Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 12
2. Исследование влияния эффекта термодиффузии в замкнутой области (без учета угла наклона) 29
2.1. Уравнения конвекции бинарной смеси 30
2.2. Постановка задачи 34
2.3. Характерные особенности поведения бинарной смеси в зависимости от знаков чисел Рэлея и Соре 36
2.4. Подогрев снизу 38
2.5. Подогрев сверху 51
3. Исследование влияния эффекта термодиффузии в замкнутой области с учетом угла наклона 56
3.1. Основные изменения, связанные с появлением наклона полости 57
3.2. Подогрев снизу 65
3.3. Подогрев сверху 78
4. Обработка бифуркационных картин 85
4.1. Лимитационный метод 86
4.2. Общие принципы построения полиномиальных зависимостей. Исследование коэффициентов полинома для конвективного течения в полости без наклона 92
4.3. Исследование полиномиальных зависимостей для конвективного течения при наличии наклона полости 98
Заключение 106
Литература
- Характерные особенности поведения бинарной смеси в зависимости от знаков чисел Рэлея и Соре
- Подогрев сверху
- Основные изменения, связанные с появлением наклона полости
- Общие принципы построения полиномиальных зависимостей. Исследование коэффициентов полинома для конвективного течения в полости без наклона
Введение к работе
В отличие от обычного конвективного движения, возникающего в однокомпонентных жидкостях или газах, изучение неоднородных по составу и температуре жидких и газовых смесей имеет ряд особенностей. В таких смесях присутствуют уже не одна, а две, во многих случаях независимые, причины появления архимедовых сил (температура и концентрация).
В неоднородных смесях кроме теплопроводности возникает еще один диссипативный механизм - диффузия. Также конвективные процессы могут быть осложнены перекрестными кинетическими эффектами: термодиффузией и диффузионной теплопроводностью.
Термодиффузия в растворах была открыта немецким учёным К. Людвигом (1856) и исследована швейцарским учёным Ш. Соре (1879—1881). Эффект термодиффузии называют также (чаще всего в жидких смесях) эффектом Соре. Термодиффузия в газах была теоретически предсказана английским учёным С. Чепменом и шведским учёным Д. Энскогом (1911— 1917) на основе кинетической теории газов и экспериментально обнаружена английским учёными С. Чепменом и Ф. Дутсоном в 1917.
Исследования, проведенные Энскогом и Чэпменом до 1920 г., показали, что, если в смеси газов имеется температурный градиент, то один тип молекул будет стремиться концентрироваться в холодной области, а другой — в горячей. Это стремление зависит не только от молекулярных весов, но также от сил взаимодействия между молекулами. Более тяжелые молекулы могут собираться в горячей области, или в холодной, или совсем не накапливаться, в зависимости от природы внутримолекулярных сил. Направление разделения может измениться на обратное при изменении температуры или относительной концентрации. Обратный, диффузионный термоэффект был открыт Л. Дюфуром в 1873 году. В его опытах при взаимной диффузии водорода и воздуха через пористую перегородку возникала разность температур.
В представленной работе основное внимание уделяется эффектам, возникающим вследствие термодиффузии (неоднородный нагрев приводит к появлению массопотока и разделению смеси). Диффузионная теплопроводность (диффузионный термоэффект) считается пренебрежимо малой.
Для исследования процессов тепломассообмена большое значение имеют вопросы, связанные с проблемами возникновения и развития конвективного движения (т.е. относящиеся к теории устойчивости равновесия и течений сплошной среды), так как знание закономерностей устойчивости равновесия и течений во многих случаях позволяет управлять механизмами кризиса.
В однокомпонентной неравномерно нагретой жидкости, в поле тяжести, механическое равновесие в большинстве случаев невозможно при сколь угодно малой неоднородности температур. Однако в случае, когда градиент температуры вертикален и постоянен, механическое равновесие может осуществляться. Если градиент температуры достаточно большой, то равновесие становится неустойчивым и развитие возмущений в таких системах приводит к конвективному движению.
В бинарной смеси картина усложняется. Неоднородность температурных полей и, связанная с ними неоднородность концентрационных полей, порождает неоднородность плотности смеси. Это приводит к свободноконвективному движению, которое, в свою очередь, искажает и размывает поля температуры и концентрации его породившие. Такое движение обычно называют термодиффузионной конвекцией.
Как и для однокомпонентной жидкости, при вертикальном градиенте температуры механическое равновесие возможно, но термодиффузионный механизм существенно влияет на величину температурных и концентрационных градиентов, при которых происходит конвективное движение, а также на характер самого движения.
В отличие от однокомпонентной жидкости, в бинарных смесях при сильной отрицательной термодиффузии существуют области параметров, где механическое равновесие устойчиво при отклонениях градиента температуры от вертикального направления.
Несмотря на то что перепады плотности, возникающие вследствие термодиффузии, чаще всего малы, термодиффузионная конвекция может существенно влиять на конвективное движение и его устойчивость, играть важную роль в процессе формирования концентрационных полей, а также быть причиной многих других эффектов.
В настоящее время явление термодиффузии широко используется в прикладных областях (от метода обогащения урана, выращивания кристаллов до цветной печати и сушки кроссовок). В некоторых случаях этот эффект является побочным и даже нежелательным.
Таким образом, изучение термодиффузионной конвекции важно как в фундаментальной области, так и в плане ее практического применения.
Теоретическое исследование термодиффузионной конвекции может быть проведено с достаточной точностью на основе уравнений конвекции в приближении Обербека-Буссинеска, которые широко используются при решении задач конвективной устойчивости и во многих случаях дают удовлетворительное согласие теории с экспериментом. Значительные погрешности при использовании данного приближения могут возникнуть в случае значительных перепадов температур или смешении газов, сильно отличающихся по молекулярному весу.
И если в начале 40-х годов ХХ-го века Г.Д. Смит писал, что «теория термодиффузии в газах достаточно сложна; теории явления термодиффузии в жидкостях совсем нет», то сейчас имеется уже множество теоретических и экспериментальных работ, в которых довольно подробно исследована эта проблема.
В большинстве теоретических работ в качестве объекта исследования выбирается плоский горизонтальный слой жидкости или газа. Задача в такой постановке имеет простую геометрию, и во многих случаях удается получить аналитическое решение (в частности построена линейная теория). Кроме того, универсальность задачи часто позволяет использовать результаты на практике. Однако при усложнении геометрии задачи, бывает затруднительно построить даже линейную теорию, в таких случаях важную роль в изучении конвективных течений приобретают вычислительные эксперименты, которые с развитием вычислительной техники позволяют получать все более точные и более подробные результаты.
Актуальность работы. Основываясь на вышеизложенном можно сделать вывод о том, что явления тепло- и массопереноса в смесях являются важной составляющей в ряду общих гидродинамических проблем и имеют большую ценность с точки зрения практических приложений, обуславливающих, в свою очередь, интерес к моделированию и теоретическому изучению.
Данная работа представляет собой численное исследование явлений тепло- и массопереноса (важное значение здесь имеет эффект термодиффузии) в замкнутой (квадратной, в некоторых случаях прямоугольной) области на основе хорошо известных уравнений бинарной не реагирующей смеси.
Простая конфигурация изучаемой полости, близкие к реальным внешние условия, а также выбор для исследования наиболее распространенных смесей, дают основание полагать, что результаты имеют конкретные практические приложения. С другой стороны, универсальность подходов и выводов позволяет использовать их для более широкого класса задач.
Целью работы является исследование нелинейных режимов, возникающих в замкнутой области в результате взаимодействия тепловых и концентрационных механизмов. Поиск методов для изучения и описания бифуркационных картин для амплитудных характеристик решения. Построение бифуркационных карт на основе зависимостей для критических чисел. Основные результаты и выводы диссертационной работы
1. Обнаружено большое многообразие бифуркационных картин, обусловленное взаимодействием теплового и концентрационного механизмов переноса.
2. В случае подогрева снизу, как при нормальном, так и при аномальном эффекте термодиффузии имеются области параметров задачи, где число стационарных решений равно пяти. В жидкой смеси при нормальном эффекте термодиффузии и наличии угла наклона наблюдается гистерезис между мало амплитудным и высоко амплитудным движением.
3. Для аномального эффекта термодиффузии, как при подогреве сверху, так и снизу для газовой смеси с изменением числа Соре, обнаружен несимметричный «переворот» бифуркационной картины. При є = - 1 имеет место двусторонняя бифуркация.
4. В результате численных расчетов получены формулы для критических чисел Рэлея в зависимости от числа Льюиса и числа Соре. Дана оценка их применимости. В наиболее простых случаях показано, что они согласуются с линейной теорией для массива с теплоизолированными границами.
5. Зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея представлены в виде корней полинома. Проведен анализ коэффициентов полинома. Показано, что с их помощью можно находить критические числа Рэлея, судить о поведении неустойчивых ветвей, исследовать качественные перестройки бифуркационных картин.
6. Построены бифуркационные карты в параметрическом пространстве «критических» чисел Рэлея, числа Соре и угла наклона.
7. Для газовой смеси при подогреве сверху с ростом числа Рэлея обнаруживается трехвихревая (по вертикали) картина течения. Для нормального и аномального эффекта термодиффузии направления центральных вихрей противоположны.
Научная новизна диссертационной работы
1. Впервые для ньютоновских жидкостей достаточно детально проведено исследование бифуркационных картин, которым соответствует до пяти стационарных решений.
2. На основании численных расчетов построены зависимости критических чисел Рэлея от числа Соре и угла наклона, согласующихся в наиболее простых случаях с линейной теорией для массива с теплоизолированными границами.
3. Для исследования конвекции бинарной смеси получено представление зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея в виде корней полинома. Проведен анализ зависимостей коэффициентов полинома от параметров задачи, в результате чего показано, что с их помощью можно:
- находить критические числа (соответствующие точкам бифуркации);
- отслеживать качественные перестройки бифуркационных картин. Автором представляются к защите:
- результаты численных расчетов для квадратной (в некоторых случаях прямоугольной) полости, подогреваемой сверху и снизу при вертикальном градиенте температуры с учетом нормального и аномального эффектов термодиффузии для жидких и газовых смесей;
- результаты численных расчетов для квадратной полости, подогреваемой сверху и снизу при почти вертикальном градиенте температуры с учетом нормального и аномального эффектов термодиффузии для жидких и газовых смесей;
- результаты обработки бифуркационных картин с помощью представления амплитудных характеристик в виде корней полинома.
Достоверность результатов. Результаты согласуются с данными, представленными в работах других авторов, либо в предельных случаях данной задачи (например, в отсутствии эффекта термодиффузии), либо в случаях с близкими задачами (бесконечный слой, замкнутая область с теплоизолированными границами).
Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 14 работах [104-117]. Во всех работах представлены результаты численных расчетов для конвекции бинарной смеси и их анализ, выполненные А.П. Шкарапутой. Соавтором работ является научный руководитель соискателя, участвующий в постановке исследуемых задач и обсуждении полученных результатов. В [104] и [105] соавтором является А.А. Щипанов, исследовавший проблему кристаллизации в цилиндрической области. В работе [108] соавторами являются И.В. Мельников, Д.В. Порошин, А.Н. Шарифулин. Здесь приводится качественное сравнение численных результатов, полученных соискателем, с результатами слабо нелинейной модели, исследуемой данными авторами.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийской научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, IX 1998), International Conference «Advanced problems in thermal convection» (Perm, XI 2003), 14-й Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, II 2005), Шестом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, IX 2005), конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах» (Пермь, XII 2005), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого и на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы: для разделения компонент смеси, где управляющим параметром может являться угол наклона полости; быть основой (и критерием применимости) для построения моделей, связанных с нелинейными эффектами. Также они могут быть полезны для изучения различных явлений, где важную роль играет термодиффузионный эффект. Содержание и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и заключения. Общий объем диссертации составляет 130 страниц, включая 73 рисунка. Список литературы содержит 117 наименований.
В первой главе приводится обзор литературы по тематике диссертационной работы.
Во второй главе исследуется влияние эффекта термодиффузии на конвективное движение, возникающее в квадратной (в некоторых случаях прямоугольной) полости при подогреве снизу и сверху. Проводится исследование бифуркационных картин для зависимости значений экстремальной функции тока от числа Рэлея. Строятся зависимости критических чисел Рэлея от числа Соре и бифуркационные карты на их основе.
В третьей главе исследуется влияние наклона на бифуркационные картины, построенные на основе зависимости значений экстремальной функции тока от числа Рэлея. Представлены дополнительные эффекты (гистерезиса, «переворота» бифуркационной картины), возникающие в результате влияния наклона. Строятся бифуркационные карты в параметрическом пространстве критических чисел Рэлея, числа Соре и угла наклона.
В четвертой главе зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея представляются в виде корней полинома. В результате строится полиномиальная зависимость. Показывается, что с помощью коэффициентов полинома можно находить критические числа Рэлея, судить о поведении неустойчивых ветвей, исследовать качественные перестройки бифуркационных картин. В этой же главе исследуется применимость лимитационного метода для построения неустойчивых ветвей решения. Показано, что он хорошо подходит для построения неустойчивых ветвей решения для бифуркаций разного типа, приводятся поля функции тока, температуры и концентрации метастабильного решения, с хорошей точностью соответствующего неустойчивому решению. В приложении рассматривается используемая параметрическая сплайн-схема. Оценивается погрешность результатов в зависимости от шага сетки, показывается, что погрешность величин, полученных численно, не превышает 3%. Рассматривается зависимость решения от шага по пространственной координате.
Характерные особенности поведения бинарной смеси в зависимости от знаков чисел Рэлея и Соре
Здесь ц/э — амплитудная характеристика функции тока (экстремальное значение), а — коэффициент пропорциональности, Ra — критическое число Рэлея. При Ra Ra имеется область устойчивости механического равновесия.
При учете механизма термодиффузии характер течения усложняется, так как возникает дополнительный механизм, влияющий на конвективное движение смеси. В зависимости от знаков чисел Рэлея и Соре можно выделить четыре параметрические области: 1. Ra 0 (подогрев снизу), є 0. Возникает подъемная сила за счет теплового расширения и неоднородности концентрации веществ. Оба механизма, способствуют конвекции и приводят к неустойчивости механического равновесия. При увеличении числа Соре критическое число Рэлея уменьшается. 2. Ra 0, є 0. В этой области термодиффузия препятствует возникновению конвекции. 3. Ra 0 (подогрев сверху), г 0. Термодиффузия ведет к неустойчивости механического равновесия. Механизм, возникающий за счет теплового расширения, наоборот, препятствует конвекции. 4. Ra 0, є 0. Оба механизма способствуют устойчивости механического равновесия и конвективного движения не наблюдается. Далее в работе представлены результаты численных исследований для каждой из интересующих областей.
В отсутствие эффекта термодиффузии при достижении критического числа Рэлея (Ra =2585) возникает одновихревое движение[18]. С появлением термодиффузии возникающее движение представляет собой следствие суперпозиции двух механизмов, влияющих на неустойчивость системы.
Выше представлены графики зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея при различных числах Соре для воздушной смеси (Р = 0.7, Sc = 1,3) (рис. 2.2,А) и для соленой жидкости (Р = 6.7, Sc = 676,7) (рис. 2.2,В).
Можно заметить, что при є = 0 имеется обычная корневая зависимость. При є Ф 0 характер течения меняется, и при определенных параметрах зависимости могут иметь более сложное поведение. Рассмотрим случай нормального и аномального эффекта Соре по отдельности.
В случае нормального эффекта термодиффузии (є 0) легкая компонента жидкости стремится в более нагретую область. При подогреве снизу возникает дополнительный механизм, увеличивающий подъемную силу и ведущий к неустойчивости. Критическое число Рэлея уменьшается с ростом числа Соре.
Для газов времена диссипативных процессов за счет теплопроводности и диффузии одного порядка (число Льюиса сравнимо с единицей). В этом случае, при появлении термодиффузии, качественных изменений зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея не наблюдается. Для жидких смесей эти времена существенно различаются (число Льюиса много меньше единицы) и зависимость экстремальных значений функции тока от числа Рэлея претерпевает качественные изменения. Так как в этом случае концентрационным возмущениям соответствуют более медленные времена, нежели температурным возмущениям, то конвективные механизмы разделяются. На графике (рис. 2.2,В) появляется точка перегиба и образуется «носик» в сторону низких значений чисел Рэлея. За счет появившегося выступа уменьшается критическое число Рэлея.
Если рассмотреть «носик» отдельно (рис. 2.3), то можно заметить, что при малых экстремальных значениях функции тока он подчиняется корневому закону. Это означает, что при малых амплитудах механизм термодиффузии становится фактически единственным механизмом, работающим на неустойчивость. Для жидкой смеси при больших числах Соре критическое число Рэлея становится близким к нулю (но всегда больше нуля). A) 6000
В зависимостях числа Нуссельта (приведенного) и кинетической энергии от числа Рэлея (рис. 2.4) для жидкой смеси также наблюдается четкое разделение на область малоамплитудного движения и высокоамплитудного.
Число Нуссельта определяет теплопередачу между жидким и твердым телом. В нашем случае теплопередача осуществляется на верхней и нижней границе.
Подогрев сверху
В случае подогрева сверху аномальный эффект термодиффузии (при отрицательном значении числа Соре) работает на неустойчивость системы, в то время как механизм, возникающий за счет теплового расширения, наоборот, препятствует возникновению движения.
В равновесном состоянии градиент температуры направлен вверх, а градиент концентрации легкой компоненты - вниз. Если число Соре меньше единицы, то градиент плотности направлен вниз. В этом случае для возникновения движения большую роль играет разница времен релаксации тепловых и концентрационных возмущений.
При малых числах Льюиса (Le \) у элементов жидкости, переместившихся (в результате возмущения) вверх, температура быстро сравнивается с температурой окружающей среды, но из-за медленных времен релаксации концентрационных возмущений элементы имеют повышенную концентрацию легкой компоненты. Поскольку их плотность меньше плотности окружающей среды, они продолжают всплывать. При достаточно больших числах Рэлея в жидкости возникает движение.
A) На рис. 2.16 можно заметить обычное корневое поведение зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея. Для газов система теряет устойчивость при больших по модулю значениях числа Рэлея.
Для жидкости характерны небольшие по модулю числа Рэлея и малые амплитуды скоростей (их значения на два порядка меньше, чем для газовой смеси, так как отношение чисел Льюиса составляет порядка 102). Интересные данные получаются для критического числа Рэлея в зависимости от числа Соре (рис. 2.17). Здесь просматривается экспоненциальный вид функции. С другой стороны, в логарифмической шкале эти зависимости имеют вид гиперболы. Поэтому эмпирическую формулу, описывающую их поведение, можно записать в виде:
Можно предположить, что эта формула является неким аналогом формулы (2.13). Она описывает поведение зависимостей точнее по мере уменьшения модуля чисел Соре.
Для газовой смеси в диапазоне чисел Соре - 0.6 є 0 получаются следующие коэффициенты: а = 4.43, 6 = 1.69. Максимальная погрешность представления результатов в виде 2.19 в сравнении с численными данными не превышает 6% в указанном диапазоне.
Для соленой жидкости в диапазоне чисел Соре -0.5 0 получается: я = 3.83, 6 = 0.07. Максимальная погрешность представления данных в виде (2.19) достигает 14%. Можно предположить, что формула (2.19) лучше описывает поведение жидкостей при числах Соре порядка Of 10 ), но проверка этого предположения затруднительна из-за малых амплитуд.
При достаточно больших числах Рэлея вдоль вертикальной оси возникает ячеистая структура. С увеличением числа Рэлея один начальный вихрь (в газовой смеси) разрушается сначала на два, а затем - на три более мелких. Поведение экстремальных значений функции тока от числа Рэлея представлено нарис. 2.19,А.
В двухвихревой области экстремальным значениям функции тока соответствуют экстремальные значения функции тока одного из двух вихрей, а в трехвихревой - экстремальные значения функции тока верхнего или нижнего вихря.
Из рис. 2.19,В видно, что теплоотдача на границах не всегда растет с увеличением разности температур на них. Вместе с тем общая кинетическая энергия внутри системы (рис.2.19,с) увеличивается с ростом разности температур.
Уменьшение теплового потока, объясняется, по-видимому, появлением центрального вихря, который вращается в противоположную сторону по отношению к верхнему и нижнему вихрю. Таким образом, при подогреве сверху возможны ситуации, когда двум разным значениям Рэлея соответствует одно и то же значение числа Нуссельта.
Сравнивая характеристики центрального вихря по кинетической энергии (рис.2.19,С) и экстремальных значений функции тока (рис.2.19,D) с поведением теплоотдачи (рис.2.19,В) можно заметить, что уменьшение теплоотдачи совпадает с появлением вихря в центре системы.
В этой главе исследуется влияние наклона на бифуркационные картины, построенные на основе зависимости значений экстремальной функции тока от числа Рэлея. Представлены дополнительные эффекты (гистерезиса, «переворота» бифуркационной картин), возникающие в результате влияния наклона. Строятся бифуркационные карты в параметрическом пространстве критических чисел Рэлея, числа Соре и угла наклона.
В 3.1 рассматриваются основные изменения бифуркационных картин, связанные с появлением угла наклона. В 3.2 исследуется случай подогрева снизу. Обозначаются границы эффекта гистерезиса (в пространстве чисел Релея, Соре и угла наклона), обнаруженного между малоамплитудным движением и высокоамплитудным, для жидких смесей при нормальном эффекте термодиффузии. Исследуется эффект «переворота» бифуркационной картины для газовой смеси при аномальном эффекте термодиффузии с ростом (по модулю) числа Соре. В 3.2 исследуется случай подогрева сверху. Представлены результаты для газовой смеси, как в случае нормального, так и аномального эффектов термодиффузии. При нормальном эффекте термодиффузии исследована многовихревая (вдоль вертикальной оси) структура течения. При аномальном эффекте термодиффузии представлены результаты исследования переворота бифуркационной картины с ростом (по модулю) числа Соре.
Основные изменения, связанные с появлением наклона полости
Если проследить за изменением критических значений Raj, Ra2, Ra3, в зависимости от числа Соре и угла наклона, то можно построить бифуркационную карту (рис. 3.17,B,C,D), на которой наблюдаются границы областей неоднозначности решений. (Обобщенное обозначение критических чисел, представленных на рисунке - Rcf.) Видно, что при малых углах наклона имеется только одно критическое число (Raj), но с увеличением наклона между малоамплитудным решением и высокоамплитудным, возникает гистерезис (рис. 3.17,А) и появляются два дополнительных «критических» числа Рэлея (Raj, Ra2). При дальнейшем увеличении угла наклона на бифуркационных картах заметно, как область гистерезиса сначала увеличивается, а затем происходит «схлопывание».
Сравнение бифуркационных карт для различных чисел Соре показывает, что явление гистерезиса проявляется более отчетливо при малых числах Соре. При увеличении числа Соре эффект сначала уменьшается, а затем вырождается.
Вследствие этого, можно сказать, что эффект гистерезиса в жидкой смеси при нормальном эффекте Соре имеет довольно тонкую природу и ограничивается большими углами наклона с одной стороны и большими числами Соре с другой.
Аномальный эффект термодиффузии при подогреве снизу работает на устойчивость механического равновесия. В этом случае наиболее интересные результаты получаются для газовой смеси (ранее качественные зависимости были представлены на рис. 3.5).
Ниже рассмотрены бифуркационные картины при \є\ \,\є\ = 1 и \є\ 1. Из рис. 3.18 видно, что в области высокоамплитудного движения никаких качественных изменений не происходит.
Однако (рис. 3.19) в области малоамплитудного движения происходит переворот. Качественные изменения происходят и с неустойчивыми ветвями. Можно заметить, что при = -0.5 малоамплитудная ветвь находится в области положительных экстремальных значений функции тока. При є = -\ она вырождается, а при = -1.5 вновь появляется, но уже в отрицательной области значений. Так как при є = -1.5 величина малоамплитудного значения очень мала, на графике его пришлось отображать в увеличенном масштабе (на 102).
Необходимо отметить, что рис 3.19,А отображает ситуацию, когда с малоамплитудной ветви невозможно перейти в область высоких амплитуд, т. е. эффект гистерезиса не проявляется. Чтобы добиться этого эффекта, необходимо либо увеличивать угол наклона, либо уменьшать (по модулю) значение числа Соре.
При \є\ 0.22 (данное значение рассматривается в главе 4) гистерезис проявляется даже в отсутствие угла наклона. Как и для нормального эффекта термодиффузии в жидкой смеси, в рассматриваемом случае имеются три «критических» числа Рэлея. Два из них находятся в области положительных значений функции тока. В зависимости от угла наклона могут реализовываться различные сценарии поведения системы при плавном изменении числа Рэлея.
На рис. 3.20 приведена качественная бифуркационная картина при наличии угла наклона. Когда угол наклона помогает конвекции (область положительных значений), нулевое решение переходит в линейное (вблизи отсчета) малоамплитудное. Между ним и высокоамплитудным решением наблюдается гистерезис. В зависимости от угла наклона с устойчивой ветви решений для отрицательных значений при уменьшении числа Рэлея может быть осуществлен переход как на малоамплитудную (рис. 3.20,А), так и на высокоамплитудную ветвь (рис. 3.20,В).
Общие принципы построения полиномиальных зависимостей. Исследование коэффициентов полинома для конвективного течения в полости без наклона
Сравнивая зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея до и после «переворота» (рис. 3.27), можно заметить, что в области высоких амплитуд интенсивность движения с ростом (по модулю) числа Соре увеличивается как в области отрицательных значений, так и в области положительных. Таким образом, «переворот» происходит только в области малых амплитуд.
Как происходит переход к бифуркационной картине, соответствующей числу Соре —1, удалось понять (рис. 3.28,А,В,С) при относительно больших углах наклона а = 20 и при значениях числа Соре, близких к -1. В этом случае становится очевидным, что с увеличением (по модулю) числа Соре, ветвь в области отрицательных значений разделяется на ветвь малоамплитудного и высокоамплитудного движения (рис. 3.28,А,В) что ведет к гистерезису. При дальнейшем увеличении (по модулю) числа Соре малоамплитудная ветвь сближается с осью абсцисс. То же происходит в области положительных значений с неустойчивой ветвью (рис. 3.28,С). Наконец, при є = -1 получается картина, качественно описанная ранее на рис. 3.6,С и представленная на рис 3.26,В и 3.28,С.
В данной главе исследуются бифуркационные картины с помощью полиномов. Зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея представляются в виде корней полинома. В результате строится полиномиальная зависимость, где коэффициенты полинома являются функциями числа Рэлея, числа Соре и угла наклона. Так как для этого необходимо знать величины, соответствующие неустойчивому решению, в 4.1 исследуется применимость лимитационного метода для построения неустойчивых ветвей решения. Приводятся поля функции тока, температуры и концентрации метастабильного решения, с хорошей точностью соответствующего неустойчивому решению. В 4.2 рассматриваются общие принципы построения полиномов. Представлено исследование коэффициентов полинома пятой степени в случае подогрева снизу, аномального эффекта термодиффузии и без наклона. Из-за симметрии задачи ненулевыми оказывались два коэффициента {а и Ъ) при членах полинома. Показывается, что они имеют линейный (или слабонелинейный) вид. В 4.3 рассматриваются полиномиальные зависимости, соответствующие конвективному движению при наличии наклона. Показано, что в случае подогрева снизу и аномального эффекта термодиффузии зависимости аналогов коэффициентов а и Ъ от числа Рэлея при разных углах наклона ложатся на одну линию. Показано, что с помощью коэффициентов полинома можно исследовать эффект «переворота» с ростом (по модулю) числа Соре. С помощью коэффициентов полинома был исследован и «переворот» при подогреве сверху. Аналогичные исследования проведены для коэффициентов полинома, полученных при нормальном эффекте термодиффузии для жидкой смеси (в области пяти решений). Во всех случаях коэффициенты полинома имели линейный или слабонелинейный вид.
В задачах, связанных с бифуркацией решений, часто возникают трудности с построением неустойчивой ветви. Малые возмущения неустойчивого решения в эволюционирующей системе нарастают и, в конечном счете, система приходит к одному из своих устойчивых состояний. Такое поведение, казалось бы, лишает возможности нахождения неустойчивого решения методом установления (или, по-другому, лимитационным методом). Воспользовавшись приближенным решением, логично предположить, что эволюционирующая система не только не приблизится к неустойчивому решению, но и с каждым моментом времени будет удаляться от него. Однако, в расчетах, использующих численный эксперимент, удается получить некое метастабильное решение.
Из теории катастроф следует, что неустойчивое решение расположено между двумя устойчивыми. Неустойчивое решение является своеобразной границей, так как одни его возмущения стремятся к одному устойчивому решению, другие - к другому.
Если взять произвольное начальное состояние системы, то оно будет стремиться к одному из своих устойчивых решений. Меняя параметры этого состояния, можно добиться того, что оно будет стремиться уже к другому устойчивому решению. Используя численные методы для математической модели, можно легко изменять параметры, что затруднительно в реальном эксперименте. Перебирая параметры возмущения, можно найти такой режим, при котором системе трудно выбрать, к какому из устойчивых решений стремиться. Как показывают численные эксперименты, в этом случае система проходит три стадии: в системе происходит внутренняя борьба, часто сопровождающаяся колебательными режимами, затем она переходит в метастабильный режим и, наконец, экспоненциально эволюционирует к одному из устойчивых своих состояний. Такой метод нахождения метастабильного решения называется лимитационным. В качестве начального возмущения можно использовать, например, комбинацию двух устойчивых решений между которыми и находится неустойчивое [95] или же можно менять амплитуду возмущения [96]. Как же оказывается, что система с течением времени переходит в метастабильный режим, и можно ли этот режим считать соответствующим неустойчивому решению?
Очевидно, что, перебирая параметры произвольного возмущения, мы вряд ли можем оказаться на неустойчивой ветви, но можем добиться такого режима, когда локальные возмущения в системе по отдельности стремятся к разным устойчивым состояниям. В этом случае система не может эволюционировать в одном направлении, пока эти локальные возмущения не компенсируют друг друга, либо не найдутся механизмы, которые будут содействовать колебательному режиму. Метастабильному решению соответствует участок, на котором борьба в системе фактически прекращается. В данной работе исследовалась возможность применения лимитационного метода для построения ветвей неустойчивых решений для бифуркационных картин разного типа.
