Содержание к диссертации
Введение
1 Общая схема метода Монте-Карло для решения линейных интегральных уравнений . 9
1.1 Схема Неймана-Улама в случае сходящегося ряда Неймана 9
1.2 Аналитическое продолжение резольвенты. Обобщенное суммирование ряда Неймана . 13
1.3 Паде-аппроксимации резольвенты и разложение ее в цепную дробь 15
1.4 Определение максимального собственного значения интегрального оператора и регуляризация аналитического продолжения для интегральных уравнений 1-го рода 17
2 Решение основных краевых задач линейной теории упругости для однородной изотропной среды . 19
2.1 Интегральные уравнения теории упругости 19
2.2 Метод блуждания по границе . . 23
2.3 Задачи Дирихле и Неймана . 39
2.4 Смешанная задача теории упругости. 42
3 Решение задач лилейной теории упругости для однородной анизотропной среды . 51
3.1 Частный случай трансверсальной изотропии 51
3.2 Численное построение фундаментального решения и оператора напряжений. Произвольный тип анизотропии 55
4 Применение метода блуждания по границе для решения задач о напряженно-деформированном состоянии шины . 62
4.1 Постановка задач. Задание геометрии шины 62
4.2 Решение задач о шине методом блуждания по границе. Анализ результатов 66
4.3 Замечание о возможности применения метода блуждания по границе в случае неоднородной среды 69
Заключение 71
Приложение 1 72
Приложение 2 79
- Аналитическое продолжение резольвенты. Обобщенное суммирование ряда Неймана
- Определение максимального собственного значения интегрального оператора и регуляризация аналитического продолжения для интегральных уравнений 1-го рода
- Метод блуждания по границе
- Численное построение фундаментального решения и оператора напряжений. Произвольный тип анизотропии
Введение к работе
Актуальность теми. Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) являются классическими при решении задач теории переноса. Они также находят широкое применение в таких областях как статистическая физика, теория турбулентности, физико-химическая кинетика, т.е. там, где распространено статистическое описание тех или иных сложных физических процессов. Однако методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных применяются значительно реже. Современное состояние исследований по данному вопросу, а также некоторые исторические сведения, можно найти в работах Блепова B.C., Ермакова СМ., Михайлова Г.А., Некруткина В.В., Сабельфельда К.К., Соболя И.М., Победри Б.Е., Чистякова П.В. и других авторов. В этих работах содержится изложение результатов по решению краевых и начально-краевых задач теории потенциала, диффузионных уравнений и уравнения теплопроводности. В них также рассмотрены алгоритмы статистического моделирования для некоторых задач теории упругости как для плоского, так и для трехмерного случаев.
В настоящее время при решении краевых задач для уравнений в частных производных (в том числе и задач теории упругости), в основном, применяются методы конечных элементов и разностные методы, основанные на аппроксимации исходной континуальной задачи ее дискретным аналогом. При этом задача сводится к решению одной или нескольких систем линейных алгебраических уравнений. При таком подходе находится все поле решения целиком, хотя в механике деформируемого твердого тела достаточно распространена ситуация, при которой необходимо знать решение только в нескольких заранее известных точках (например, точках концентрации напряжений).
Другой важной особенностью этих методов является сильное падение эффективности при росте размерности задачи. Прежде всего, это связано с большим объемом данных, которые необходимо загружать в оперативную память компьютера (или память на жестком диске), скорость работы с которой представляет узкое место практически для всех современных вычислительных систем.
Методы Монте-Карло имеют ряд отличительных особенностей в сравнении с детерминированными разностными и вариационными методами, которые позволяют во многом преодолевать описанные выше проблемы. Во-первых, зависимость требуемой памяти ЭВМ от размерности задачи, как правило, близка к линейной. Это позволяет
эффеКТИВНО решать чагтатуь ттгпітй pn^MPpifftrro Во-ВТОрыХ, РЄШЄНИЄ
РОГ. \ЛМ<АЯ
І 'КА
задачи в конкретной точке может быть получено без построения поля решения целиком во всей области, за счет этого существенно уменьшается время вычислений и объем используемой оперативной памяти.
С точки зрения реализации методов Монте-Карло можно сказать, что она достаточно универсальна для различных областей, границы которых могут задаваться как аналитически, так и по точкам. Также стоит отметить, что при использовании в методах Монте-Карло несмещенных оценок погрешность оценивается в ходе решения без существенных дополнительных затрат машинного времени.
Наконец, одним из важнейших преимуществ методов Монте-Карло является их автоматическая распараллеленость, которая возникает из самой структуры алгоритмов, представляющих собой многократную реализацию независимых случайных траекторий. Число таких независимых реализаций может быть очень большим (несколько миллионов и больше), что позволяет использовать параллельные вычислительные блоки независимо друг от друга все время решения вплоть до объединения результатов счета в конце работы программы.
Исторически, методы Монте-Карло включают в себя три наиболее важных подхода, используемых для решения краевых задач. Первый подход заключается в приближенном вычислении континуальных интегралов, представляющих решение соответствующей краевой задачи. При этом основная сложность состоит в получении такого представления решения в виде интегралов по определенной мере, для вычисления которых может быть применен метод Монте-Карло.
Второй подход основан на использовании теорем о среднем и формул Грина для стандартных областей. Чаще всего в качестве такой области выбирается шар или сфера. Указанный подход приводит к методам блуждания внутри области, в частности, к методу блуждания по сферам.
Третий подход связан с использованием глобальных интегральных уравнений на границе рассматриваемой области. Чаще всего, интегральные уравнения записываются не для самого решения, а для некоторой вспомогательной функции. Примером применения данного подхода может служить метод блуждания по границе на основе граничных интегральных уравнений теории потенциала.
Указанные выше преимущества методов Монте-Карло перед детерминированными методами определили естественный интерес к их применению для решения задач механики деформируемого твердого тела. В работах Ворошко П.П., Елепова B.C., Михайлова Г.А. и других авторов представлены различные алгоритмы решения плоских задач теории упругости методами Монте-Карло, а также некоторых частных
задач для пространственного случая.
Однако наибольший интерес с вычислительной точки зрения представляют пространственные задачи теории упругости. Здесь тоже практически сразу выделились два основных метода Монте-Карло: метод блуждания по сферам и метод блуждания по границе. Описание и различные аспекты применения первого метода можно найти в работах Победри Б.Е., Чистякова П.В., Сабельфельда К.К., при этом круг решаемых задач ограничивался первой и второй внутренними краевыми задачами теории упругости для однородной изотропной среды. Описание второго метода можно найти у Сабельфельда К.К., Симонова Н.А., этот метод расширил область применения методов Монте-Карло на внешние краевые задачи тех же типов.
Здесь необходимо отметить ряд особенностей этих методов, которые определяют области их преимущественного применения.
1. Алгоритм блуждания по границе позволяет строить статистические оценки решения одновременно в произвольном множестве точек, используя одни и те же траектории случайных блужданий. Это позволяет применять этот метод и в тех случаях, когда требуется построить поле решения во всей рассматриваемой области.
2.Метод блуждания по границе может быть применен к решению как внутренних краевых задач, так и внешних, причем схема метода практически не изменяется. Кроме того, как будет показано ниже, этим методом решается более широкий класс задач теории упругости.
З.В методе блуждания по сферам возникает проблема сноса граничных условий, что, например, во второй краевой задаче существенно снижает точность метода.
В то же время, алгоритмы блуждания внутри области довольно просты в реализации. В случае сложной многосвязной области методы блуждания по границе требуют разработки серьезной программы для работы с заданной геометрией. Таким образом, метод блуждания по границе применяется для решения широкого класса краевых задач, позволяет получить более высокую точность в сравнении с методом блуждания по сферам. Однако в ряде простых случаев алгоритм блуждания внутри области дает эффективное решение задачи.
К настоящему времени в рамках обоих подходов был построен целый ряд алгоритмов для решения пространственных задач линейной теории упругости. Однако круг задач, решаемых методами статистического моделирования, оставался недостаточно широким для их внедрения в вычислительную практику. Пространственные задачи теории упругости были рассмотрены только для однородной изотропной среды. Также оставался открытым вопрос о возможности применения методов Монте-
Карло для решения смешанной задачи теории упругости, когда на одной части границы заданы перемещения, а на остальной — нагрузки.
Цель диссертационной работы. Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению новых методов статистического моделирования для решения смешанных краевых задач линейной теории упругости для анизотропной среды. Главной целью работы является расширение области применения методов Монте-Карло в механике деформируемого твердого тела. Основной упор сделан на практической реализации на ЭВМ предложенных алгоритмов, с этой целью приводится пример решения задачи о напряженно-деформированном состоянии шины.
Методика исследований. Исследование свойств методов Монте-Карло и их модификаций, предложенных в диссертационной работе, основано на сочетании аналитических методов (оценивание трудоемкости, построение случайных функционалов) и численных экспериментов с использованием программ, написанных на Microsoft Visual C++ .NET.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научном и аспирантском семинарах кафедры механики композитов МГУ; на научных конференциях "Ломоносовские чтения"МГУ (секция механики) в 2003 и 2004 гг.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти статьях и тезисах, указанных в конце данного автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех разделов, разбитых на параграфы, двух приложений и списка литературы.
Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты, полученные в диссертации можно сформулировать следующим образом:
-
Построен и исследован алгоритм блуждания по границе для решения смешанной задачи теории упругости. В трехмерном случае смешанные краевые задачи методами Монте-Карло ранее не решались. Введена новая модификация метода, основанная на сохранении оценок итераций интегрального оператора (см. [3,5]).
-
Впервые построен метод блуждания по границе для случая анизотропной упругости (см. [1,2,4]).
-
Метод Монте-Карло применен к решению задач о напряженно-деформированном состоянии шины. Приведены результаты сравнения этого метода и разностного метода решения интегральных уравнений (см. [5]).
Аналитическое продолжение резольвенты. Обобщенное суммирование ряда Неймана
Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) являются классическими при решении задач теории переноса [7, 15]. Они также находят широкое применение в таких областях как статистическая физика, теория турбулентности, физико-химическая кинетика, т.е. там, где распространено статистическое описание тех или иных сложных физических процессов. Однако методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных применяются значительно реже. Первая книга [5], посвященная данному вопросу, вышла в 1980 г., вторая [8] - в 1984 г. Монография [27], вышедшая в 1989 г., содержит наиболее полное изложение результатов по решению краевых и начально-краевых задач теории потенциала, диффузионных уравнений и уравнения теплопроводности. В ней также рассмотрены алгоритмы статистического моделирования для некоторых задач теории упругости как для плоского, так и для трехмерного случаев.
В настоящее время при решении краевых задач для уравнений в частных производных (в том числе и задач теории упругости), в основном, применяются методы конечных элементов и разностные методы, основанные на аппроксимации исходной континуальной задачи ее дискретным аналогом. При этом задача сводится к решению одной или нескольких систем линейных алгебраических уравнений. При таком подходе находится все поле решения целиком, хотя в механике деформируемого твердого тела достаточно распространена ситуация, при которой необходимо знать решение только в нескольких заранее известных точках (например, точках концентрации напряжений).
Другой важной особенностью этих методов является сильное падение эффективности при росте размерности задачи. Прежде всего, это связано с большим объемом данных, которые необходимо загружать в оперативную память компьютера (или память на жестком диске), скорость работы с которой представляет узкое место практически для всех современных вычислительных систем. Методы Монте-Карло имеют ряд отличительных особенностей в сравнении с детерминированными разностными и вариационными методами, которые позволяют во многом преодолевать описанные выше проблемы. Во-первых, зависимость требуемой памяти ЭВМ от размерности задачи, как правило, близка к линейной. Это позволяет эффективно решать задачи высокой размерности. Во-вторых, решение задачи в конкретной точке может быть получено без построения поля решения целиком во всей области, за счет этого существенно уменьшается время вычислений и объем используемой оперативной памяти.
С точки зрения реализации методов Монте-Карло можно сказать, что она достаточно универсальна для различных областей, границы которых могут задаваться как аналитически, так и по точкам. Также стоит отметить, что при использовании в методах Монте-Карло несмещенных оценок погрешность оценивается в ходе решения без существенных дополнительных затрат машинного времени.
Наконец, одним из важнейших преимуществ методов Монте-Карло является их автоматическая распараллеленость, которая возникает из самой структуры алгоритмов, представляющих собой многократную реализацию независимых случайных траекторий. Число таких независимых реализаций может быть очень большим (несколько миллионов и больше), что позволяет использовать параллельные вычислительные блоки независимо друг от друга все время решения вплоть до объединения результатов счета в конце работы программы.
Исторически, методы Монте-Карло включают в себя три наиболее важных подхода, используемых для решения краевых задач. Первый подход заключается в приближенном вычислении континуальных интегралов, представляющих решение соответствующей краевой задачи. При этом основная сложность состоит в получении такого представления решения в виде интегралов по определенной мере, для вычисления которых может быть применен метод Монте-Карло.
Определение максимального собственного значения интегрального оператора и регуляризация аналитического продолжения для интегральных уравнений 1-го рода
Грина для стандартных областей. Чаще всего в качестве такой области выбирается шар или сфера. Указанный подход приводит к методам блуждания внутри области, в частности, к методу блуждания по сферам. Третий подход связан с использованием глобальных интегральных уравнений на границе рассматриваемой области. Чаще всего, интегральные уравнения записываются не для самого решения, а для некоторой вспомогательной функции. Примером применения данного подхода может служить метод блуждания по границе на основе граничных интегральных уравнений теории потенциала. Также существуют различные модификации методов Монте-Карло, которые можно интерпретировать как частные случаи трех основных подходов. К ним относятся методы блуждания по решетке и методы решения систем линейных алгебраических уравнений [23, 31). Данная классификация дана в монографии [27, там же можно найти подробный обзор работ по этому вопросу. Более подробно второй и третий подходы описаны в книгах [46] и [47]. Таким образом, в области общей теории решения краевых задач методами статистического моделирования выделились основные направления исследований, были получены эффективные алгоритмы для решения классических краевых задач уравнений математической физики.
Указанные выше преимущества методов Монте-Карло перед детерминированными методами определили естественный интерес к их применению для решения задач механики деформируемого твердого тела. В работе [4] был предложен метод решения краевой задачи для уравнения Ламе в плоском случае. В [5] и [17] методы Монте-Карло были применены к решению задачи об изгибе пластин. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в [9]. Работа [28] посвящена алгоритмам блуждания по малым сферам для решения метагармонических уравнений, а в [30] рассматриваются неоднородные задачи теории пластин. В работе [48] были приведены методы решения частных задач для трехмерного случая (плоский и антиплоский сдвиги), которые могут быть сведены к классическим задачам теории потенциала.
Однако наибольший интерес с вычислительной точки зрения представляют пространственные задачи теории упругости. Здесь тоже практически сразу выделились два основных метода Монте-Карло: метод блуждания по сферам и метод блуждания по границе. Описание и различные аспекты применения первого метода можно найти в [23, 25, 27, 41, 42, 46], при этом круг решаемых задач ограничивался первой и второй внутренними краевыми задачами теории упругости для однородной изотропной среды. Описание второго метода дано в [26, 27, 29, 47], он расширил область применения методов Монте-Карло на внешние краевые задачи тех же типов.
Здесь необходимо отметить ряд особенностей этих методов, которые определяют области их преимущественного применения. .Алгоритм блуждания по границе позволяет строить статистические оценки решения одновременно в произвольном множестве точек, используя одни и те же траектории случайных блужданий. Это позволяет применять этот метод и в тех случаях, когда требуется построить поле решения во всей рассматриваемой области. 2.Метод блуждания по границе может быть применен к решению как внутренних краевых задач, так и внешних, причем схема метода практически не изменяется. Кроме того, как будет показано ниже, этим методом решается более широкий класс задач теории упругости. В методе блуждания до сферам возникает проблема сноса граничных условий, что, например, во второй краевой задаче существенно снижает точность метода. В то же время, алгоритмы блуждания внутри области довольно просты в реализации. В случае сложной многосвязной области методы блуждания по границе требуют разработки серьезной программы для работы с заданной геометрией. Таким образом, метод блуждания по границе применяется для решения широкого класса краевых задач, позволяет долучить более высокую точность в сравнении с методом блуждания по сферам. Однако в ряде простых случаев алгоритм блуждания внутри области дает эффективное решение задачи.
Метод блуждания по границе
К настоящему времени в рамках обоих подходов построен целый ряд алгоритмов для решения пространственных задач линейной теории упругости. Однако круг задач, решаемых методами статистического моделирования, еще недостаточно широк для их внедрения в вычислительную практику. Пространственные задачи теории упругости рассмотрены только для однородной изотропной среды. Также остается открытым вопрос о возможности применения методов Монте-Карло для решения смешанной задачи теории упругости, когда на одной части границы заданы перемещения, а на остальной — нагрузки.
Цель диссертационной работы. Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению новых методов статистического моделирования для решения смешанных краевых задач линейной теории упругости для анизотропной среды. Главной целью работы является расширение области применения методов Монте-Карло в механике деформируемого твердого тела. Основной упор сделан на практической реализации на ЭВМ предложенных алгоритмов, с этой целью приводится пример решения задачи о напряженно-деформированном состоянии шипы. Методика исследований. Исследование свойств методов Монте-Карло и их модификаций, предложенных в диссертационной работе, основано на сочетании аналитических методов (оценивание трудоемкости, построение случайных функционалов) и численных экспериментов с использованием программ, написанных на Microsoft Visual C++ .NET. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научном и аспирантском семинарах кафедры механики композитов МГУ; на научных конференциях "Ломоносовские чтения"МГУ (секция механики) в 2003 и 2004 гг. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти статьях и тезисах, указанных в конце данного введения. Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех разделов, разбитых на параграфы, двух приложений и списка литературы. В первом разделе излагается общая схема метода Монте-Карло, применяемая для решения систем линейных интегральных уравнений, в том виде, в котором она используется в диссертационной работе. В целом, данная схема соответствует работам [27, 29, 47]. Приведены различные способы решения задачи как в случае сходящегося ряда Неймана, так и в случае, когда спектральный радиус интегрального оператора больше 1, что приводит к расходящемуся ряду Неймана. Второй случай требует применения методов построения резольвенты на основе ее аналитического продолжения, использования Паде-аппроксимаций или разложения в цепные дроби. Заметим, что эти методы могут применяться и в случае слабо сходящихся рядов Неймана, что практически всегда имеет место для интегральных уравнений, получающихся при решении реальных задач теории упругости. Эффективность методов Монте-Карло может быть существенно повышена при использовании разложения резольвенты в цепную дробь, в этом случае количество итераций интегрального оператора может быть гораздо меньше, чем в классическом случае, но требования к точности их подсчета сильно возрастают. В качестве методов ускорения сходимости рядов в работе применяются и способы обобщенного суммирования. В первом разделе также изложены способы определения максимального собственного значения для интегрального оператора и алгоритмы регуляризации аналитического продолжения для интегральных уравнений 1-го рода, которые возникают при решении смешанной задачи теории упругости. Во втором разделе рассматриваются основные краевые задачи линейной теории упругости для однородной изотропной среды. Важным моментом при решении этих задач является тот факт, что получающиеся интегральные уравнения оказываются сингулярными [13, 36], т.е. интегралы в представлении интегрального оператора понимаются в смысле главного значения. В работе используется метод блуждания по границе с ветвящейся траекторией, предложенный в [27], который позволяет учесть сингулярность получаемых интегральных уравнений. Во втором параграфе раздела вводится новая модификация метода блуждания по границе, основанная на сохранении оценок итераций интегрального оператора на каждом шаге. Проведенные расчеты позволяют говорить о более высокой эффективности предложенного метода в сравнении с ранее известным подходом. Вычислительная эффективность достигнута за счет увеличения используемого объема памяти ЭВМ, который, однако, остается значительно меньшим, чем при использовании детерминированных вариационных или разностных методов. Кроме того, исследуются вопросы эффективного построения случайных траекторий блуждания в том случае, когда геометрия границы задается по точкам.
Численное построение фундаментального решения и оператора напряжений. Произвольный тип анизотропии
В работе предлагается использовать алгоритмы, применяемые в компьютерной графике при расчете освещенности трехмерных объектов методом трассировки лучей (ray tracing). Для произвольного вида геометрии, задаваемой массивом простейших поверхностей, разработана программа эффективного поиска точек пересечения заданной прямой с границей рассматриваемой области, который является важнейшей частью алгоритма блуждания по границе. Третий параграф раздела посвящен решению методом блуждания по границе двух основных краевых задач для уравнений Ламе: (1 — 2і/)Д« + graddivu = О задачи Дирихле и задачи Неймана с граничными условиями ttE = U0 И 7{u)-nE = S соответственно. Приводятся результаты решения тестовых задач методом Монте-Карло и при помощи разностного метода решения интегральных уравнений, которые позволяют сделать вывод о высокой эффективности первого при вычислении напряженного состояния в фиксированной точке. В последнем параграфе второго раздела излагается один из основных результатов диссертационной работы — алгоритм решения смешанной задачи теории упругости методом блуждания по границе. Рассмотрены интегральные уравнения с разрывными ядрами и правыми частями: p(z) = (I - hK)tp{z) + hu(z), z „, tp{z) = TKtp(z) + S{z), геї„. Приведен метод подсчета регуляризирующего параметра h на основе изложенного в первом разделе способа оценки максимального собственного значения оператора. Раздел 3 посвящен решению краевых задач теории упругости для анизотропной среды. Предложен новый алгоритм блуждания по границе, основанный на численном построении тензора фундаментальных решений [2, 22: где интеграл берется по дуге единичной окружности, плоскость которой перпендикулярна х, а центр совпадает с началом координат (г это длина вектора ж; Ojj(w) зависит от тензора модулей упругости). Приведены условия, налагаемые на материальные константы, которые позволяют получить вычислительно устойчивый алгоритм. Отдельно рассмотрены варианты метода для трансверсальной изотропии и частного случая ортотропии, при котором задаются шесть материальных констант вместо девяти.
В таких предположениях тензор фундаментальных решений может быть построен аналитически [36]. Также предложен вариант метода блуждания по границе с последовательной траекторией, который позволяет учесть сингулярность интегральных уравнений без явного введения ветвящейся траектории. В разделе 4 рассматривается применение метода блуждания по границе к решению задач о напряженно-деформированном состоянии шины. В первом параграфе раздела дается линейная постановка краевых задач о деформировании шины под действием внутреннего давления и вертикальной силы. Материал шины предполагался упругим. При моделировании геометрии шины рисунок протектора не учитывался, границы области, занятой упругой средой, задавались аналитически. Во втором параграфе раздела приводятся результаты решения данных задач о шине методом Монте-Карло, которые сравниваются с результатами, полученными при использовании разностного метода решения систем линейных интегральных уравнений. При проведении расчетов методом конечных разностей использовались регулярные сетки. Показаны границы эффективного применения алгоритмов статистического моделирования. В последнем параграфе раздела делается замечание о возможности применения методов блуждания по границе для неоднородной среды с кусочно-постоянными материальными функциями с использованием соответствующих интегральных уравнений [36]. Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты, полученные в диссертации можно сформулировать следующим образом: 1. Построен и исследован алгоритм блуждания по границе для решения смешанной задачи теории упругости. В трехмерном случае смешанные краевые задачи методами Монте-Карло ранее не решались. Введена новая модификация метода, основанная на сохранении оценок итераций интегрального оператора (см. [33, 35]). 2. Впервые построен метод блуждания по границе для случая анизотропной упругости (см. [24, 32, 34]). 3. Метод Монте-Карло применен к решению задач о напряженно-деформированном состоянии шины. Приведены результаты сравнения этого метода и разностного метода решения интегральных уравнений (см. [35]).
Решение этого уравнения является, вообще говоря, некорректной задачей [14, 23], поэтому необходимо воспользоваться известными способами регуляризации. В работах [14, 40] предложен способ итерационного приближения для практически важного случая К = К , К 0. В дальнейшем, в качестве К используются операторы, удовлетворяющие этому ограничению.
Похожие диссертации на Решение задач теории упругости методами Монте-Карло
