Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам в северных морях
1.1. Физическая постановка задачи 22
1.2. Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе 24
1.3. Формы задания рельефа трассы 30
1.4. Полуэмпирические модели турбулентности в трубах 30
1.5. Выбор уравнения состояния многокомпонентной неидеальной смеси газа 35
1.6. Связь внутренней энергии с температурой и плотностью газовой смеси 36
1.7. Решение стационарной задачи о распределении температуры в многослойной стенке газопровода 38
1.8. Замкнутая система уравнений, моделирующая установившееся неизотермическое турбулентное течение многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе с определяющим уравнением Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха-Квонга, дополненная граничными условиями на входе и на внешней поверхности газопро вода (модель) 41
Глава 2. Расчет профиля локального расхода сжимаемого газа в гидравлически гладких и шероховатых газопроводах
2.1. Процедура расщепления системы уравнений модели 1 44
2.2. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода в гидравлически гладких газопроводах 47
2.3. Итерационная процедура решения задачи расчета профиля локального расхода в шероховатых газопроводах 55
Глава 3. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам с учетом оледенения
3.1. Осреднение по сечению уравнений модели I с учетом решения задачи о профиле локального расхода (модель II) 63
3.2. Расчет толщины слоя льда на поверхности газопровода при постоянных температурах газа и окружающей среды 71
3.3. Расчет зависимости вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода от ширины слоя льда 78
3.4. Обобщенная математическая модель (модель III), учитывающая оледенение донного газопровода, и итерационная процедура решения системы уравнений модели III 81
Глава 4. Численное решение задачи расчета характеристик транспортируемого газа по донным газопроводам с учетом оледенения
4.1. Приведение уравнений модели III к безразмерному виду, безразмерные комплексы задачи 85
4.2. Преобразование безразмерных уравнений модели III к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных 88
4.3. Численный расчет вариантов транспортировки природного газа по донным газопроводам при наличии оледенения 91
Заключение 95
Литература 100
- Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе
- Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода в гидравлически гладких газопроводах
- Расчет зависимости вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода от ширины слоя льда
- Преобразование безразмерных уравнений модели III к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ.
Освоение месторождений нефти и газа в северных морях неразрывно связано с решением задачи транспортировки добываемого сырья по протяженным морским газопроводам. Расчет течения газа в таких задачах осложняется по следующим причинам.
Во-первых, чтобы избежать строительства в море промежуточных подстанций, необходимо транспортировать газ при очень высоких давлениях (более 20 МПа), это осложняет термодинамическое описание процессов.
Во-вторых, при большой плотности газа (боле 150 кг/м3) и при наличии вдоль трассы значительных уклонов может оказаться существенным влияние силы тяжести, это приводит к необходимости учета рельефа трассы.
В-третьих, температура воды в северных морях в отдельных районах близка к температуре замерзания. Поэтому даже небольшое понижение температуры газа в трубопроводе по сравнению с температурой окружающей среды может привести к его оледенению, что увеличит плавучесть газопровода и повлечет за собой изменение экологической ситуации. Поэтому необходимо тщательное моделирование процессов теплообмена.
Это далеко не полный перечень проблем, решение которых требует создания математической модели, максимально учитывающей особенности транспортировки сырья по донным газопроводам в северных морях.
К настоящему времени накоплен богатый опыт по расчетам магистральных газопроводов [2, 3, 4, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 44]. Используемые математические модели условно можно разделить на три группы.
I. Линейные одномерные изотермические стационарные и нестационарные модели.
Большое количество работ, обзор которых можно найти, например, в монографии [22], основано на раздельном описании гидравлических и тепловых процессов при транспортировке газа по трубопроводам. Гидравлический расчет при этом чаще всего проводится по одной из модификаций модели, предложенной И.А.Чарным в начале 60-х годов прошлого века [25]. Модель Чарного предполагает допустимость пренебрежения в уравнении движения всеми слагаемыми, кроме падения давления и трения, по сравнению с которыми предполагаются малыми конвективное слагаемое, и слагаемые, выражающие изменение импульса во времени и влияние силы тяжести. Модель в одномерном варианте сводится к следующим уравнениям неразрывности и движения: др 2а(н _0 at* dz dp , v\v\ с соответствующими начальными и граничными условиями. Здесь p, p — давление и плотность в потоке газа; v — средняя по сечению трубопровода скорость газа; D — диаметр трубопровода; z — координата вдоль оси; t ~~ время; с — скорость звука; А — коэффициент гидравлического сопротивления, являющийся функцией числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости к.
Аналитическое решение этой системы возможно при различного рода линаризациях, например при замене квадратичного члена Хр jjj линейным Хр^ Oi k*v с некоторым эффективным коэффициентом к*. Система уравнений в этом случае сводится к одномерному параболическому уравнению др 2 относительно давления. Используются и другие варианты линеаризации. Подобные модели, допускающие аналитическое решение, сыграли в свое время большую роль в понимании основных закономерностей поведения давления и расхода (pv) для ряда нестационарных режимов транспортировки газа. Однако, столь упрощенное описание оказалось недостаточным для расчетов магистральных газопроводов высокого давления.
II. Нелинейные одномерные неизотермические нестационарные и стационарные модели.
Одной из наиболее содержательных является следующая одномерная нестационарная модель транспортировки неидеального сжимаемого газа по трубам, которая для постоянного поперечного сечения без притока и оттока газа через боковую поверхность имеет вид d(pv) д , 2л dy . vM . +(-Н))=(т*-т)-^ ^ г-, ^ . Р р = z*PRgT, z* = 1 + 0,07 () (^) (1 " 6 ^) ' № г t = J сР0 dT + RT(z* - zl) (і - -) . ^+
Здесь использованы обозначения, принятые в диссертации (их список приведен в конце введения); ввиду важности модели (1)—(5), приведем смысл всех величин: t — время; /?,/>, Т, v — плотность, давление, температура и средняя по сечению скорость газа; Е,є,і — полная энергия, внутренняя энергия и энтальпия газа; D — диаметр трубопровода; z — координата вдоль оси трубопровода; у = z sin.
В модели (1)—(5) уравнения (1), (3) выражают законы сохранения массы и полной энергии, уравнение (2) — баланс импульса, (4) — уравнение состояния, (5) — калорическое уравнение.
Впервые полное исследование и алгоритм численного решения системы уравнений (1)—(5) было приведено в монографии О.Ф.Васильева, Э.А.Бондарева, А.Ф.Воеводина и М.А.Каниболотского [4], вышедшей в 1978 году. Эти исследования явились важным этапом в моделировании транспортировки газа. Достаточно сказать, что и в настоящее время модель (1)—(5) используется во многих работах, например, в работе В.И.Зубова, В.Н.Котерова, В.М.Кривцова и А.В.Шипилина [21], посвященной расчетам нестационарных газодинамических процессов в газопроводе на подводном переходе через Черное море. На модели (1)—(5) основаны программно-математические комплексы "CorNet" и "AMADEUS" [45, 46], упрощенные варианты этой модели используются в работах [20, 27, 28] и в работах многих других авторов. Математическая модель (1)—(5) оставляет открытыми два вопроса: оценка погрешности упрощения общей модели балансных соотношений, связанного с одномерным описанием течения; правомерность при моделировании не стационарных процессов в сжимаемых газах использования зависимости A(Re,fc), которая экспериментально найдена для установившихся течений несжимаемых жидкостей.
Несмотря на это, модель (1)—(5) одна из немногих, сочетающая в себе полноту описания процессов транспортировки газа с возможностью обозримого решения входящих в нее уравнений.
Представленная в диссертации математическая модель позволяет отчасти ответить на первый вопрос для стационарных задач (пункт 3.1. главы 3)
При сверхвысоких давлениях, характерных для транспортировки газа по морским газопроводам, отсутствует надежный экспериментальный материал, позволяющий пользоваться уравнением состояния типа (4). Необходимы дополнительные исследования ( глава 1, п.1.5.).
III. Двумерные неизотермические нестационарные и стационарные модели.
При построении нестационарных двумерных моделей течения газа в трубах главной и до сих пор нерешенной проблемой остается создание по л у эмпирической модели турбулентности для нестационарного течения в трубах сжимаемого газа. Простой перенос классических полуэмпирических моделей Прандтля, Кармана, Тейлора, Ни-курадзе [7, 30], относящихся к установившимся течениям несжимаемых жидкостей, вызывает много вопросов. Лругая проблема связана с решением системы нестационарных двумерных уравнений газовой динамики. Например, в цикле работ В.В.Грачева, С.Г.Щербакова,
Е.И.Яковлева [22], рассматривается нестационарная неизотермическая моделеь транспортировки газа с учетом изменения профиля скорости потока. В этих работах численное решение системы уравнений модели строится методом сеток. При таком подходе возникают очевидные трудности, обусловленные существенной разномас-штабностью процессов, а именно, максимальное изменение профиля скорости происходит в узкой пристеночной зоне, составляющей для развитого турбулентного течения при Re > 106 всего несколько сантиметров. В то же время изменения термодинамических характеристик (давления, плотности, температуры) в продольном направлении происходит на расстояниях порядка нескольких десятков километров. Авторы ограничиваются 5—10 точками расчетной сетки в поперечном направлении [22], что явно недостаточно для достоверного расчета профиля скорости даже при неравномерной по радиусу сетке. Это приводит к большим погрешностям в расчете всех характеристик течения, зависящих от профиля скорости. Названная трудность сохранятся и в стационарных двумерных задачах о течениях в трубах, которые исследуются в диссертации. В работах [2, 49] Б.В.Филипповым предложен эффективный метод решения, позво-ляющй обойти вышеназванную трудность для стационарных задач, учитывающих изменение скорости потока в поперечном направлении. Этот метод рассмотрен во второй главе диссертации.
Приведенный обзор математических моделей свидетельствует о том, что задача построения адекватной математической модели течения газов по донным газопроводам далека от завершения, поэтому исследования, представленные в диссертации, являются актуальными.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Создание математической модели транспортировки природного газа по донным газопроводам, учитывающей неизотермичность процессов, неидеальность и многокомпонентность газа, возможность оледенения газопровода, шероховатость его внутренней поверхности, особенности теплоизоляции и условие контакта с морским дном. Разработка эффективного алгоритма решения системы уравнений модели и создание комплекса программ, реализующих этот алгоритм.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
1. Двумерная математическая модель установившегося неизотер мического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилин дрическим трубам с учетом шероховатости, с замыкающей моделью Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха-Квонга и уравнением связи внутренней энергии с температурой и плотностью газа.
2. Расчет профиля локального расхода газа в широком диа пазоне изменений числа Рейнольдса для гидравлически гладких и шероховатых газопроводов с замыкающей моделью Новожилова- Павловского, обобщенной на сжимаемые среды при малых числах Маха.
3. Аналитическое решение стационарной задачи о зависимости толщины слоя льда на поверхности донного газопровода от температур газа и окружающей воды, от условий погружения газопровода в грунт и от внешних условий обтекания,
Итерационная процедура решения уравнений математической модели, позволяющая рассчитать оледенение газопровода и все характеристики потока, включая профиль скорости.
Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм расчета профиля скорости и распределений давления, плотности, температуры газа, а также толщины ледяного покрова донного газопровода.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Предложенная математическая модель и комплекс программ, реализующих вышеназванную итерационную процедуру решения, могут быть использованы в проектных организациях нефтяной и газовой промышленности на стадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов в северных морях. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам с учетом оледенения, представленная в диссертации, была использована при расчете транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки (губа Корабельная), а также при выполнении хоздоговорных работ по теме: "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Европейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13.11.2003).
ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ,
ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАШИТУ
1* Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам с учетом шероховатости, с замыкающей моделью Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха Квонга и уравнением связи внутренней энергии с температурой и плотностью газа.
2. Расчет профиля локального расхода газа в широком диа пазоне изменений числа Рейнольдса для гидравлически гладких и шероховатых газопроводов с замыкающей моделью Новожилова- Павловского, обобщенной на сжимаемые среды при малых числах Маха.
Аналитическое решение стационарной задачи о зависимости толщины слоя льда на поверхности донного газопровода от температур газа и окружающей воды, от условий погружения газопровода в грунт и от внешних условий обтекания.
Итерационная процедура решения уравнений математической модели, позволяющая рассчитать оледенение газопровода и все характеристики потока, включая профиль скорости.
Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм расчета профиля скорости и распределений давления, плотности, температуры газа, а также толщины ледяного покрова донного газопровода.
СТРУКТУРА РАБОТЫ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 105 страниц текста, 5 таблиц и список литературы, включающий 53 наименования.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор математических моделей транспортировки газа, формулируются цель работы, научная новизна и практическое значение полученных результатов, приводятся общие для всей работы обозначения.
В первой главе дается физическая постановка задачи, перечисляются особенности транспортировки углеводородного сырья по донным газопроводам. Общие балансные соотношения механики . сплошных сред упрощаются в соответствии с особенностями задачи и обосновывается предлагаемая двумерная математическая модель ~~ установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам, позволяющая учесть шероховатость стенок, характер теплообмена с окружающей средой и изменения скорости потока в поперечном направлении. Обсуждается выбор замыкающего реологического соотношения для касательной составляющей тензора турбулентных напряжений и вид граничных условий для скорости, позволяющих учесть шероховатость стенок.
Рассматривается выбор термодинамических замыкающих уравнений: уравнения состояния неидеального многокомпонентного газа и калорического уравнения связи внутренней энергии с температурой и плотностью потока. Решается стационарная задача о распределении температуры в многослойной стенке газопровода при граничном условии первого рода на внешней поверхности. В конце первой главы приводится замкнутая двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам с замыкающими уравнениями Новожилова-Павловского, Редлиха-Квонга и полученным калорическим уравнением, дополненная граничными условиями на входе в газопровод и на его боковой поверхности.
Во второй главе проводится расщепление общей системы уравнений модели и выделяется задача о расчете профиля локального расхода сжимаемого газа. Приводится аналитическое решение задачи для модели Новожилова-Павловского в случае гидравлически гладких поверхностей газопровода и итерационная процедура расчета профиля локального расхода для шероховатых поверхностей.
В третьей главе предлагается обобщение математической модели первой главы, позволяющее учесть оледенение донного газопровода. Приводится решение задачи о зависимости толщины слоя льда на поверхности газопровода от постоянных температур газа и окружающей среды. В аналитической форме находится зависимость вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода от ширины слоя оледенения, строится итерационная процедура решения системы уравнений обобщенной математической модели, учитывающей оледенение донного газопровода.
В четвертой главе система уравнений обобщенной математиче- ской модели третьей главы приводится к безразмерному виду, выделяются безразмерные комплексы задачи и уравнения модели (после расщепления и с учетом найденного решения задачи о профиле расхода) преобразуются к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Для решения этой системы уравнений используется предложенная в главе 3 итерационная процедура, а в каждой итерации расчет распределений температуры и плотности газа осуществляется методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. В конце четвертой главы представлены результаты численных расчетов ряда модельных вариантов транспортировки природного газа по донным газопроводам при наличии оледенения.
В заключении сформулированы выводы по результатам исследований диссертации.
В диссертации принята двойная нумерация, так ссылка на формулу (5.3) означает пятую формулу третьей главы.
Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе
При расчете характеристик течения газа по трубопроводам часто достаточно ограничиться моделью идеального несжимаемого газа без учета влияния силы тяжести. При моделировании реальных режимов течения углеводородного сырья по морским трубопроводам на шельфе северных морей необходим отказ от этих упрощений и учет сжимаемости газовой смеси, ее неидеальности, шероховатости стенок, возможного влияния силы тяжести и условий теплообмена через многослойные стенки. Рассмотрим модель, учитывающую перечисленные особенности.
Течение несжимаемых жидкостей в трубах изучено теоретически и экспериментально в широком диапазоне изменения чисел Рейнольд-са. Учет сжимаемости в неизотермическом турбулентном потоке задача достаточно сложная [1, гл.У, 13]. При числах Маха много меньших единицы сжимаемостью обычно можно пренебречь. Положение изменяется, если необходимо оценить эффекты, существенно зависящие от сжимаемости. Такая ситуация характерна для рассматриваемой задачи транспортировки углеводородного сырья по трубопроводам, проложенным по дну северных морей. Кроме надежного расчета падения давления, здесь не менее важен расчет температуры в потоке после его остывания за счет теплообмена до температуры окружающей воды, которая для северных морей близка к температуре замерзания. Острота проблемы обусловлена возможностью оледенения трубопровода, которое бы увеличило его плавучесть и повлекло бы за собой изменение экологической ситуации в акватории. Оценка понижения температуры в потоке за счет газодинамических эффектов требует учета сжимаемости. Малость чисел Маха позволяет воспользоваться рядом упрощений, что, как показано далее, существенно облегчает постановку задачи и допускает эффективный метод ее решения.
Освоение нефтяных и газовых месторождений на арктическом шельфе ставит задачу транспортировки углеводородного сырья по донным газопроводам большой протяженности { 500 км) [2]. Для этой задачи характерны большие давления на входе (р 20 МПа); большие расходы (Q 600 кг/с), связанные с режимом эксплуатации месторождения; наличие уклонов донной поверхности вдоль трассы, приводящее к возможному влиянию рельефа дна на характеристики течения; жесткие требования к тепловым режимам течения, возможность оледенения подводного трубопровода. Перечисленные особенности приводят к следующим выводам, которые должны учитываться при построении математической модели процессов. 1. Необходим учет неидеальности газа, так как давление в значительной части течения может превышает 100 атм., а температура с небольшими отклонениями изменяется в диапазоне [Т ,То], Т — температура замерзания соленой воды, То 50 С — температура газа на входе в трубопровод. 2. При заданных расходах (Q 600 кг/с), радиусе трубопровода R (R 0,5 м) и характерной вязкости //о газа (//0 5 10 6 Па-с) характерное число Рсйнольдса Re (Re = 2Q/(7r/?//o)) может изменяться в диапазоне 106—109, что свидетельствует о режиме развитой турбулентности. 3. Для оценки возможного влияния рельефа дна необходим учет силы тяжести. 4. Движение газа в основном режиме эксплуатации установившее ся (граничные условия на входе не зависят от времени и граничные условия вдоль трассы практически стационарны), поэтому ограни чимся решением стационарной задачи. 5. Разность глубин донной поверхности обычно не превышает 300 м на несколько километров, радиус кривизны трассы при этом на пять и более порядков превосходит радиус трубопровода. Это по зволяет локально ввести цилиндрическую систему координат (г, в, z). Тем не менее, даже такие уклоны могут влиять на характеристики течения, поэтому, как отмечалось, необходим учет силы тяжести. Условия на боковой поверхности трубопровода зависят от угла #, однако это будем учитывать лишь интегрально и ограничимся акси ально симметричной постановкой задачи. 6, Характерная плотность ро газа на входе равна ро 150 кг/м3, характерная скорость и течения равна u — Q/(TTJI р) и составляет величину w 5 м/с. Это приводит к малым числам Маха Л/ = «+/а (а — характерная скорость звука а 400 м/с ) и, как отмечалось, к большим числам Рейнольде а. Относительная малость сил инерции допускает ряд упрощений, рассмотренных ниже. 7. Большие значения характерного числа Рейнольдса приводят к необходимости учета шероховатости даше для труб, внутренняя поверхность которых подвергнута специальной обработке. 1.2. Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения многокомпонентного неидеального газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе
Режим развитого турбулентного течения описывается в терминах осредненных по турбулентным пульсациям величин давления р, плотности р, внутренней энергии в, температуры Г, скорости V . Эти осредненные величины связаны приведенными ниже уравнениями сохранения массы (1.1), баланса импульса (2.1) и баланса внутренней энергии (3.1).
Замечание 1. Массовая плотность пульсационной энергии в рассматриваемых задачах мала по сравнению с массовой плотностью внутренней и свободной энергий в силу малых средних скоростей потока. Это позволяет для характеристик, осредненных по турбулентным пульсациям, считать справедливыми термодинамические соотношения, связывающие температуру, давление, плотность,
Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода в гидравлически гладких газопроводах
Постановка задачи расчета профиля локального расхода р(г) в шероховатых газопроводах отличается от системы (11.2)-(15.2) пункта 2.2. только граничным условием для производной от уз(г), а именно, вместо условия (14.2) в шероховатых газопроводах должно выполняться условие (41\1), обобщенное на сжимаемые среды при малых числах Маха.
Граничное условие (41 .1), полученное в результате обработки экспериментальных данных о течениях в трубах несжимаемых жидкостей [7], имеет, как отмечалось в пункте 1.4. главы 1, следующий вид: к\ — характерный линейный размер шероховатости, v — динамическая скорость, определяемая по трению rw на стенке равенством v \/\Tw\/p и u/v — безразмерная скорость, г+ = г/Л — безразмерный радиус, v fi/p — кинематическая вязкость. Граничное условие (38.2) при к — 0 переходит в условие Кармана f г=д = —оо, которое, как известно, является хорошим приближением для гидравлически гладких труб.
В отличие от несжимаемых сред, динамическая скорость и , входящая в граничное условие (38.2), не является постоянной вдоль газопровода, но в принятом квазипараметрическом приближении предполагается, что зависимость касательного напряжения rw от плотности сохраняет ту же форму, что и для несжимаемых сред. Это позволяет записать следующее выражение для динамической скорости v+: в котором использовано найденное в пункте 2.2. выражение для TW Безразмерная величина h = h+v+lv, входящая в граничное условие (38.2), записывается в виде и является постоянной при постоянной вязкости. Действительно, поскольку в рассматриваемых задачах расход постоянен, число Рей-нольдса остается неизменным при постоянной вязкости, следовательно постоянны и эмпирические константы яи! „в модели Новожилова-Павловского, а с ними и величина с\, зависящая от константы п. В терминах функции ip(r) граничное условие (38.2) для шероховатых стенок преобразуется к виду Учтем выражение для динамической скорости ь\ (39.2) и знак производной В предельном случае отсутствия шероховатости (& —+ 0) это условие упрощается ( Лж — 0 ) и переходит в условие Кармана для гидравлически гладких стенок. Алгоритм расчета функции р(г) для шероховатых поверхностей. Как и в предыдущем пункте 2.2. , разрешим относительно второй производной функции р{г) нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (22.2) Проинтегрируем это уравнение в пределах от г до г і и обозначим через D константу, зависящую от п, введенных констант щ,П2,Щ уравнение (45.2) совпадает с уравнением (27.2). Для гидравлически гладких стенок константа D определяется явно из уравнения (45.2) в соответствии с условием Кармана (14.2): Обозначим левую часть этого равенства через / и разрешим его относительно D D = ҐЛ 2П тг2 R1 + «з//1 "3. (47.2) Подставим это выражение для Z) в уравнение (45.2) и приведем его к виду При отсутствии шероховатости (fc -+0)/ стремится к бесконечности и в выражении для D остается только первое слагаемое; величина d\ (49.2) стремится к R. Проинтегрируем уравнение (48.2) в пределах от г до Л и учтем граничное условие прилипания: и = р = 0 при г = Л, в результате получим следующее выражение для профиля р(г): Перейдем к безразмерной переменной у, связанной с радиусом г pass t венством (у = 1 — (г/с/і)1 "2), и преобразуем (50.2) к виду Выражение (52.2) является решением задачи о расчете профиля локального расхода р(г) для шероховатых газопроводов. При к — 0 (Ji — і?, є — 0) равенство (52.2) задает профиль р(г) для гидравлически гладких труб. Для определения константы Сі (входящей в выражения для d\ и для D) можно воспользоваться равенством (15.2), которое с учетом найденного выражения для р{г) (52.2) записывается. Для шероховатых газопроводов нельзя найти явного аналитического выражения для константы с\. Однако, в ходе решения задачи расчета профиля (г) получена система семи уравнений относительно семи неизвестных, решение которой позволяет определить как константу сі, так и остальные параметры, входящие в выражение для р{г) (52.2). А именно, величины /г , /, D, Q, di, Qi, Є определяются из системы уравнений (41.2), (46.2), (47.2), (49.2), (51.2), (53.2), (54.2), связывающей эти величины и параметры задачи (fi, кп, n, Q, 7?, А: ). Решение системы указанных уравнений строится методом итераций. В качестве нулевого приближения удобно выбрать значение константы с !, определенное равенствами (33.2), (34.2), (37.2), для гидравлически гладких поверхностей.
Расчет зависимости вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода от ширины слоя льда
В любой полуэмпирической модели турбулентности в трубах эмпирические параметры модели подбираются таким образом, чтобы рассчитанные на основе этих моделей характеристики потока были согласованы с известным экспериментальным законом сопротивления A = X(Re, к). Это позволяет рассчитать константу с\ следующим образом. Находим значение коэффициента гидравлического сопротивления Л из закона сопротивления Л = А( Re , к) по заданным расходу Q и коэффициенту относительной шероховатости к. Из уравнения движения (8.2) и из первого интеграла уравнения (9.2) следует выражение (18.2) для касательного напряжения тт на стенке газопровода
Значение rw при принятом квазипараметрическом обобщении на сжимаемые среды совпадает с аналогичным выражением для rw в несжимаемых средах при локально неизменном значении плотности р. Коэффициент гидравлического сопротивления А является отношением сил трения к силам инерции и определяется равенством ua = Q/(p7rR ) — средняя скорость. Эти выражения для гш дают связь константы с\ с коэффициентом гидравлического сопротивления
Подобная связь существует для любой другой полуэмпирической модели г, поскольку, как отмечалось, эмпирические параметры любой модели выбираются таким образом, чтобы результаты расчетов были согласованы с законом сопротивления Л = A(Re,). Оба способа расчета константы Ci ( через профиль локального расхода и непосредственно из закона сопротивления ) должны давать один и тот же результат, если параметры полуэмпирической модели для т выбраны правильно. После подстановки сі (58.2) в выражение для А"2 (20.2) слагаемое в уравнении движения (21.2), выражающее вклад сил трения, примет вид
Предположение о допустимости квазипараметрического обобщения на сжимаемые среды используемой полуэмпирической модели турбулентности для несжимаемых сред эквивалентно предположению о выполнении закона сопротивления Л = А( Re, к) на участках газопровода, для которых допустимо считать плотность постоянной. Расчет константы к\.
После определения константы С], задача об определении профиля функции (г) решена. В общую систему уравнений модели входит константа A i, выражающаяся через функцию ip(r) по формуле (3.2). Для ее расчета проинтегрируем по частям интеграл, входящий в (3.2), и учтем граничное условие прилипания, в результате получим
Расчет константы ki с точностью до множителя \ р&\а\щ), определенного величинами, зависящими от константы cj, сводится к расчету интеграла от выражения, содержащего бета-функцию. Численный расчет неполной B(x,y,z) и полной В(1 у, z) бета-функций не вызывает затруднений, если в них выделить особенности. Интеграл, входящий в выражение для ki (59.2), с выделенными и проинтегрированными особенностями может быть записан в виде Оставшийся в (60.2) интеграл не имеет особенностей и легко вычисляется численно.
Предложенный подход позволяет отделить расчет функции (г), определяющей форму профиля скорости и = ЩЧ, от решения общей системы (36.1)-(42.1). Вид профиля скорости u(r} z) параметрически зависит от продольной координаты z через зависимость от z плотности / , которая согласована с давлением p(z) и температурой T(z); форма профиля скорости определяется функцией (р(г), которая найдена в главе 2 в явном виде (31.2) для гидравлически гладких поверхностей и в виде (52.2) для шероховатых поверхностей.
Перейдем в уравнениях (36.1)-(40.1) модели I к величинам, осред-ненным по сечению газопровода. Осреднение проведем с учетом найденного в главе 2 вида профиля функции tp(r).
Преобразование безразмерных уравнений модели III к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
Граничное условие на поверхности льда (26.3) отражает тот факт, что при наличии льда температура на границе вода—лед должна быть равна температуре фазового перехода Т , независимо от значений температуры газа X и температуры окружающей воды Т , которые влияют лишь на величины тепловых потоков ja и jB.
Интегрирование уравнения теплопроводности (23.3) в области г Є [R, Іїп + 6Л] при условиях (24.3)—(26.3) приводит к следующему выражению для ]л (20.3):
В постановке этой задачи необходимо учесть, что, во-первых, плотность воды при остывании в окрестности температуры фазового перехода X ведет себя немонотонно. Кроме того, при замерзании изменяется соленость воды, что также приводит к изменению ее плотности. Все это приводит к возникновению вблизи поверхности градиента плотности, приводящего к появлению конвекции. Во-вторых, условия контакта газопровода с грунтом не осесимметричны и условия теплообмена на части поверхности газопровода, контактирующей с водой, существенно отличаются от условий теплообмена на части поверхности, контактирующей с грунтом.
Перечисленные факты приводят к тому, что задача расчета теплового потока jB в реальных условиях должна учитывать 1) наличие на обнаженных участках поверхности газопровода дополнительных (к донным течениям) конвективных потоков и 2) отсутствие аксиальной симметрии процессов за счет контакта с грунтом.
В рамках осесимметричной модели возможен следующий подход: расчет теплового потока jB проводится по модельной задаче осесим-ыетричного обтекания газопровода, но в качестве толщины теплового погранслоя воды выбирается эффективный параметр 6 . Проинтегрированное по углу в решение модельной задачи с эффективным параметром 6 должно совпадать с решением реальной задачи расчета jB, учитывающей перечисленные выше факторы. Вся сложность при этом переносится на отыскание величины эффективного коэффициента 5 . Достоверная информация о его величине может быть получена из решения так называемой обратной задачи, постановка которой базируется на решении прямой задачи расчета всех параметров газового потока и на экспериментальных данных, полученных в условиях максимально приближенных к реальным.
Модельная задача расчета jB состоит из уравнения теплопроводности (23.3), граничного условия (26.3) на внешней (с учетом льда) поверхности газопровода и граничного условия на границе эффективного слоя воды
Интегрирование уравнения теплопроводности (23.3) с граничными условиями (2G.3), (29.3) приводит к следующему выражению для . В установившемся режиме тепловые потоки jn и jB должны быть равны, это совместно с найденными для них выражениями (27.3) и (30.3) позволяет записать уравнение, определяющее толщину слоя льда 6Л на внешней поверхности газопровода в установившемся режиме при о сесим метрично it постановке для неизменных температур газа X и окружающей воды Т \ величина А определена равенством (28.3). Уравнение (31.3) задает зависимость толщины слоя льда 6Л от температуры газа X, температуры воды X , температуры фазового перехода X и других параметров задачи Ав, Ал, А , 5 , п, і?, 6 . В модели транспортировки газа по морским газопроводам все перечисленные параметры, кроме температуры газа X, считаются известными величинами, возможно зависящими от координаты z. Таким образом, уравнение (31.3) позволяет рассчитать толщину слоя льда 6Л в зависимости от температуры газа Т в установившемся режиме. Оценка величины параметра 6+ Исследования динамических и тепловых погранслоев при обтекании тел различной формы обобщены в виде степенных зависимостей числа Нуссельта Nu от чисел Рейнольдса Re, Прандтля Рг, Грасго-фа Gr и Эккерта Ее [30]. Приведем характерные значения чисел Re, Pr, Gr, Ее в рассматриваемой задаче обтекания газопровода, рассчитанные для воды при нуле градусов Цельсия, при характерной длине I = 0.6м и при характерной скорости обтекания 0.01 м/с : Эти значения чисел Re, Pr, Gr, Ее свидетельствуют о том, что реализуется турбулентный режим обтекания и имеет место смешанная тепловая конвекция (вынужденная за счет придонных течений и естественная за счет изменений плотности воды). При этих значениях чисел Re, Pr, Gr, Ее средняя по всей боковой поверхности величина числа Нуссельта Nuc при обтекании цилиндра может меняться в диапазоне [30]
Похожие диссертации на Модель донного газопровода с учетом оледенения
