Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гидродинамика растекания капель вязких жидкостей по твердым плоским поверхностям 23
1.1. Вывод общего уравнения растекания капли по твердой поверхности 26
1.2. Особенности изотермического растекания капель по смоченным поверхностям 32
1.3. Изотермическое растекание капель с учетом действия расклинивающего давления 44
1.4. Квазистационарный подход в задачах растекания капель 69
1.5. Сравнение теоретических результатов с данными экспериментов 84
Глава 2. Неизотермическое растекание капель по твердым поверхностям 103
2.1. Уравнение неизотермического растекания капли 104
2.2. Термокапиллярное растекание капли 109
2.3. Гравитационно - термокапиллярное растекание капли 117
2.4. Сравнение расчетов с экспериментальными данными 136
Глава 3. Растекание капель по пористым поверхностям 142
3.1. Уравнения растекания капли по пористой подложке 143
3.2. Растекание по пористому слою, заполненному жидкостью 148
3.3. Анализ растекания капли по сухому пористому слою с впитыванием 152
3.4. Частные модели растекания капель с впитыванием при наложении дополнительных кинематических ограничений 156
3.5. Модифицированная модель растекания с впитыванием 165
3.6. Анализ результатов расчетов процесса растекания капли по пористому слою 169
Глава 4. Моделирование движения капель в цилиндрических капиллярах 176
4.1. Вывод уравнений движения капли жидкости в капилляре 177
4.2. Устойчивость и релаксация капли в капилляре 182
4.3. Динамика профиля пленки при стационарном движении капли 192
4.4. Анализ профиля переходных зон от пленки к менискам 198
4.5. Асимптотический анализ влияния скорости на геометрию поверхности капли 207
4.6. Расчет динамических краевых углов и относительной разности потоковых скоростей жидкостей 216
4.7; Движение капли в капилляре под действием перепада давления 220
Глава 5. Анализ влияния поверхностно-активных веществ на поверхностное натяжение 228
5.1. Математическая модель взаимодействия ионов у поверхности жидкости 232
5.2. Расчет электростатических потенциалов вблизи поверхности 236
5.3. Зависимость поверхностного натяжения от концентрации ПАВ 240
5.4. Асимптотическое поведение поверхностного натяжения
при предельных значениях концентрации ПАВ 247
5.5. Сравнение с результатами экспериментов 254
Выводы 263
Литература
- Изотермическое растекание капель с учетом действия расклинивающего давления
- Гравитационно - термокапиллярное растекание капли
- Частные модели растекания капель с впитыванием при наложении дополнительных кинематических ограничений
- Анализ профиля переходных зон от пленки к менискам
Введение к работе
При проектировании и разработке нефтяных и газовых месторождений особое место занимает вопрос определения относительных фазовых прони-цаемостей присутствующих в пласте флюидов как функций водонасыщенн-ности порового пространства породы. Увеличение фазовой проницаемости углеводородной фазы значительно повышает нефтеотдачу пласта. Процессы, происходящие в породах достаточно сложны для изучения. Их развитая пористая структура определяет значительную роль поверхностных сил. Наличие, по крайней мере, двух жидких фаз, взаимодействующих друг с другом и с твердыми поверхностями, значительно усложняет теоретическое исследование.
Анализ процессов двухфазной фильтрации в пористой среде на объемном гидродинамическом уровне проводился в ряде работ [2, 15, 20, 32, 46]. Вместе с тем, для детального анализа происходящих процессов важно выявить особенности двухфазных течений на уровне отдельного капилляра. Весьма перспективным с этой точки зрения зарекомендовал себя перколяци-онный подход [178], позволяющий установить многие характеристики процессов фильтрации в пористых средах.
Простейшей моделью двухфазного течения в пористой среде, является задача о движении капли (в частности, пузырька воздуха) в тонком капилляре, заполненном другой жидкостью. В такой системе роль поверхностных сил весьма значительна. Действительно, если жидкости в такой системе не смешиваются, то между стенкой капилляра и поверхностью капли образуется тонкая прослойка второй жидкой фазы. Для корректного описания движения данной гидромеханической системы необходим учет влияния специфических поверхностных сил. В частности, в тонких слоях жидкости, помимо капиллярных и гравитационных сил, действует, так называемое, расклинивающее давление.
Расклинивающее давление впервые было обнаружено и исследовано Б.В. Дерягиным и М.М. Кусаковым [24 -26, 101, 102]. Значительный вклад в его изучение внес также Л.Д. Ландау. В настоящее время под термином "расклинивающее давление" понимается целый ряд специфических поверхностных сил, включающих электростатическую, адсорбционную, дисперсионную, электронную и структурную составляющие. Действие расклинивающего давления начинает проявляться при толщине жидкой пленки не превы-
шающей величину 10 м, и может достигать существенных значении для
—9 —8 пленок субмолекулярной (2-10 - 10 м) толщины. Для более тонких пленок
неприменимо гидродинамическое описание процессов в жидкости, для объемной жидкости расклинивающее давление оказывается пренебрежимо малым.
Впервые задача о движении капли в капилляре изучалась в работах [77, 185]. Там были установлен ряд важных характеристик движения, касающихся толщины жидкой пленки, окружающей каплю, а также относительной скорости перемещения капли. (Действительно, из-за прилипания жидкости у стенок капилляра, средняя скорость движения капли оказывается большей средней скорости движения заполняющей капилляр жидкости.) В [46, 164] было предложено при исследовании движения капли в капилляре отдельно изучать ряд зон: область, не содержащую каплю, зону вблизи сферических менисков, зону пленки постоянной толщины, а также переходную область между двумя последними. Такое разбиение легло в основу всех дальнейших работ. Исследование системы было развито в [115], где были также получены условия устойчивости капли в капилляре. Расклинивающее давление при этом не учитывалось. Экспериментальные исследования [1, 9 , 10, 49, 71, 82, 89, 171, 191] показали ряд интересных эффектов, связанных с движением капли в капилляре под действием приложенного градиента давления и/или электрического поля. Однако, как показал теоретический анализ [35, 36] , в
работах [9, 10] из-за недостаточной точности проводимых измерений был получен ряд неверных количественных выводов. В [55] были проведен теоретический анализ формы ограничивающих каплю менисков. Ряд выводов при этом оказался неверным из-за математических неточностей, связанных с характером асимптотического поведения дифференциального уравнения
У У"' = У~ 1 ПРИ х ~* - Действительно, в течение многих лет (начиная с работы [116]) исследователи, столкнувшиеся с этим уравнением в различных задачах распространения жидкости, не подвергали сомнениям факт, что его решение удовлетворяет условию у' —> В = const при х -» оо . При этом численно было получено значение этой постоянной В — 2,35. Как выяснилось, указанное дифференциальное уравнение попросту не обладает подобным асимптотическим свойством.
Отметим также, что во всех представленных публикациях не было установлено самого главного: количественной зависимости величины внешнего поля и скорости движения, а также геометрических характеристик капли.
Значительно возросшая в последнее время актуальность экологических аспектов нефтедобычи определяет интерес к задачам гидродинамики растекания капель. Действительно, попадая на грунт или другую жидкость, капля нефти стремиться растечься по поверхности. К факторам, определяющим интенсивность этого процесса, относятся гравитационные, капиллярные, термокапиллярные эффекты, а также пористость подложки. Особую роль в процессах растекания капель по твердым подложкам играет расклинивающее давление, без учета которого корректное гидродинамическое решение задачи невозможно.
Действительно, на основе феноменологической теории смачивания, усилиями Юнга и Лапласа было установлено условие равновесия капли жидкости, расположенной на ровной твердой поверхности (рис. В1). Особенностью данной системы является то, что у периметра смачивания капли грани-
чат три различные фазы: жидкая (капля), твердая фаза подложки и газ, окружающий каплю. Сам периметр смачивания получил название линии трехфазного контакта (ЛТК). Количественной мерой смачивания служит равновесный краевой угол, определяемый как угол а между касательной плоскостью к поверхности капли и плоскостью основания. Чем меньше этот угол, тем лучше жидкость смачивает поверхность, и наоборот, увеличение равновесного краевого угла означает ухудшение смачивания.
Рис. В1. Равновесие капли жидкости на твердой подложке
Юнг установил, что в равновесии должно быть выполнено условие
тг = тж "*" ^жг cos<2> где через а обозначены межфазные натяжения на границе раздела пары
сред, причем индекс "т" относится к твердой подложке, индекс "ж" — к жидкости в капле, "г" — к окружающей каплю газовой среде.
В рамках классического гидродинамический подхода для вязкой жидкости принимаются условия прилипания (равенства нулю относительной скорости) на поверхности твердого тела. Однако у линии трехфазного контакта эти условия оказываются несовместимыми с движением жидкости по касательной к поверхности. В результате в уравнениях Навье - Стокса возникает сингулярность, разрешить которую невозможно в рамках классической гидромеханики. Первые попытки устранить эту особенность у ЛТК были приняты в [129 -132, 150, 160]. В этих работах условие прилипания вязкой жидкости на твердой подложке заменялось введением эффективного проскальзывания. Физические предпосылки для подобной гипотезы отсутству-
ют, хотя в [93,130] указывалось, что проскальзывание может возникнуть при наличии на подложке микрошероховатостей. В дальнейшем нами в [39, 44] было показано, что при растекании капли по пористому слою, действительно возникает эффективное проскальзывание, однако, оно не является ни единственным, ни основным фактором, обуславливающим поведение системы. Еще одним способом устранения сингулярности вблизи ЛТК является предположение о растекании жидкости по типу гусеницы трактора. При этом фактический краевой угол должен составлять 180, а жидкость просто перетекает с поверхности капли на подложку и имеет в момент соприкосновения нулевую скорость [165, 5]. Однако, довольно быстро выяснилось, что подобный подход не снимает сингулярность (в публикациях были найдены ошибки математического характера), а кроме того, ни в одних экспериментах подобный механизм распространения капли не наблюдался.
Сингулярность задачи можно также устранить, рассмотрев растекание капли по слою жидкости. Вообще говоря, из-за естественной летучести жидкости ее молекулы присутствуют в окружающей газовой среде, и, в свою очередь, могут адсорбироваться на подложке вокруг капли. Однако перенос рассмотрения на молекулярный уровень сделал бы исходный гидродинамический подход не вполне корректным. Рассмотрение же растекания по макроскопическому слою жидкости [114, 38] представляет собой самостоятельную задачу.
Многочисленные теоретические следования процесса растекания капли по твердой поверхности [11, 12, 16-18, 33, 50, 53, 56, 62, 79, 105, 153] хотя и позволили установить ряд важных закономерностей, тем не менее, не привели к окончательному решению проблемы. Довольно скоро выяснилось, что процесс растекания жидкости по твердой подложке определяется поверхностными силами, действующими в тонкой пленке вблизи ее подножия.
Естественно, что вблизи линии трехфазного контакта у подножия растекающейся капли, где толщина жидкого слоя мала, действие расклинивающего давления обязательно должно быть учтено. В [79] и [53] было предложено рассматривать три зоны жидкой капли: 1) сферическая часть, где действуют капиллярные и гравитационные силы; 2) подножие, где необходимо учитывать действие расклинивающего давления; 3) переходная зона между первыми двумя.
В.М. Старову в [53] впервые удалось близко подойти к решению задачи о растекании капли по твердой подложке на основе учета действия расклинивающего давления у ее подножия. И хотя найденное им решение содержало некоторый математический изъян, связанный с неограниченным ростом функции, описывающей высоту капли, полученные в [53] результаты позволили установить качественную зависимость радиуса распространения капли от физико-химических параметров системы, включая константы изотермы расклинивающего давления. Эти зависимости качественно совпадали с данными экспериментов [91], хотя и имели отличие в величине предэкспоненциального множителя для зависимости радиуса растекания и краевого угла от времени процесса. Дальнейшее развитие теории в наших работах [40, 180, 181] позволило окончательно и корректно решить задачу. Найденные в них теоретические зависимости для радиуса растекания R0(t), высоты капли H0(t) и динамического краевого угла Q(t) с очень хорошей точностью отвечали экспериментальным данным [8, 50, 91, 180]. При этом совпадение наблюдалось не только для показателей степени а во временных законах
R0(t), H0(t),Q(t)~kta, но и для предэкспоненциальных множителей к, которые, согласно теории, являются явными функциями физико-химических параметров жидкости и изотермы расклинивающего давления.
Практически в то же время де Жен выдвинул идею об образовании так называемого "прекурсора" (или "предвестника") - пленки молекулярной толщины, вытекающей впереди растекающейся капли [98]. Им была получена форма прекурсора и радиус его распространения. Вскоре очень тонкие эксперименты [125, 189] показали, что процесс растекания жидкости по подложке на микроскопическом уровне действительно сопровождается вытеканием жидких монослоев впереди линии трехфазного контакта с образованием прекурсора. Подтверждение факта вытекания молекулярных монослоев впереди растекающейся капли было также подтверждено методами молекулярной динамики [88].
Таким образом, развитая нами теория, позволяющая устранить сингулярность вблизи линии трехфазного контакта у растекающейся капли за счет учета влияния расклинивающего давления, нашла согласование с другими видами теоретического и экспериментального анализа.
Одним из факторов, существенно влияющим на процессы растекания жидкости, является температурный эффект. Хорошо известно, что тепловое воздействие позволяет значительно увеличить отдачу нефтяного пласта [15]. Основные физико-химические свойства жидкости (особенно вязкость) существенно зависят от температуры. Еще один, поверхностный, механизм влияния температуры на движение жидкости, известен под названием эффекта Марангони. Зависимость поверхностного натяжения жидкости от температуры приводит к возникновению на ее поверхности касательного напряжения, стремящегося переместить жидкость из более нагретой области к менее нагретой.
Процессы неизотермического растекания капли изучены сравнительно слабо. Необходимость совместного решения уравнений гидродинамики и уравнений теплопроводности чрезвычайно затрудняет теоретический анализ. В то же время, проведение экспериментов, в которых необходимо поддерживать и строго контролировать заданную температуру жидкости,
также практически невозможно. Поэтому в большинстве известных публикаций по неизотермическому растеканию капель, наблюдается лишь качественное соответствие теоретических и экспериментальных результатов.
В работах [5 -7] представлены результаты многочисленных экспериментов по растеканию жидких капель по твердой подложке при наложении градиента температуры. Отмечено, что при нагревании периферийного края капли, когда термокапиллярные и гравитационные эффекты направлены в разные стороны, ее распространение ограничено равновесным положением. При охлаждении края капли указанные эффекты имеют одинаковый знак, и растекание происходит неограниченно. Теоретический анализ в [5 -7], однако, показал значительные количественные расхождения с наблюдениями.
В [107, 108] изучалось неизотермическое растекание капель силиконового и парафинового масел по стеклу. Капля помещалась в атмосферу гелия с температурой отличной от температуры подложки. Было подтверждено, что охлаждение подложки приводит к ускорению растекания, а нагревание - к его замедлению. Ввиду сложности определения реального распределения температуры по сечениям жидкости, значения числа Марангони, определяющего неизотермические эффекты в системе, использовались в качестве подгоночного параметра. Полученные величины значительно отличались от предварительных оценок.
В [75] задача о растекании двумерной капли сформулирована с учетом температурных и гравитационных эффектов, а также диффузии растворенного в жидкости вещества (загрязняющей примеси). При этом расклинивающее давление не учитывается, а для устранения сингулярности у линии трехфазного контакта введено проскальзывание. Кроме того, авторы накладывают дополнительное кинематическое ограничение в виде "модифицированного" закона Таннера, согласно которому линейная скорость распространения капли пропорциональна некоторой степени отклонения текущего значения крае-
вого угла от его равновесного значения: —Q^- = к(в — 6е) . Коэффициент к
и показатель степени т оценены из экспериментальных работ, и имеют весьма значительный разброс значений. Численные расчеты были проведены как для реактивного растекания (с учетом диффузии), так и для случая постоянной концентрации раствора. В результате были получены зависимости радиуса растекания капли и поля концентраций от времени. Подтверждена роль эффектов Марангони на процесс растекания капель. В случае нагретой подложки теплообмен вызывает охлаждение центральной части капли, которая удалена от подложки больше, чем подножие капли. В результате, градиент температуры вызывает повышение поверхностного натяжения около центра капли и растекание замедляется. Если температура подложки ниже, чем окружающей атмосферы, центральная часть капли нагревается больше по сравнению с периферией, поверхностное натяжение там падает, что приводит к ускорению процесса растекания.
Процесс распространения жидких пленок под действием градиента температуры был теоретически и экспериментально рассмотрен в [84, 86]. Вертикально опущенная в жидкость пластина с охлажденным верхним краем вызывала поднятие пленки в силу возникающего градиента поверхностного натяжения. Динамика этого процесса определяется конкуренцией термокапиллярных и гравитационных эффектов. Наблюдался ряд интересных и теоретически труднообъяснимых результатов, связанных с толщиной и формой пленки (в частности образования утолщения в ее верхней части), а также с временными характеристиками поднятия пленки по пластине. На начальном этапе скорость поднятия пленки была постоянной, как это и следует из рассмотрения эффектов Марангони. Дальнейшее развитие процесса приводило к развитию так называемой "пальцевой неустойчивости", когда на фронте распространения жидкости возникали выступы ("пальцы"), скорость движения которых превышала скорость движения основной части пленки. Для тонких
(с толщинами порядка толщины прекурсора), медленно движущихся пленок наблюдавшийся профиль не содержал утолщения у верхнего конца, что объясняется определяющим действием расклинивающего давления.
В [196] исследовались термические эффекты распространения жидких пленок при изменении наблюдаемого краевого угла. Однако, сравнение с экспериментальными зависимостями скорости распространения пленки от разности косинусов текущего и равновесного краевых углов (в экспериментах эта зависимость была линейной) выявило невысокую точность теоретического описания.
Нами в [41, 42] для изучения процессов неизотермического растекания капель был предложен квазистационарный подход, позволяющий свести задачу от нелинейного дифференциального уравнения в частных производных высокого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению. Несмотря на свою математическую нестрогость, этот метод позволяет провести достаточно адекватное исследование модели, и получить количественные результаты, удовлетворительно описывающие процессы растекания под действием градиента температуры. Квазистационарный подход может быть также применен и для задач изотермического растекания.
Изучение движения жидкости в пористых средах представляет собой важнейшую задачу в теории и практике извлечения углеводородного сырья из недр. Чрезвычайная сложность математического описания происходящих при этом явлений определяет множество применяемых подходов. Из-за развитой поверхности пористых сред особую роль в их описании приобретают поверхностные силы. В [30] подробно анализируются и классифицируются различные явления, свойственные пористым средам, проведено подробное описание сил, специфических для подобных сред. При этом рассмотрение ведется как на уровне объемной среды, так и на уровне отдельной поры.
Процессы растекания жидкостей по пористым подложкам обладают спецификой, отсутствующей при рассмотрении течения по твердым поверх-
ностям. Строго говоря, при исследовании процессов распространения жидкостей, особенно вблизи линии трехфазного контакта, любая поверхность может и должна быть рассмотрена как пористая, особенно, из-за наличия микронеровностей. Несмотря на важность процессов растекания по пористым подложкам, строгих теоретических и экспериментальных исследований подобного рода проведено относительно немного. В теоретическом плане это связано с необходимостью совместного решения уравнений, описывающих поведение капли над пористым субстратом, и уравнений распространения жидкости внутри среды. Каждая из этих задач в отдельности представляет собой сложную проблему, а их совместное взаимосвязанное решение в общем виде, вряд ли, возможно.
Наиболее простая модель задачи была предложена в [154]. Пористая среда была заменена двумя параллельными плоскостями с отверстием в одной из них. Капля, расположенная на плоскости, через отверстие могла проникать в ячейку. Даже эта простейшая модель пористой среды оказалась весьма сложной для исследования. Лишь наложение дополнительных кинематических условий (сохранение краевого угла или радиуса пятна контакта капли с поверхностью) позволило получить в явном виде решение задачи.
В [100] проведено исследование режимов поведения жидкости на пористом субстрате. Основой для анализа служат характерные времена растекания и впитывания жидкости. Там же подробно обсуждается природа гисте-резисных явлений на пористых подложках. Действительно, наступающее и отступающее распространение жидкости происходят фактически по подложкам разной структуры, в первом случае - по сухой, а во втором — по предварительно смоченной подложке.
В [72] исследовано распространение капли в пористом субстрате после ее полного впитывания. Автомодельный подход, наряду с некоторыми эвристическими зависимостями для коэффициентов проницаемости жидкости и насыщенного субстрата позволили в явном виде получить степенной закон
для радиуса пропитанной области подложки, а также объемную концентрацию жидкости как функцию радиальной координаты.
Процессы движения малых капель вязких жидкости, возникающие при этом поверхностные силы, самым существенным образом зависят от физико-химических характеристик представленных в системе сред. При этом на практике часто бывает целесообразным специально изменять какие-либо свойства жидкостей. В частности, например, в задачах извлечения углеводородного сырья весьма эффективным оказывается понижение вязкости и поверхностного натяжения. Это позволяет значительно повысить нефтеотдачу пластов. Одним из наиболее экономически оправданных средств в достижении указанной цели является использование растворов поверхностно-активных веществ (ПАВ). При ничтожной концентрации эти вещества существенным образом изменяют физико-химические характеристики жидкостей. Хотя в повседневной хозяйственной практике применение ПАВ уже давно имеет самое широкое распространение, строгих экспериментальных и теоретических исследований проводилось не так много.
Особенно сложным представляется изучение поверхностно-активных компонентов, обладающих собственным зарядом, так называемых ионоген-ных ПАВ. Физическая модель поведения ПАВ на межфазной границе была предложена Грэмом в 1947 году [121] (Рис. В2).
Согласно Грэму, ионы ПАВ, обладающие гидрофобной неполярной (углеводородной) цепью, адсорбируются на поверхности раздела фаз. При этом углеводородные цепи выталкиваются за пределы жидкости, в которой растворено ПАВ. В то же время центры ионов ПАВ с окружающей их гид-ратной оболочкой адсорбируются на о-плоскости. В электронейтральном растворе, помимо отрицательно заряженных ионов ПАВ, присутствуют положительные противоионы, также окруженные гидратной оболочкой. Проти-
воионы (на рис. В2 обозначенные как Na ) могут связываться с ионами ПАВ,
теряя при этом часть своей оболочки. Центры связанных противоионов рас-
полагаются на Р-плоскости, называемой внутренней плоскостью Гелъмголъца. Конечный размер остальных, полностью гидратированных, несвязанных ионов не позволяет им приблизиться к поверхности ближе, чем до d-плоскости {внешней плоскости Гелъмголъца). В объемной жидкости вдали от поверхности раздела располагаются все типы представленных в растворе ионов, в частности анионы фонового раствора (ионы С/ на рис. В2).
Рис. В2. Схема модели ионного связывания для раствора ионоген-ного поверхностно-активного вещества, адсорбирующегося на поверхности раздела жидкость - газ или жидкость - углеводород. [3 и d - соответственно, внутренняя и внешняя плоскости Гельмгольца, о - плоскость центров адсорбированных ионов ПАВ.
Несмотря на относительную простоту представленной физической модели поверхности жидкости, получить адекватную математическую модель задачи не удавалось. Сложность заключалась в необходимости описания процессов адсорбции, осложненных влиянием электрического поля. Первое
фундаментальная теоретическая модель, описывающая равновесие и кинетику поверхностно-активных агентов на границе раздела жидкость - углеводород или жидкость - газ была предложена в [195]. В монографии [95] был предложен подход к расчету поверхностного натяжения жидкости, основанный на простейшей изотерме адсорбции Ленгмюра. Более сложная изотерма адсорбции Фрумкина [117] принималась в работах Борванкара и Васана [73, 74]. Однако во всех указанных работах авторы пренебрегали конечными размерами ионов растворенных веществ, и из-за этого полученные результаты демонстрировали достаточно большое расхождение с известными экспериментальными данными [111, 123, 157, 194].
Впервые попытку положить трехслойную модель Грэма в основу расчета математической модели адсорбции ионогенных ПАВ у поверхности жидкости предприняли Радке и Маклеод [151, 152]. Из-за сложностей математического характера им, однако, не удалось получить строгого аналитического выражения для поверхностного натяжения, и авторы ограничились численным исследованием для некоторого набора исходных характеристик физической системы. В результате, несмотря на то, что подход [151, 152] продемонстрировал лучшую, по сравнению с [73, 74], согласованность с экспериментами, результаты также не обладали высокой точностью. Кроме того, рамки численного моделирования не позволили авторам провести теоретический анализ в трехслойной модели ионного связывания ионогенных ПАВ. В частности, не были получены аналитические зависимости, описывающие влияние физико-химических характеристик жидкости и концентрации ПАВ на величину межфазного натяжения, электростатический потенциал поверхности раздела и величину адсорбции (степени покрытия границы жидкости ионами ПАВ). Вместе с тем, указанные свойства межфазных границ считаются наиболее важными для описания поведения жидкостей в присутствии поверхностно-активных веществ. Так, электростатическая составляющая
расклинивающего давления полностью определяется именно взаимодействием потенциалов двух близко расположенных межфазных границ.
Таким образом, поверхностные силы, включающие расклинивающее давление, представляют собой один из важнейших факторов, влияющих на процессы растекания капель жидкости по твердым подложкам различной структуры, а также в значительной степени определяют особенности капиллярного движения капель.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в
развитии теории растекания капель вязкой жидкости по твердым и пористым подложкам и в капиллярах путем учета поверхностных сил, включая расклинивающее давление,
построении расчетных моделей процессов изотермического и неизотерми-ческого растекания жидких капель,
теоретическом анализе влияния поверхностно-активных веществ на величину поверхностного натяжения и электростатического потенциала границы раздела жидкость - газ или жидкость - жидкость.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
В работе разработан новый подход к исследованию движения капель жидкости, основанный на учете влияния поверхностных сил, включающих, помимо сил гидродинамической природы, также специфические эффекты, возникающие в тонких жидких пленках, в частности, расклинивающее давление. Предложенный подход позволил получить следующие результаты:
На основе учета действия расклинивающего давления решена проблема растекания капли вязкой жидкости по твердой поверхности.
В явном аналитическом виде найдены законы растекания капель вязкой жидкости по поверхности твердого тела. Проведен теоретический анализ
влияния физико-химических характеристик жидкости и изотермы расклинивающего давления на законы растекания капель.
Предложен квазистационарный подход к задачам растекания жидких капель. Эффективность подхода продемонстрирована на примере решения ряда модельных задач. В условиях отсутствия точного решения, на основе квазистационарного подхода получено приближенное аналитическое решение задачи о гравитационно - термокапиллярном растекании капли.
Разработаны математические модели растекания капель жидкости по пористым подложкам. Предложена модифицированная модель, позволившая исследовать процесс растекания капель в условиях неполного смачивания.
Решена задача о движении капли жидкости в капилляре под действием перепада давления. Установлено влияние расклинивающего давления на кинематические и геометрические характеристики капли и окружающей ее пленки жидкости.
Развита математическая модель влияния поверхностно-активных веществ на поверхностное натяжение и электростатический потенциал границы раздела жидкость - углеводород или жидкость - газ. Получены явные аналитические выражения для поверхностного натяжения как функции физико-химических характеристик жидкости и концентрации поверхностно-активных веществ. Полученные результаты могут быть использованы для расчета электростатической составляющей расклинивающего давления.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ
Полученные в работе результаты могут быть использованы при проектировании и разработке нефтяных и газовых месторождений для определения относительных фазовых проницаемостей присутствующих в пласте флюидов как функций водонасыщеннности порового пространства породы. Разработанная теория движения капли жидкости в капилляре позволяет уста-
новить ряд важнейших гидродинамических характеристик, в частности, зависимость скорости перемещения капли от перепада давления.
Полученные в работе аналитические законы растекания капель вязких жидкостей по различным подложкам позволяют устанавливать динамические и геометрические характеристики процессов растекания капель необходимые, в частности, в задачах вытеснения углеводородов. Модель растекания капель по пористым подложкам при неполном смачивании может быть использована в экологии нефтегазовой отрасли при исследовании процессов загрязнения почв продуктами нефтедобычи.
Предложенный для решения задач растекания жидкости квазистационарный подход позволяет получать приближенные аналитические результаты в задачах, где строгие аналитические подходы оказываются невозможными.
Применение поверхностно-активных агентов представляет собой перспективный и экономически оправданный способ повышения углеводородо-отдачи разрабатываемых нефтяных и газовых месторождений. Полученные теоретические результаты позволяют провести точные количественные оценки необходимой концентрации ПАВ при исследовании процессов вытеснения углеводородов с использованием водных растворов ПАВ.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Обобщенная гидродинамическая модель растекания капель жидкости по твердым поверхностям, учитывающая, помимо сил гидродинамической природы, расклинивающее давление;
Аналитические формулы для расчета растекания капель вязкой жидкости по плоской твердой подложке, включающие зависимость радиуса расте-кания капли, скорости растекания, высоты капли и динамического краевого угла от времени. Формулы в явном виде показывают зависимость указанных величин от физико-химических свойств жидкости и изотермы расклинивающего давления;
Аналитические зависимости, определяющие закон растекания капли в поле силы тяжести при наложении градиента температуры, и закон движения капли в капилляре, заполненном другой жидкостью, при наложении градиента давления;
Метод квазистационарного расчета процессов растекания капель жидкости, который позволяет получать приближенные аналитические решения для задач, принципиально не имеющих точного решения;
Модель растекания капель жидкости по пористому слою для случая неполного смачивания;
Модель взаимодействия ионов и формирования электростатических потенциалов у поверхности раздела двух сред, в одной из которых присутствуют поверхностно-активные вещества;
Аналитическая зависимость поверхностного натяжения жидкости от ее физико-химических характеристик и концентрации поверхностно-активного вещества;
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ
Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 8-й Международной конференции по поверхностным силам (Москва, 1985); 4-й и 6-й Международных конференциях "Свойства жидкостей в малых объемах" (Киев, 1986, 1988); 2-nd Scientific and Engineering Conference "Hydrody-namic Heat and Mass Transfer in Liquid Films" (Burgas, Bulgaria, 1989); 6-th International Summer School "Modeling of Heat and Mass Transfer Processes, Chemical and Biochemical Reactors" (Varna, Bulgaria, 1989); International Symposium "Contact Angles and Wetting Phenomena" (Toronto, Canada, 1990); 1-st Liquid Matter Conference (Lyon, France, 1990); 9-й и 10-й Международной конференции по поверхностным силам (Москва, 1990,1992); 7-th International Conference on Surface and Colloid Science (Compiegne, France, 1991); 9-th International Symposium on Surfactants in Solution (Varna, Bulgaria, 1992); 2-м
Международном форуме по тепло- и массопереносу (Минск, Белоруссия, 1992); International Symposium on Interface (Williamisburgh, USA, 1993); Ion-Ex'93 International Conference ( Wrexhem, UK, 1993); AIChE Meeting, Interaction in Colloidal Systems (St.Louis, USA, 1993); International Congress on Emulsions (Paris, France, 1993); 2-nd Liquid Matter Conference (Firenze, Italy, 1993); Bubble and Drop '95 (Empoly, Italy, 1995); AIChE Annual Meeting (Miami Beach, Florida, USA, 1995); Invited Lecture. Rhone-Poulenc, Sentre de Recherche (Aubervicciers, France, September 6, 1996); Международном конгрессе «Нелинейный анализ и его приложения» (Москва, сентябрь 1998).
Представленные в диссертации исследования поддерживались грантами:
Грант Международного фонда Сороса 1993 г.
Грант РФФИ №95-01 -00300а 1995 г.
Грант Университета Беркли, США. 1995-1997 гг.
Грант Международного фонда Сороса (Соросовский доцент 1998 г.)
ВКЛАД АВТОРА В РАЗРАБОТКУ ПРОБЛЕМЫ
Автору принадлежит постановка проведенных теоретических исследований по всем разделам диссертационной работы; формулировка основных положений; создание математических моделей рассмотренных процессов; вывод и анализ аналитических формул; анализ асимптотических режимов полученных законов; создание компьютерных алгоритмов и программ для расчета по найденным аналитическим формулам; сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными. В диссертации используется ряд результатов, полученных в ходе совместной работы с сотрудниками кафедры высшей и прикладной математики Московского Государственного Университета пищевых производств — В.М. Старовым и В.И. Ивановым; с Дж.-Д. Ченом (компания "Сайтек Диджитал Принтинг", Дайтон, Огайо, США); с сотрудниками Университета Беркли (Калифорния, США) - К. Радке и М. Ласо-Поллард.
Изотермическое растекание капель с учетом действия расклинивающего давления
При исследовании процесса растекания капель жидкости макроскопического размера по сухим поверхностям необходимо учитывать, что вблизи периметра смачивания толщина слоя жидкости утончается и становится сравнимой с радиусом действия поверхностных сил. В этом случае в рассмотрение должно быть введено расклинивающее давление, градиент которого и является движущей силой растекания [13, 21, 29, 40, 53, 133, 174, 175].
Рассмотрим осесимметричную каплю несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости, расположенную на гладкой сухой полностью смачиваемой горизонтальной поверхности [40, 181]. Пусть начало системы координат помещено с центр пятна смачивания, а ось OZ направлена вертикально (Рис. 1.1). Пусть Z = H(R,T) - уравнение поверхности капли (R - горизонтальная координата, Т— время). давление в газовой среде над каплей, ст — поверхностное натяжение. Для многих случаев изотерма расклинивающего давления имеет степенную зависимость от толщины прослойки жидкости [29, 30]: В частности, зависимостью П(//) = —=- описывается электростатиче Н2 екая составляющая расклинивающего давления, а также учет микронеровно-стей на поверхности подложки; выражением П(Н) = —=- (А — константа Га макера) описывается дисперсионное взаимодействие для неполярных жидкостей на поверхности стекла или кварца; изотерма П(/У) = А/Н характерна для сравнительно толстых пленок за счет сил электромагнитного запаздывания.
Уравнение, описывающее процесс растекания капли по сухой подложке, получим, подставляя выражение изотермы расклинивающего давления (1.3.2) в общее уравнение растекания (1.1.21):
Условие є « 1 выражает требование малости вязких сил по сравнению с капиллярными, а условие Я « є - малость поверхностных сил, связанных с действием расклинивающего давления, по сравнению с капиллярными силами в области, где толщина слоя жидкости достаточно велика.
В качестве граничных условий для уравнения растекания (1.3.4) примем: где постоянная интегрирования (четвертая степень у функции f(t) и числовой множитель "-16" введены для удобства окончательной формы записи решения). Теперь, в силу условия симметрии (1.3.6) имеем or Интегрирование последнего уравнения дает, так называемое, "внешнее" решение задачи Kr,t)=Af\t)(rZ{t)-r2) (1.3.8)
Величина r0(t) , возникшая в (1.3.8) в качестве постоянной интегрирования, имеет смысл макроскопического радиуса пятна контакта капли с поверхностью. Действительно, в силу (1.3.8), h = 0 при г = r0(t) , что обеспечивает выполнение условия (1.3.7) уменьшения толщины капли при удалении в бесконечность. Теперь используем условие сохранения объема капли (1.3.5)
Окончательно, внешнее решение задачи (1.3.8) теперь можно записать в форме (переменная t, имеет смысл новой, локальной координаты вблизи границы капли). Зависимость (1.3.10) определяет параболический профиль поверхности в объемной части капли. (Для принятого предположения о пологости профиля, параболическая поверхность капли соответствует поверхности постоянной кривизны). Зона трехфазного контакта отвечает условию Ъ, = 1. Решение (1.3.10) называется внешним, поскольку оно справедливо вдали от линии трехфазного контакта, т.е. при 4 1 . Функция времени f{t) , опреде # ляющая радиус капли, подлежит определению в ходе дальнейшего сращивания внешнего и внутреннего решений ([47]).
Для того, чтобы получить внутреннее решение задачи, справедливое вблизи линии трехфазного контакта, введем новые, "растянутые" переменные:
Здесь, в отличие от рассмотренного выше в пункте 1.2 случая растекания по жидкому слою, величина h(t) не является заданной константой hQ, а представляет собой дополнительную неизвестную функцию, подлежащую определению.
Будем считать, что входящие в (1.3.11) функции времени / малы, т.е. l(i) «1 и h (t) «1. Тогда конечным значениям новых переменных г\ и 4у отвечают малые значения толщины жидкого слоя h и отклонения — 1 радиальной координаты от линии трехфазного контакта. Соответственно, конечным значениям h и % — 1 отвечают "большие" значения переменных г)
Геометрически профиль поверхности капли в переходной зоне описывается функцией Т(г) продольной координаты Г. Эта функция удовлетворяет уравнению (1.3.15). И хотя порядок нелинейного дифференциальное уравнение третьего порядка (1.3.15) может быть понижен, оно, тем не менее, не допускает аналитического решения. Основной интерес, однако, представляет асимптотическое поведение функции Ч Сп) при TJ— +ОО и при Т]— —СО.
Первый из этих предельных случаев описывает форму "носика" капли при удалении в бесконечность, а второй — "отвечает" за сращивание с параболическим профилем (1.3.10) объемной капли.
Гравитационно - термокапиллярное растекание капли
Для того, чтобы нагляднее учесть влияние объема капли на изучаемые процессы, в (2.3.5) не будем накладывать дополнительных соотношений на характерные величины.
Принципиальным моментом является тот факт, что в постановке (2.3.3)- (2.3.5) задача о неизотермическом растекании капли не имеет автомодельного решения. Если характерные значения гравитационных и термокапиллярных сил имеют одинаковый порядок, не приводит к аналитическому решению и использование асимптотических методов. В этих условиях приходится выбирать между численным моделированием или использованием нестрогого квазистационарного метода (п. 1.4). Из-за высокого порядка уравнения (2.3.3), его нелинейности и нестандартности граничного условия (2.3.5), численное решение задачи достаточно трудоемко. Квазистационарный метод продемонстрировал вполне приемлемую работоспособность на ряде более простых задач растекания. Применим этот метод для рассматриваемой задачи гравитационно - термокапиллярного растекания капли вязкой жидкости по гладкой горизонтальной поверхности.
Введем новую, "квазистационарную" переменную С,: Здесь x0(f) — расстояние от центра капли до края периметра смачивания, v скорость растекания. Точкой обозначена производная по безразмерному времени /. Здесь переменная у имеет смысл нормализованной высоты профиля капли, а переменная Г — нормализованная продольная координата.
В новых переменных уравнение растекания (2.3.9) принимает вид В этом случае периферийная часть капли нагрета больше, чем ее цен тральная часть. Соответственно с этим, поверхностное натяжение у края кап ли меньше, и термокапиллярные эффекты препятствуют растеканию. В то же время под действием гравитационных сил капля стремится растечься по по верхности. Противодействием двух указанных факторов и обусловлен про цесс растекания.
Уравнения (2.3.16) и (2.3.17) образуют систему, связывающую через параметр у0 неизвестную функцию x0(i) (радиус растекания) и ее производную (скорость растекания). В принципе, исключение параметра не представляет труда. Однако, возникающее при этом обыкновенное дифференциальное уравнение для функции x0(f), неявно содержащее ее производную, оказывается настолько громоздким, что получение его численного решения оказывается весьма затруднительно. Для нахождения численного решения использовалась исходная система (2.3.16), (2.3.17) после специальной процедуры замены переменных, изложенной в Приложении 2. На рис. 2.4 изображена зависимость радиуса растекания капли от времени при ее растекании в нагретую сторону подложки, полученная в результате численного моделирования. Как и следовало ожидать, противодействие гравитационного и термокапиллярного эффектов приводит к тому, что капля стремится при нять равновесное положение с радиусом растекания дгоо
Зависимость радиуса растекания капли от времени при положительном градиенте температуры. Форма профиля капли для разных моментов времени представлена на рис. 2.5 (для удобства изображена лишь правая половина сечения капли, а время отсчитывается в долях характерного времени /0 перехода к равновесию, которое будет оценено ниже). Зависимость (2.3.21) реализуется на начальной стадии процесса растекания, когда основную роль играет гравитационный фактор. (Напомним, что 0 2 зависимость xo(0 t была получена в п. 1.4 при исследовании чисто гравитационного растекания капель жидкости). При дальнейшем развитии процесса возрастает роль термокапиллярных эффектов, которые для рассматриваемого случае движения капли в нагретую сторону препятствуют растеканию. Одновременно происходит ослабевание гравитационных эффектов. В результате капля стремится занять равновесное состояние с радиусом пятна контакта х0 = л:» .
Конечная стадия процесса растекания. Для того, чтобы проанализировать процесс установления равновесного положения капли и провести оценку его характерного времени, рассмотрим случай больших времен. При этом имеет место соотношение у0 » 1, и из уравнений (2.3.16) и (2.3.17), сохраняя старшие члены, получаем
Таким образом, найдены аналитические выражения, описывающие поведение капли жидкости на горизонтальной поверхности на начальном и конечном этапах растекания к нагретой части подложки.
На рис. 2.6 изображена точная зависимость радиуса растекания капли от времени, найденная в ходе численного моделирования, а также полученные аналитически асимптотические зависимости: (2.3.19) — на начальном этапе процесса и (2.3.27) — на конечном этапе перехода капли к равновесному положению.
Частные модели растекания капель с впитыванием при наложении дополнительных кинематических ограничений
Растекание капли жидкости по сухому пористому слою сопровождается процессом его заполнения с соответствующим перераспределением объема жидкости. Оценим время 7д поперечной пропитки слоя: где U — харак терная вертикальная составляющая скорости жидкости: характерный размер пор. Тогда имеем оценку времени пропитки : т каА2 Будем считать, что время поперечной пропитки пористого слоя много меньше характерного времени Г процесса растекания капли (оценка которого проведена в главе 1), т.е.
Кроме того, как и ранее, будем пренебрегать гравитационными эффектами, считая выполненными условия (3.2.1) и (3.2.3). Условие (3.3.1) позволяет считать вертикальное заполнение пористого слоя мгновенным. Вместе с тем, за счет процесса горизонтальной пропитки во время растекания жидкость в подложке может "обгонять" каплю, создавая вокруг нее ореол. При изучении процесса растекания тогда естественно рассмотреть две области в пористом основании (Рис. 3.3):
Движение жидкости в области (1) описывается уравнениями (3.2.4) и (3.2.5). Отсюда следует, что уравнение растекания капли в рассматриваемом случае совпадает с полученным ранее уравнением (3.2.11), или (при выполнении условия 5 « А, где 5 — определенная ранее толщина бринкмановского пограничного слоя) уравнением (3.2.12).
Исследуем теперь поведение жидкости в области (2). На нижней границе пористого слоя (соприкасающейся с твердой поверхностью) выполняются условия прилипания (3.2.5), а на верхней границе (соприкасающейся с газовой средой) - условия отсутствия касательного напряжения и равенства нулю вертикальной составляющей скорости:
Пусть р — давление в жидкости на границе ореола (при г = (і)), а рг — давление у подножия капли (при г = г0 (/)) Тогда из (3.3.4) и (3.3.5) легко находятся постоянные А и В, а сами выражения для давления и горизонтальной составляющей скорости жидкости в ореоле, окружающем каплю, принимают вид:
С учетом того, что в рассматриваемом случае жидкость из капли может перетекать в пористый слой, уравнение сохранения объема имеет вид: где к — пористость (доля свободного объема) подложки. Учитывая, что скорость распространения ореола связана с горизонтальной скоростью на его границе соотношением получим, с учетом (3.3.7), уравнение, описывающее изменение радиуса ореола со временем
Полученное ранее уравнение растекания капли (3.2.11) (или, при уже упоминавшемся условии, более простое уравнение (3.2.12)), выражение для давления в капле (3.2.13), закон сохранения объема жидкости (3.3.8) и уравнение (3.3.9) описывают процесс растекания капли жидкости по тонкому сухому пористому слою. Эти уравнения должны быть дополнены стандартными граничными условиями, выражающими симметрию капли и значением ее высоты на фронте распространения наружной части капли:
Поскольку все перечисленные соотношения, описывающие процесс растекания капли, не содержат явно время /, выбор начальных условий непринципиален, и будет обсуждаться далее при решении частных задач.
Частные модели растекания капель с впитыванием при наложении дополнительных кинематических ограничений
Полное описание процесса растекания капли жидкости по сухому пористому слою, как было показано выше, требует совместного решения уравнений движения жидкости в капле и в подложке. В общем случае решение такой задачи возможно лишь численными методами. Вместе с тем, известны подходы, в которых наложение некоторых дополнительных кинематических ограничений на параметры движения системы позволяет значительно упростить задачу и получить ее приближенное аналитическое решение. Естественно, вопрос о правомочности принятых ограничений должен решаться в ходе экспериментальной проверки полученных теоретических закономерностей. Один из подобных подходов предложен в [154] в задаче о впитывании капли в плоский капилляр через отверстие в нем. Там были рассмотрены две модели: растекание капли с постоянным краевым углом и растекание с постоянным радиусом пятна смачивания. Подобные частные модели могут быть применены и при исследовании процесса растекания капли по пористой подложке.
Будем дальше считать, что толщина бринкмановского пограничного слоя пренебрежимо мала по сравнению с толщиной пористой подложки А: Тогда уравнение Бринкмана (3.2.4), описывающее движение жидкости в подложке, переходит в известное уравнение Дарси для тонкого пористого слоя:
При таком упрощении эффекты, возникающие вблизи границ пористой среды (при z — О и z = - А), должны быть выведены из рассмотрения. В частности, необходимо отказаться от условий прилипания на нижней поверхности пористого слоя и отсутствия касательного напряжения - на верхней границе раздела с газовой фазой. В результате, как и ранее в п. 3.3 получим, что вертикальная составляющая и скорости жидкости в подложке тождественно равна нулю, давление жидкости в ореоле определяется уже найденным уравнением (3.3.6), а горизонтальная составляющая v не зависит от вертикальной координаты z и определяется, в силу уравнения (3.4.2), выражением:
Анализ профиля переходных зон от пленки к менискам
Динамика процессов, происходящих в неподвижной относительно стенок капилляра капле жидкости, определяется, как было показано выше, медленной релаксацией жидкой пленки к равновесной толщине. Характерное время этого процесса достаточно велико, и превышает возможности экспериментального наблюдения. Вместе с тем, наложение на систему внешних воздействий, в частности, перепада давления на концах капилляра, существенным образом меняет картину происходящих явлений. Вызванное внешним полем движение капли приводит к формированию у ее концов отступающего и наступающего менисков, взаимодействующих друг с другом через соединяющую их пленку. В этой ситуации изменение толщины пленки определяется уже не медленными релаксационными эффектами, а быстрыми динамическими. Возникает задача расчета характеристик процесса движения капли в зависимости от приложенного на концах капилляра перепада давлений [35, 36].
Рассмотрим, как и ранее, цилиндрический капилляр, заполненный жидкостью 1 с находящейся в ней каплей жидкости 2 (Рис.4.4). Пусть длина капилляра L значительно превышает длину капли L Длину капли, в свою очередь, будем считать много большей радиуса капилляра а: L»»a
Сделанные ограничения позволяют ввести предположение о стационарности рассматриваемой задачи, считая, что движение геометрического центра капли происходит с некоторой постоянной скоростью U, определяемой приложенным внешним полем.
Пусть на одном из концов капилляра (левом на рис. 4.4) приложено давление р , а на другом (правом) — давление р . Если перепад давления положителен, т.е. то движение капли и заполняющей капилляр жидкости будет происходить слева направо, от области более высокого давления к области более низкого давления.
Для исследования процессов, происходящих при движении капли, используем метод, предложенный Б.В. Дерягиным [22] для задачи о нанесении вязкой жидкой пленки на твердую поверхность. Идея этого метода состоит в разбиении рассматриваемой гидродинамической системы на зоны, в каждой из которых описание происходящих процессов может быть значительно упрощено. Полное решение задачи находится затем путем сращивания решений, полученных для каждой из областей. Подобный же подход применялся в дальнейшем достаточно широко. В частности в [77] на его основе проводилось описание движении капли в капилляре, а в [170] — движение "пальца" (finger) жидкости в ячейке Hele - Shaw.
В рассматриваемой капиллярной системе, в соответствии с подходом Б.В. Дерягина, могут быть выделены следующие области (рис. 4.4): АЛ и FF - не содержащие каплю части капилляра; АВ и FE — области сферических менисков; CD - область пленки постоянной толщины; ВС и DE - переходные зоны от менисков к пленке.
Получим уравнения, описывающие динамику движения жидкостей в каждой из перечисленных областей. Как и ранее, введем неподвижную цилиндрическую систему координат с осью Ох, совпадающей с осью капилляра, и перпендикулярной ей осью Or. Начало системы координат в начальный момент времени (t = 0), будем считать совпадающим с геометрическим центром капли (рис. 4.4).
В областях АА и FF присутствует только одна жидкость, и в них реализуется течение Гагена — Пуазейля. Продольная составляющая скорости жидкости 1 в этих областях имеет параболический профиль:
Объемный расход жидкости в капилляре определяется выражением (Отметим, что для рассматриваемого случая стационарного движения капли поток Q постоянен по всем сечениям капилляра и не зависит от времени). В областях ВС, CD и DE для составляющих скорости жидкостей спра ведливы полученные в п. 4.1 выражения (4.1.11). Сами уравнения, описы вающие динамику пленки, имеют вид (4.1.12) с первым интегралом (4.1.13), выражающим объемный расход жидкости. В рассматриваемой стационарной задачи толщина пленки h является функцией лишь одной переменной % = x-Ut
