Содержание к диссертации
Введение
I. Оптимизация аэродинамических характеристик проницаемых контуров крыловых профилей 22
1. Расчет крылового профиля с распределенным отсосом пограничного слоя 22
2. Улучшение аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения распределенного отсоса пограничного слоя 31
3. Максимизация циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками 42
II. Проектирование профиля крыла экраноплана с выдувом реактивной струи 60
4. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для профиля крыла экраноплана с выдувом реактивной струи 61
5. Расчеты, анализ, выводы 70
6. Пересчет на другие режимы обтекания и работы устройства выдува реактивной струи 81
III. Приближенный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей 85
7. Приближенный подход к проектированию крылового профиля вблизи экрана 85
8. Приближенный подход к проектированию многоэлементных крыловых профилей 97
Заключение 108
Литература
- Улучшение аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения распределенного отсоса пограничного слоя
- Максимизация циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками
- Расчеты, анализ, выводы
- Приближенный подход к проектированию многоэлементных крыловых профилей
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке точных и приближенных методов аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей в неограниченном потоке и вблизи экрана. В настоящее время, несмотря на бурное развитие вычислительной техники и программных средств, позволяющих делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ), дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух, воду и т.п. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости <р(х,у) и функция тока ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, и можно ввести в рассмотрение в физической плоскости z = х + гу аналитическую функцию комплексного потенциала потока w(z) = (р(х,у) + іф(х,у) (см., например, [34]). В свое время это дало мощный толчок дальнейшим теоретическим исследованиям в гидромеханике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.
При решении задач проектирования крыловых профилей можно выделить два подхода: прямой и обратный. Первый состоит в многократном решении прямой задачи обтекании заданного крылового профиля, то есть определении его аэродинамических характеристик и распределения давления или скорости по его поверхности и подборе таким образом формы контура крылового профиля, обладающего свойствами, близкими к тре- буемым. Второй подход состоит в решении обратной краевой задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) по заданному заранее распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s (см., например, монографию A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [17]) , декартовой координаты х (см., например, работы Р.Б. Салимова [45,46]) , параметра 7 в канонической области (см., например, работу M.J. Lighthill'a [71]) и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решения задач построения крыловых профилей.
История развития ОКЗА насчитывает уже более 70 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a [79,80], C.Schmiden'a [77]t A.Betz'a [64], W. Mangler'a [75], Л.А. Симонова [47,48], Г.Г. Тумаше-ва [53], M.J. Lighthill'a [71,72]. Как оказалось, в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, что объясняется большим произволом в задании исходных данных. Для получения решения задачи в нужном классе (искомый контур должен быть замкнутым, простым, то есть однолистным, и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной) необходимо потребовать выполнения специальных условий, которые получили название условий разрешимости ОКЗА. Первые способы удовлетворения этих условий предложены в работе W. Mangler'a [75].
В последующих работах эти методы были обобщены на случай учета сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [54], L.C. Woods'a [81,82], Г.Ю. Степанова [49]. В конце 60-х годов появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы
Г.Ю. Степанова [52] и J.L. Van Ingen'a [78]).
В последнее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых задач: проектированию профилей при наличии в потоке особенностей, вблизи твердой или свободной поверхности, многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, профилей с устройствами активного управления потоком. Последние задачи представляют особый интерес, так как введение таких устройств позволяет значительно улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить коэффициент подъемной силы, уменьшить профильное сопротивление, бороться с такими нежелательными эффектами как отрыв потока и переход ламинарного течения в ПС в турбулентное.
К числу устройств активного управления потоком относятся устройства отбора потока и выдува струи, а также отсоса и выдува жидкости в ПС. В дальнейшем будем в зависимости от расхода отсасываемой жидкости выделять задачи с отбором внешнего потока, когда расход жидкости велик и отсос влияет на структуру потока в целом, и задачи с малым расходом отсасываемой жидкости, когда жидкость отсасывается только из ПС. Благодаря возможности практической реализации таких устройств и наличию простых моделей для их моделирования при теоретических исследованиях проектированию профилей с устройствами отбора (отсоса) и выдува посвящено большое количество научных работ.
Одним из простейших способов математического моделирования таких устройств являются точечные особенности, расположенные на поверхности крылового профиля. Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова [43]. Б.С. Баевым и В.Н. Журавлевым [14] также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использования устройства отбора на верхней поверхности.
Обратная задача обтекания профиля с особенностями по заданному на его поверхности распределению скорости при условии нулевого суммарного расхода исследовалась в работе М.А. Копырина [30] при условии Г = 0, Г - циркуляция скорости вдоль контура профиля, и в работе Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [55] в случае ненулевой циркуляции. В работе A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [18] дано решение ОКЗА с отбором через единичный сток, расположенный на верхней поверхности контура профиля. Е.Ю. Аристовой и А.В. Поташевым [13] рассмотрен случай, когда сток располагается не на самой поверхности, а в конце узкого канала, слабо наклоненного к контуру профиля.
Более приближенным к реальности, с точки зрения моделирования устройства отбора или выдува, является отбор или выдув через каналы конечной ширины. Приближенный метод решения обратной краевой задачи для профиля с выдувом струи при одинаковых плотностях и полных давлениях струи и внешнего потока рассмотрен в статье Н.Б. Ильинского и А.В. Поташева [27]. Другим способом моделирования канала конечной ширины является отбор или выдув потока через эквипотенциаль, как это сделано в работе Д.Ф. Абзалилова, Л.А. Аксентьева и Н.Б. Ильинско-го [2].
Отбор и выдув жидкости через прямолинейные и круговые каналы с постоянными скоростями на стенках, уходящих на другие листы ри-мановой поверхности, рассмотрен в монографии В.М. Шурыгина [63] и в работе Г.Ю. Степанова [50]. ОКЗА для крылового профиля с отбором жидкости через круговой канал решена в работах Д.Ф. Абзалилова, Н.Б. Ильинского, Г.Ю. Степанова [8-Ю]. Здесь распределение скорости выбиралось без участков падения, что гарантирует отсутствие отрыва потока. Решение задачи проектирования симметричного крылового профиля с круговыми каналами отбора и выдувом в задней кромке приведено в статье Г.Ю. Степанова [51].
Гораздо более сильное влияние на обтекание профиля оказывает выдув реактивной струи, когда полное давление и плотность струи отлична от полного давления и плотности внешнего потока. При обдуве поверхности профиля реактивной струей проявляется ряд эффектов: эффект Коанда, эффект "суперциркуляции", эффект "жидкого закрылка". Это позволяет увеличить в несколько раз диапазон безотрывного обтекания крылового профиля, значительно повысить коэффициент подъемной силы, рассматривать схемы обтекания, в которых точка разветвления потока уходит в поток. Подтверждением этому может служить экспериментальная работа Ю.Г. Жулева и СИ. Иншакова [23]. При решении соответствующей обратной задачи происходит существенное усложнение метода решения. Задача о построении профиля с выдувом и образованием реактивного закрылка в линейном приближении решена Л.М. Котляром [31]. Решение задачи проектирования крылового профиля с устройством выдува реактивной струи изложено в работе Д.Ф. Абзалилова, Н.Б. Ильинского [6].
Многочисленные исследования и эксперименты показали большую эффективность управления ПС на крыловых профилях, в частности отсоса жидкости из ПС [59,70]. Благодаря отсасыванию уменьшается толщина ПС и, как следствие этого, значительно уменьшается сопротивление давления. Отсасывание является эффективным способом предотвращения отрыва ПС. Если отсасывание производится вблизи задней кромки, то поток продолжает прилегать к поверхности крыла при значительно больших углах атаки, чем в обычных условиях, вследствие чего максимальная подъемная сила значительно повышается. Наконец, отсасывание стабилизирует ламинарный ПС (ЛПС) и предотвращает или затягивает переход ЛПС в турбулентный ПС (ТПС). Опытным путем было показано, что уменьшение сопротивления получается значительным даже в том случае, если в измеренные коэффициенты сопротивления включить энергию, затраченную на отсасывание [76].
При моделировании устройства отсоса для предотвращения отрыва ПС, перехода ЛПС в ТПС и минимизации профильного сопротивления перед конструктором встает ряд проблем. Необходимо выбрать расположение проницаемого участка на поверхности крылового профиля и подобрать распределение скорости отсасывания ПС так, чтобы устройство отсоса работало эффективно при наименьших энергетических затратах.
В настоящее время в этой области ведутся большие исследования. В работе R. Eppler'a [67] рассмотрена задача моделирования устройства распределенного отсоса ПС. Скорость отсасывания ПС выбрана так, чтобы на профиле отсутствовал отрыв и переход ПС. Кроме этого, рассмотрено течение непосредственно в капиллярах проницаемой поверхности крыла. Приведены уточнения критериев отрыва и перехода ПС и формулы для учета потерь в устройстве отсоса ПС. В монографии Т. Lutz'a [73] также рассмотрены проблемы влияния распределенного отсоса ПС на характер течения и аэродинамические характеристики профиля: описан уточненный метод Р. Эпплера расчета ПС, выполнены сравнительные расчеты; приведены результаты решения задач оптимизации устройств распределенного отсоса ПС. В работах Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [3,4] решены обратные задачи для профилей с малым щелевым отсасыванием и с распределенным отсосом ПС. Решение задачи о ЛПС на непроницаемой и проницаемой подвижной поверхности изложено в работах В.Г. Шахова [60,61].
Другим важным классом являются задачи проектирования профилей вблизи экрана и многоэлементных крыловых профилей. Основная сложность здесь заключается в многосвязности области течения.
При проектировании профиля крыла экраноплана в работе М.И. Галя-утдинова, Д.В. Маклакова [21] решение задачи опирается на классический (в двухсвязной области) аппарат эллиптических функций. Для вы- полнения нелинейного в этом случае условия замкнутости искомого крылового профиля рассматривается модифицированная управляющая функция. Избавиться от двухсвязности можно также посредством введения фиктивного плоскопараллельного потока ИНЖ под экраном, как это сделано в статье А.Н. Ильинского, Н.Б. Ильинского, Д.В. Маклакова и А.В. Поташева [25]. В этом случае экран будет линией разрыва скорости, и комплексный потенциал течения становится кусочно аналитической функцией. Для решения задачи организован итерационный процесс, в котором отыскивается функция разрыва скорости на экране и образ экрана в канонической плоскости. Решение прямой задачи для крылового профиля экраноплана с устройством выдува реактивной струи дано в работе М.И. Галяутдинова, Д.В. Маклакова [20], в которой сделан вывод о том, что при выдуве реактивной струи на поверхность профиля экранный эффект начинает проявляться на отстояниях от экрана, в несколько раз превышающих отстояния в случае непроницаемого профиля, что несомненно увеличивает безопасность полетов экранопланов. Исследование ПС, возникающего на экране в следствие движения вблизи него крылового профиля, и оценка влияния этого ПС на сопротив ление профиля крыла экраноплана проведены в работе Д.В. Маклакова, Н.Б. Ильинского, В.Г. Шахова [74]. В работах СИ. Филиппова [56,57] решены близкие по тематике задачи обтекания подводного крыла. Здесь учтена весомость жидкости и поверхностное натяжение на свободной поверхности.
При проектировании крылового профиля с бесконечно тонким и телесным закрылком задача решена А.В. Поташевым [44] путем введения в поток особенностей, распределенных вдоль некоторой линии. В случае проектирования двухэлементного крылового профиля решение задачи с использованием аппарата эллиптических функций содержится в работах [41,55,69]. В качестве исходных данных используются рас- пределения скорости, заданные как функции дуговых абсцисс каждого элемента. Схема решения задачи при проектировании трехэлементного крылового профиля изложена в монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Ну-жина [55]. Здесь в качестве канонической области выбрана внешность трех дужек, расположенных на окружности единичного радиуса. Задачу удается решить благодаря использованию комплексного потенциала течения в такой области, построенного С.А. Чаплыгиным [58] в аналитической форме. A.M. Казбан [29] (см. также Г.Г. Тумашев, М.Т. Ну-жин [55, стр. 212-215]) предложил метод решения основной ОКЗА для многоэлементного крылового профиля, основанный на отображении заданной области в плоскости комплексного потенциала на верхнюю полуплоскость и представлении искомой функции в виде интеграла Коши с неизвестной плотностью. Этот метод им обобщен на случай гидродинамической решетки.
Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимизационным. Постановки таких задач восходят по-существу к работе М.А. Лаврентьева [32], который показал, что среди дуг известной длины и заданного максимума кривизны дужка окружности является наилучшей в смысле величины подъемной силы при ее безотрывном обтекании плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью. Улучшение константы (ограничения на кривизну) в этой задаче дано в работе СР. Насырова [42].
В статье В.И. Зубова [24] сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений (см., например, [33]) следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова [16]. В статье Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [5] показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. Отмечено, что наличие стока позволяет увеличить максимальную циркуляцию до значений, не достижимых на непроницаемом контуре. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова [28] решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности. A.M. Елизаров и Е.В. Федоров [19] рассмотрели задачи численной оптимизации путем решения задачи нелинейного программирования с ограничениями в виде равенств и неравенств. Для получения безотрывности обтекания авторы проводили расчет ПС по методу Кочина-Лойцянского. В работе Д.Ф. Абзалилова [1] приведено решение задачи оптимизации распределенного отсоса ПС на диффузорном участке, основанного на теории оптимального управления Понтрягина.
Целью настоящей диссертации является развитие точных и приближенных численно-аналитических методов проектирования непроницаемых профилей, профилей с отсосом ПС, отбором и выдувом потока как в неограниченном потоке, так и вблизи экрана; поиск оптимальных параметров устройств отсоса ПС и отбора внешнего потока; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния устройств управления потоком на форму, геометрические и аэродинамические характеристики крыловых профилей.
Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих восемь параграфов, заключения и списка литературы.
В первой главе рассмотрены задачи оптимизации проницаемых крыловых профилей с отсосом жидкости. Как уже было сказано выше, отсос и отбор жидкости является хорошим средством управления потоком, и правильный подбор параметров устройства отсоса (отбора) позволяет значительно улучшить характеристики крылового профиля: увеличить подъемную силу, уменьшить сопротивление, ликвидировать отрыв потока.
В 1 приведены основные положения теории ПС, выписаны формулы для интегральных характеристик ПС и интегральные уравнения, которым они удовлетворяют. Дано описание метода Р. Эпплера расчета ПС с учетом распределенного отсоса через проницаемую поверхность и приведены соотношения, замыкающие систему интегральных уравнений как для ламинарного, так и для турбулентного ПС. Выписаны критерии отрыва для ЛПС и ТПС, а также критерий перехода ламинарного ПС в турбулентный.
В 2 дана физическая и математическая постановка задачи оптимизации положения перфорированного участка на поверхности профиля и распределения его проницаемости с целью минимизации коэффициента сопротивления, включающего сопротивление вязкого трения и энергетические затраты на отсос для профиля в выбранном диапазоне углов атаки при условии отсутствия отрыва ПС. Решение проведено численно с использованием "генетического" метода оптимизации. Расчет ПС и определение его характеристик проводился методами, описанными в предыдущем параграфе. Расчеты проведены для известных крыловых профилей из атласов в случае постоянства проницаемости перфорированного участка. Показана эффективность распределенного отсоса ПС даже при учете энергетических затрат на отсос. Получено оптимальное положение перфорированного участка и величина проницаемости, позволяющие предотвратить отрыв ПС в заданном диапазоне углов атаки при минимуме суммы коэффициентов профильного сопротивления для крайних углов атаки. Проведен анализ результатов и сделаны выводы.
В 3 поставлена и решена задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с расположенными на нем точечными источниками и стоками. Полученную задачу оптимизации удалось свести к двум более простым. Решение первой из них известно. Вторая задача есть задача оптимизации положения источников и стоков на окружности для достижения максимальной циркуляции при условии, что все критические точки находятся на контуре. В результате решения оптимальным контуром оказалась окружность. Для определения положения источников и стоков на контуре вначале исследованы частные случаи: контур без особенностей, контур со стоком (источником), контур с источником и стоком, контур с двумя стоками. В общем случае решение проведено численными методами многомерной оптимизации. Из расчетов сделан вывод, что при наличии на контуре нескольких источников и стоков задача сводится к частному случаю наличия одного источника и одного стока. Положения источника и стока на окружности определяется из полученной системы уравнений, для исходных параметров задачи построена область определения. Показано, что циркуляция на контуре с особенностями может принимать значения, не достижимые на непроницаемом контуре.
Вторая глава посвящена решению ОКЗА для крылового профиля экраноплана с устройством выдува реактивной струи в случае различных параметров во внешнем потоке и в струе.
В 4 дана постановка и численно-аналитическое решение этой задачи. Под экраном вводится фиктивный плоскопараллельный поток ИНЖ. Выписан итерационный процесс для определения неизвестных функций на линиях тангенциального разрыва скорости: границах струи и экране. Приведены условия разрешимости задачи и формулы для определения коэффициента подъемной силы и сопротивления (тяги).
В 5 приведены результаты расчетов для трех случаев расположения устройства выдува на крыловом профиле: в задней кромке, на нижней и на верхней поверхностях. Для каждого случая варьировались как отстояние профиля от экрана, так и параметры выдуваемой струи. Формы контуров профилей и полученные распределения скорости V(s) как функции дуговой абсциссы представлены в виде рисунков, а аэродинамические характеристики даны в таблицах. На основе полученных результатов сделаны выводы о влиянии экрана и параметров реактивной струи на форму профиля и его аэродинамические характеристики.
Важному с практической точки зрения вопросу о пересчете аэродинамических характеристик спроектированных крыловых профилей на другие режимы обтекания и работы устройства выдува струи посвящен 6. Приведены формула для определения нового положения точки разветвления потока, формула пересчета распределения скорости V(y) и нового расхода жидкости из канала выдува. По результатам расчетов построены графики зависимости коэффициента подъемной силы от отстояния профиля от экрана для спроектированных в предыдущем параграфе крыловых профилей как в случае выдува не реактивной, так и реактивной струи.
В третьей главе разработан приближенный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей. Учитывая, что главной трудностью решения соответствующих ОКЗА является многосвязность области течения, в предложенном методе от многосвязности удается избавиться путем введения в рассмотрение многолистной римановой поверхности. При этом также удается выписать условия разрешимости обратной задачи.
В 7 разработан приближенный метод проектирования профиля крыла вблизи экрана. Вводится в рассмотрение обтекание симметричного крылового профиля с прямолинейными каналами отбора в окрестности передней кромки и выдува (не реактивной) струи в окрестности задней кромки. От схемы обтекания такого крылового профиля осуществлен переход к схеме обтекания профиля с плоской нижней поверхностью над экраном (экраном в этом случае является средняя линия симметричного крылового профиля). Приведен вид распределения скорости со свободными параметрами как функции параметра в канонической области -внешности единичной окружности. Построена система нелинейных уравнений для их определения. Выписаны условия разрешимости и формулы для подсчета аэродинамических характеристик. Сопоставление результатов расчета с решением задачи в полной постановке показало малую погрешность приближенного метода, причем погрешность тем меньше, чем меньше отстояние профиля от экрана.
В 8 этот метод развит на случай проектирования многоэлементного крылового профиля. Здесь вводится в рассмотрение обтекание уже несимметричного крылового профиля с каналами отбора и выдува, число которых зависит от числа элементов многоэлементного профиля. Выполняя условия разрешимости и специальные условия на расходы и положения каналов, от схемы обтекания профиля с каналами осуществлен переход к схеме обтекания многоэлементного крылового профиля. Приведен вид многопараметрического распределения скорости и указана зависящая от этих параметров система нелинейных уравнений. Работоспособность приближенного метода проиллюстрирована примером проектирования крылового профиля с закрылком. Сравнение результатов расчета с решением задачи о биплане для полученного распределения скорости V(s) показало незначительную погрешность предложенного метода.
В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.
Результаты приведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
Решение задачи оптимизации положения проницаемого участка и распределения его проницаемости для минимизации коэффициента сопротивления при условии отсутствия отрыва ПС в заданном диапазоне углов атаки.
Решение задачи максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками.
Метод решения ОКЗА для крылового профиля с устройством выдува реактивной струи вблизи экрана.
Приближенный метод проектирования профиля крыла экраноплана и многоэлементного крылового профиля с произвольным числом элементов.
Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы.
Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель - Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 1997-2002гг.; Всероссийской молодежной научной Школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1997); Всероссийской молодежной научной Школе-конференции по теории функций (Казань, 1998); Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999); XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2000); Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (ЦАГИ, Жуковский, 2000, 2002); Международной научной конференции и молодежной школе "Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения", посвященной 90-летию Г.Г. Ту- машева (Казань, 2000); V Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2001); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); Итоговой конференции Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002); Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2002); Первой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности" ("ОКБ Сухого", Москва, 2002); Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2002" (Казань, 2002); Третьей Международной школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2003).
По теме диссертации опубликовано 13 тезисов и 6 статей в центральных и региональных изданиях и одна статья принята к печати (Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. №2). Основное содержание диссертации отражено в работах [7,11,12,26,36-40]. В работах [7,11,12,26,36,37], которые послужили основой первых двух глав, соавторам принадлежит постановка задачи и совместно с автором метод решения. Кроме того, автор разработал алгоритмы решения, составил программы и провел числовые расчеты. В работах [38-40] (основа третьей главы) совместно с научным руководителем дана постановка задачи, автором разработан метод решения и проведены числовые расчеты.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, соавтору большинства своих работ, доктору физико-математических наук, профессору Н.Б. Ильинскому за регулярные консультации и полез- ные советы и кандидату физико-математических наук Д.Ф. Абзалило-ву, принимавшему активное участие в обсуждении работы. Автор также признателен доктору физико-математических наук, профессору А.В. Поташеву за помощь в преодолении математических трудностей при численной реализации решений на ЭВМ. Благотворное влияние на развитие работ по теме диссертации оказало ее обсуждение с Г.Ю. Степановым и A.M. Елизаровым. Автор благодарит всех сотрудников Отдела краевых задач НИИММ за постоянное обсуждение результатов диссертации на семинарах Отдела краевых задач, поддержку и внимание. Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 99-01-00365, 99-01-04029, 01-01-04004, 01-01-06059, 02-01-00061, 03-01-10620з), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.
Улучшение аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения распределенного отсоса пограничного слоя
Постановка задачи. Рассмотрим обтекание заданного крылового про филя при углах аь а. атаки потоком вязкой несжимаемой жидкости при достаточно больших числах Рейнольдса (порядка 106) со скоростью V » на бесконечности (фиг. 3,а). В предположении безотрывности обтека 6 ния для вычисления поля скоростей внешнего течения используем мо дель ИНЖ. Распределения скоростей V\{s), V s) по контуру крылового профиля при углах а\ и аг соответственно найдем, решив прямую краевую задачу для функции комплексного потенциала при условии непротекания контура профиля (фиг. 3,6, на этой фигуре показано одно рас 1 Параграф написан по работам [12,26]. о Фиг. З пределение скорости V(s) при угле атаки а). Здесь s - дуговая абсцисса контура профиля, отсчитываемая от задней кромки таким образом, что при ее возрастании область течения остается слева. Вязкость, влияние которой будет сказываться лишь вблизи поверхности профиля, будем учитывать по модели ПС. Предположим, что имеется одна камера отсоса с давлением рс в ней, и отсос ПС происходит по закону Дарси v0(s) = K(s) be - P(s)}, (2.1) где VQ(S) 0 - скорость отсасывания ПС, K(s) - распределение проницаемости перфорированного участка, p(s) - давление на внешней поверхности крылового профиля. В дальнейшем будем использовать безразмерные переменные, отнеся все линейные размеры к хорде 6 профиля, а скорости - к скорости V o набегающего потока: s = s/b, V = V/Voo, vl = Vo/Voo f = 2(p - Poo)/pVl, K = KpV /2, где poo - давление набегающего потока, p - плотность. Число Рейнольдса будет определяться соотношением (1.2). С учетом введенных безразмерных переменных Re = 1/іЛ Символ " , обозначающий безразмерную величину, в дальнейшем будем опускать. Давление p(s) вычислим по формуле, следующей из интеграла Бернулли (1.4) в основном потоке и условия постоянства давления поперек ПС p(s) = 1 - V2(s). (2.2)
По распределению проницаемости K(s) и распределениям скоростей Vi(s), V s) внешнего течения при двух углах атаки скорость отсоса ПС находится по формуле (2.1) с учетом (2.2).
Если расчет ПС показывает, что на поверхности непроницаемого профиля хотя бы при одном крайнем угле атаки возникает отрыв потока, то для предотвращения этого явления расположим на поверхности профиля проницаемый участок (sm, sn), через который будем осуществлять распределенный отсос ПС. Из всех множеств таких участков, предотвращающих отрыв, выберем оптимальный. Схематично эту задачу можно сформулировать следующим образом.
Требуется найти такое положение концов sm и sn проницаемого участка, такое распределение K(s) пористости и такие давления реї, рС2 в камере отсоса (для углов атаки а\ и а2 соответственно), чтобы сумма коэффициентов сопротивления Cd = Aicdi + X2cd2 (2.3) принимала минимальное значение при условии отсутствия отрыва ПС. Величины Ai и Л2 - весовые коэффициенты. Точная математическая постановка задачи будет дана ниже. Коэффициент Cdi сопротивления при одном угле атаки (а г = 1,2) будем вычислять по формуле Cdi = Cvi Г С8{. \Z. t)
Здесь cvi - коэффициент сопротивления за счет трения, а с5г- - коэффициент сопротивления, эквивалентный энергетическим затратам и потерям в устройстве отсоса.
Для простоты изложения рассмотрим случай расположения проницаемого участка только на верхней поверхности крылового профиля (s є [sa, L]), где sa - дуговая абсцисса точки Л разветвления потока на контуре профиля, L - периметр контура профиля.
Для вычисления коэффициента сопротивления эквивалентного энергетическим затратам на отсос используем формулу из работы [67] са = Vc2 J v0{s)ds = Vc2cq. (2.5) Здесь cq - безразмерный коэффициент расхода, Vc - некоторая фиктивная скорость, зависящая от давления рс в камере отсоса
Формулу (2.5), учитывающую по максимуму потери в ПС, при прохождении жидкостью проницаемой поверхности и каналов, можно получить теоретически из рассмотрения энергетических затрат. При вычислении коэффициента сопротивления за счет трения воспользуемся формулой Сквайра-Юнга cv = 2 (/,) (1,)]51 (2.6) где s = L соответствует точке схода потока, толщина 62(b) потери импульса и формпараметр Hi2{L) - интегральные характеристики ПС в задней кромке. Суммарный коэффициент с трения вычисляется по формуле (2.4).
Сведение к оптимизационной задаче. Обратимся к решению поставленной выше задачи нахождения положения проницаемого участка и величин K(s), Реї, Рс2 так, чтобы Cd было минимально при отсутствии отрыва ПС. Будем считать, что распределение проницаемости K(s) постоянно на всем перфорированном участке (sm,sn), то есть K(s) = К0.
Максимизация циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками
Направление аналитического решения. Вся сложность решения задачи А состоит в наличии ограничения (3.17), связывающего искомую функцию 5(7) и параметры v. При его отсутствии согласно (3.13) задача свелась бы к максимизации /o(7f) ПРИ ограничении (3.18) и минимизации функционала 2тг / ехр[-5(7)] 7 о при условиях (3.14)-(3.16). Однако задачу А можно подразделить на две более простые задачи. Задача Б. Найти функцию S(y), удовлетворяющую условиям разрешимости (3.14)-(3.16) и уравнению 2ж Jexp[-S(y)]d y = C, о где С 0 - заданное вещественное число.
Задача В. Найти параметры v, при которых функция /о (7м) принимает максимальное значение при ограничении (3.18) и условии Fi(iy)l bn = С. Решение задачи Б согласно [16] следующее: 1. При С 2ж решение не существует; 2. При С = 2п решение существует и единственно: 5(7) = 0; 3. При С 27г существует бесконечное множество решений. Задачу В можно трактовать как задачу оптимизации расположения критических точек и особенностей на единичной окружности при единичной скорости набегающего потока и суммарном расходе Qm = Cqm через источники и Qn = Cqn через стоки (это следует из (3.6) и (3.9)). После ее решения определится значение оптимизируемой функции /O(7J/)» которое, естественно, будет зависеть от С. Согласно (3.13) оптимизируемая циркуляция также будет функцией от С Г(С) = [тах/0(Ъ)]/С.
Если показать, что на интервале [27г, со) эта функция будет иметь максимум в точке С = 27г (для этого достаточно показать, что она является монотонно убывающей), то можно утверждать, что решением поставленной задачи будет окружность. Действительно, в этом случае 5(7) = 0, и, подставив это в (3.11), получим, что распределение скорости на искомом контуре совпадает с точностью до константы с распределением скорости на окружности.
Исследование задачи В - оптимизации циркуляции скорости на окружности - начнем с простейших случаев.
Частные случаи. /. При N = 0, М = 0 имеем обтекание непроницаемой окружности (см., напр., [33]). Имеется всего один свободный параметр 7ао и требуется максимизировать
Ограничений нет. Эта функция достигает своего максимума 4-л- при 7а0 = 27г. Функция Г(С) = АТТ/С является монотонно убывающей и на интервале [27Г, оо) достигает максимума Г = 2 при С = 27г. Поэтому согласно сказанному выше оптимальным контуром будет окружность. Картина течения изображена на фиг. 9,с. 2. При N = 1, М = 0 имеем окружность со стоком [5]. Имеется три свободных параметра: 7ао 7аъ7п1- Требуется максимизировать /o(7a0i7oi, 7ni) = 2тфіп/3 - sin(7ao -0) + sin(7ni -0)- sin(7ai - 0))], 0 = [jaO + 7al - 7nl - 7г]/2 (3.19) при одном ограничении /2(7a0,7ob7ni) = 8тг sin sin 7nl 2 7a sin 7ПІ 2 7al = n 3 20 Для решения этой задачи введем в рассмотрение функцию Лагранжа - (TaOi 7ol. Tnl) = /о(ТаО, Tab Tnl) + / 2 (ТаО, 7al, 7ш) В экстремальной точке необходимо выполнение следующих условий: U2f/d7ao = 0, 0J8?/07ei = O, &Sf/d7ni = 0. (3.21) Выписав эти производные и сложив первое полученное выражение со вторым, получим
Расчеты, анализ, выводы
При численной реализации описанного выше метода было рассмотрено три случая: выдув реактивной струи с задней кромки, с нижней поверхности и с верхней поверхности крылового профиля. При этом в последних двух случаях рассмотрены варианты моделирования устройства выдува струи прямолинейным каналом с постоянными скоростями на стенках (когда скорости одинаковы) и кольцевым каналом (когда скорость на внутренней стенке канала больше, чем на внешней). В случае выдува с задней кромки целесообразно рассмотреть лишь случай прямолинейного канала. Для каждого рассмотренного случая проведена серия расчетов, в которой варьировались как параметры выдуваемой струи, так и отстояние профиля от экрана.
В первом рассмотренном случае исследовано влияние безразмерного параметра ц и отстояния Н задней кромки профиля от экрана на форму и аэродинамические характеристики крылового профиля с устройством выдува реактивной струи, расположенным вблизи задней кромки. Распределение скорости Vi y), обеспечивающее необходимое нам положение этого устройства, изображено на фиг. 15. Параметры 7п и р должны быть малы. На участке падения скорости распределение скорости V(7) можно задать как линейным (на участке 7 Є (7р 7і)» в нашем случае на верхней поверхности), так и убывающим по некоторому закону (приведено штриховой линией). Закон убывания скорости выбран в виде
Первый пример расчета профиля и распределение скорости V(s) по его контуру для случая д = 0 {Vjoo = V ) и Я — оо приведены на фиг. 16 сплошной линией. Влияние уменьшения отстояния Я задней кромки профиля до экрана следующее: нижняя поверхность профиля становится более плоской, угол атаки и угол, под которым выдувается струя, уменьшаются, а толщина профиля становится больше. Естественно, что при удовлетворении условий разрешимости свободные параметры изменяются, и распределения скорости для различных отстояний от экрана несколько различаются. Форма профиля и распределение скоро-сти по его контуру в случае Я = 0,0064 приведены на фиг. 16 пунктирной линией. Изменение аэродинамических характеристик в зависимости от отстояния от экрана приведено в таблице 4. Из таблицы видно, что при уменьшении отстояния подъемная сила профилей уменьшается, а сила тяги остается практически неизменной.
При увеличении энергии выдуваемой струи форма профиля меняется незначительно: несколько уменьшаются его толщина, угол атаки и угол под которым выдувается струя. Уменьшение отстояния Я от экрана для профиля с выдувом реактивной струи с задней кромки оказывает такое же влияние на его форму и аэродинамические характеристики, как и в предыдущем случае. Пример расчета такого крылового профиля в случае = 8 (Vjoo = ЗУоо) приведен на фиг. 17, сплошной линией для Я — оо, штриховой для Я = 0,021. Аэродинамические характеристики приведены в таблице 5. Коэффициент подъемной силы несколько выше на значительных отстояниях от экрана в сравнении со случаем выдува не реактивной струи и практически такой же при малых Я. Коэффициент тяги на порядок больше, чем в предыдущем случае, и несколько увеличивается при приближении профиля к экрану.
Результат расчета для ц = 0 приведен на фиг. 18, для Я — со сплошной линией, а для Н = 0,03 - штриховой. Соответствующие характеристики даны в таблице 6. В случае реактивной струи (ц = 8, Vjoo = 31 ) форма получившегося профиля и распределение скорости по его контуру представлены на фиг. 19 (сплошной линией для Н —» со и штриховой - для Н = 0,056), аэродинамические характеристики полученных профилей даны в таблице 7. Из сравнения результатов последних двух расчетов видно, что влияние энергии выдуваемой струи на форму профиля больше, чем в случае выдува с задней кромки, однако коэффициент подъемной силы при этом практически не изменяется. При приближении профиля к экрану форма его меняется аналогично предыдущему случаю: увеличивается толщина профиля, уменьшается угол атаки и угол под которым выдувается струя. Следует отметить, что при расчете профиля с выдувом реактивной струи итерационный процесс плохо сходится при малых отстояниях от экрана.
Последний рассмотренный случай - выдув струи с верхней поверхности крылового профиля, когда устройство выдува находится вблизи передней кромки и моделируется кольцевым каналом с постоянными скоростями на стенках. Пример подобного расчета в случае безграничного потока приведен в работе [6]. Вид распределения скорости для расчета был взят таким же, как в этой работе. Получившиеся формы крыловых профилей и распределения скорости вдоль их поверхностей для fl = О представлены на фиг. 20 (сплошной линией для Н —+ со и штриховой -для Н = 0,008), а аэродинамические характеристики - в таблице 8
Приближенный подход к проектированию многоэлементных крыловых профилей
Разобьем задачу на две части: вспомогательную задачу отыскания крылового профиля с каналами отбора и выдува и основную задачу построения многоэлементного крылового профиля.
Постановка вспомогательной задачи. В физической плоскости z = х + гу искомый крыловой профиль BoA0NkAkBkMkB0, к = l,Nq (назовем его Lz) плавно обтекается установившимся потоком ИНЖ со скоростью V o на бесконечности (фиг. 29,а). За начало координат выберем точку В0» ось х абсцисс проведем параллельно скорости набегающего потока. На профиле имеются Nq каналов отбора и Nq каналов выдува потока, которые моделируются круговыми каналами с постоянными скоростями на стенках [50,51]. Выдуваемая жидкость имеет те же параметры, что и внешний поток. Считаются заданными ширины hnk = hmk = hk каналов отбора и выдува, а также скорости V\k на внутренних и V на внешних стенках fc-ых каналов отбора и выдува, то есть V\k V2&. На искомом контуре задано распределение скорости V(7) 7 Є [0,2п} как функция углового параметра у в канонической области G$ - внешности окружности С 1 в плоскости С = re11 (фиг. 29,6). При задании V(7) должны выполняться соотношения:
В критических точках Ak, к = 0,Nq профиль считается гладким, а в острых кромках Вк, к = 0, Nq угол, внутренний к области Gz течения, принят равным 27г. Хорда Ь профиля задана. Соответствующие точки в плоскостях z и обозначены одинаковыми буквами. Для взаимно однозначного конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей z и ( и переход точки z = 0 в точку С = 1.
Требуется найти форму контура Lz искомого крылового профиля с каналами отбора и выдува.
Решение вспомогательной задачи. При сделанных предположениях в области течения Gz существует комплексный потенциал потока w(z) = (р(х,у) +іф(х,у). В плоскости С будем иметь обтекание окружности единичного радиуса со стоками, расположенными в точках Nk, k = l,Nq, и с источниками, расположенными в точ ках М , к— l,Nq. Комплексно сопряженную скорость легко получить из (3.1), пола гая N = М = Nq модуль и аргумент скорости набегающего потока в плоскости С; Cafe = Є , к = 0j7 q , ЇЬк = Є % Спк = пк, Стк = Є " , к = ТТЩ точки Ак, Дь Nk, Mk на окружности. Аналогично из (3.3) установим связь между углом р и угловыми координатами точек на окружности
Зная 5(7), мнимую часть х(0 восстановим интегралом Гильберта-Шварца (4.16) и затем найдем аргумент вектора скорости 0(7) из соотношения (8.8). Дуговую абсциссу 5 и координаты профиля вычислим по формулам (4.17). Параметр UQO определим из условия заданности хорды Ь профиля.
На функцию 5(7) необходимо наложить ограничения - условия разрешимости ОКЗА [17]. Условие заданности скорости набегающего потока на бесконечности имеет вид (4.23). Из соотношения res {dz/dQ = 0 по - оо лучим условия замкнутости контура крылового профиля: (8.10) Каналы отбора и выдува с постоянными, но различными скоростями на стенках являются бесконечнолистными круговыми каналами. Внутренняя и внешняя стенки такого канала асимптотически стремятся к двум концентрическим окружностям. Радиусы этих окружностей определяются скоростями на стенках и расходом жидкости в канале. Центром и радиусами канала будем называть центр и радиусы этих окружностей.
Из условий заданности ширин hk каналов и скоростей V\k и V2k на стенках каналов запишем выражения для радиусов каналов: Радиусы г\к и Г2к каналов необходимы для определения координат хпк, упк точек Ск (центров каналов отбора) и координат хтк, утк точек Dk (центров каналов выдува).
Для удовлетворения условий разрешимости (4.23), (8.9), (8.10) и условий на расходы (8.4), (8.5) и (8.11) в распределение скорости V(y) необходимо ввести 2Nq -f 3 свободных параметра.
Постановка основной задачи. Рассмотрим обтекание iV-элементного крылового профиля установившимся потоком ИНЖ со скоростью \4о на бесконечности. По контуру профиля задано распределение скорости V(7), 7 [0,27г] как функция углового параметра j во вспомогатель ной плоскости (фиг. 29,6). Заданы расстояния dk, к = l,N — 1 между элементами профиля и хорды Ък, к = 0, N — 1 каждого элемента.
Требуется определить формы контуров Lk, к = 0, N — 1 элементов многоэлементного профиля, распределения скоростей 14 (s) по поверхности каждого элемента профиля как функции дуговых абсцисс каждого элемента и коэффициент Су подъемной силы крылового профиля.
