессе обучения сети, переобучение или процессе самообучения. ИНС -простая структурная сеть, имеющая высокую адаптивность, когда отбор проб регулярно обновляется, высокую нелинейность. ИНС применяется в задачах распознавания, прогнозирования, управления по модели black-box. В этом разделе приведен принцип работы искусственных нейронных сетей, алгоритмы обучения сети, применение искусственных нейронных сетей для решения обратной задачи в механике. Создание программы, использующей искусственную нейронную сеть прямого распространения с алгоритмом обратного распространения ошибки, запуск испытательной программы на тестовых данных для оценки точности прогнозирования и эффективности алгоритма.
Архитектуры искусственных нейронных сетей. Искусственная нейронная сеть представляет собой сеть, состоящую из набора нейронов, соединенных с друг другом помощью взвешенных связей [80]. Математическая модель искусственного нейрона, как это было предложено McCulloch и Pitts, показано на рисунке 3.1, в которой, и xij , j = 1..n и yi являются входами и выходами i–го нейрона; bi - порог; wji - вес интенсивность соединения j-го блока с i-ым блоком; матрица Wi содержит веса wji i-го нейрона и называется весовой матрицей этого нейрона.
Где xi = [xi1, xi2 ,.., xin ], i = 1..p - вектор данного образца в пространстве данных i-го входа, p - число образцов в наборе данных, n - число связей пространства данных входа, f (.) – воздействующая функция. Блок-схема общей математической модели процессора сети приведенной на рисунке 3.1, представлена на рисунке 3.2. В этой модели блок, обозначенный S является соединение входов xi = [xi1, xi2 ,.., xin ], i = 1..p каждого набора обработки, результат которого поступает в блок fi (.) - действия функции активации, в результате ее действия получается выходной сигнал yi .
Реконструкция параметров дефекта в трубе для задачи 4
Реконструкция дефектов в трубопроводах, вызванных механическим воздействием или коррозией, является важной технической проблемой, успешное решение которой может предотвратить разрушение труб. Такая идентификация может быть осуществлена с помощью приборов, которые двигаются вдоль трубопровода и осуществляют их мониторинг. Более привлекательным способом обнаружения является использование акустических датчиков и приемников (пьезоактуаторов и пьезосенсоров), установленных на трубе и обнаруживающих повреждение на основе отраженных сигналов от дефектов. Такая система должна быть снабжена программным обеспечением, позволяющим по анализу отраженного сигнала идентифицировать повреждение и его степень. Соответствующее ПО может быть разработано на основе использования ИНС [80]. Применение ИНС в задачах реконструкции поврежденного состояния элементов конструкций описано в работах [16, 18, 72, 91, 110, 181, 186]. Применение различных архитектур и алгоритмов ИНС описано в работах [16, 18, 91, 110, 181]. Определению дефектов в анизотропных пластинах с помощью ИНС посвящена работа [186]. В работе [72] авторы указали преимущества методов идентификации, в которых не требуется предварительное построение математической модели объекта исследования.
В настоящей работе разрабатывается метод реконструкции поверхностных дефектов в трубах. Математически проблема сводится к обратной геометрической задаче теории упругости [7]. Предполагается, что дефекты расположены на внешней или внутренней поверхности трубы и имеют осесимметричную конфигурацию. Нестационарный акустический сигнал возбуждается датчиком, находящимся на некотором расстоянии от дефекта, приемник расположен там же, где и датчик. Поставленная задача решается в осесимметричной постановке с помощью МКЭ. С этой целью построена конечно-элементная модель фрагмента трубопровода в пакете ANSYS.
Отраженный от дефекта сигнал в виде АВХ радиального и осевого смещений (или электрического потенциала на электроде пьезосенсора) измеряется в течение времени, когда волны отраженные от концов отрезка трубы не успевают прийти на приемник, таким способом моделируются реальные условия протяженного трубопровода.
Анализ измеренных АВХ показывает возможность их использования в обратных задачах восстановления дефектов. Идентификация дефектов может быть осуществлена в два этапа. На первом этапе проводится регистрация наличия дефекта и определение расстояния от датчика до дефекта. Задача первого этапа решается на основе отличия между АВХ измеряемых величин найденных для конструкции без дефекта и с дефектом. Как показывают расчеты, расстояние до дефекта может быть легко установлено по времени прихода на датчик отраженного от дефекта сигнала, т.е. задача первого этапа может быть решена аппаратным путем. На втором этапе предполагается идентификация параметров дефекта (типа, размера, формы, объема и т.п.), эта задача значительно сложнее предыдущей и в зависимости от входной информации может допускать не единственность решения. В качестве инструмента решения обратной задачи реконструкции параметров дефекта используется ИНС. Популярность использования ИНС обусловлена тем, что они изначально проектировались для решения именно таких задач, для нахождения нелинейных зависимостей в многомерных массивах данных. ИНС, в отличие от других алгоритмических конструкций, не программируются, а обучаются на множестве данных для различных параметров дефекта. Обучающие выборки строятся путем решения прямых задач в ANSYS. Обученная сеть, получив уже новые, неизвестные ранее результаты анализа, способна корректно распознать параметры дефекта. Входные данные для обучения ИНС могут быть преобразованы с помощью БПФ [88], что улучшает процесс реконструкции. В работе исследованы вопросы архитектуры ИНС, способов представления обучающей информации и влияние размеров дефектов на точность и время идентификации дефектов.
В настоящем параграфе рассматривается задача 3, постановка которой осуществлена в п. 2.2.3. Реконструкция параметров дефекта (длины, глубины и объема) в работе осуществляется с помощью сочетания МКЭ и ИНС, описанных в главах 2 и 3 соответственно.
Для обучения ИНС решаются прямые нестационарные задачи для фрагмента трубы (рис. 2.3, справа) с дефектом, который имеет прямоугольную форму в осевом сечении размером drxdl (рис. 2.3, слева и в центре), где длина трубы 1 = 2 м, внутренний радиус верхней трубы г = 0,19 м , толщина трубы tr = 0,02 м, расстояние от датчика до дефекта s = 0,5 м. С этой целью в пакете ANSYS была построена осесимметричная конечно-элементная модель. При расчетах принимались следующие значения модуля Юнга: = 2,0 x10й Па, плотность: р = 7800 кг/м3, коэффициент Пуассона: v = 0.3.
Возбуждение волн осуществляется приложением в датчике радиальной силы со ступенчатой зависимостью от времени (продолжительность действия составляла 1хЮ-бс). В качестве измеряемой информации выступают АВХ радиального и осевого смещений на поверхности трубы в точке приложения силы (датчик на рис. 2.3). Измерение отраженного от дефекта сигнала производилось на отрезке времени [ ,f2], для которого волны, отраженные от торцов трубы, не достигли датчика ( =2s/v, t2 =11 v, Лґ = ґ2 — , где 1 - длина трубы; v - скорость сигнала; s - расстояние от датчика до дефекта)
Решение краевых задачи 3 проводится методом конечных элементов реализованных в пакетах ACELAN и ANSYS. В результате этого решения получается дополнительная информация для решения обратных задач. Так на рис. 5.1 для задачи 3 показано распределение радиального смещения в осевом сечении трубы на ее деформированном состоянии для разных значений времени (начало распространения слева, волновой фронт достигает дефекта в центре и справа).
Похожие диссертации на Решение обратных задач теории упругости с помощью искусственных нейронных сетей
