Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основы трехмерной линеаризованной теории устойчивости цилиндрических полостей 12
1.1 Исходные соотношения нелинейной теории упругости 12
1.2 Упрощения в случае малых деформаций 15
1.3 Линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия 17
1.4 Постановка трехмерной линеаризованной задачи о местной потере устойчивости полупространства в окрестности полостей 21
1.5 Вариационная формулировка задачи устойчивости 25
1.6 Выбор координатных функций и способ решения 28
ГЛАВА II. Плоские задачи устойчивости горизонтальных цилиндрических полостей при задании на поверхности мертвых и слдцящих нагрузок 32
2.1 Постановка задачи устойчивости для сжимаемых и несжимаемых сред 32
2.2 Вариационный метод 37
2.3 Плоская форма потери устойчивости при все стороннем сжатии для различных видов поверхностных нагрузок 44
2.4 Учет неравномерности сжатия при исследовании плоской формы потери устойчивости 52
ГЛАВА III. Пространственная форм потери устойчивости вертикальных цилиндрических полостей 77
3.1 Постановка задачи устойчивости для сжимаемой и несжимаемой среды 77
3.2 Вариационный метод решения 82
3.3 Осесимметричная форма потери устойчивости в окрестностях вертикальных цилиндрических полостей круговых поперечных сечений для сжимаемых и несжимаемых сред . 94
3.4 Неосесимметричная форма потери устойчивости вертикальных цилиндрических полостей 115
Заключение 137
Приложение 140
Литература 163
- Постановка трехмерной линеаризованной задачи о местной потере устойчивости полупространства в окрестности полостей
- Плоская форма потери устойчивости при все стороннем сжатии для различных видов поверхностных нагрузок
- Учет неравномерности сжатия при исследовании плоской формы потери устойчивости
- Осесимметричная форма потери устойчивости в окрестностях вертикальных цилиндрических полостей круговых поперечных сечений для сжимаемых и несжимаемых сред
Введение к работе
Характер деформирования полупространства в окрестности цилиндрических полостей представляет определенный научный и практический интерес. Этой проблеме посвящены многочисленные исследования, при этом основное внимание уделено определению напряженно-деформированного состояния в окрестности горизонтальных и вертикальных цилиндрических полостей с целью оценки возможности разрушения окружающей среды. К этой теме примыкают также исследования устойчивости скважин. Одним из центральных вопросов, стоящих перед специалистами нефтяной промышленности, является задача устойчивости стенок скважины при бурении и стенок подземных хранилищ в процессе эксплуатации. С увеличением глубин и в связи с интенсификацией добычи нефти, газа, угля и др. полезных ископаемых эта проблема становится особенно острой. Дело в том, что правильное понимание механизма разрушения земных пород позволяет в определенной мере прогнозировать неблагоприятные ситуации.
В некоторых случаях разрушение тела может происходить в связи с локальной потерей устойчивости. В этом случае потеря устойчивости является начальным этапом разрушения. Исследования устойчивости стержней, пластин и оболочек показывают, что значения критических параметров существенно зависят от величины и вида внешних нагрузок. Эти вопросы для полупространства с цилиндрическими полостями до настоящего времени оставались мало исследованными. С другой стороны, результаты производственных наблюдений показывают, что величины гидростатических давлений составляют значительную долю от величины горизонтального нормального горного давления и в зависимости от удельного веса промывочной жид-
кости может колебаться в больших пределах. Поэтому исследование локальной потери устойчивости состояния равновесия в окрестности цилиндрических полостей представляется актуальным.
Особенность таких задач устойчивости заключается в том, что потеря устойчивости в окрестности полостей носит локальный характер, так как причиной неустойчивости являются высокие сжимающие напряжения части окружающей среды. При этом характер потери устойчивости будет зависить от механических свойств материала, а также видов распределения начальных напряжений.
Впервые в работе [38] на основе приближенного подхода в трехмерной постановке была решена осесимметричная упругая задача об устойчивости вертикальной выработки кругового поперечного сечения. На основе этого подхода в дальнейшем были выполнены работы [V»8,39-41,70,71] , в которых получены решения задач устойчивости в окрестности вертикальных и горизонтальных цилиндрических полостей кругового поперечного сечения и сферических подземных полостей для упругих изотропных, анизотропных и упруго-пластических моделей среды.
Исходя из трехмерной линеаризованной теории, А.Н.Гузь предложил новый строгий подход к решению задачи устойчивости выработок [22,24| . Это дало начало новому направлению исследований. Постановки задач устойчивости и общие методы их решения для различных моделей среды изложены в монографии [24], где также предложены эффективные вариационные методы решения. В последние годы появились публикации о результатах исследований плоских и пространственных осесимметричных и неосесимметричных форм потери устойчивости пространств в окрестности горизонтальных и вертикальных полостей. Получена достаточно обширная числовая информа-
ции. При решении конкретных задач привлекались сжимаемые и несжимаемые модели упругого (изотропного и ортотропного) и упруго-пластического (деформационная теория и теория течения) тела. Результаты получены для полостей кругового и криволинейного (эллиптического и квадратного) поперечного сечений в случаях плоских и пространственных форм потери устойчивости [і,2,5, 9-13, 15-19,24,29,36,46-52,57-59,6I-63J .
В работах[l6,61] исследована устойчивость состояния равновесия горного массива в окрестности единичной горизонтальной выработки кругового поперечного сечения при всестороннем сжатии для упругой изотропной модели породы. Влияние неравномерности сжатия от внешних воздействий в этом случае рассмотрено в работах [46-48,52,59J . Исследованию устойчивости массива в окрестности вертикальных выработок кругового поперечного сечения при действии геостатического давления (давление, вызванное тяжестью вышележащих пластов) посвящены работы [і,2,5] . Неосесимметрич-ная форма потери устойчивости для такого случая с учетом геостатических и геодинамических сил (силы, вызываемые неотектоническим движением земной коры и большими аномальными давлениями) рассматривалась в [50,51] .
Влияние анизотропных свойств породы на процесс потери устойчивости в окрестности горизонтальных и вертикальных выработок кругового поперечного сечения изучено в [2,33-35] .
Плоская упруго-пластичеекая задача устойчивости горизонтальных горных выработок кругового поперечного сечения рассмотрена в [ІЗ,17,18] . Пространственная форма потери устойчивости в районе горизонтальной выработки кругового поперечного сечения
для упруго-пластических сред исследована в [19] Задачи решены вариационными методами в пределах концепции продолжающегося на-гружения. Предполагается, что, как в докритическом состоянии, так и в процессе потери устойчивости, зоны разгрузки отсутствуют. Задачи устойчивости с учетом зон раздела физико-механических свойств в упругих и пластических зонах рассмотрены в 62,63 для свободных и подкрепленных выработок.
Обсуждение современного состояния и обзор публикаций по проблеме устойчивости горных выработок, выполненных в рамках трехмерной теории, приводится в[б] , где также уделено большое внимание вариационным методам решения конкретных задач.
Во всех вышеупомянутых работах, за исключением [б], рассмотрены случаи незакрепленных выработок, когда на их поверхности не заданы внешние силы. При решении задач использован вариационный метод, сформулированный для "мертвых" нагрузок [24].
А.Н.Гузь разработал вариационный метод решения задач трехмерной линеаризованной теории устойчивости при задании на поверхности тела следящих нагрузок. Этот метод позволяет эффективно решить конкретные задачи устойчивости для полупространства с цилиндрическими полостями в случае задания на их поверхности различного рода внешних сил.
В ряде случаев действие крепи,нефти и газа на горный массив, окружающий выработку моделируется действием равномерного внутреннего давления, приложенного к поверхности выработки. В случае действия внутреннего давления в виде "следящей" нагрузки постановка трехмерной линеаризованной задачи устойчивости для сжимаемых и несжимаемых моделей среды дана в [28]. Сформулирован вариационный метод исследования в общей форме для упругих и упруго-
пластических тел, а также тел с реологическими свойствами.
В [3,4] сформулирован вариационный принцип, когда существуют поверхности раздела механических свойств горных пород, а также рассмотрен случай, когда к поверхности выработки приложено равномерное внутреннее давление в виде "следящей" нагрузки для сжимаемых и несжимаемых сред.
Задачи устойчивости скважин с позиций механики деформируемого твердого тела рассмотрены в [29]. В пределах трехмерной линеаризованной теории даны постановки задач устойчивости полостей с учетом поверхностных нагрузок, предложен вариационный метод решения и решена конкретная осесимметричная задача потери устойчивости. Показано, что поверхностная следящая нагрузка приводит к увеличению величины критической нагрузки потери устойчивости.
В [53] при однородных больших и малых докритических деформациях исследована устойчивость бесконечного несжимаемого пространства с вертикальной полостью кругового поперечного сечения. На "бесконечности" вдоль образующей полости и в горизонтальном направлении действуют сжимающие усилия, а на поверхности полости - "следящие" нагрузки. Построены точные аналитические решения. Показано, что следящая нагрузка оказывает стабилизирующее действие. Численные результаты получены для упругого потенциала Трелоара.
Устойчивость состояния равновесия скважин зависит от их геометрии (формы контура поперечного сечения, наклона, глубины и др.) величин и видов действующих внешних сил и физико-механических свойств пород. Эти факторы связаны с технологией и способами бурения и с объективными горно-геологическими условиями
(глубиной залегания и географическим местонахождением полезных ископаемых). При исследовании устойчивости скважин одним из главных является определение глубины, где происходит потеря устойчивости. При этом определяется минимальный удельный вес промывочной жидкости (при фиксированном ее количестве), которая создает необходимое противодействие для сохранения устойчивости стенок скважины, т.е. выбор величины давления в скважине сводится к выбору удельного веса промывочной жидкости.
Из анализа вышеперечисленных работ следуют такие выводы.
Влияние поверхностных мертвых нагрузок, заданных на цилиндрической поверхности полости, рассмотрены только в пределах приближенных методов.
При исследовании устойчивости сжимаемых и несжимаемых полупространств в окрестности цилиндрической полости в случае однородных малых и больших начальных деформаций выявлено, что решающим фактором, определяющим устойчивость и неустойчивость состояния равновесия, являются виды заданных на поверхности внешних нагрузок.
При однородных начальных напряженных состояниях для сжимаемых и несжимаемых сред влияние "следящих" и "мертвых" нагрузок в пределах трехмерной линеаризованной теории
и приближенного подхода не исследованы.
В связи с изложенным была поставлена задача об исследовании устойчивости состояния равновесия сжимаемого и несжимаемого полупространств в окрестностях одиночных вертикальных и горизонтальных цилиндрических полостей при неоднородных начальных деформациях, когда на поверхностях полостей заданы "мертвые" и "следя-
щие" нагрузки.
Цель диссертационной работы заключалась:
в исследовании в трехмерной линеаризованной постановке задач об устойчивости для сжимаемых и несжимаемых полупространств в окрестности вертикальных и горизонтальных полостей кругового поперечного сечения при малых неоднородных начальных деформациях, когда на их поверхностях заданы "мертвые" и "следящие" нагрузки;
в решении при различных случаев начальных напряженных состояний для линейно- упругой изотропной модели сжимаемых и несжимаемых деформируемых тел, рассматривая плоские и пространственные формы потери устойчивости в окрестности горизонтальных и вертикальных полостей.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав,
заключения, приложения вычислительных программ, списка цитиру
емой литературы и изложена на страницах машинописного тек
ста.
В первой главе для сжимаемых и несжимаемых сред приведены исходные соотношения нелинейной теории упругости.В рамках трехмерной линеаризованной теории устойчивости изложен вариационный метод решения задач о локальной потере устойчивости полупространства в окрестности полостей при неоднородных докритических деформациях. Указан подход к выбору формы координатных функций. При изложении учитывалось наличие на поверхности полости мертвых и следящих нагрузок.
Во второй главе в рамках трехмерной линеаризованной теории устойчивости при малых неоднородных докритических деформациях
- II -
рассматривается локальная потеря устойчивости нижнего тяжелого полупространства в окрестности горизонтальных полостей кругового поперечного сечения. Предполагается, что в окрестности рассматриваемого пространства происходит плоская форма потери устойчивости. При этом изучается влияние мертвых и следящих поверхностных нагрузок, заданных на поверхности цилиндрической полости, на критическое значение параметра нагружения. Исследования проводились для сжимаемых и несжимаемых сред. Изучено влияние неравномерности сжатия на величину критических нагрузок при плоской форме потери устойчивости.
Третья глава посвящена изучению пространственной формы локальной потери устойчивости тяжелого полупространства в окрестности вертикальных цилиндрических полостей при наличии на их поверхности мертвых и следящих нагрузок. Рассматривались осесим-метричные и неосесимметричные формы потери устойчивости. При пространственной форме потери устойчивости изучалось влияние поверхностных нагрузок на величину критических сил. Рассматривалось влияние неравномерности сжатия на величину критических усилий при пространственной форме потери устойчивости. Как и во второй главе, исследования проводились для сжимаемых и несжимаемых сред.
Изучалась зависимость между параметрами волнообразования и параметрами нагружения.
В заключении изложены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Автор приносит искреннюю благодарность академику АН УССР А.Н.Гузю и доктору физико-математических наук Г.Г.Кулиеву за постановку задач и постоянное внимание к данной работе.
ГЛАВА
ОСНОВЫ ТРЕХМЕРНОЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ
1.1, Исходные соотношения нелинейной теории
упругости
Уравнения равновесия в общем случае с учетом объемных и поверхностных нагрузок для статических задач имеют вид [22,24] :
S7L[6c«(% + Vn^)] + FJ-o
(i.i)
Граничные условия соответственно в напряжениях на части поверхности ив перемещениях на части поверхности S2 записываются таким образом [24] :
UJ\ =W.J (і.з)
В выписанных соотношениях приняты следующие обозначения: ^ -символ ковариантного дифференцирования на основе метрического тензора в деформированном теле; о - контравариантные составляющие симметричного тензора напряжений, компоненты которого отнесены к единице площади недеформированного тела; 6^т- символы Кронекера; U. - контравариантные составляющие вектора перемещений; р - контравариантные компоненты поверхностных усилий, действующих на тело в деформированном состоянии; F. -
- із -
составляющие массовых сил; /V- - ковариантные составляющие орто нормали к поверхности тела в недеформированном состоянии.
Зависимости, связывающие напряжения и деформации в линейном упругом изотропном теле, записываются так [24] :
для сжимаемого тела
для несжимаемого тела 6^9i]P+2jUgCy\ (1.5)
где Я и м - постоянные Ляме; .- ковариантные составляющие тензора деформации Грина
2 W ^т +VmU„+Vn«-K VmU.K CI.6)
- контравариантные составляющие метрического тензора, которые соответственно в недеформированном и деформированном состояниях определяются следующим образом:
%т!)ё*~1>ё* ' " Т>х." 1>Х.К (1.7)
л«_ qgl эх* _ г-« .
(1.8),
X - декартовые, а С7 -сУ (XnX27JC3) общие криволинейные координаты в недеформированном теле, а в деформированном теле они
являются лагранжевыми координатами.
Подставляя (1.4) и (1.6) в уравнение (I.I) и граничные условия (1.2) для сжимаемого тела, находим [24]
і +
V_ [(-Xff+ZfAff*) {^uK +VKu
^usVKus)(^Vmu.J)],zFio (1.9)
+^S^)(C+^')]N2PJ ало)
Далее, вводя (1.5) и (1.6) в уравнения (I.I) и граничные условия (1.2), для несжимаемого тела получим
+ VyVKus)(C + Vy)]+2F±0, (і.и)
''- -*
-4y4K^){C^)]UzPJ
(І.12)
В случае несжимаемых сред имеет место условие несжимаемости
сЫ|/$г+2С|И
0«-'=і. д-МШ ("3)
Правые части граничных условий (.1.10) и (I.I2), когда внешняя нагрузка направлена по нормали к граничной поверхности и сохраняет при деформировании свое первоначальное направление и величину (следящие силы), определяются из соотношения [27J
MWCti*4»^* (1Л4)
где Р - вычисляются относительно ковариантных базисных векто-ров О в недеформированном состоянии, но связаны с соответствующими точками поверхности в деформированном состоянии; Q - интенсивность поверхностной нагрузки, приходящейся на единицу поверхности в деформированном состоянии.
1.2. Упрощения в случае малых деформаций
Предполагается, что удлинения и сдвиги являются малыми величинами по сравнению с единицей. Малыми величинами по сравнению с единицей являются также компоненты тензора деформаций Грина, хотя через перемещения они выражаются нелинейно. В пределах этих допущений изменения длин, площадей и объемов в процессе деформировании при вычислениях всех величин не учитывается. Они определяются по формулам [24,27]
(1.15):
dv сі.i7)
* 4мпАы 4vn к (1.18)
В (1.13)-(1.15) по индексам fl и \Y\ суммирование не производится.
Уравнения движения и граничные условия для сжимаемых и несжимаемых сред имеют вид (1.9), (1.10) и (I.II), (I.I2). Отличие состоит в том, что при их использовании не следует учитывать различие между площадью поверхности, а также объемом в недефор-мированном и деформированном состояниях. Сохраняя только линейные слагаемые в соотношения 1.1, находим:
Ч VJ < L J (1.19)
\ (1.20)
N;GiJ\^pJ (I.2I)
Условия несжимаемости (І.ІЗ) приобретают вид:
ZVnu»+fmVnu*VMU^O
CI.22)
Компоненты следящей нагрузки определяются так [23,27/
?^Щ+\"І)Н" (1.23)
Если к соотношениям (1.19)-(1.21) добавим условие (1.3) и уравнения состояния (1.4) и (1.5), то полуим замкнутую систему уравнении для сжимаемых и несжимаемых сред при малых деформаци-
Ял.
Принимая уравнения состояния для сжимаемой среды в виде (1.4), из (1.9), используя лемму Риччи 67 , после ряда преобразований выводим уравнение Ляме в произвольной системе координат для геометрически и физически линейных задач:
В этом случае граничные условия на части ${ будут иметь вид:
Аналогично записываются уравнения и граничные условия для несжимаемых сред.
1.3. Линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия
Следуя [22J, рассмотрим два состояния деформируемого тела. Первое состояние считается начальным (основным, невозмущенным): все величины, относящиеся к первому состоянию, будут отмечены индексом "нуль" и определяются соотношениями 1.1. Второе состояние считается возмущенным, причем все величины, относящиеся ко второму состоянию, представляются в виде суммы величин, от-
носящихся к первому состоянию и к возмущениям
(1.26)
Возмущения считаются малыми величинами по сравнению с соответствующими величинами первого состояния. Предполагается, что первое и второе состояния описываются уравнениями нелинейной теории упругости при малых деформациях, приведенных в предыдущих параграфах.
Учитывая малость возмущений, соотношения для возмущенного состояния линеаризуются и потом вычитаются из них соответствующие соотношения для невозмущенного. Полученные таким образом соотношения для возмущений считаются основными соотношениями линеаризованной теории упругости при малых деформациях.
Исходя из выше изложенного, для определения величин начального состояния имеем следующие соотношения:
\[<т(С^<)]^-о\
(1.27)
-?:
(1.28)
4 If uj
z Iі..--1. и' +Vcu?. +%и.умПі
С/ it c J L J
(1.29)
(1.30)
Для сжимаемых тел в систему уравнений (1.27)-(1.30) добавляется уравнение состояния (1.4), а для несжимаемых сред - (1.5) и условия несжимаемости (1.22).
Подставляя (1.26) в соотношения I.I и проводя линеаризацию с учетом (1.27)-(1.30), получим [22] :
гіг-іїи.+Ци,+7мУсип+Ци'„Чи," (1.з1)
vc [«'"( - vmuj) +*"?„*]+Fi о (1.32)
К Wm(C*vmuj)+cV]| - Р"' (1,33)
Линеаризованные соотношения запишем только для линейно упругого изотропного сжимаемого (1.4) и несжимаемого (1.5) тела. В дальнейшем при решении конкретных задач об определении напряженно-деформированного состояния будем использовать геометрически линейную теорию. При этих ограничениях рассмотренный вариант теории малых начальных деформаций по терминологии 22,24,27 называется вторым.
Чтобы из (1.27)-(1.30) получить линейную систему для линейно-упругого тела необходимо отбросить величины типа , являющиеся малыми в сравнении с единицей. Поступая аналогично для линеаризованной задачи (1.31)-(1.34);, находим:
для сжимаемых тел [22]
^(6^6^^)+^=0, (1.35)
^u
ZiC! = V,U,+4.U,- (1.38).
- для несжимаемых сред 22
^(6^6^4^)+^=0 (1.40)
^.(6^W^'j/=PJ (I.4I)
(1.42)
\^U"=0 (1.43)
2іг=Ци- + Цис (1.44)
<,* = # +2pff^ (1.45)
Составляющие следящей нагрузки в рамках второго варианта теории
малых начальных деформаций определяются так [23,27]
p4(wVx-^y-V*) (1.46)
1.4. Постановка трехмерной линеаризованной задачи о местной потере устойчивости полупространства в окрестности полостей
Линеаризованные соотношения упругости (1.39) и (1.45) представим в другом виде.
Для сжимаемого тела [22J
в^Г^Ч^ (1.47)
где введено обозначение
Для несжимаемого тела
&»=р<"«Г7^+#Пр (1.49)
Учитывая выражения (1.47)-(1.50), основные уравнения (1.35), (1.40) и граничные условия (1.36), (I.4I), перепишем в более
компактном виде [22J . Для сжимаемого тела
Ц(№?ацл)+р]=о (1-51)
A/^W^\ZUJ|=PJ' (1-52)
"fi
Для несжимаемого тела
h/C(XC^V/iU^fp)\^pS (1.54)
(1.55),
t . '
<]-^Р-2ґ9У%
(1.58)
Тензоры 00 ж 1С обладают [22] свойствами симметрии:
UJ«A фиґ/*ч a>
х.^4 ^jM ;
Рассмотрим полупространство, заполненное однородной линейно-упругой изотропной сжимаемой (1.4) или несжимаемой (1.5) средой. В полупространстве имеется вертикальная или горизонтальная цилиндрическая полость. На полупространство и на поверхность цилиндрической полости действует однородное силовое поле. Предположим, что до определенного уровня (этот уровень необходимо определить) внешнего силового поля полупространство находится в состоянии равновесия, которое описывается уравнениями линейной теории упругости. При достижении некоторых значений уровня внешнего силового поля, вследствие высокой интенсивности сжимающих напряжений, в окрестности полости могут возникнуть смежные состояния равновесия.
Из уравнений (I.5I), (1.53) и граничных условий (1.52) и (1.54) с учетом (1.55)-(1.58) видно, что компоненты тензора напряжений, описывающие докритические напряженные состояния, входят в них в качестве коэффициентов. Следовательно, при исследовании линеаризованных задач устойчивости, прежде всего, необходимо решить задачу об определении напряженно-деформированного состояния полупространства, содержащего полость. После этого этапа решается сама линеаризованная задача устойчивости.
Об устойчивости равновесия полупространства будем судить по поведению малых возмущений, описываемых линеаризованными уравнениями (I.5I), (1.52) (1.37) и в случае сжимаемых сред -
(1.53), (1.54), (1.42) в случае несжимаемых сред. Исследования проводятся в пределах метода Эйлера (бифуркационного). Согласно этого метода, кроме невозмущенного состояния равновесия, существуют другие близкие состояния (малые возмущения), отличные от нуля, описываемые (I.5I), (1.52), (1.37) и (1.53), (1.54), (1.42), имеющими нетривиальные решения. При этом, если параметр нагрузки уменьшается, то это приводит полупространство в исходное невозмущенное состояние.
При исследовании линеаризованных задач устойчивости для полупространства с цилиндрическими полостями согласно 22 можно ввести ряд упрощающих предположений. Ниже приведены предположения, принятые в данной диссертационной работе.
1. Считается, что геометрические размеры полостей в попе
речном сечении значительно меньше размеров всего тела; влиянием
краевых эффектов пренебрегаем, т.е. рассматриваем локальную по
терю устойчивости состояния равновесия "бесконечных" тел в ок
рестности полостей. В связи с этим на возмущения налагаем усло
вие затухания при достаточном удалении от поверхности полости
0«>/Ч-^0 (1,60)
Внутреннее давление на поверхности полости моделируется в виде мертвых или следящих нагрузок, что имеет существенное значение для линеаризованной задачи устойчивости.
В докритическом (начальном) состоянии распределение напряжений в окрестности полости определяется в рамках линейной теории упругости с привлечением гипотезы Динника 55,66
о естественном состоянии нетронутого горного массива. Суть этой гипотезы состоит в следующем. Наличие в горном массиве полости приводит к появлению дополнительного напряженно-деформированного состояния. Соответствующие компоненты тензора напряжений быстро затухают при удалении от поверхности полости. В связи с этим считается, что напряженное состояние горного массива вблизи полости при выполнении первого допущения можно моделировать напряженным состоянием в невесомом пространстве в рассматриваемой глубине, когда на "бесконечности" заданы силы, соответствующие напряжениям в нетронутом массиве в месте нахождения полости.
На основе третьего допущения при решении конкретных задач принимаются следующие предположения:
а) при исследовании докритического состояния не учитываются
эффекты, связанные с поверхностью полупространства и конечностью
длины полости. Считается, что внешние силы в направлении образу
ющей полости изменяются незначительно и их действием можно пре-
брегать;
б) при анализе устойчивости в линеаризованной постановке,
основываясь на предположении а), рассматриваются задачи для бес
конечного пространства с бесконечно длинными цилиндрическими по
лостями. В этом случае считается, что начальное напряженно-дефор
мированное состояние соответствует рассматриваемой глубине.
1.5. Вариационная формулировка задачи устойчивости
Решения задач устойчивости для вертикальных и горизонтальных цилиндрических полостей при неоднородных докритических напряженных состояниях связано, как известно [21,221 , со значитель-
ными математическими трудностями.
В связи с этим, используем вариационный метод, который предложен в работах [24,28] .
Предположим, что возмущения объемных и поверхностных сил не зависят от возмущений перемещений, и варьируемые функции являются достаточное число раз непрерывно дифференцируемыми. Введем следующие функционалы [28J .
Для сжимаемых тел
+ Ql(ViUi)2-4LujVjUi']\dv ("и
Для несжимаемых тел
(1.62)
Из условия стационарности функционалов (I.6I) и (1.62) получаем основные уравнения (I.5I), (1.53) и граничные условия (1.52), (1.54). В этом случае граничные условия в перемещениях (1.34) не являются естественными условиями. Для того, чтобы из стационарности функционалов (І.6Д и (1.62) перейти к дифференциальной формулировке задач устойчивости при наличии геометрических граничных условий, необходимо дополнительно потребовать, чтобы перемещения удовлетворяли граничному условию (1.34) и условию затухания (1.60). Условию (1.60) должен удовлетворять и
скаляр р . В этом можно убедиться путем вычисления первой вариации функционалов (I.6I) и (1.62). Тогда приходим к вариационным уравнениям соответственно для сжимаемых и несжимаемых материалов в форме [28 J :
- j {ft- (х*пт vm"H+fp) *4- +f7cu; f/] ^
(1.64)
В формулах (1.63) и (1.64) под V* понимается объем, занимаемый телом в недеформированном состоянии, а под р - соответствущая поверхность, ограничивающая объем V
При решении конкретных задач нам необходимо (1.63) и (1.64) дополнить следующими известными формулами [22,27J :
V 6 - *Ь$пт -Гк<о -r«ff
vsu n>9s ns
(1.65)
с=rv
Wi" 2 ^ 7е^ ^е" 'Эб^ /
1.6. Выбор координатных функций и способ решения
Из вариационных уравнений (1.63) и (1.64) следуют основные уравнения (I.5I), (1.53) и естественные краевые условия в напряжениях (1.52) и (1.54).
В связи с этим при выборе перемещения U^ и скаляра р руководствуемся следующими соображениями: система координатных функций должна быть полной, дважды дифференцируемой и удовлетворяющей условию затухания.
Исследование потери устойчивости состояния равновесия полупространства в окрестности вертикальных и горизонтальных полостей будем ПРОВОДИТЬ В ЦИЛИНДрИЧеСКОЙ СИСТеМе КООрДИНаТ (ї (0 2) .
Последнюю считаем выбранной таким образом, что координатная поверхность совпадает с поверхностью цилиндрической полости.
Введем следующие аппроксимационные соотношения для вектора
-> перемещения ii и скалярной величины р , входящей в определяющие соотношения для несжимаемого тела в качестве множителя Лагранжа [б] :
. чо 7?=о т--о к-о
p(i,(f,i) = 9 (Щг)У}_ 2.2WW (1.66)
Сф^Ш
Координатные функции F„mK удовлетворяют условиям затухания на
"бесконечности" по Ъ . Функции і и of*) должны удовлет-
ворять определенным условиям периодичности. Множитель 4 вво-
Ш) дится для выполнения определенных граничных условий, кроме того,
он должен обеспечить то, чтобы величины всех интегралов в бесконечной области были конечными. Эти условия имеют физический смысл, так как функционалы соответствуют приращению энергии при переходе к смежному равновесному состоянию, а приращение энергии при переходе к смежному равновесному состоянию должно быть конечным.
Подставляя (1.66) в вариационные уравнения (1.63), (1.64) и учитывая решения задач о докритическом состоянии в каждом конкретном случае для определения неизвестных постоянных коэффициентов, получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений, которая в матричной записи имеет следующий вид:
- зо -
- для сжимаемой среды
З ti М JL ,.., „,;, (1.67)
lLLT0^*0
- для несжимаемой среды
LLLL. 1<№*»*Ъ,«ЛтЩ=о (1.68)
Здесь CLiim* у @*птк.~ в каждом конкретном случае известные
алгебраические выражения.
При существовании нетривиальных решений систем уравнений (1.67) и (1.68) для определения спектра получаем характеристические уравнения:
- для сжимаемой среды
dei \\а0-ис]\^о (ц/чз) (1-69)
- для несжимаемой среды
Из решений уравнений (1.69), (1.70) находим
Ктк^пт*^'*^ (1-71)
Здесь і) - коэффициент Пуассона; (X - параметр волнообразования, О - параметр, характеризующий отношение интенсив-
- зі -
ности поверхностных нагрузок к интенсивности, действующих в полупространстве нормальных составляющих в горизонтальной плоскости горного давления. Минимизируя параметр
i.-w«{W^V)} (1-72)
в каждом конкретном случае определяем величину нагрузки, соответствующую потере устойчивости. Эту величину называем критической.
Отметим, что при определении величины t необходимо знать характер распределения напряжений в докритическом состоянии, поскольку в коэффициентах уравнений (I.5I), (1.53), согласно выражениям (1.55) и (1.57) в качестве множителей входят компоненты тензора напряжений докритического состояния. Они находятся из решения задач о концентрации напряжений по соотношениям линейной теории упругости. Многочисленные решения таких задач приведены в известных монографиях [37,55,60,66,67J .
Постановка трехмерной линеаризованной задачи о местной потере устойчивости полупространства в окрестности полостей
В работах[l6,61] исследована устойчивость состояния равновесия горного массива в окрестности единичной горизонтальной выработки кругового поперечного сечения при всестороннем сжатии для упругой изотропной модели породы. Влияние неравномерности сжатия от внешних воздействий в этом случае рассмотрено в работах [46-48,52,59J . Исследованию устойчивости массива в окрестности вертикальных выработок кругового поперечного сечения при действии геостатического давления (давление, вызванное тяжестью вышележащих пластов) посвящены работы [і,2,5] . Неосесимметрич-ная форма потери устойчивости для такого случая с учетом геостатических и геодинамических сил (силы, вызываемые неотектоническим движением земной коры и большими аномальными давлениями) рассматривалась в [50,51] .
Влияние анизотропных свойств породы на процесс потери устойчивости в окрестности горизонтальных и вертикальных выработок кругового поперечного сечения изучено в [2,33-35]
Плоская упруго-пластичеекая задача устойчивости горизонтальных горных выработок кругового поперечного сечения рассмотрена в [ІЗ,17,18] . Пространственная форма потери устойчивости в районе горизонтальной выработки кругового поперечного сечения для упруго-пластических сред исследована в [19] Задачи решены вариационными методами в пределах концепции продолжающегося на-гружения. Предполагается, что, как в докритическом состоянии, так и в процессе потери устойчивости, зоны разгрузки отсутствуют. Задачи устойчивости с учетом зон раздела физико-механических свойств в упругих и пластических зонах рассмотрены в 62,63 для свободных и подкрепленных выработок.
Обсуждение современного состояния и обзор публикаций по проблеме устойчивости горных выработок, выполненных в рамках трехмерной теории, приводится в[б] , где также уделено большое внимание вариационным методам решения конкретных задач.
Во всех вышеупомянутых работах, за исключением [б], рассмотрены случаи незакрепленных выработок, когда на их поверхности не заданы внешние силы. При решении задач использован вариационный метод, сформулированный для "мертвых" нагрузок [24].
А.Н.Гузь разработал вариационный метод решения задач трехмерной линеаризованной теории устойчивости при задании на поверхности тела следящих нагрузок. Этот метод позволяет эффективно решить конкретные задачи устойчивости для полупространства с цилиндрическими полостями в случае задания на их поверхности различного рода внешних сил.
В ряде случаев действие крепи,нефти и газа на горный массив, окружающий выработку моделируется действием равномерного внутреннего давления, приложенного к поверхности выработки. В случае действия внутреннего давления в виде "следящей" нагрузки постановка трехмерной линеаризованной задачи устойчивости для сжимаемых и несжимаемых моделей среды дана в [28]. Сформулирован вариационный метод исследования в общей форме для упругих и упруго - 8 пластических тел, а также тел с реологическими свойствами.
В [3,4] сформулирован вариационный принцип, когда существуют поверхности раздела механических свойств горных пород, а также рассмотрен случай, когда к поверхности выработки приложено равномерное внутреннее давление в виде "следящей" нагрузки для сжимаемых и несжимаемых сред.
Задачи устойчивости скважин с позиций механики деформируемого твердого тела рассмотрены в [29]. В пределах трехмерной линеаризованной теории даны постановки задач устойчивости полостей с учетом поверхностных нагрузок, предложен вариационный метод решения и решена конкретная осесимметричная задача потери устойчивости. Показано, что поверхностная следящая нагрузка приводит к увеличению величины критической нагрузки потери устойчивости.
В [53] при однородных больших и малых докритических деформациях исследована устойчивость бесконечного несжимаемого пространства с вертикальной полостью кругового поперечного сечения. На "бесконечности" вдоль образующей полости и в горизонтальном направлении действуют сжимающие усилия, а на поверхности полости - "следящие" нагрузки. Построены точные аналитические решения. Показано, что следящая нагрузка оказывает стабилизирующее действие. Численные результаты получены для упругого потенциала Трелоара.
Устойчивость состояния равновесия скважин зависит от их геометрии (формы контура поперечного сечения, наклона, глубины и др.) величин и видов действующих внешних сил и физико-механических свойств пород. Эти факторы связаны с технологией и способами бурения и с объективными горно-геологическими условиями (глубиной залегания и географическим местонахождением полезных ископаемых). При исследовании устойчивости скважин одним из главных является определение глубины, где происходит потеря устойчивости. При этом определяется минимальный удельный вес промывочной жидкости (при фиксированном ее количестве), которая создает необходимое противодействие для сохранения устойчивости стенок скважины, т.е. выбор величины давления в скважине сводится к выбору удельного веса промывочной жидкости.
Плоская форма потери устойчивости при все стороннем сжатии для различных видов поверхностных нагрузок
Рассмотрим полупространство, заполненное однородной линейно-упругой изотропной сжимаемой (1.4) или несжимаемой (1.5) средой. В полупространстве имеется вертикальная или горизонтальная цилиндрическая полость. На полупространство и на поверхность цилиндрической полости действует однородное силовое поле. Предположим, что до определенного уровня (этот уровень необходимо определить) внешнего силового поля полупространство находится в состоянии равновесия, которое описывается уравнениями линейной теории упругости. При достижении некоторых значений уровня внешнего силового поля, вследствие высокой интенсивности сжимающих напряжений, в окрестности полости могут возникнуть смежные состояния равновесия.
Из уравнений (I.5I), (1.53) и граничных условий (1.52) и (1.54) с учетом (1.55)-(1.58) видно, что компоненты тензора напряжений, описывающие докритические напряженные состояния, входят в них в качестве коэффициентов. Следовательно, при исследовании линеаризованных задач устойчивости, прежде всего, необходимо решить задачу об определении напряженно-деформированного состояния полупространства, содержащего полость. После этого этапа решается сама линеаризованная задача устойчивости.
Об устойчивости равновесия полупространства будем судить по поведению малых возмущений, описываемых линеаризованными уравнениями (I.5I), (1.52) (1.37) и в случае сжимаемых сред (1.53), (1.54), (1.42) в случае несжимаемых сред. Исследования проводятся в пределах метода Эйлера (бифуркационного). Согласно этого метода, кроме невозмущенного состояния равновесия, существуют другие близкие состояния (малые возмущения), отличные от нуля, описываемые (I.5I), (1.52), (1.37) и (1.53), (1.54), (1.42), имеющими нетривиальные решения. При этом, если параметр нагрузки уменьшается, то это приводит полупространство в исходное невозмущенное состояние.
При исследовании линеаризованных задач устойчивости для полупространства с цилиндрическими полостями согласно 22 можно ввести ряд упрощающих предположений. Ниже приведены предположения, принятые в данной диссертационной работе. 1. Считается, что геометрические размеры полостей в попе речном сечении значительно меньше размеров всего тела; влиянием краевых эффектов пренебрегаем, т.е. рассматриваем локальную по терю устойчивости состояния равновесия "бесконечных" тел в ок рестности полостей. В связи с этим на возмущения налагаем усло вие затухания при достаточном удалении от поверхности полости 2. Внутреннее давление на поверхности полости моделируется в виде мертвых или следящих нагрузок, что имеет существенное значение для линеаризованной задачи устойчивости. 3. В докритическом (начальном) состоянии распределение напряжений в окрестности полости определяется в рамках линейной теории упругости с привлечением гипотезы Динника о естественном состоянии нетронутого горного массива. Суть этой гипотезы состоит в следующем. Наличие в горном массиве полости приводит к появлению дополнительного напряженно-деформированного состояния. Соответствующие компоненты тензора напряжений быстро затухают при удалении от поверхности полости. В связи с этим считается, что напряженное состояние горного массива вблизи полости при выполнении первого допущения можно моделировать напряженным состоянием в невесомом пространстве в рассматриваемой глубине, когда на "бесконечности" заданы силы, соответствующие напряжениям в нетронутом массиве в месте нахождения полости.
На основе третьего допущения при решении конкретных задач принимаются следующие предположения: а) при исследовании докритического состояния не учитываются эффекты, связанные с поверхностью полупространства и конечностью длины полости. Считается, что внешние силы в направлении образу ющей полости изменяются незначительно и их действием можно пре брегать; б) при анализе устойчивости в линеаризованной постановке, основываясь на предположении а), рассматриваются задачи для бес конечного пространства с бесконечно длинными цилиндрическими по лостями. В этом случае считается, что начальное напряженно-дефор мированное состояние соответствует рассматриваемой глубине. Решения задач устойчивости для вертикальных и горизонтальных цилиндрических полостей при неоднородных докритических напряженных состояниях связано, как известно [21,221 , со значительными математическими трудностями. В связи с этим, используем вариационный метод, который предложен в работах [24,28] .
Учет неравномерности сжатия при исследовании плоской формы потери устойчивости
Численные значения параметра t , полученные для случая всестороннего сжатия, приведены в табл.2.1-2.10, когда на поверхности полостей заданы мертвые и следящие нагрузки при различных V . Результаты при удержании 25 и 30 членов ряда в функциях для U , Z- и О полностью совпадают, что свидетельствует об эффективности использованного метода решения. При этом ограничились значениями O-$p-$0tG . Однако полученные результаты позволяют прогнозировать характер применения критической нагрузки в зависимости от величины поверхностных нагрузок и при p 0,G .
В табл. 2.1, 2.3, 2.5, 2.7 приведены численные значения при V = 0,1; 0.2; 0.3; 0.4, когда на поверхности полости задана следящая нагрузка, а в таблицах 2.2, 2.4, 2.6, 2.8 для мертвых нагрузок при V = 0,1; 0.2; 0.3; 0.4 соответственно.
Аналогичные вычисления проводились для несжимаемых сред. Их результаты приведены в табл.2.9 для следящих, а в табл.2.10 для мертвых нагрузок. Результаты табл.2.1-2.10 соответствуют плоской форме потери устойчивости и показывают, что стабилизирующее действие следящих нагрузок больше, чем мертвых нагрузок. В табл.2.1-2.8 данные в случае р-=-0 , совпадают с результатами работы [16,30, 24,6і]. На рис.2.2 показана зависимость параметра 4 от изменения параметра р при ))-0 Ъ . Кривая I - соответствует случаю действия следящих нагрузок, кривая 2 - мертвых нагрузок. Задачи локальной потери устойчивости состояния равновесия в окрестности горизонтальных цилиндрических полостей, свободных от воздействия поверхностных сил, рассматривались в работах fl6, 24 30j. Их результаты показали, что трехмерная линеаризованная теория дает возможность получить нетривиальные решения задач устойчивости и определять конкретные значения характерных величин деформируемой системы. В этих работах рассматривалась плоская форма потери устойчивости в случае, когда докритическое напряженное состояние реализуется в пределах плоской деформации. Однако в этих . работах не исследовалось влияние поверхностных нагрузок на величину критического параметра -± Исходя из полученных численных результатов, исследуем влияние параметра р и V на величину параметра Ь в случае мертвых и следящих нагрузок. Результаты свидетельствуют, что наличие поверхностных усилий существенно влияет на величину і при этом с увеличением О она монотонно увеличивается. Например, в случае V=0,3 при 0=0,1-0,6 параметр нагружения в случае мертвых нагрузок увеличивается на 2,2-12,5$ по сравнению со случаем р-О , а в случае следящей нагрузки - на 5,5$ - 44$. Эти сравнения проводились при удержании в суммах до 30 членов (Я - О ) Из полученных результатов следует, что в случае следящей нагрузки влияние поверхностных нагрузок на критическое значение 1-х более существенно, чем мертвых. Из приведенных в табл.2.9-2.10 данных видно, что для несжимаемых сред выводы относительно влияния поверхностных нагрузок на величину і остаются в силе. Численные результаты показывают, что изменения J несущественно влияют на величину if . При этом с увеличением значения і монотонно уменьшаются. Этот факт согла суется с выводами работы 247. Полученные результаты свидетельствуют о том, что изменение вида и величины поверхностных нагрузок значительно сказывается на величине критических нагрузок. Это необходимо учитывать при анализе механизма локальной.; потери устойчивости в окрестности горизонтальных цилиндрических полостей.
Осесимметричная форма потери устойчивости в окрестностях вертикальных цилиндрических полостей круговых поперечных сечений для сжимаемых и несжимаемых сред
Таким образом в настоящей диссертационной работе в пределах трехмерной линеаризованной теории устойчивости при малых неоднородных докритических деформациях для сжимаемых и несжимаемых сред исследована устойчивость состояния упругого равновесия полупространства в окрестности вертикальных и горизонтальных цилиндрических полостей кругового поперечного сечения с учетом заданных на поверхности полости следящих и мертвых нагрузок.
Суть основных результатов диссертации в следующем: 1. Дана постановка задачи об устойчивости горизонтальных и вертикальных цилиндрических полостей с учетом сжимаемости и несжимаемости материала среды при различных докритических неоднородных напряженных состояниях с целью изучения влияния поверхностных следящих и мертвых нагрузок на процесс потери устойчивости. 2. При задании на поверхности полости усилий, в случае осе-симметричной формы потери устойчивости тяжелого полупространства в окрестности вертикальной цилиндрической полости критическое значение параметра нагружения существенно увеличивалось. Установлено, что для сжимаемых сред влияние поверхностных нагрузок оказывалось более существенным, чем для несжимаемых. 3. При действии поверхностных нагрузок с увеличением коэффициента Пуассона значение критического параметра нагружения для вертикальных цилиндрических полостей незначительно увеличивается, а для горизонтальных цилиндрических полостей - незначительно уменьшается. 4. С увеличением внешних нагрузок, заданных на поверхности полости, критическое значение параметра волнообразования увеличивается. 5. В случае неравномерного сжатия тяжелого полупространства в окрестности вертикальных цилиндрических полостей под действием поверхностных нагрузок, критические значения параметра нагруже-ния существенно увеличиваются. Однако, при этом с увеличением отношения 0С/А(, ( сХ, и о( - коэффициенты, характеризующие действие внешних сил в направлениях координатных осей ОХ и ОУ соответственно) величины параметра нагружения монотонно уменьшаются. 6. Примененный вариационный метод оказывался эффективным. Исследовано влияние увеличения числа членов в аппроксимирующих функциях на сходимость. Для всех рассмотренных задач численный процесс сходился. На основе полученных результатов можно сделать следующие конкретные выводы: а) величины критических параметров, соответствующие различ ным формам потери устойчивости полупространства в окрестностях цилиндрических полостей, существенным образом зависят от наличия нагрузок, заданных на поверхности полостей, и вида докритическо го напряженного состояния; б) при плоской форме потери устойчивости тяжелого полупро странства в окрестности горизонтальной полости увеличение интен сивности поверхностных нагрузок приводит к увеличении критичес ких параметров. При этом влияние следящих поверхностных нагрузок оказывается более существенным, чем мертвых. В пределах допустимых изменений механических и геометрических параметров наличие мертвых поверхностных усилий при р -0,1-0,6 (где р-р/р ; Р - плотность среды, Р - плотность среды, заполняющей рассматриваемую полость) приводит к увеличению величин критических значений параметра нагружения на 2,1 -12$, а в случае следящих поверхностных нагрузок - на 5-4,4% по сравнению со случаем Р-0 . При р=0 поверхности рассматриваемых полостей свободны от внешних сил; в) учет неравномерности сжатия тяжелого полупространства в окрестности горизонтальной цилиндрической полости при заданных поверхностных внешних нагрузках приводит к увеличению критичес г- 00 г 00 ких значений параметра нагружения. В случае 6 Ф , Ч = 9 и при задании на поверхности полости следящих нагрузок при К-0,11 - 0,6; Р =0,1 - 0,6, критические значения параметра нагружения увеличиваются на 1-13% в сравнении со случаем Р=0 ; г) при потере устойчивости тяжелого полупространства в ок рестности вертикальной цилиндрической полости критические значе ния параметра нагружения при следящих поверхностных нагрузках больше, чем в случае мертвых. В случае V = 0,3, р = 0,1 - 0,6 значения критических усилий при задании на поверхности полостей соответственно мертвых и следящих нагрузок увеличиваются на 1,7 - 11%; 1,5 - 13,5%, а в случае несжимаемых сред - на 0,35 - 4,5%, 0,87 - 5,2% по сравнению со случаем О-О .
