Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретико-методологические основы исследования онтологических оснований математики 18
1.1. Соотношение математики и действительности как ключевая проблема онтологии математики 18
1.2. Объекты математики в истории философии .38
1.3. Онтологические основания математики: концептуализация понятия .87
Глава 2. Атрибутивная система онтологических оснований математики: структура и развитие .124
2.1. Качество, количество и пространство как фундаментальные категории, структурирующие математическое мышление 124
2.2. Историческое развитие атрибутивной системы онтологических оснований математики .135
Глава 3. Модальная система онтологических оснований математики: структура и развитие .197
3.1. Необходимое и возможное как объекты математики 197
3.2. Эволюция модальной системы онтологических оснований математики 223
Глава 4. Объекты математики в жизни человека и общества 238
4.1. Социально-гуманитарные аспекты бытия объектов математики .238
4.2. Онтологические проблемы современного преподавания математики 265
Заключение 296
Список использованной литературы .
- Объекты математики в истории философии
- Историческое развитие атрибутивной системы онтологических оснований математики
- Эволюция модальной системы онтологических оснований математики
- Онтологические проблемы современного преподавания математики
Объекты математики в истории философии
Философия и математика изначально тесно взаимосвязаны и играют существенную роль во взаимном развитии. Многие выдающиеся мыслители так или иначе постарались высказать свое отношение к математике и определить ее место в своей философской системе. Известный современный философ науки Э. Агацци пишет: «То, что философия математики – по крайней мере, в западной культуре – существовала всегда, с момента зарождения самой философии – не просто слова… Даже сегодня ряд философских направлений испытывает влияние математической мысли (от Рассела до Гуссерля, от Витгенштейна до Карнапа и логического эмпирицизма), и многие исследования касаются именно вопросов "философии математики"» .
Более того, уже на заре становления философского знания математика играет значимую роль в развитии онтологии как учения о бытии как таковом, рассматривающего вещи не столько в качестве носителей неких предзаданных свойств и отношений, сколько как нечто явленное, существующее. Вместе с тем, многих современных математиков не интересует вопрос о том, «чем “на самом деле” являются точки, прямые и числа», в то время как философ по-прежнему едва ли сможет отказаться «от претензии… постижения “окончательной истины”, от разгадки внутренней сущности мира» . И именно онтология вправе усомниться в реальности познавательных установок, реализуемых не только самой математикой, но и любой философской системой, претендующей на выяснение связи математики с миром.
Прежде чем перейти к обсуждению этих вопросов, остановимся на нескольких важных теоретико-методологических моментах, выступающих принципиальными для всего дальнейшего диссертационного исследования.
Во-первых, во избежание двусмысленности в понимании словосочетания «онтология математики», которое будет неоднократно встречаться в тексте, сделаем следующее замечание. В современной философской (и не только) литературе все чаще слово «онтология» можно встретить употребляемым во множественном числе в значении некой формализованной области объектов особого рода – так появляются онтологии субъективности, языка, сознания, возможных миров, проектирования, анекдота и даже мобильного телефона (!), а также региональные, инженерные, модальные, эвиденциальные и др. онтологии. В целом такое «инструментальное» понимание онтологии допустимо, если это специально оговаривается автором и не выходит за рамки конкретного исследования (как, например, это делается В.В. Целищевым, И.Д. Невважаем и др. ). В то же время, более обоснованной нам видится трактовка онтологии как единого учения о бытии – в конце концов, это не отменяет ее системного характера и именно так она понимается в названии соответствующей специальности, утвержденном ВАК, названиях учебных дисциплин на философских факультетах, тематиках международных конгрессов и конференций и т.д. В настоящей работе под онтологией математики мы будем понимать относительно самостоятельный раздел философской онтологии, нацеленный на изучение отношений между математическим знанием и действительностью, на выявление сущности и всеобщих закономерностей бытия объектов особого рода – объектов математики.
Во-вторых, мы полностью разделяем точку зрения, согласно которой онтологию можно представить как «совокупность специфических описаний, связь между которыми обеспечивается связью между содержанием исходных категорий» . Очевидно, такое понимание языка онтологии зарождается в традиции Аристотеля, развивается благодаря И. Канту, Г. Гегелю, Н. Гартману и т.д. Среди немногих современных мыслителей, разделяющих эту позицию, можно назвать отечественных ученых – представителей ленинградской онтологической школы (В.П. Тугаринов, В.И. Свидерский, Ф.Ф. Вяккерев, В.П. Бранский, В.В. Ильин, А.С. Кармин), а также В.Н. Сагатовского, А.Ф. Кудряшева, П.М. Колычева, В.Я. Перминова и др.
Особое место при этом должно отводиться таким всеобщим философским понятиям, которые в специальной литературе принято называть онтологическими. Использование данных категорий в современном философском дискурсе само по себе является отдельной проблемой – отсутствует единая точка зрения не только по поводу того, какие именно всеобщие понятия следует относить к классу онтологических, но и по поводу того, какими специальными характеристиками они должны обладать, каким образом они соотносятся друг с другом, а также со своими грамматическими формами, категориями других классов и т.п. Остановимся на этом подробней.
Что мы знаем об онтологических категориях? Прежде всего то, что это особые понятия, всеобщие относительно любого сущего. Однако очевидно, что далеко не все философские категории, несмотря на свою всеобщность, можно отнести к онтологическим (например, категории добра, красоты, истины, жизни, свободы, разума и т.п. ). Кроме того, не всегда удается четко отделить их от так называемых гносеологических категорий.
Историческое развитие атрибутивной системы онтологических оснований математики
Как было заявлено ранее, в состав атрибутивной и модальной систем онтологических оснований математики входят экстенсионально и интенсионально определяемые всеобщие понятия соответственно. Отметим, что подобные внутрисистемные образования не носят характер «агрегатного» присоединения одного списка категорий к другому – ни одна классификация или типология сама по себе еще не гарантирует успешного построения системы категорий, могущей состоять как из отдельных понятий, так и из более сложных понятийных схем и конструкций.
Вообще говоря, систематизация категорий – самостоятельная и очень серьезная философская проблема. Начиная с античности, мыслители не оставляют попыток построения целостных категориальных систем. В разное время такие попытки предпринимались Аристотелем, схоластами, Р. Декартом, Дж. Локком, И. Кантом, Г. Гегелем, К. Марксом и многими другими выдающимися философами. На реализацию этой идеи в рамках диалектического материализма много сил было потрачено отечественными учеными (А.П. Шептулин, А. Маилов и М. Хасанов, К.Х. Момджян, В.Н. Сагатовский, Г.Л. Джахая и многие другие). Между тем, категориальная проблематика всегда выступала лишь вспомогательным элементом крупных метафизических или диалектических философских систем. С учетом опыта всех перечисленных традиций, а также при условии соблюдения основных принципов непротиворечивости и обоснованности выбора, сформулируем основные принципы систематизации философских категорий, на которые в дальнейшем будет опираться наше исследование.
1. Формирование любой категориальной «сетки» так или иначе предполагает некую отправную точку, постановку проблемы, которую Л.Г. Джахая довольно точно определил как проблему «начала» изложения системы философских категорий и сформулировал следующим образом: «В нашем случае «начало» – это логически первая, «беспредпосылочная» категория… из которой затем можно более или менее последовательно, связно вывести всю цепочку остальных философских категорий. Анализ показывает, что во взаимосвязанной системе философских категорий ни одна категория не является беспредпосылочной, если только искусственно не объявить ее таковой» . В этом самом «начале» мы, очевидно, имеем дело с наиболее простым способом функционирования категорий как форм мышления, описанным А.Н. Книгиным: «Это имеет место тогда, когда в языке индивида отсутствуют слова, обозначающие категории. Например, ребенок не знает слова «причина», что не мешает ему спрашивать «почему?» и говорить «потому что». Это значит, что категория причины объективно налична как структурный элемент сознания, но субъективно ребенок ее не фиксирует» .
Рассмотрим более сложную ситуацию. Как известно, в начале любого исследования, согласно прагматическим соображениям, научной традиции, личным интересам и т.д., выбирается и формулируется его объект, но происходит это далеко не сразу. По определению, мы имеем дело с чем-то внешним, по крайней мере до начала исследования независящим от нашего сознания и уж во всяком случае определенным образом противопоставляемым ему. Другими словами, некоторое время мы находимся в ситуации, когда «уже установили факт реального существования мира, но еще не можем дать его определения или развернутой характеристики» . Только после этого появляются «точки отсчета», в качестве которых традиционно выбираются такие фундаментальные категории, как бытие, мир, сущее, объект, субъект и т.д. При этом в качестве «отправной» может быть выбрана любая из них – это может быть продиктовано как целесообразностью исследования (с ориентацией на набор каких-либо начальных условий, получение желаемых результатов и т.п.), так и особенностями и возможностями самого мышления. Единственное ограничение в данном случае накладывается на возможное число вариантов рассматриваемой систематизации – оно должно быть конечным.
В нашей работе такой исходной категорией будет выступать категория «объект», и вот почему. В любом познавательном акте мы далеко не сразу приходим к базовой интуиции типа интуиции сущего. Фиксация существования чего-либо как того, что есть, интуитивно оформляется сознанием как неопределенное нечто. Направляя мысль на это самое «нечто», в большинстве случаев мы именуем его «объектом». По этому поводу Г.Д. Левин, развивая идею А. Чёрча, отмечает: «Я предлагаю все, что может быть названо, именовать объектами… Самым общим термином, применимым к любому нечто, пусть остается «объект»» . При этом немаловажным обстоятельством является принципиальная нетождественность объекта и объективной реальности – далеко не все, что объективно существует (может существовать) в мире, может быть названо объектом познавательной деятельности.
2. Построение любой системы, в том числе системы философских категорий, предполагает формирование ее конкретной функциональной структуры. Задача систематизации (в отличие от той же задачи классификации), требует выбора некоего основного принципа, направляющего весь процесс разворачивания связного категориального «каркаса». Очевидно, что на этот выбор может повлиять множество различных объективных факторов, наиболее важным из которых является специфика той отрасли философского знания, с которой ближе всего приходится иметь дело.
Эволюция модальной системы онтологических оснований математики
Г. Гегель писал: «Велика заслуга познакомится с эмпирическими числами природы, например, с расстояниями планет друг от друга; но бесконечно большая заслуга состоит в том, чтобы заставить исчезнуть эмпирические определенные количества и возвести их во всеобщую форму количественных определений так, чтобы они стали моментами некоторого закона или некоторой меры» . Мера как философская категория традиционно используется в контексте отображения взаимосвязи количественных и качественных изменений. У Г. Гегеля мера фиксирует единство количественных и качественных характеристик любой системы, тем самым исполняя роль соединительного логического звена между категориально-понятийными комплексами, описывающими «непосредственное» бытие с одной стороны, и сферу сущности – с другой. Выход за пределы строго упорядоченных качественных и количественных параметров системы означает переход к другой структуре, появлению нового качественного образования. В случае математического познания категория меры позволяет, таким образом, не просто различать между собой разнородные математические объекты, но и более полно исследовать структуру каждого из них. По сути дела, история меры в математике началась с того самого момента, когда человек начал измерять все то в окружающем его мире, что может быть «схвачено» в числе. Здесь можно вспомнить и первых египтян, «измеряющих землю» (это и есть дословный перевод с греческого слова «землемер»), и парадокс Евбулида о куче зерна, и еще бесчисленное множество примеров из истории математики, некоторые из которых мы уже приводили выше.
Наибольший интерес в данном вопросе заслуживает математическое понятие меры, в нестрогом смысле именующее неотрицательную величину, интуитивно интерпретируемую как размер (объем) множества. В более строгом смысле мера – это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности, мера как функция, должна также обладать свойством аддитивности, согласно которому мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить также, что не всякое множество можно назвать измеримым – для каждой функции меры обычно подразумевается определенное семейство множеств (их называют «измеримые по данной мере»), для которых она существует.
Как и многие математические объекты, мера как понятие образуется путем многократного обобщения. Так, Лебег в начале прошлого столетия дает «определение меры точечных множеств, включающее все предыдущие мероопределния как частные случаи» . Мера Лебега для подмножеств множества широко применяется на практике, поскольку обобщает: для n=1 – всем известное понятие длины, для n=2 – понятие площади и для n=3 – понятие объема.
Частным, но очень важным случаем конечной меры является вероятность – особая количественная оценка объективной возможности наступления некоторого случайного события, то есть факта, который в результате выполнения комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину, фундаментальный раздел математики, значение которого для человечества трудно переоценить – теорию вероятностей. Несмотря на то, что истоки теории вероятности зародились еще в XVI в., ее классическое определение дал Лаплас (XIX в.), геометрическое – Венн (XIX в.), а статистическое – Фишер (XX в.).
Более строго, вероятностной мерой называется мера, обладающая свойствами неотрицательности, аддитивности и конечности. С философской точки зрения, особый интерес представляют собой первое и третье свойство, определяющие границы данной меры, то есть пределы, за которыми того самого «наличного бытия» из гегелевского определения, или со-бытия из определения математического, просто нет. Вероятность невозможного события (того, которое точно не произойдет) равна нулю, вероятность достоверного события (того, которое точно произойдет) равна единице.
Очень часто в философской литературе, посвященной диалектической проблематике, приводят ставший уже классическим пример про кипячение воды (мерой в этом случае выступает температурный интервал от нуля до ста градусов Цельсия, в котором вода сохраняет свое качество жидкости). Приведем другой пример – того, как мера работает в математике и покажем, что они оба (классический и наш) имеют одну и ту же онтологическую основу.
Итак, зафиксируем некоторые состояния нагреваемой воды, изначально имеющей нулевую температуру (состояние «лед»): лед – холодная вода – теплая вода – горячая вода – кипяток – пар Видно, что за пределами 0 – 100 градусов вода имеет свое небытие жидкостью, поскольку имеет другое наличное бытие – пар или лед.
Теперь попробуем увеличивать вероятность случайного события, начиная с состояния «события нет», или, как говорят в математике, невозможного события: невозможно – вряд ли – может быть – скорее всего – обязательно Видно, что за пределами 0 – 1 о бытии события говорить бессмысленно (событие имеет там свое небытие). Вопрос какое именно бытие оно там имеет, не столь важен для уяснения сути примера (хотя и очень интересен с онтологической точки зрения). Таким образом, мы в очередной раз имеем возможность убедиться, что философско-онтологическое содержание меры универсально, хотя само ее «преломление» в той или иной предметной области может иметь некоторую специфику. Понятие меры весьма широко распространено в современной математике и используется в таких разделах, как теория множеств, теория вероятностей, функциональный анализ и многих других.
Дальнейшее развертывание в рамках категориального анализа атрибутивной системы онтологических оснований математики связано с пространственной определенностью объекта математики. Тезис 2.2. Качественно определенный объект математики всегда существует где-то, то есть пространственен.
В предыдущей главе, ссылаясь на В.П. Бранского, мы указывали, что онтологическую определенность категории пространства составляет единство положения, места и пространственного отношения, что и выражается в ее всеобщем содержании. На наш взгляд, более точным «базисом» здесь будут такие характеристики, как количественное отношение (оно включает в себя координаты «рас(положения)», «места» и «со-расположения») и пара «прерывность – непрерывность» (она фиксирует не количественные координаты «со-расположения», а, если так можно выразиться, его качественный аспект). В соответствии с этим, в системе онтологических оснований математики появятся два новых категориальных блока
Онтологические проблемы современного преподавания математики
В учебниках по математике для студентов гуманитарных специальностей чаще всего наблюдается обратная картина: в самом начале книги разъясняется, что такое математика (или какой-нибудь ее конкретный раздел), как она возникла, почему она необходима современному человеку и обществу и т.п. В этом отношении показателен пример учебного пособия М.В. Воронова и Г.П. Мещеряковой «Математика для студентов гуманитарных факультетов», в котором авторы в предисловии описывают цели и задачи дисциплины, структуру курса, компетенции будущих специалистов, дают разбивку курса по часам, объясняют, как пользоваться учебником и т.д., и уже во введении не просто дают определение математики, но и демонстрируют ее связь с объективной реальностью: «Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. При этом в круг изучаемых математикой отношений входят отношения между элементами произвольной природы и все разнообразные формы пространств. Количественные отношения, в отличие от качественных, характеризуются своим безразличием к конкретной природе тех объектов, которые их связывают. Именно поэтому они могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для них… Таким образом, количественные отношения есть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено по их определению» . Отметим, что помимо прочего в приведенном отрывке на интуитивном уровне дается указание на то, что ранее обозначалось нами как относительно-всеобщее и абсолютно-всеобщее содержание категории (здесь – пространства и количества соответственно).
Несколько другую подачу нашей общей идеи, заключающейся как в приведенном выше понимании предмета математики, так и в разделении понятий «математический объект» и «объект математики», мы находим в замечательной книге Е.В. Шикина и Г.Е. Шикиной «Гуманитариям о математике», которую авторы, не приводя строгого определения математики, начинают так: «Не имея намерений входить подробно в обсуждение достоинств и недостатков школьного пути знакомства с математическими науками и рассматривая его просто как данность, мы попытаемся рассказать здесь и об иных возможных путях, способных подвести читателя непосредственно к стенам математической крепости… Мы также намерены опираться на пространственные представления, сложившиеся у читателя, на его восприятие ключевого понятия числа… Стоит также предпринять серию шагов в направлении развития геометрической интуиции и углубления пространственного восприятия. Хотя мы и живем в окружающем нас пространстве достаточно давно, но еще довольно многого в нем не видим, и даже то, что видим, видим недостаточно хорошо» . Думается, что подобные подходы к изложению курса математики в значительно большей мере будут способствовать его глубокому изучению студентами, нежели те, о которых говорилось выше. При этом под студентами здесь должны пониматься учащиеся не только гуманитарных вузов и факультетов, но и будущие инженеры, «естественники», математики и т.д., поскольку математическое образование – это не только трансляция определенного рода знаний, но и расширение навыков мышления, своеобразными границами которого в понятийном отношении являются всеобщие философские категории. В чем же причина столь «избирательного» отношения к объяснению и определению предмета математики? На наш взгляд, ее корни уходят в то самое противостояние эмпиризма и априоризма, о котором говорилось в первой главе работы. Остановимся на этом подробней.
Как известно, многие выдающиеся, в том числе преподающие математики при выборе своей философской позиции чаще всего оказываются априористами преимущественно платонистского толка. Безусловно, это не могло не наложить своего отпечатка на подходы и методику преподавания ими математики (как правило, речь идет об уровнях выше школьного). Редуцируя предмет математики к хорошо формализуемым и уже сформированным на том или ином этапе ее развития объектам, платонисты не объясняют практически ничего из того, что касается бытия объектов математики как части реального мира, включающего математику, математиков и всех, кто ею пользуется. Почти мистически объясняемая очевидность транслируемых следующим поколениям математиков (и не только) истин приводит, в свою очередь, к «недоразумениям», довольно эмоционально описанным Г. Лолли: «Платонисты не видят, однако, другие очень человеческие вещи и вступают в противоречие на всех фронтах с принципом объективности… Не видят, что их заявления имеют пагубные последствия на преподавание. Не соответствует истине то, что люди изучают математику, созерцая структуры, которые объективно попадают в их поле зрения. Те, кто утверждает, что математики умозрительно рассматривают структуры, существовавшие и до того, как их начали исследовать, просто забыли свой первый урок математики и нелегкое освоение этой науки. Без какого-либо образования или подсказки ни один ребенок, никто, рассматривая треугольник, не увидит в нем медианы. Почему нужно соединять вершину с серединой противолежащей стороны? У того же Платона, несмотря на его теорию анамнеза – реминисценции – для познания Идей был необходим какой-то стимул или подсказка для активирования анамнеза у раба. Непонятно, почему необходима подсказка, если и правда математические объекты существуют и доступны какой-то человеческой способности, кроме памяти. В действительности никто не видит медианы, если только не имеет некоторой проблемы, которая подталкивает его к размышлению о подобной возможности.
