Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Общие уравнения движения несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток 10
1.1. Математическая модель переноса несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток 10
1.2. Исследование влияния точечного источника концентрации в стационарном потоке 19
1.3. Модель Обербека-Буссинеска, как следствие общих уравнений модели 24
1.4. Проблема существенно нестационарного распространения примеси по движущемуся потоку 27
Глава 2 Гиперболическая теория диффузионного распространения примеси по несущему потоку жидкости 30
2.1. Закономерности движения переднего фронта примеси 30
2.2. Затухание волнового фронта распространяющейся примеси 45
2.3. Распространение примеси от сферического источника малой концентраций в спокойном водоеме 58
Глава 3 Моделирование процесса диффузии в системе жидкость - твердое тело 69
3.1. Постановка задачи о «набухании» упругого тела 69
3.2. Плоская одномерная задача о «набухании» 75
3.3. Сферическая задача о «набухании» 89
3.4. Сжимаемость составляющих в задаче о «набухании» 100
Заключение , 112
Литература 11.3
- Исследование влияния точечного источника концентрации в стационарном потоке
- Проблема существенно нестационарного распространения примеси по движущемуся потоку
- Распространение примеси от сферического источника малой концентраций в спокойном водоеме
- Сжимаемость составляющих в задаче о «набухании»
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию процесса взаимопроникновения двух несжимаемых сред, обусловленного диффузией. Моделирование проводится на основании обобщения закона Фика, который определяет гиперболический характер уравнений задачи. Интерес к гиперболической теории диффузии в смеси двух химически не реагирующих составляющих диктуется рядом обстоятельств. Во-первых, он связан с проблемой регистрации загрязняющей примеси, распространяющейся по основному потоку. По величине концентрации примеси и моменту ее регистрации при известном характере основного потока возможно сделать выводы как об интенсивности источника загрязнения, так и о его месте. В последнее время многие авторы обращаются к проблеме антропогенного загрязнения морских и пресноводных бассейнов [4, 9, 26, 28, 34, 44, 61, 69, 91]. В основном, массоперенос в задачах распространения примесей, описывается уравнениями Навье - Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [2-6, 23, 25, 26, 34, 44, 67, 93], сформулированного в начале прошлого века и справедливого лишь для режима установившейся тепловой конвекции. Возникает вопрос об условиях справедливости применения приближения Обербека-Буссииеска для нестационарной диффузии. Кроме того, в этих моделях диффузионный поток определяется лишь градиентом концентрации и не зависит от времени, то есть скорость массопереноса полагается бесконечной и процесс диффузии протекает мгновенно. Применение таких параболических
4 моделей оправдано лишь для стационарных течений или при малых значениях концентрации примеси. Приближение Обербека-Буссинеска неприменимо при скоростях диффузии сравнимых со скоростями основного потока. Составленная же в данной работе модель позволяет решать подобные задачи о диффузионном распространении примеси даже для режима неустановившейся диффузии и при малых параметрах тоже допускает вышеуказанное приближение.
Во-вторых, именно существенная нестационарность процесса диффузии, которую возможно описать только в рамках гиперболической теории массопе-реноса, определяет разрушение гранул ионообменников в процессах сорбции-десорбции [16, 24, 71, 89]. Известно, что данное разрушение является основной причиной, препятствующей широкому внедрению технологий очистки органических растворов в ионообменных установках. Указание основных причин, способствующих возникновению разрушающих внутренних усилий в материалах ионитов, является необходимым условием для исключения такого нежелательного явления, как разрушение гранул.
Закон диффузии Фика утверждает, что поток вещества пропорционален градиенту его концентрации. Данное положение хорошо согласуется с линейными законами неравновесной термодинамики о пропорциональности термодинамических сил термодинамическим потокам, поэтому классическая теория массопереноса основана на принятии этого закона. Однако, как уже отмечалось, построенная на таком основании теория содержит в себе парадокс бесконечной скорости распространения вещества при диффузии. Заметим, что этот же эф-
5 фект характерен и для теории теплопроводности, основанной на законе Фурье: тепло распространяется по теплопроводящему телу с бесконечно большой скоростью. Закон теплопроводности Фурье вполне аналогичен закону диффузии Фика, в нем также содержится требование о пропорциональности теплового потока градиенту температуры. Но законы Фика и Фурье основаны только на опытных данных, то есть относятся к эмпирическим. Следовательно, для исключения указанного выше парадокса необходимо провести изменения в определяющем законе модели. Исследования отечественных и зарубежных авторов, направленные на исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны с середины прошлого века [29, 31-33, 39-41, 65, 68, 73, 78, 80, 82-84, 86, 88, 94, 97, 98, 102, 103]. Особенно стоит отметить работы Вернотте [102], А.В. Лыкова [39-41] и А.Д. Чернышева [78], в которых впервые даются возможные обобщения линейных феноменологических законов Фурье и Фика. А.С. Предводителев [65] также пытался обойтись без введения гипотезы Фурье и в 1970 году получил гиперболическое уравнение переноса тепла методом огибающих поверхностей Монжа, рассматривая в качестве таковой поверхность фазового перехода. Однако наибольший интерес представляют дифференциальные уравнения теплопроводности материалов с переменной памятью, впервые полученные и проанализированные в работах [84, 86, 97, 98, 100, 102]. р^*" настоящее время, например, достаточно развита теория термоупругости, построенная на основе гиперболической теории теплопроводности [11, 20, 63]. В теории массопереноса нестационарные модели с учетом процесса релаксации
используются в основном для описания гетерогенных, дисперсных потоков [22, 27, 35, 42, 43, 47, 64, 72, 79, 85, 92, 96] или газовых смесей [18, 27, 77, 90]. Соотношения для двухкомпонентных гомогенных смесей сплошных сред в литературе известны [4, 36, 81, 87, 91], но рассмотрение их взаимодиффузии на основе обобщения закона Фика, которое приводило бы к гиперболическому уравнению массопереноса, встречается очень редко [1, 16, 20]. В то же время, как уже отмечалось, наблюдаются эффекты, объяснение которым находится только в рамках гиперболической теории массопереноса. Классическая же теория, основанная на использовании закона диффузии Фика для взаимопроникающих движений сплошных сред, также как и закон теплопроводности Фурье в процессах теплообмена, в случаях существенно нестационарных переходных процессов может приводить к недопустимому разногласию с опытами. Указанные обстоятельства предопределяют актуальность темы диссертационной работы и задают ее цели.
Основной целью диссертационной работы является составление математической модели взаимопроникающих движений двух химически не реагирующих несжимаемых сплошных сред в гомогенных смесях на основе обобщенного закона их взаимной диффузии; изучение закономерностей распространения поверхностей разрывов концентрации; постановка и решение на такой основе краевых задач о распространении жидкой примеси по потоку и о набухании полимерных материалов. Сопутствующей целью является привлечение интереса к рассмотрению процесса массопереноса в двухкомпонентных одно-
7 родных смесях с применением подобных гиперболических моделей, побуждение к дальнейшим исследованиям в этом направлении.
Диссертация написана по материалам работ [13, 14, 48-60, 99] и состоит го введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.
Первая глава - основополагающая, в ней выводятся основные соотношения для описания движения жидкой несжимаемой примеси при учете ее диффузии в основной поток. Сначала составлены модели для стационарного и нестационарного процесса диффузии с использованием классического закона Фика, но без упрощения Буссинеска. Доказано, что модель Обербека-Буссинеска является следствием общих уравнений полученной модели при малой концентрации примеси. Для различных видов установившегося течения (равномерный поток, источник, сток, диполь) получены простейшие решения стационарной модели распространения примеси от точечного источника малой постоянной концентрации. И, наконец, самый важный для данного исследования существенно нестационарный случай подробно рассмотрен в пункте 1.3 данной работы. Здесь моделирование проводится на основе простейшего обобщения закона Фика, исключающего гипотезу о бесконечной скорости распространения массы. Аналог рассматриваемого соотношения в теплопроводности называют законом Вернотте-Лыкова. Предложена данная форма закона была Вернотте [102], а ее обоснование в рамках гипотезы о конечной скорости диффузии массы и теплоты провел Лыков [39-41]. В отличие от классического закона здесь добавлено слагаемое с производной по времени, которое позволяет описать
8 процесс релаксации. В него входит новая константа г, служащая мерой релаксации диффузионного потока и потому называемая временем релаксации. Ее следует воспринимать как некоторую экспериментальную постоянную. В составленную на этом этапе модель входит уже гиперболическое уравнение диффузионного распространения примеси, которое учитывает конечную скорость переноса массы. В отличие от подобных параболических уравнений его решение имеет очерченный фронт волны, перемещающийся с конечной скоростью G. При G-^-co и г-»0 полученное уравнение переходит в обычное для массопе-реноса параболическое уравнение.
Во второй главе изучаются закономерности распространения фронталь- ной поверхности. Вычислена скорость G распространения поверхности разрыва концентрации. С использованием этой зависимости при известном течении в водоеме (ламинарный поток) составлена программа, которая вычисляет скорость G различных точек и изображает последовательные положения переднего фронта концентрации от источника примеси разной геометрии. Используя геометрические и кинематические условия совместности разрывов, получены и в простейших случаях проинтегрированы обыкновенные дифференциальные уравнения затухания интенсивности разрыва концентрации. Замечено, что интенсивность разрыва концентрации может увеличиваться в сходящихся поверхностях разрыва за счет увеличения их кривизны. Данная особенность является причиной возникновения больших растягивающих напряжений в центре сферических зерен ионообменников, разрушающих их. В случае неспокойного
9 водоема полученное уравнение затухания не является обыкновенным дифференциальным уравнением. Прежде следует указать место точки фронта и только затем вычислить его интенсивность и так на каждом шаге последовательных вычислений. Численные результаты подобных вычислений были получены при различной геометрии источника примеси. С использованием этих результатов построены графики затухания концентрации для разных точек фронта массопе-реноса. В последнем пункте главы рассматривается применение построенной модели, на примере задачи о нестационарной диффузии примеси от сферического источника малой концентрации в спокойном водоеме.
В третьей главе также в рамках гиперболической теории массопереноса моделируется процесс взаимодиффузии в системе жидкость - упругое тело, приводятся решения двух краевых задач о набухании упругого тела: плоской и сферической. Найдены и проиллюстрированы функции перемещения точек твердого тела, концентрации проникающей жидкости, возникающих напряжений. Дается объяснение эффектам разрушения сферических зерен ионитов при их погружении в воду или какой-нибудь раствор и изменения их объема при переходе из водной среды в органическую и наоборот, также приводящее к быстрому их разрушению в процессах сорбции - десорбции. В последнем параграфе приводится решение аналогичной сферической задачи о набухании, но с учетом сжимаемости обеих сплошных сред.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Исследование влияния точечного источника концентрации в стационарном потоке
Функции влияния точечных источников концентрации в стационарном потоке получены для ниже перечисленных типов течений основного потока. 1. Равномерный поток постоянной скорости а, направленный вдоль оси Ох. Точечный источник постоянной концентрации со расположен в начале координат (рис. 1,1) Как видно из полученной функции/?, давление линейно возрастает с увеличением глубины. Найденная функция концентрации экспоненциально возрастает при cosp 0 и экспоненциально убывает cos 0. С физической точки зрения, это означает, что по мере удаления от источника концентрация возрастает в точках, расположенных правее оси Оу, и убывает в точках, расположенных левее оси Оу, за счет сноса примеси потоком жидкости в положительном направлении оси Ох. Вначале координат концентрация остается постоянной, равной CQ. 2. Источник (сток) с объемным расходом Q. Точечный источник концентрации и источник (сток) основной жидкости находятся в начале координат (рис.1.2,1.3) По мере приближения к источнику (стоку) давление падает. При г—»0 (в центре источника (стока)) /?-»-оо. Второе слагаемое функции р показывает, что по мере углубления давление увеличивается. Из полученного решения для концентрации видно, что, если Q 0 (сток), то на бесконечности концентрация асимптотически приближается к с0 и, чем ближе к центру стока, тем она меньше (рис. 1.4). А в самом центре стока (при г=0) с- -оо. Если Q 0 (источник), то с увеличением г концентрация с стремится к бесконечности. В центре источника с=с0 и, чем дальше от центра, тем выше концентрация, содер жание примеси увеличивается (рис.1.5). они физически правильно описывают явления. Попытки постановки вопроса о закономерностях распространения примеси по основному потоку чаще всего проводятся в рамках приближения Обербека-Буссинеска [2-6, 23, 25, 26, 34, 44, 67, 93], сформулированного в начале прошлого века и справедливого для режима установившейся тепловой конвекции.
Главная идея приближения Буссинеска заключается в том, что зависимость плотности от температуры учитывается лишь в одном слагаемом уравнений движения, а именно в слагаемом с объемной массовой силой. А в остальных местах, куда входит плотность, полагают p pty=Const. Вводится так называемый коэффициент теплового объемного расширения, с помощью которого изменение плотности учитывается только в членах, отвечающих архимедовой силе. Недостатком применения такого упрощения в моделях двухконтинуумно-го движения является то, что движение смеси подобно движению однокомпо-нентной несжимаемой жидкости. Кроме того, диффузионный поток определяется лишь градиентом концентрации и не зависит от времени, т.е. скорость мас-сопереноса полагается бесконечной и процесс диффузии протекает мгновенно. Применение таких параболических моделей оправдано лишь для стационарных течений или при малых значениях концентрации примеси. Приближение Обербека-Буссинеска неприменимо при скоростях диффузии сравнимых со скоростями основного потока. Это скорее уравнения переноса примеси, а не уравнения ее распространения вследствие диффузии. Предложенная в данной работе модель (1.10) устраняет первое упрощение, так как второе уравнение системы (1.10), оно же в более наглядном виде условие (1.4), является аналогом уравнения несжимаемости для однокомпонентної! среды (v, .=0). Но, в отличие от соответствующего уравнения в системе Обербека-Буссинеска, в этом уравнении фигурирует не среднемассоваяскорость смеси и не скорость основного потока и ,, а вектор, равный
Как и ожидалось, приближение Обербека-Буссинеска следует из модели (1.10) при условии малости концентрации примеси (с«1) При учете вязкости составляющих последнее соотношение в системе (1.13) заменится на следующее:
Модель (1.13) - система пяти уравнений относительно неизвестных с, р, щ. Как замечаем, в таком приближении система уравнений перестает быть свя 26 занной: по заданным массовым силам %х (х;, %2 %з) и граничным условиям для основного потока из последних уравнений определяется его движение и давление в нем и затем в согласии с первым уравнением (1.13) и соответствующими краевыми условиями строится распределение концентрации примеси с=с(х{,х2,х3,і). Иногда [3, 25] эти уравнения искусственно оставляют связанными, вводя в ХІ слагаемые, зависящие от концентрации примеси. Объясняют это тем, что массовые силы тяжести вызывают в смеси эффекты, связанные с силами Архимеда. Но следует иметь в виду, что введение таких сил оправдано для системы (1.10), но не корректно для системы (1.13).
Проблема существенно нестационарного распространения примеси по движущемуся потоку
Очевидно, что при распространении примеси, интенсивность фронта ее концентрации [с] уменьшается с течением времени. Для модели (1.15) можно получить зависимость, отражающую этот процесс.
Следуя теории движущихся поверхностей разрывов [19], проследим за изменением разрыва концентрации [с]-с- с [с - значение сразу за поверхностью разрывов ДО) в процессе распространения переднего фронта примеси. С этой целью следует продифференцировать соотношения системы уравнений (1.15) и записать полученное в разрывах с использованием геометрических и кинематических условий совместности. Итак, принимая во внимание тот факт, что примесь пред фронтом отсутствует (с+=0), перепишем в разрывах уравнение баланса концентрации (1.6) и соотношение (1.14), характеризующее закон диффузии. Здесь принято, Ор - компоненты единичного тензора (символ Кронекера), ga -ковариантные составляющие метрического тензора поверхности (коэффициен-ты первой квадратичной формы поверхности), s - лучевая координата, у ,у -поверхностные координаты на Дї) [21], греческие индексы в отличие от латин ских принимают только значения 1 и 2. Символом — в (2.6) обозначена S St производная функции по времени. Определение данной производной дано в [74] и воспроизводится в [19] при построении теории поверхностей разрывов. В [21] данное определение обобщается на случай задания движения сплошной среды в криволинейных координатах. Смысл такого определения заключается в следующем: пусть функция f{xx,x2,x ,i) определена в пространстве и непрерывна всюду, кроме поверхности Yif), заданной параметрически. Если поверхностные координаты у\у2 жестко привязаны к точке поверхности Z(0 (не меняются со временем), а в качестве третьей координатной линии криволинейной системы координат выбрать луч s, касательный к нормали vj, то Наиболее простым для дальнейших исследований уравнение затухания выглядит при малых значениях концентрации примеси. Положим с«] в уравнении (2.9) или (2.И), тогда Так как для переднего фронта [с] = с+ -с" =-с 0, то удобнее обозначить интенсивность разрыва как г/ = с - с+ = -[с], где с+ и с" - концентрации примеси непосредственно перед и сразу за поверхностью разрыва 2(/). Тогда в случае плоского фронта распространяющейся примеси, его интенсивность выражается зависимостью 7/ = с0ехр(-0.5/г-1). (2.13) Если фронт является сферой, что выполняется в случае точечного источника, то его интенсивность зависит еще и от кривизны Н=г 1 г} = с0ехр(-0.51т ] +G0tr ]). (2.14) Полученные формулы (2.13) и (2.14) доказывают, что интенсивность разрыва концентрации проникающей примеси на ее переднем фронте достаточно быстро уменьшается. Заметим, что для сходящегося к центру фронта (г-»0 в (2.14)) интенсивность разрыва может увеличиваться за счет увеличения кривизны фронтальной поверхности "Z(t). Именно данная особенность является причиной возникновения больших растягивающих напряжений в центре сферических зерен ионообменников, разрушающих их. Известный технологический прием, связанный с приведением ионитов в рабочее состояние, когда их обрабатывают парами воды, связан с уменьшением первоначального разрыва концентрации сц. Тогда в центре зерна интенсивность разрыва г/ не достигает своего предельного значения, способного вызвать разрушающие напряжения. Подробнее процесс распространения жидкой примеси в упругом теле рассмотрен в третьей главе данной работы. Из (2.11) и (2.12) следует, что интенсивность [с] фронта концентрации примеси в случае неспокойного водоема определяется переносом ее основным потоком и степенью интенсивности процесса диффузии. Эти зависимости не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, так как и и, ga0, Н, хц) зависят от координат рассматриваемой точки на (7), потому прежде следует указать первоначальное положение выбираемой точки фронта и только затем решением уравнений вычислить его интенсивность и так на каждом шаге последовательных вычислений. Численные результаты подобных вычислений для уравнения (2.12) были получены при различной геометрии источника примеси. При этом учитывались построенные ранее (рис.2.1-2.5) последовательные положения переднего фронта концентрации от источника примеси той же геометрии (точечной, полуосевой, эллипсоидной, сферической) и применялись численные методы Эйлера и Рунге-Кутты. На основании этих результатов построены графики затухания интенсивности разрыва концентрации для точек различной кривизны. Они представлены на рис.2.12-2.15. График, помеченный индексом 10, соответствует передней к набегающему потоку точке фронта, индексом 0 - задней, а промежуточные графики соответствуют точкам, делящим контур на девять промежутков. Таким образом, встречное движение основного потока, препятствуя диффузии, приводит к более быстрому уменьшению интенсивности волнового фронта и, наоборот, попутный снос примеси препятствует падению интенсивности фронта. Можно также отметить, что чем выше скорость набегающего потока, тем затухание интенсивности происходит быстрее в точках, передних к набегающему потоку, и медленнее - в дальних (ср. рис.2.16ирис.2.17).
Распространение примеси от сферического источника малой концентраций в спокойном водоеме
Рассмотрим аналогичный процесс диффузии в системе жидкость - твердое тело и постараемся составить и проанализировать гиперболическую модель, которая исключает парадокс бесконечно большой скорости массоперено-са. Подобная модель может быть полезна при исследовании поведения гранул ионообменников в процессах сорбции - десорбции, например, при очистке сахарных сиропов, а также при изучении деформирования материалов из-за диффузии в них другой среды.
Отметим некоторые особенности деформирования и разрушения зерен ионитов. Материал ионообменников при давлении воды относится к каучуко-подобным [89], то есть несжимаемым и упругим. Диффузия воды (или другого вещества) в матрицу ионита приводит к его «набуханию», т.е. к увеличению объема. Перед началом работы ионообменной установки иониты приводятся в «рабочее состояние», подвергаются действию паров воды, причем концентрация последних постепенно увеличивается. При погружении сухого ионита в воду или какой-нибудь раствор его гранулы, как правило, разрушаются. Эксперименты показывают, что трещина разрушения начинает свой рост из центра зерна спустя некоторый промежуток времени после погружения гранул в воду [16].
Интересным является поведение гранул ионообменников в процессах сорбции - десорбции при очистке сахарных сиропов [71]. При погружении «набухшего» зерна в раствор сахарозы объем его резко уменьшается до некоторого минимального размера и лишь потом увеличивается, достигая размера, превышающего первоначальный. В процессе десорбции при погружении гранулы в воду ее объем резко увеличивается и затем асимптотически приближается к первоначальному объему. Такое резкое изменение объема гранул при переходе из водной среды в органическую и наоборот приводит к быстрому их разрушению. Эксперименты со сферическими и цилиндрическими зернами ионитов показывают, что сферические гранулы разрушаются гораздо быстрее, чем цилиндрические.
Положим, что сплошная среда состоит из двух химически не реагирующих между собой компонент. Только теперь первая компонента - жидкость (ей в дальнейшем соответствует индекс «1»), вторая - твердая среда (обозначена индексом «2»). Каждую отдельно взятую составляющую такой смеси считаем несжимаемой, но плотность смеси может изменяться в зависимости от концентраций ее составляющих. Плотности, приведенные и истинные, а также все остальные параметры вводятся аналогично рассмотренному случаю взаимопроникающего движения смеси двух жидкостей.
Таким образом, безвихревой процесс диффузии примеси в набухающее упругое тело не вызывает в нем вихревых движений. Зависимость (3.2) является одной из основных в теории набухания, то есть теории движения точек сплошной твердой среды, деформирующейся из-за проникновения (диффузии) в нее несжимаемой жидкости.
В дальнейшем будут рассматриваться только одномерные задачи диффузии жидкости в упругое полупространство. Докажем, что для них выполняется зависимость (3.2). Действительно, для любого объема V, выделенного из смеси, выполняются формулы т-тхл-т2ъ тх ру, тг - p2V. Здесь р,, р2 - средние плотности, взятые по объему V. С другой стороны, т] = p{0V{0, т2 = / Из условия сохранения объема следует, что К-Кю+Гго, откуда V = рур\1 + p2Vp2Q. Объем жидкости Кю, перейдя в смесь, должен вытеснить равный себе объем твердого тела, то есть V]0 = pyp\l = (v2,n)dSdt, где п- единичный нормальный вектор к элементарной площадке dS, v2 - скорость движения твердой среды. Учитывая, что процесс диффузии одномерный и v2ttw, запишем (v2 ,n)-v2. Аналогичные рассуждения для твердого тела приводят к формуле V2G - p2Vp2l - -v:dSdt. Знак "-" появляется из-за разной направленности векторов п и Vj- скорости жидкости.
Сжимаемость составляющих в задаче о «набухании»
С использованием зависимости (2.5) при известном течении в водоеме {щ - задано) составлена программа, которая вычисляет скорость G различных точек фронтальной поверхности и изображает последовательные положения переднего фронта концентрации от источника примеси разной геометрии. Ее результаты при фиксированных значениях параметров: плотности несущей жидкости, ее скорости, времени релаксации диффузионного потока, коэффициента диффузии - и различных формах источника примеси представлены на рисунках 2.1-2.5.
На рис.2.1 представлены последовательные положения переднего фронта концентрации от точечного источника примеси, включенного в момент времени /=0, при постоянной скорости основного потока, направленной по оси абсцисс. На рис.2.2 источник концентрации занимает полупрямую: х 0, _у=0. Снова скорость потока постоянна, а источник включается в момент времени z=0. На рис.2.3 показаны сечения поверхности фронта концентрации в последовательные моменты времени координатной плоскостью хОу для случая, когда источник концентрации, включенный в момент времени /=0, занимает пространственную область (эллипсоид вращения). Показателен случай возникновения неустойчивости фронта концентрации (рис.2.4) при пространственном расположении источников (эллипсоид вращения) за счет искривления фронта несущим потоком. Фронт перестает быть выпуклым (рис.2.4) и теряет свою устойчивость (рис.2.5).
Следует заметить, последовательные положения переднего фронта концентрации при малых в выбираемом масштабе временах, являясь поверхностями эйконала [10], близки к поверхностям c=Con.st, так что приближенно можно считать, что на рис.2.1-2.5 изображено решение нестационарной задачи в виде поверхностей равного уровня концентрации. Такое решение теряет смысл при потере устойчивости переднего фронта концентрации, здесь необходимы дальнейшие исследования.
Последовательные положения переднего фронта концентрации от источника, занимающего полупрямую: х 0, _у=0. Скорость потока постоянна, а ис точник включается в момент времени t=0. На основе вычислений можно сделать вывод, что потеря устойчивости фронта концентрации за счет сноса примеси набегающим потоком зависит от скорости этого потока и от формы источника примеси. В спокойном водоеме размывание фронта, конечно же, не наблюдается. Потеря устойчивости фронта возникает при увеличении скорости несущей жидкости. В зависимости от вы-тянутости геометрической формы источника размыв отмечается на разных временных промежутках. Так, например, фронт концентрации от сферического или точечного источника примеси теряет свою устойчивость на гораздо поздних этапах, чем фронт от более вытянутого источника примеси (эллипсоид, отрезок) (рис.2.4-2.8). Исследуем зависимость скорости распространения фронта примеси, которая выражается функцией (2.3). Для того чтобы корректно изобразить зависимость (2.3) на графике, перейдем к безразмерным переменным следующим образом:
Если в (2.3) положить Г=0, то есть считать поверхность разрывов Х(0 передним фронтом распространяющейся примеси, то из (2.3) следует зависимость G (її) (см. формулу (2.5)). Данная зависимость представлена на рис. 2.9.
Когда поверхность разрывов Х(0 распространяется по среде, где примесь уже присутствует, то скорость ее продвижения согласно (2.3) зависит от концентрации такой примеси с и характера ее движения перед фронтом. На рис.2.10 и 2. И представлены графики зависимостей скорости распространения фронта G от скорости основного потока її при заданных значениях соотносительной скорости w (рис.2.10) и от соотносительной скорости w при заданных значениях скорости потока и (рис.2.11). Значения й и w определяют характер течения перед фронтом, где положим с =0.1. Верхний график G0(u) рис.2.10 соответствует нулевому значению w, а последующие графики Gl(u)-G4(u) соответствуют возрастающим через равные промежутки значениям соотноси 43
тельной скорости w. При больших значениях и наблюдается почти линейная зависимость G(u), и скорость фронта приближается к скорости основного потока. Нижний график G0(w) рис.2.11 соответствует нулевому значению й", т.е. распространению примеси в первоначально спокойном водоеме. Последующие графики Gl(u) G4(u) рис.2.11 соответствуют возрастающим через равные промежутки значениям скорости набегающего потока и. Скорость продвижения фронта G возрастает с уменьшением значения w, т.е. с увеличением значения скорости примеси перед фронтом, так как
