Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гидродинамические модели плазмы и методы их численной реализации . 23
1.1 Кинетическое и гидродинамическое описание плазмы. 23
1.2 Иерархия магнитогидродинамических моделей плазмы . 28
1.3 Редуцированные МГД модели. 39
1.4 Гибридные модели. 40
1.5 Класс рассматриваемых задач. Процессы пересоединения. 42
1.6 Методы численного решения МГД уравнений. 47
Глава 2. Распространение возмущений в окрестности нулевой линии магнитного поля. 51
2.1 Математическая постановка задачи. 54
2.2 Пространственная симметрия задачи. 58
2.3 Распространение магнитозвукового импульса в одножидкостной МГД . 59
2.4 Влияние эффекта Холла на распространение магнитозвукового импульса. 62
2.5 Распространение магнитозвукового возмущения в случае пространственно ограниченной плазмы. Взрывное разрушение токо вого слоя. 62
2.6 Распространение альвеновского возмущения в идеально проводящей плазме (т? = 0). 67
2.7 Распространение альвеновского возмущения в плазме конечной проводимости при наличии динамической вязкости (rj ф 0, v ф 0). 70
2.8 Распространение альвеновского возмущения в плазме конечной проводимости при отсутствии динамической вязкости (ту ф 0, v = 0). 74
2.9 Распространение комбинированного альвеновского и магнитозвукового возмущения. 75
2.10 Влияние эффекта Холла на распространение альвеновского импульса. 79
2.11 Конечно-разностные схемы для расчета течений в окрестности Х-точке. 79
Иллюстрации к Главе 2. 87
Глава 3. Динамика компактных торов . 110
3.1 Математическая постановка задачи. 111
3.2 Формирование компактного тора. 113
3.3 Продольное сжатие компактного тора . 115
3.4 Структура волны продольного сжатия КТ. 116
3.5 Установившаяся конфигурация КТ. 126
3.6 Конечно-разностные алгоритмы. 129
Иллюстрации к Главе 3. 131
Глава 4. Слияние магнитных ячеек в электронной магнитной гидродинамике . 137
4.1 Математическая постановка задачи. 139
4.2 Случай расчетной области малого размера. 141
4.3 Случай большой расчетной области. 144
4.4 Модель малого числа гармоник. 146
4.5 Перераспределение энергии в результате слияния магнитных ячеек . 152
4.6 Основные физические результаты исследования неустойчивости слияния магнитных ячеек. 155
4.7 Конечно-разностная схема. 156
Иллюстрации к Главе 4. 159
Глава 5. Исследование тиринг неустойчивости в модели нередуцированной магнитной гидродинамики . 165
5.1 Математическая постановка задачи. 168
5.1.1 Вид различных дифференциальных операторов при наличии винтовой симметрии. 174
5.2 Результаты расчетов. 175
5.2.1 Предел одножидкостной МГД (а = 0). 175
5.2.2 Двухжидкостная МГД. T(t = 0) =const, p(t = 0) = 1. 176
5.2.3 Двухжидкостная МГД. T(t = 0) ^const, p(t = 0) = 1. 181
5.2.4 Двухжидкостная МГД. T(t = 0) ^const, p(t = 0) ^const. 183
5.2.5 О значении безразмерных параметров. 184
5.2.6 Заключение к 5.2. 185
5.3 Релаксация к равновесной осесимметричной конфигурации.после пересоединения. 186
5.2, 5.3. 188
5.4 Конечно-разностная схема для решения двухжидкостных МГД уравнений в цилиндрической системе координат. 199
5.4.1 Пространственная дискретизация. 200
5.4.2 Дискретизация по времени. 207
5.4.3 Устойчивость конечно-разностной схемы. 214
5.4.4 Заключение к 5.4. ' 215
Глава 6. Численное моделирование динамического эргодического дивертора. 216
6.1 Сравнение процессов проникновения бегущей и стоячей волны в плазму при наличии резонансной поверхности. 218
6.1.1 Двумерная плоская МГД модель пристеночной плазмы токамака. 218
6.1.2 Математическая постановка задачи. 223
6.1.3 Стоячая волна. Симметричные по у граничные условия. 225
6.1.4 Стоячая волна. Периодическе по у граничные условия. 227
6.1.5 Бегущая волна. Случай vp < 1. 228
6.1.6 Проникновение бегущей волны при vp > 1.
Устойчивый случай. 230
6.1.7 Проникновение бегущей волны при vp > 1.
Случай сильной неустойчивости. 232
6.1.8 Проникновение бегущей волны при vp > 1.
Случай слабой неустойчивости. 233
6.1.9 Влияние сжимаемости. 233
6.1.10 Соответствие между течениями в случае стоячей и бегущей волн. 234
6.1.11 Соответствие безразмерных параметров и параметров DED TEXTOR. 235
6.1.12 Заключение к 6.1. " 238
6.1.13 Конечно-разностная схема для решения плоской задачи. 239
Иллюстрации к 6.1. 244
6.2 Проникновение поля DED в плазму в двумерной цилиндрической геометрии. 260
6.2.1 Моделирование системы токов создаваемых катушками DED. 260
6.2.2 Математическая постановка задачи. 263
6.2.3 Значения безразмерных параметров для DED TEXTOR. 268
6.2.4 Результаты моделирования. 270
6.2.5 Моделирование токамака CSTN-IV. 275
6.2.6 Заключение к 6.2. 277
6.2.7 Граничные условия для магнитного потока. 278
6.2.8 Конечно-разностная схема для решения задачи о взаимодействии магнитного поля DED с плазмой в цилиндрической геометрии. 281
Иллюстрации к 6.2. 287
6.3 Редуцированные МГД уравнения для решения задачи об эргодическом диверторе в трехмерной геометрии. 295
6.3.1 РМГД Кадомцева-Погуце. 297
6.3.2 Роль медленных магнитозвуковых возмущений. 299
6.3.3 Редуцированные МГД уравнения с учетом медленного маг
нитного звука. 301
6.3.4 Адиабатическая модель. 307
6.3.5 Заключение к 6.3. 310
Заключение 311
Литература
- Иерархия магнитогидродинамических моделей плазмы
- Распространение магнитозвукового импульса в одножидкостной МГД
- Продольное сжатие компактного тора
- Перераспределение энергии в результате слияния магнитных ячеек
Введение к работе
Плазма, представляющая собой газообразную смесь положительных, отрицательных и нейтральных частиц, является наиболее широко распространенным в природе состоянием вещества. Примером могут служить астрофизические объекты: звездное и межзвездное вещество, магнитосферы планет. Вещество находится в плазменном состоянии также в многочисленных технических устройствах, молнии и т.д.. Интенсивное изучение горячей плазмы началось в пятидесятые годы в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза (УТС), поскольку для осуществления реакции синтеза необходимо нагреть вещество до "звезд-ных"температур, что приводит к превращению газа в плазму. В настоящей диссертации будут рассматриваться процессы характерные для полностью ионизированной (не содержащей нейтральных частиц) горячей плазмы имеющей место в экспериментах по УТС и в космических объектах (солнечная корона, магнитосфера планет и т.п.).
Динамика плазмы имеет особенности, отличающие ее от гидро- и газодинамики нейтральных сред. Во-первых, плазма погружена в магнитное поле, составляя с ней единую магнитоплазменную конфигурацию. Во-вторых, плазменным процессам присуща чрезвычайная сложность и многообразие, хотя законы, управляющие поведением плазмы очень просты: частицы движутся под действием силы Лоренца, оставаясь, как правило, в рамках нерелятивисткого неквантового описания. Это связано с тем, что в плазме существуют многочисленные виды колебаний и неустойчивостей, имеющих широчайший спектр пространственно-временных масштабов, и взаимодействующих друг с другом и частицами, что приводит к изменению макроскопического состояния магнитоплаз-менной конфигурации [1-8].
Экспериментальные и наблюдательные данные, а также результаты теоретических исследований говорят о том, что области, в которых магнитное поле в плазме равно нулю, являются особыми. Как правило, эти области представляют собой нулевые (нейтральные) точки, линии, поверхности. В окрестности особенностей магнитного поля создается возможность для быстрого высвобождения магнитной энергии, что приводит к внезапному ускорению и нагреву плазмы, появлению сильных электрических полей, излучению и т.д.. При этом может происходить кардинальное изменение топологии магнитного поля или, как говорят, пересоединение силовых линий магнитного поля.
Настоящая диссертация посвящена изучению магнитогидродинамиче-ских течений происходящих в конфигурациях содержащих особенности магнитного поля.
Актуальность темы обусловлена широким распространением и важностью течений в конфигурациях содержащих особенности магнитного поля. Согласно современным представлениям солнечные вспышки, нагрев солнечной короны, суббури в магнитосфере Земли во многом обусловлены именно этими процессами. С перезамыканием связаны релаксационные колебания в токамаках. Транспортные барьеры в токамаках также возникают в окрестности нейтральных поверхностей. Как показано в настоящей диссертации, наличие нейтральных (резонансных) поверхностей в конфигурации токамака играет определяющую роль при проникновении магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Процессы пересоединения в системах с обращенным магнитным полем и последующего сжатия образовавшейся в результате этого пересоединения замкнутой магнитоплазменной конфигурации используются для формирования так называемых компактных торов - одного из альтернативных направлений УТС.
Процессы пересоединения в относительно холодной плазме, которая описывается уравнениями одножидкостной магнитной гидродинамики, изучаются уже на протяжении 40 лет и исследованы достаточно хорошо. Тем не менее, и в этом случае практика ставит новые задачи. Некоторые из этих задач рассмотрены в настоящей диссертации.
В горячей плазме современных установок по УТС и плазме солнечной короны существенную роль играют эффекты, которые описываются двухжидкостной магнитной гидродинамикой и кардинально изменяют картину пересоединения по сравнению со случаем одножидкостной гидродинамики. Несмотря на то, что последнее десятилетие эти вопросы изучаются очень интенсивно, влияние этих эффектов на процессы пересоединения исследованы относительно слабо. Строго говоря, не существует даже отчетливого качественного объяснения многих явлений. В настоящей диссертации этим вопросам уделено значительное внимание.
Ввиду большой сложности уравнений, описывающих поведение плазмы, наличия многих эффектов и пространственно-временных масштабов изучение задач физики плазмы в более или менее реальной постановке немыслимо без численного анализа. Кроме того, современный эксперимент в физике плазмы требует больших материальных затрат, что также приводит к необходимости создания численных моделей. В настоящей диссертации значительное внимание уделено созданию численных методов решения (конечно-разностных схем) уравнений магнитной гидродинамики. С их помощью исследованы актуальные проблемы динамики плазмы, возникающие при описании течений плазмы при наличии особенностей магнитного поля и при интерпретации экспериментальных и наблюдательных данных.
Цель работы состоит в изучении магнитогидродинамических (МГД) течений в окрестности особенностей магнитного поля на примере конкретных задач, представляющих научно-практический интерес. Для решения этих задач возникает необходимость создания эффективных численных методов, что также является целью настоящей работы.
К задачам, рассмотренным в настоящей диссертации, относятся следующие: распространение возмущений магнитного поля различного типа в окрестности Х-точки, некоторые вопросы динамики компактных торов, неустойчивость слияния в электронной магнитной гидродинамике, развитие тиринг неустойчивости, динамика проникновения возмущения магнитного поля в плазму при наличии нейтральной поверхности. Последние две задачи имеют непосредственное отношение к пилообразным колебаниям в токамаке и работе эргодического дивертора в токамака соответственно. При этом возникает необходимость в существенном улучшении широко используемых редуцированных МГД моделей плазмы, что также было проведено в настоящей диссертации.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации без ссылок на чужие работы, являются новыми и состоят в следующем:
1. Исследовано распространение магнитозвукового возмущения в окрестности Х-точки. Показано, что ограниченность пространственного размера плазмы может являться причиной взрывного разрушения токового слоя наблюдаемого в экспериментах на установке "Токовый слой" [74-78].
2. Найдено стационарное решение, описывающее распространение аль-веновского возмущения и суперпозиции альвеновского и магнитозвуково-го возмущений в окрестности Х-точки. Изучено влияние эффекта Холла, однородного фонового магнитного поля и других факторов на распространение альвеновского и магнитозвукового возмущения в окрестности Х-точки.
3. Изучены вопросы формирования и продольного сжатия компактного тора. Получены соотношения типа адиабаты Гюгонио для волны продольного сжатия компактного тора.
4. Изучена неустойчивость слияния магнитных ячеек в модели электронной магнитной гидродинамике. Показано, что длительность нелинейной стадии спонтанного пересоединения в электронной магнитной гидродинамике остается конечным при стремлении к нулю сопротивления плазмы и электронной вязкости. Это время, определяется типичной токовой скоростью электронов исходной магнитной конфигурации.
5. Изучены особенности развития тиринг неустойчивости в цилиндрической (винтовой) геометрии в нередуцированных одножидкостной МГД и двухжидкостной МГД моделях плазмы. Изучено влияние эффекта Холла, электронной вязкости, градиентов электронного давления в обобщенном законе Ома, начального распределения давления и продольной теплопроводности на эту неустойчивость.
6. Показано, что на нелинейной стадии пересоединения в двухжидкостной МГД модели эффект Холла становится определяющим и приводит, в зависимости от распределения начального давления, к аномально быстрому либо аномально медленному (с точки зрения одножидкостной МГД) пересоединению. Показано, что электронная вязкость также может приводить к существенному ускорению процесса пересоединения. Эти эффекты позволяют лучше понять явления быстрого и неполного пересоединения при развитии тиринг неустойчивости в токамаках и малое время солнечных вспышек.
7. Изучен механизм проникновения бегущей волны возмущения магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Показано, что проник новение стоячей и бегущих волн в плазму может носить абсолютно разный характер даже при малой амплитуде волны. Показано, что условие малости амплитуды волны по сравнению с исходным магнитным полем является недостаточным условием для применимости линейного приближения в случае бегущей волны. Получены редуцированные одножид-костные МГД уравнения, которые могут быть использованы для моделирования эргодического дивертора. Эти уравнения учитывают медленные магнитозвуковые возмущения, тороидальную скорость и особенности тороидальной геометрии.
8. Создан комплекс программ для расчета двумерных МГД течений плазмы. В частности разработана программа для решения двумерных двухжидкостных МГД уравнений в цилиндрической геометрии, в которой успешно и чрезвычайно простым способом преодолены проблемы получения решения в окрестности центра координат.
Практическая значимость работы состоит в решении задач, имеющих важное значение для исследования процессов, происходящих в лабораторной и космической плазме. Например, дано объяснение взрывного разрушения токового слоя наблюдаемого в экспериментах на установке "Токовый слой". Одним из факторов препятствующих созданию термоядерного реактора на основе токамака является присутствующие во всех установках этого типа пилообразные колебания и неустойчивости срыва. Природа этих явлений непосредственно связана с процессами пересоединения. В случае ловушек типа "компактный тор", перезамыкание магнитных силовых линий играет положительную роль, позволяя создать замкнутую конфигурацию и эффективно нагреть плазму. Непосредственный практический интерес представляет и моделирование эргодического дивертора. Разработанные в диссертации численные методы решения МГД уравнений и редуцированная МГД модель, в которой учтены медленные магнитного звука могут найти применения при решении различных проблем физики плазмы.
Достоверность полученных результатов подтверждается тестированием программ используемых для решения поставленных задач, контролем точности получаемых решений, использованием нескольких способов решения, а также сопоставлением полученных результатов с резуль татами работ других авторов, аналитическими оценками и имеющимися экспериментальными данными.
Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитированной литературы из 251 наименований. Объем диссертации составляет 331 страницу, включая 53 рисунка на 59 листах.
По теме диссертации опубликовано 38 работ [128-130, 151, 158, 178, 180, 184, 188, 211, 224-251], из них 38 печатных.
Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Международной конференции по открытым магнитным ловушкам (Новосибирск, 2004), Международном рабочем совещании по стохастичности в пристеночной термоядерной плазме (SEP, Juelich, Германия, 2003), 12 и 14 Симпозиумах по физике плазмы и радиационным технологиям (Lunteren, Голландия, 1999 и-2001), Международной конференции по вычислительным технологиям памяти Н.Н.Яненко (Новосибирск, 2001), Европейской конференции по УТС и физике плазмы (Будапешт, Венгрия, 2000), Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и инженерии ECCOMAS-2000 (Barcelona, Испания, 2000), Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики сплошных сред (Новосибирск, 1996), Международной конференции по мелкомасштабным структурам и 3-D магнитогидродинамической турбулентности (Nice, Франция, 1995), 6-ой Европейской конференции по плазме УТС (Utrecht, Голландия, 1995), Международной конференции по наукам о плазме (ICOPS-95, Madison, США, 1995), Всесоюзных конференциях по физике плазмы и УТС (Звенигород, 1984, 1985, 1987, 1990, 1992, 2005), Всесоюзной школе по динамике вязкой жидкости (Новосибирск, 1985).
Результаты диссертации докладывались также на семинарах в ИВТ СО РАН, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, ИТПМ СО РАН, ИЯФ СО РАН, FOM-Института физики плазмы (Niuewegein, Голландия), Института физики плазмы (Juelich, Германия), Института физики плазмы (Mi-lano, Италия), Boxyмского университета (Германия), Пизанского университета (Италия), Манчестерского технического университета (Великобритания). В первой главе дано описание магнитогидродинамических моделей, на основании которых изучаются процессы, протекающие в магнито-плазменных конфигурациях содержащих особенности магнитного поля. Рассматривается, какое место они занимают среди других математических моделей описывающих плазму. Дано описание иерархии МГД моделей. В первой главе рассматривается также класс задач изучаемых в диссертации, изложены принципы, на основании которых выбирались методы численного решения этих задач и дано краткое описание этих методов.
Наиболее детальное математическое описание плазмы достигается в кинетической модели, использующей уравнение для функции распределения ионов и электронов и уравнения Максвела для электромагнитного поля. Однако это описание является весьма сложным, как для аналитических, так и для численного исследования. Во многих задачах достаточно использовать МГД модели, в которых плазма рассматривается как смесь электронного и ионного газов взаимодействующих через электромагнитное поле. Строго говоря, МГД уравнения применимы в случае, когда характерные расстояния и промежутки времени велики по сравнению с длиной свободного пробега и временем между столкновениями частиц соответственно. На практике применимость МГД моделей намного шире упомянутого предельного случая. Например, в случае сильных магнитных полей движение частиц поперек магнитного поля ограничено ларморовским радиусом и может быть описано гидродинамически. Область применимости МГД уравнений расширяется также благодаря мелкомасштабной турбулентности, связанной с возбуждением флуктуирующих электрических полей различными неустойчивостями.
Для плазмы характерно наличие различных неустойчивостей. Рассеяние частиц на мелкомасштабных хаотических пульсациях электромагнитного поля можно рассматривать как некие столкновения, которые уменьшают длину эффективную свободного пробега. Рассеяние частиц на этих флуктуациях приводит уменьшению длины и времени свободного пробега, что позволяет использовать МГД уравнения. Существуют и некоторые другие случаи в которых уравнения, описывающие плазму, формально совпадают с магнитогидродинамическими.
МГД уравнения можно рассматривать и как некоторую феноменоло гическую модель, обоснование которой состоит в том, что существует большое количество плазменных течений, хорошо описываемых с ее помощью. Кроме того, естественно ожидать, что процессы не зависящие от каких либо тонких деталей функции распределения с некоторой точностью могут быть описаны гидродинамически.
В этой связи отметим одно существенное преимущество гидродинамических моделей перед кинетическими. Являясь более простыми, они позволяют более четко и наглядно указать конкретный механизм, ответственный за какой либо физический эффект. В рамках кинетического описания, являющегося очень подробным, это сделать более трудно. Ситуацию можно сравнить с использованием географической карты с масштабом 1:1. Несмотря на исключительную подробность, такая карта оказывается мало полезной.
Подчеркнем, что при феноменологическом подходе к гидродинамическому описанию плазмы существенным является правильный выбор конкретных уравнений из большого количества существующих МГД моделей. В рамках моделей, используемых для описания явлений в полностью ионизованной плазме, существует некоторая иерархия. Наиболее общей является модель двухжидкостной магнитной гидродинамики.
Для рассматриваемых в настоящей диссертации медленных (по сравнению с плазменными частотами) процессов с большим запасом выполняется условие квазинейтральности плазмы. Поскольку масса электрона те намного меньше иона, то эту модель можно упростить, полагая те = 0. Дальнейшее упрощение состоит в предположении, что характерный масштаб задачи намного превышает ионный дисперсионный размер, что приводит к обычной модели одножидкостной магнитной гидродинамики [9].
Упрощение двухжидкостных МГД и одножидкостных МГД уравнений может идти и по пути так называемого предела большого тороидального поля (редуцированная магнитная гидродинамика, РМГД). Предел РМ-ГД аналогичен пределу несжимаемой жидкости в обычной гидродинамике. Однако в связи с тем, что в плазме существуют множество различных типов колебаний, применимость РМГД довольно сильно ограничена. Возникает потребность улучшить РМГД модель, что и сделано в главе б настоящей диссертации. Во второй главе рассматривается течение в окрестности нулевой линии магнитного поля (Х-точки), возникающее под действием магнито-звуковой и/или альвеновской волн, приходящих из бесконечности. Эти волны моделировались специально заданным граничными условиями. Исследовалось несколько вариантов этих условий, что позволяет говорить о типичности полученных закономерностей.
Распространение магнитозвукового возмущения в одножидкостной МГД модели было изучено достаточно подробно в работах [11-16]. В настоящей работе исследованы такие детали, как влияние фонового тороидального поля, особенности распределения плотности, давления плазмы, суммы давлений плазмы и тороидального магнитного поля. Эти сведения полезны с точки зрения анализа других задач.
Важным результатом, представленным в этой главе, является то, что ограниченность пространственного размера плазмы может быть причиной внезапного разрушения токового слоя сформировавшегося под действием магнитозвукового возмущения. Это разрушение имеет вид волны расширения токового слоя распространяющейся с альвеновской скоростью. В результате, вместо токового слоя возникает конфигурация типа эллиптического Z-пинча, т.е. происходит полная перестройка структуры магнитного поля. Полученные результаты позволяют объяснить взрывное разрушение токового слоя, наблюдаемого на установке "Токовый слой"(ИОФ РАН).
Распространение альвеновского возмущения в окрестности Х-точки мало изучено в даже одножидкостной МГД модели. Это связано с меньшей важностью подобных возмущений в задачах связанными с УТС. Однако для космической плазмы, прежде всего для плазмы солнечной короны, этот тип возмущений не менее важен, чем магнитозвуковые возмущения. В диссертации был получен интересный результат, который заключается в том, что установившиеся существенно нелинейное решение в точности совпадают с решением, полученным в линейном приближении. Это решение определяется только вязкостью и проводимостью плазмы. Другой интересный результат состоит в том, что эволюция локально од Другой важной гидродинамической моделью плазмы, которая получается в результате ряда упрощений из двухжидкостной МГД, является модель электронной магнитной гидродинамики. В этой модели ионы образуют неподвижный фон, а электроны описываются гидродинамически. Она применима в случае, когда характерный масштаб задачи намного меньше ионного дисперсионного размера.
Методами изучения, используемыми в диссертации, являются численное моделирование и, в меньшей мере, аналитические исследования. Обращение к численным методам вполне понятно в связи с большой сложностью возникающих задач. В работе используются конечно-разностные схемы, при разработке которых автор придерживался высказанного Борисом (J.P. Boris) [10] мнения о том, что для решения нелинейных нестационарных задач лучше использовать простые, ясные алгоритмы. Соображения простоты конечно-разностного алгоритма имеет важное значение по следующей причине. Даже качественное решение некоторых задач заранее не известно. Поэтому вносимое конечно-разностной схемой искажение решения должно быть предсказуемым. При выполнении настоящей работы решение задачи, как правило, начиналось с использования простейших явных схем первого порядка и только затем использовались значительно более сложные неявные вычислительные алгоритмы высокого порядка.
Особенности задач "о пересоединении состоят в том, что эволюция течения во времени является сравнительно медленной. Это позволяет использовать схемы первого порядка аппроксимации по времени. Кроме того, в рассматриваемых задачах интерес представляет динамика процесса, поэтому характерные для явных схем ограничения на шаг по времени типа условия Куранта являются физическими и приемлемыми. С другой стороны, пересоединение сопровождается образованием узких токовых слоев (областей больших градиентов). Для получения численного решения в окрестности этих слоев необходимо применение схем не ниже второго порядка аппроксимации по пространству. Условие численной устойчивости схем со вторым порядком аппроксимации пространственных производных, как правило, требует применение неявных алгоритмов. номерного тангенциального разрыва существенно зависит от глобальных свойств магнитной конфигурации. В частности, в рассматриваемой задаче толщина этого разрыва может уменьшаться до нуля при конечной проводимости, но нулевой вязкости плазмы.
В Главе 2 диссертации также изучено распространении комбинированного магнитозвуковой и альвеновской волн в окрестности нулевой линии магнитного поля и проведено исследование влияния эффекта Холла на распространение возмущений вблизи Х-точки. Показано, что эффект Холла приводит к сносу силовых линий магнитного поля потоком электронов и появлению ассиметрии в распределении электрического тока.
Численное моделирование продемонстрировало, что сепаратрисы являются тоководами: токовые слои формируются вблизи сепаратрис в случае широкого круга возмущений.
В третье главе проведено исследование динамики компактного тора, который являются альтернативой классических систем удержания плазмы. Характерным для компактного тора является то, что его магнитное поле разделяется сепаратрисой на две области - замкнутое и разомкнутое, выходящее за пределы вакуумной камеры. Такая конфигурация может быть создана в цилиндрической камере путем последовательного вмораживания в плазму антипараллельных магнитных полей и последующего их перезамыкания на концах камеры.
В диссертации приведены результаты численного моделирования процесса формирования компактного тора и его продольного сжатия на основе аксиально-симметричной одножидкостной МГД модели, в которой учитывались проводимость, вязкость и теплопроводность плазмы. Продольное сжатие компактного тора сопровождается распространением волны характерного поперечного расширения, свойства которой изучены аналитически. Получена связь между скоростью волны, параметрами плазмы и магнитного поля в расширенной части волны и параметрами первоначальной конфигурации, т.е. получены соотношения типа соотношений Гюгонио. В случае, когда магнитное поле в самой плазме отсутствует, эту связь можно получить в виде равенств. В произвольном случае для скорости волны и усредненных по сечению характеристик плазмы можно получить математически строгие оценки сверху и снизу. Причем, в интересной с точки зрения эксперимента области параметров, разность между верхней и нижней границами оценок оказывается небольшой.
Полученные аналитически и численно результаты говорят о том, что при продольном сжатии компактного тора, которое происходит с аль-веновской скоростью, происходит сильный нагрев плазмы. При этом по отношению к плотности плазмы волна продольного сжатия может быть как волной сжатия, так и волной разрежения.
Получена также связь между параметрами равновесной конфигурации, возникающей после продольного сжатия и релаксации компактного тора, и параметрами компактного тора в момент его формирования, т.е. в момент времени предшествующий продольному сжатию.
В четвертой главе изучена неустойчивость слияния магнитных ячеек. При этом использовалась модель электронной магнитной гидродинамики. Эта простая в сравнении с двухжидкостной МГД модель дает возможность изучить многие закономерности процесса пересоединения, связанные с вмороженностью плазмы в её электронную компоненту. Эта модель позволяет понять результаты, получаемые в двухжидкостных МГД моделях.
Численное моделирование процессов слияния магнитных ячеек показало, что в случае большого числа ячеек имеет место каскад процессов слияния. В результате каждого процесса размер новых ячеек (или полос) увеличивается в л/2 раз. В главе приведена полуфеноменологическая аналитическая модель, которая позволяет количественно связать характеристики возникающей в результате акта слияния новой конфигурации с характеристиками предыдущей конфигурации.
Важным результатом численного решения задачи о слиянии ячеек является следующий. При стремящихся к нулю коэффициентах диссипации (электронной вязкости и сопротивлении плазмы) время нелинейной стадии пересоединения (слияния) является конечным. В одножидкост-ной МГД модели в аналогичном пределе время пересоединения стремится к бесконечности. При этом в отсутствии электронной вязкости и ма лом, но не нулевом сопротивлении плазмы решение задачи становится сингулярным.
В пятой главе исследуется задача о развитии тиринг неустойчивости в двумерной цилиндрической (винтовой) геометрии в двухжидкостной МГД модели.
Известно, что в горячей высокопроводящей плазме современных то-камаков развитие тиринг неустойчивости, которая является причиной пилообразных (релаксационных) колебаний в токамаке, существенно отличается от предсказаний одножидкостной МГД теории Кадомцева. В частности, время пересоединения оказывается на несколько порядков меньше предсказанного теорией. Подобное расхождение с одножидкостной МГД теорией имеет место и при описании солнечных вспышек. В настоящее время ясно, что для описания процесса пересоединения в высокопроводящей плазме необходимо привлекать двухжидкостные МГД модели. Несмотря на большое количество работ теория пересоединения в двухжидкостной МГД далека от своего завершения.
В настоящей диссертации тиринг неустойчивость изучалась в нередуцированной двухжидкостной МГД модели. При моделировании тиринг неустойчивости другими авторами использовались редуцированные двухжидкостные МГД модели, имеющие ряд недостатков. Кроме того, в других работах предполагалось, что начальное давление плазмы постоянно. В данной главе исследована роль эффекта Холла в процессе пересоединения, а также зависимость этого процесса от величины коэффициента электронной вязкости и коэффициента теплопроводности вдоль магнитного поля, наличия или отсутствия градиентов электронного давления в обобщенном законе Ома, распределения начального равновесного давления и плотности.
Показано, что в зависимости от начального равновесного давления и плотности плазмы, эффект Холла может как существенно ускорять процесс пересоединения по сравнению со случаем одножидкостной МГД, так и существенно замедлять его. Дано наглядное объяснение причин ускорения и замедления процесса пересоединения. Показано также, что причиной быстрого пересоединения силовых линий магнитного поля в горячей плазме является также электронная вязкость.
В главе 5 диссертации подробно описана конечно-разностная схема, которая использовалась для решения задачи о тиринг неустойчивости. Трудности создания этой схемы связаны прежде всего с проблемой получения гладкого решения в центре цилиндрической системы координат, который с математической (но не с физической) точки зрения является выделенным. Решение проблемы центра координат является сложной задачей и для уравнений Навье-Стокса. В нашем случае она усугублена сжимаемостью плазмы, наличием магнитного поля и эффектами двух-жидкостностной МГД. Последние приводят к появлению в уравнениях членов с пространственными производными высоких порядков.
В шестой главе рассматривается задача о проникновении бегущего возмущения в плазму при наличии резонансной поверхности. Интерес к этой задаче связан с разработкой динамического эргодического диверто-ра (DED) для токамака TEXTOR-94 [191] и других подобных устройств. Эргодический дивертор представляет собой систему катушек переменного тока для создания возмущений магнитного поля, разрушающих магнитные поверхности вблизи резонансной поверхности q=3. Возникает вопрос о возможности проникновения этого возмущения в высоко проводящую плазму. В определенных предположениях плазму вблизи поверхности q=S можно описать в приближении несжимаемой (редуцированной) магнитной гидродинамики в двумерной плоской геометрии.
В линейном приближении картины проникновения бегущей и стоячей волн не имеют принципиальных различий. Решение задачи о стоячей волне может быть представлена в виде полусуммы двух бегущих в противоположных направлениях волн. Однако, как показано в диссертации, в случае бегущей волны нелинейные эффекты начинают существенно проявляться уже при амплитуде возмущения, много меньшей величины исходного магнитного поля, когда стоячая волна еще может быть описана в линейном приближении. Показано, что картины проникновения стоячей и бегущих волн имеют принципиальные различия. При этом в случае бегущей волны определяющую роль в проникновении возмущения вглубь плазмы играет ускорение плазмы как целого. Подчеркнем, что эргодического дивертор для токамака TEXTOR-94 оперирует в диапазоне параметров, соответствующему нелинейному случаю.
В этой главе также исследуется вопрос о влиянии сжимаемости плаз мы (быстрого магнитного звука) на процесс проникновения бегущей волны. С этой целью одножидкостная МГД задача в двумерной цилиндрической (винтовой) геометрии была сведена к плоской геометрии. Полученные в результате уравнения близки к уравнениям одножидкостной МГД в обычном (декартовом) плоском случае, но не совпадают с ними. Исследование этих уравнений показало, что в очень широком диапазоне параметров, включая диапазон параметров в котором оперирует эрго-дический дивертор, сжимаемость плазмы не влияет на рассматриваемое течение.
Далее в главе б исследуется задача о проникновении бегущего возмущения в редуцированной МГД модели в цилиндрической геометрии. Эта модель учитывает неоклассические эффекты посредством введения дополнительной силы трения. Кроме того, в модели учтено влияние отклонения геометрии эргодического дивертора от двумерной геометрии на ускорение плазмы в полоидальном направлении с помощью суперпозиции возмущений бегущих с разными фазовыми скоростями.
Исследование процесса проникновения поля бегущего возмущения в плазму в двумерной постановке более точно соответствует геометрии то-камака CSTN-IV [208,209]. В случае DED TEXTOR необходимо рассматривать трехмерную задачу. При использовании одножидкостной МГД модели решение этой задачи требует большого объема вычислений. Параметры эргодического дивертора формально позволяют применить более простые редуцированные МГД (РМГД) модели. Однако, особенности устройства дивертора таковы, что. классические уравнения РМГД не в состоянии адекватно описать его работу в соответствующей реальности трехмерной геометрии. В частности, возникает принципиальная необходимость учета отсутствующей в РМГД тороидальной скорости. Отвлекаясь от задачи об эргодическом диверторе заметим, что применимость РМГД ограничена также в силу ряда других причин. Например, в РМГД, наряду с быстрыми магнитозвуковыми возмущениями, отброшены и медленные магнитозвуковые возмущения. К недостаткам классических вариантов РМГД относятся также трудности, возникающие при попытке учесть тороидальную геометрию, несовпадение классов стационарных решений одножидкостных МГД и РМГД уравнений и т.п.. Поэтому в дис сертации была предложена модифицированная модель РМГД, свободная от этих недостатков, которая может быть использована для решения задачи об эргодическом диверторе в трехмерном случае.
В этой главе приведены конечно-разностные схемы, используемые для решения поставленных задач. Особенности течения таковы, что двумерные уравнения несжимаемой гидродинамики предпочтительнее решать в переменных скорость - давление, а не в обычно используемых переменных функция тока - вихрь. В случае цилиндрической задачи граничные условия на магнитное поле учитывали тот факт, что катушки с током, создающим возмущение магнитного поля, расположены вне плазмы в вакууме. Используемые алгоритмы имели второй порядок аппроксимации по пространственным переменным и первый - по времени. Расчеты показали достаточно высокую эффективность созданных конечно-разностные схем.
Иерархия магнитогидродинамических моделей плазмы
Здесь индекс a = і относится к ионной, а си = е - к электронной компоненте плазмы, п, Т, р, V и 7 - концентрация, температура, давление, скорость и показатель адиабаты (для одноатомного газа у = 5/3) соответствующих компонент плазмы; q-потоки тепла; Q-выделение тепла в газе; 7ГП;Ш = ж - тензоры вязких напряжений; Ra - сила взаимодействия между разными сортами частиц равная импульсу, передаваемому за секунду в единицу объема от частиц одной компоненты плазмы к частицам другой компоненты.
Уравнения (1.1.6)-(1.1.9) дополненные уравнениями для электромагнитного поля (1.1.2)-(1.1.4) с плотностью заряда и электрического тока р—YlqaTicn J = YlqaTiaVa- (l.i.io) a a образуют замкнутую систему уравнений. При этом необходимо также задать связь между величинами жа, R, Qa и qa с величинами па, Та, Va и В. Эту связь можно найти феноменологически или методами кинетики. В последнем случае эту связь удается установить в случае, когда распределение близко к локально-максвеловскому па ( rna(v-Va)2\ (2тгГа/та)3/2ЄХР 2Та J
В этом случае величины тга, R и qa будут линейно пропорциональны тем факторам, которые вызывают отклонение от равновесия. Соответствующие коэффициенты называются коэффициентами переноса. Для плазмы, состоящей из электронов и одного сорта ионов явный вид выражений для 7Га, R и qa приведен в обзоре [22]. Вывод гидродинамических уравнений из кинетических уравнений изложен в [23].
Строго говоря гидродинамическое приближение применимо только в случае функции распределения частиц близкой к максвеловской. Распределение частиц "максвелизуется"за времена порядка времени столкновений. Поэтому необходимо, чтобы средние величины мало менялись за времена г между столкновениями и на тех расстояниях, на которые частица может сместиться за время между столкновениями. В случае незамагниченной плазмы это дает ограничение
Следует отметить, что в горячей плазме это условие как правило не выполняется. В случае замагниченной плазмы, когда ларморовская частота частицы и в — qB/(mc) г-1, условие применимости гидродинамики смягчается. В этом случае движение частицы поперек магнитного поля ограничено ее ларморовским радиусом г в = qB/(mc), который меньше длины свободного пробега в швт раз. Соответственно условие применимости принимает вид L± гв, Ц » / где L±, L - характерные расстояния поперек и вдоль магнитного поля. В случае сильно вытянутых вдоль магнитного поля систем (например, замыкающийся на себя тор с большим отношением большого и малого радиусов) эти условия могут быть выполнимыми. Ряд задач рассмотренных в диссертации имеют именно такую геометрию.
Существует причина по которой, с одной стороны, применимость уравнений гидродинамического типа намного шире, чем можно ожидать из сравнения характерного времени и пространственного масштаба задачи со временем и длиной свободного пробега частиц по отношению к парным кулоновским столкновениям. С другой стороны, по той же причине, применимость выражений для коэффициентов переноса, вычисленных на основе столкновительного члена Ландау [18, 22] сильно ограничена. Эта причина состоит в том, что в плазме легко развиваются различные неустойчивости сопровождающиеся возникновением флуктуирующих полей. Их нелинейное взаимодействие между собой и частицами приводит к изменению макроскопических характеристик плазмы и называются коллективными процессами [1,2]. Рассеяние частиц на мелкомасштабных флуктуациях электромагнитного поля можно рассматривать как взаимодействие, столкновения частиц друг с другом. В результате эффективная длина свободного пробега существенно уменьшается по сравнению с длиной свободного пробега в случае кулоновских соударений. Это позволяет использовать гидродинамические уравнения. При этом коэффициенты переноса входящие в эти уравнения определяются свойствами турбулентности, являясь "аномальными".
За исключением редких случаев, задача определения конкретного вида аномальными коэффициентов переноса чрезвычайно сложна. Поэтому часто используют простейшие зависимости полученные с помощью экспериментальных данных или из соображений оценочного характера. Примером последнего может служить оценка коэффициентов переноса в замагниченной турбулентной плазме данные Бомом [24]. В [5,7,8, 25-27, 61] приведены значения коэффициентов переноса вычисленные в основном при помощи теории слабой турбулентности [2,. 29, 50] при некоторых параметрах плазмы. Отметим, что большую роль в аномальном переносе в плазме играют неустойчивости, возникающие при превышении дрейфовой скоростью электронов Vd — Ve — Vj некоторых критических значений. Например бунемановская неустойчивость имеет порог Vd VTe, ионно-звуковая - порог Vd cs = (Те/ті)1/2, Те $ ТІ, модифицированная бунемановская - порог Vd VT%. Для ионно звуковой и модифицированной бунемановской неустойчивостей получены простые выражения для эффективной частоты столкновений veff = 0.025 Upi{Te/Ti)(yd/v3) [26,28] и vejf = u Be(Vd/vTe) [26] соответственно. Здесь Шрі = (А-кщ /тпі)1!2 - ионная плазменная частота, а шве - электронная ларморовская частота.
Гидродинамические уравнения можно рассматривать и как некоторую феноменологическую модель, обоснование которой состоит в том, что существует большое количество плазменных течений, хорошо описываемых с ее помощью. Кроме того, естественно ожидать, что процессы независящие от каких либо тонких деталей функции распределения с некоторой точностью могут быть описаны гидродинамически. Например, в [30,48] показано, что при решении задачи об эволюции довольно широкого класса возмущений кинетическая и двухжидкостная МГД модели дают очень близкие результаты.
В настоящей диссертации рассматриваются течения в окрестности особенностей магнитного поля и тесно связанные с ними процессы пересоединения (изменение топологии) магнитного поля. Использование кинетических и двухжидкостных гидродинамических моделей при исследовании этих течений дают близкие результаты [31]. Например, в работе [32] сравниваются решения одной и той же задачи о пересоединении в плоском слое в кинетической и гидродинамической модели. Показано, что кинетика слабо влияет на основные характеристики течения, в частности, на эволюцию магнитного поля.
Распространение магнитозвукового импульса в одножидкостной МГД
В основе разнообразных вспышечных явлений в плазме лежит один из фундаментальных физических процессов - пересоединение магнитных силовых линий. Магнитное пересоединение может происходить в тех областях, где тесно сближаются магнитные силовые линии с различающимися направлениями, т.е. в областях с высокой плотностью электрического тока - токовых слоях. С точки зрения локализации токовых слоев значительный интерес представляют особые линии магнитного поля [121]. Если в окрестности особой линии поперечная компонента магнитного поля имеет структуру типа седла, то говорят об Х-точке магнитного поля. В случае Х-точки особая линия разделяет несколько независимых магнитных потоков и принадлежит каждому из них [81]. Магнитные конфигурации типа Х-точки могут возникать, например, в арочных магнитных полях Солнца, при взаимодействии солнечного ветра с магнитосферой Земли, в лабораторной плазме и т.п.. Именно в окрестности Х-точек возможно появление токовых слоев, в которых происходят процессы пересоединения [95].
В настоящей работе изучаются образование и свойства токовых слоев возникающих под действием возмущения магнитного поля в окрестности нулевой линии магнитного поля Х-типа в двумерном случае.
Наиболее изученным типом возмущения, который может распространятся в окрестности Х-точки, является магнитный звук. В этом случае течение инициируется возмущением полоидальной (перпендикулярной к нулевой линии) составляющей магнитного поля, соответствующей тороидальному (направленному вдоль нулевой линии) электрическому полю. Случай магнитозвуковой волны изучался, в частности, экспериментально на установке Токовый Слой [73-80]. Из многочисленных теоретических работ, использующих численное моделирование, отметим [11], которая близка по постановке к настоящей работе. В [11] наиболее последовательно и полно изучено образование и свойства токовых слоев под действием магнитозвукового возмущения в окрестности Х-точки.
В настоящей диссертации изучено влияние некоторых факторов на свойства плазменной конфигурации с токовым слоем возникающей под действием магнитозвукового возмущения (МЗВ). В частности изучено влияние фонового тороидального магнитного поля и начального давления плазмы и возможность описания этих процессов с помощью РМГД. Изучено также влияние эффекта Холла на распространение МЗВ.
В астрофизике важную роль играют также возмущения тороидального (параллельного нулевой линии) магнитного поля. Эти возмущения имеют альвеновский (АВ) характер и возникают при сдвиговых течениях плазмы. В настоящей работе исследуется распространение АВ и композиции АВ и МЗВ в окрестности Х-точки.
Распространение АВ в окрестности нулевой линии изучалось в [122-125] аналитически в квазистатическом приближении в случае идеально проводящей плазмы. В [122-125] показано, что АВ приводит к образованию в окрестности нулевой линии сингулярных слоев как тороидального, так и полоидального тока. Плотность тока в этих слоях равна бесконечности, а их ширина равна нулю.
В работе [126] исследовано распространение АВ в окрестности X-точки в линейном приближении при наличии конечной вязкости и проводимости плазмы. Показано, что в стационарном случае плотность тока пропорциональна {r]v) 1 , где rj - магнитная, a v - обычная вязкость плазмы. Вопрос о нелинейности в [126] не обсуждался, несмотря на то, что магнитное поле на нулевой линии равно нулю и линейное приближение в окрестности этой линии неприменимо. Как будет видно из дальнейшего, решение нелинейной задачи совпадает при t — со с решением линейной задачи точно даже при очень малых (но не нулевых) значениях г\ и v и величине возмущения магнитного поля сравнимой с величиной исходного магнитного поля. В расчетах, результаты которых использованы в настоящей работе, наименьшие безразмерные значения г\ и v достигали 5 10-5, а отношение амплитуды возмущения магнитного поля к исходному полю достигало 1. Возникновение такой стационарной конфигурации является неочевидным следствием существенно нелинейного процесса.
Отметим, что в работах [127-130], где рассматривалась задача о распространении АВ близкая к задаче изучаемой в настоящей работе, рас четы были проведены до t 40 альвеновских времен. Вопрос о стационарности полученных в [127-130] мало меняющихся во времени конфигураций оставался открытым. Это не позволило составить ясную качественную картину течения и получить количественные данные о величине плотности тока в стационарном случае. Заметим, что аналитические оценки приведенные [127], базировались на неправильном представлении о качественной картине течения. В настоящей работе эти пробелы восполнены. В частности, время расчета увеличено до тысяч (в некоторых случаях до десятков тысяч) альвеновских времен и стационарность полученных конфигураций не вызывает сомнений.
Заметим, что стационарный токовый слой возникающий при распространении МЗВ в плазме конечной проводимости имеет много общих свойств с сингулярным токовым слоем в случае идеально проводящей плазмы. В случае альвеновского импульса это не так. В частности, слой тороидального тока, имеющий место в идеально проводящей плазме, в плазме конечной проводимости полностью отсутствует.
В диссертации изучено также влияние фонового тороидального магнитного поля и эффекта Холла на распространение альвеновского возмущения и распространение суперпозиции АВ и МЗВ в окрестности X-точки.
В задачах, рассмотренных в настоящей главе диссертации, как и в [11], соответствовали неограниченной плазме и предназначены прежде всего для для исследования процессов происходящих в космической плазме (солнечной короне, магнитосфере Земли). Точное моделирование неограниченного в пространстве течения в ограниченной расчетной области невозможно. Поэтому в настоящей диссертации рассмотрены несколько вариантов граничных условий обладающих некоторыми общими чертами характерными для неограниченной плазмы. Расчеты показали, что картина течения качественно одинакова для всех граничных условий. Количественные различия так-же не принципиальны. Это обстоятельство очень важно, поскольку условия на границе соответствуют физике процесса весьма приближенно.
Продольное сжатие компактного тора
Компактные торы (КТ) являются альтернативой классических систем удержания плазмы, таких, как токамаки, стелараторы, открытые ловушки, пинчи с продольным магнитным полем [141]. Они подразделяются на 3 типа [142]: 1) омаки (обращенные магнитные конфигурации), или FRC-системы (field reversed configuration), имеющие только полоидаль-ное магнитное поле и тороидальные токи; 2) сферомаки, имеющие по-лоидальное и тороидальные магнитные поля и токи; 3) кольца быстрых частиц. Во всех трех случаях магнитное поле разделяется сепаратрисой на две области - замкнутое и разомкнутое, выходящее за пределы вакуумной камеры.
В диссертации рассматриваются только омаки [143-146]. Эти конфигурации могут быть созданы в цилиндрической камере путем последовательного вмораживания в плазму антипараллельных магнитных полей и последующего их перезамыкания на концах камеры. В полученной таким образом замкнутой магнитной конфигурации сила натяжения силовых линий полоидального магнитного поля не уравновешивается давлением плазмы. Поэтому плазма начинает сжиматься в продольном направлении к центру вакуумной камеры, что приводит к её нагреву.
В результате образуется квазистационарная плазменная конфигурация называемая компактным тором с высоким значением /3 = 8тгр/Н2. В экспериментах по компактным торам типичными являются следующие параметры: радиус камеры 20 см, отношение длины камеры к ее радиусу - 10, плотность плазмы - 3 1015 см-3, напряженность магнитного поля 4 -і- 12 кЭ, Те 200 эВ, Т{ 1 кэВ, время удержания плазмы порядка 100 мкс.
Сформированные тороиды можно транспортировать в другую камеру - камеру удержания, где они могут быть подвергнуты дополнительному нагреву до термоядерных температур. Впрыскивая компактные торы в камеру удержания с двух сторон один за другим можно обеспечить восполнение плазмы и магнитного потока, а также дополнительный нагрев плазмы.
В настоящей диссертации изучаются процессы формирования и продольного сжатия КТ. Следующая за стадией продольного сжатия стадия релаксации КТ к равновесному состоянию, а также возможность транспортировки КТ и восполнения магнитного потока путем столкновения двух компактных торов исследуются в [6,158,146,160-163]. В диссертации эти вопросы рассматриваться не будут.
При изучении динамики сжатия компактного тора будем использовать двумерную одножидкостную МГД модель в цилиндрической T-Z геометрии. При этом (f- компоненты магнитного поля и скорости полагаются равными нулю. Учитываются следующие диссипативные эффекты: сопротивление плазмы rj, вязкость плазмы v и теплопроводность х которая предполагается изотропной. Уравнения нормируются так, как это описано в Главе 1. При этом в качестве пространственного масштаба выступает радиус вакуумной камеры. Таким образом магнитное поле меняет знак на расстоянии г о от оси, т.е. имеется конфигурация с нейтральным токовым слоем, ширина которого равна 5. Плотность плазмы в слое возрастает « N раз по сравнению с плотностью на оси. Распределение А в начальный момент времени находится с помощью (3.1.7). При этом полагается А(г = 0) = 0. Поверхность, ограничивающую область внутри которой магнитный поток равен нулю, назовем сепаратрисой. Эта поверхность определяется уравнением A(r, z) = 0. В начальный момент времени она имеет форму цилиндра и её радиус « д/2Г О. Выбранное в качестве начальных данных распределение всех величин соответствует распределению возникшему после стадии предварительного сжатия и инверсии магнитного поля.
В экспериментах вынужденное перезамыкание силовых линий магнитного поля и образование замкнутой конфигурации осуществляется с помощью ключевых витков расположенных на торцах камеры удержания. В расчетах ключевые витки моделируются заданием нарастающего со временем магнитного потока на границе г = 1: А(г = 1, z, t) =. А0 + Аг(1 - е " ) {е- 2 12 + е- - 2 12) (3.1.8) Здесь AQ = A(r = l,t = 0) - значение вектор-потенциала на стенке в начальный момент времени, А\ и ш - амплитуда и частота возмущения, / - размер ключевого витка. Граничные условия для остальных величин при г = 1 соответствуют жесткой стенке: Vr = Vz = дТ/дг = 0 Условия на оси г = 0 имеют вид А=% = dVjdr = др/дг = дТ/дг = 0 Границы z = 0 и z — L полагались плоскостями симметрии. Задачу достаточно решать в 1/2 области с условиями симметрии при z — L/2.
Рассмотрим динамику формирования компактного тора. Набор определяющих параметров при этом будет соответствовать экспериментам [143,147,148]. В этих экспериментах на стадии предшествующей началу работы ключевых витков характерное значение магнитного поля составляет 5 103 Э, плотность плазмы 2 1015 см-3, радиус установки 20 см, Те = 100 эВ.
Эволюция типичной картины силовых линий при формировании компактного тора изображена на рис. 3.1. Для количественного описания этого процесса введем следующие характеристики процесса пересоединения и диффузии. Рассмотрим магнитный поток через поперечное сечение камеры радиуса г. Он равен rA(r,z). Полный поток внутри сепаратрисы равен нулю (радиус сепаратрисы rs(z, t) находится из условия rsA{r3, z) = 0) и состоит из двух потоков разных знаков и абсолютной величиной Ф(г,t) = тіп(Лг). Изменение Ф со временем в различных сечениях по z происходит благодаря диффузии магнитного поля связанной с конечной проводимостью и процессом пересоединения. Диффузию можно характеризовать величиной D(t) = (Ф(г = L/2, t = 0) - Ф(г = L/2, ))/Ф( = L/2, t = 0) то есть изменением Ф со временем в центром камеры, т.е. области невозмущенной ключевым витком.
В силу сохранения магнитного потока, поток Ф через центральное сечение камеры z = 0 который не доходит до торца камеры z = L/2 должен изменить свое направление, т.е. пересоединиться. Поэтому степень пересоединения можно характеризовать величиной P(t) = (Ф(г = L/2, г)-Ф(г = L/2, t))/$(z = L/2, t) При Р = 0 пересоединение отсутствует. При Р — 1 весь внутренний магнитный поток не выходит за пределы камеры. Это означает завершение пересоединения и образование замкнутой конфигурации.
Расчеты показали, что интенсивность пересоединения растет с увеличением амплитуды возмущения А\, частоты ключевого витка ш и сопротивления плазмы г/. К увеличению интенсивности пересоединения приводит также уменьшение ширины токового слоя S, что связано с увеличением градиентов магнитного поля в токовом слое.
Перераспределение энергии в результате слияния магнитных ячеек
Пересоединение происходящее благодаря неустойчивости слияния магнитных ячеек (coalescence instability) является важным механизмом упрощения структуры магнитного поля и высвобождения магнитной энергии в виде тепла и кинетической энергии плазмы. Ниже неустойчивость слияния будет-рассмотрена в модели электронной магнитной гидродинамики (ЭМГД). В этой модели наиболее ярко проявляется эффект Холла, который коренным образом меняет динамику процесса пересоединения по сравнению с одножидкостной МГД. Можно сказать, что ЭМГД описывает эффект Холла в чистом виде.
Необходимость учета эффектов двухжидкостной МГД и, в частности, эффекта Холла связана с тем, что процессы пересоединения в горячей плазме современных токамаков и солнечных вспышках не могут быть описаны с помощью одножидкостной магнитной гидродинамики. Например, длительность упомянутых процессов аномально мала с точки зрения одножидкостной МГД [165,36]. Полного объяснения этого явления не существует до сих пор. По-видимому подобные трудности могут быть преодолены с помощью моделей более полного учитывающих эффекты двухжидкостной МГД. Одной из таких моделей является модель электронной магнитной гидродинамики в которой ионы образуют неподвижный фон, а электроны описываются гидродинамически (см. 1.2, [33]).
В представляемой работе исследуется численно и аналитически двумерная задача о релаксации (пересоединении) периодического по двум направлениям магнитного поля в приближении ЭМГД.
Задача о пересоединении в приближении ЭМГД рассматривалась в [166-171]. В этих работах начальное распределение полоидального магнитного поля представляло собой либо нейтральный слой, либо цепочку островов вытянутую вдоль нейтрального слоя. В случае нейтрального слоя распределение тороидальной компоненты магнитного поля зависела от той же координаты, что и полоидальное поле (одномерная конфигурация). В случае цепочки островов тороидальное магнитное поле было постоянным. В [166-171] аналитически исследовалась устойчивость таких конфигураций по отношению к линейным возмущениям. Причем предполагалось, что это возмущение стремиться к нулю при удалении от нейтрального слоя. Для настоящей работы наиболее существенным результатом [166-171] является то, что при равной нулю инерции электронов и отсутствии диссипации начальная конфигурация с нейтральным слоем является устойчивой в линейном приближении, а цепочка островов неустойчивой. Причем инкремент неустойчивости тем больше, чем больше составляющая магнитного поля связанная с островами.
Постановка задачи в настоящей работе несколько отличалась-от [166-171]. Начальное равновесное распределение полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля представляло собой набор квадратных ячеек (островов) периодический по двум направлениям, т.е. напоминало шахматную доску. Как будет показано ниже, соотношение между амплитудами полоидального и тороидального магнитного поля существенно влияет на динамику изучаемого процесса. В частности, начальная конфигурация в которой тороидальное магнитное поле достаточно велико по сравнению с полоидальным оказывается устойчивой в линейном приближении в бездиссипативном случае. Возмущение магнитного поля нарушающее равновесие так-же было периодическим по двум направлениям. Период этого возмущения был кратен периоду начального магнитного поля.
Кроме того, в отличие от [166-171], в настоящей работе подробно изучена и нелинейная стадия развития возмущения. Эволюция магнитной конфигурации прослеживается полностью от начального неустойчивого равновесия до конечного устойчивого. При этом уравнения ЭМГД решаются численно. Результаты численного решения позволяют найти также некоторые аналитические зависимости характеризующие данный процесс.
Постановка задачи в настоящей работе аналогична [106]. Различие состоит в том, что в [106] использовались редуцированные МГД (РМГД) уравнения. Как в РМГД, так и в ЭМГД изучаемая конфигурация магнитного поля неустойчива по отношению к слиянию магнитных ячеек, однако динамика этого процесса имеет существенные различия в этих двух моделях.
Наиболее интересным результатом настоящей работы является следу 138 ющий. На нелинейной стадии слияния магнитных ячеек поведение масштабов несущих основную часть энергии магнитного поля (масштабы ячейки) при достаточно малых коэффициентах переноса не зависит от этих коэффициентов. По крайней мере эта зависимость очень слаба. В частности время слияния ячеек оказывается конечным при стремящихся к нулю сопротивлении и электронной вязкости плазмы. В РМГД [106] это время пропорционально корню квадратному из проводимости плазмы. Вышеизложенное позволяет предложить следующее объяснение малого времени срыва в токамаке. При развитии тиринг неустойчивости в условиях высокой проводимости возникают токовые слои, которые являются настолько узкими, что дальнейшая эволюция магнитной конфигурации определяется динамикой электронов и, соответственно, не зависит от коэффициентов переноса. В частности не зависит от этих коэффициентов и время пересоединения (срыва).
