Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Автоколебания в распределенной системе взаимодействующих встречных волн с фазовой нелинейностью 16
1.1. Введение 16
1.2. Математическая модель 19
1.2.1. Уравнения модели взаимодействия бездисперсных встречных линейной волны и волны с фазовой нелинейностью 19
1.2.2. Методы численного моделирования и обработки результатов 25
1.3. Характеристики автоколебаний в отсутствие внешних флуктуации... 28
1.4. Влияние внешнего шума на динамику системы в режимах периодических и хаотических автоколебаний 41
1.5. Выводы 54
Глава 2. Динамика взаимодействия встречных линейной волны и волны с инерционной нелинейностью в присутствии внешних флуктуации 57
2.1. Введение 57
2.2. Обзор результатов исследования ЛОВО и математическая модель взаимодействия линейной волны и волны с инерционной нелинейностью 60
2.2.1. Однопараметрическая модель взаимодействия волн с инерционной нелинейностью с учетом внешних флуктуации 60
2.2.2. Основные результаты численного моделирования и экспериментальных исследований лампы обратной волны 65
2.3. Исследование сложных автоколебаний в отсутствие внешнего воздействия на основе анализа параметров автокорреляционной функции 67
2.4. Влияние внешних флуктуации на динамику взаимодействия линейной волны и волны с инерционной нелинейностью 82
2.4.1. Воздействие шума на одночастотный режим колебаний 85
2.4.2. Поведение не одночастотных колебаний системы под внешним шумовым воздействием 89
2.4.2.1. Режим периодических колебаний 89
2.4.2.2. Режим непериодических колебаний 91
2.4.2.3. Режим хаотических колебаний 100
2.5. Выводы 108
Глава 3. Периодические и нерегулярные колебания в модели «воздействие-отклик» 111
3.1. Введение 111
3.2. Математическая модель «воздействие-отклик» для исследования динамики сердечного ритма 115
3.3. Автономные колебания в модели «воздействие-отклик» 120
3.3.1. Определение значений параметров модели 120
3.3.2. Методы анализа и характеристики исследуемой системы 122
3.3.3. Результаты численного исследования автономных колебаний в модели «воздействие-отклик» 124
3.4. Колебания в модели «воздействие-отклик» при внешних флуктуациях 140
3.4.1. Определение формы внешних флуктуации и начальных условий для переменных 141
3.4.2. Результаты численного моделирования системы при внешних воздействиях 142
3.5. Колебания в модели «воздействие-отклик» под импульсным воздействием 154
3.5.1. Уравнение системы с внешним импульсным воздействием 154
3.5.2. Анализ системы с кратковременным импульсным воздействием. 155
3.5.3. Анализ системы при длительном импульсном воздействии 160
3.6. Выводы 170
Заключение 174
Список литературы 175
- Уравнения модели взаимодействия бездисперсных встречных линейной волны и волны с фазовой нелинейностью
- Однопараметрическая модель взаимодействия волн с инерционной нелинейностью с учетом внешних флуктуации
- Поведение не одночастотных колебаний системы под внешним шумовым воздействием
- Определение значений параметров модели
Введение к работе
Актуальность работы. В процессе развития исследований сложного поведения динамических систем различной природы в течение длительного времени доминировал подход, рассматривающий нерегулярное поведение системы как обусловленное разного рода флуктуациями. Однако в конце 70х годов XX века он сменился этапом интенсивных исследований динамического хаоса. Во многом это было обусловлено тем, что основные работы по анализу нерегулярной динамики выполнялись с использованием очень простых теоретических моделей, для которых динамический хаос является действительно одним из естественных режимов поведения. В то же время рассмотрение сложных процессов в рамках теоретических моделей различных реальных систем исключительно как динамических часто оказывается не совсем корректным, поскольку влияние внешних флуктуации, всегда существующих в таких системах, может оказывать существенное влияние на сложную эволюцию системы. Под «внешними», в отличие от «хаотических» или «динамического шума», здесь понимаются флуктуации, не связанные с динамикой системы.
Проблема влияния флуктуации на поведение, в том числе хаотическое, динамической системы не нова и неоднократно исследовалась1'2. Обнаруженные в последнее время различные явления стохастического резонанса3 и индуцированные шумом переходы4, хаотическая синхронизация5 и управление хаосом6 имеют непосредственную реализацию в радиофизических системах.
1 МалсамА.И. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, I96S, 1 Вентцелъ АД., Фрейдлин МИ. Флуктуации в динамических системах под воздействием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.
3 Атщеыко В.С., Нейман А.Б., Масс Ф„ Шчманский'Гайер Л. Стохастически И резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка //Успехи фиї, иаук, 1999. Т.169. №1.С.7-39.
*Хорстхемке В^ЛефеерР. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987, С. 397, 1 Анищенко B.C., Бадиеасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических н стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. Анищенко B.C. Саратов: Изш-воСГУ, 1999.
* Shinbroi Т., CrebogiC., Ott , YorkeJ.A. Using small perturbations to control chaos I! Nature, 1993.
V.363.P.41W17. ,—— -
рос национальная!
Вместе с тем некоторые аспекты влияния флуктуации на процессы в ряде систем (в распределенных системах с взаимодействующими волнами, в сосредоточенных системах типа «воздействие-отклик» и других) исследованы недостаточно полно или не изучены вовсе. В частности, представляется интересным анализ особенностей поведения периодических и хаотических автоколебаний в распределенной динамической системе с взаимодействующими встречными линейной волной и нелинейной, с фазовой нелинейностью7, волной в присутствии аддитивного шума в нелинейной волне. Такая задача важна для целого класса электронных сверхвысокочастотных (СВЧ) генераторов на обратной (встречной) волне с силовым механизмом фазировки электронов.
Кроме того, несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию автономных моделей распределенных автоколебательных систем, предназначенных для изучения процессов в приборах, основанных на инерционном механизме фазировки электронов в потоке8" 10, нигде ранее не учитывалось влияние на эти процессы внешних шумов различной природы.
Существует также ряд систем, для которых внешние флуктуации играют определяющую роль в их функционировании. В частности, такой системой является система с сосредоточенными параметрами типа «воздействие-отклик», обязанная своим появлением на свет, например, исследованиям сердечных ритмов11. Она демонстрирует поведение, качественно соответствующее экспериментальным данным, только при
7 Четвериков А.П. Периодические и хаотические автоколебания в простых распределенных элек-тронно-волновъге системах // Известия АН. Сер. Физическая, I994.T.5S, NS. С.171-178.
Электроника ламп с обратной волной / Под ред. Шевчиха В.И., Трубецкова Д.И. Саратов: Изд-во СГУ, 1975.
Гинзбург И.С., Кузнецов СП. Периодические и стохастические авто модуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием II Релятивистская высокочастотная электроника. Проблемы повышения мощности и частоты излучения. Горький: ИПФ АН СССР, 1981. С.101.
10 РыскинНМ, Титов В.И., Трубецко* Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок
- обратная электромагнитная волна // ДАН, 1998. Т.358, №5. С.620.
" Rosenblum М, Kunks J. A Model of Neural Control of the Heart Rate II Physica A, 1995. №215,
учете дополнительного воздействия внешних случайных сил, статистические характеристики которых играют существенную роль в определении особенностей ее динамики. Однако до сих пор оставались невыясненными область допустимых значений основных параметров модели, степень влияния внешнего шума, устойчивость системы к дополнительному импульсному воздействию.
Таким образом, на основании изложенного представляются актуальными следующие цели и задачи исследования.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании влияния
внешних флуктуации на динамику характеризующихся сложным поведением систем двух классов - распределенных автоколебательных систем с взаимодействующими волнами с типичными для электроники СВЧ нелинейными свойствами и модели «воздействие-отклик». Для достижения поставленной цели решались следующие основные задачи:
разработка методики численного решения стохастических дифференциальных уравнений, моделирующих автоколебания в распределенной системе с взаимодействующими волнами в присутствии флуктуации;
проведение статистического анализа сложного поведения исследуемых систем с привлечением обоснованно выбранных численных характеристик идентификации сложных автоколебательных режимов;
численное моделирование динамики автономных распределен
ных автоколебательных систем (РАС) взаимодействующих встречных
линейной волны и 1) волны с кубичной фазовой нелинейностью и 2)
волны с инерционной нелинейностью. Определение значений введен
ных численных характеристик;
численное моделирование динамики систем взаимодействующих
волн в присутствии внешнего аддитивного распределенного шума. Ана-
лиз влияния внешних флуктуации на различные режимы автоколебаний;
численное моделирование процессов в динамической системе с сосредоточенными параметрами типа «воздействие-отклик» с применением методик и характеристик численного анализа сложных режимов поведения, выработанных при исследовании распределенных автоколебательных систем;
анализ влияния различных внешних воздействий, как случайных, так и регулярных, на поведение модели «воздействие-отклик».
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы составляет 184 страницы, включая 62 страницы рисунков, список литературы состоит из 109 наименований, расположенных на 10 страницах.
Уравнения модели взаимодействия бездисперсных встречных линейной волны и волны с фазовой нелинейностью
Рассмотрим взаимодействие двух одномерных волн, которые в линейном приближении в отсутствие взаимодействия имеют дисперсионные характеристики где о) и к - частота и волновое число, индексы 1 и 2 относятся к первой и второй волнам. Волны могут эффективно взаимодействовать только в условиях пространственно-временного резонанса, т.е. вблизи точки пересечения дисперсионных характеристик Полагая, что связь между волнами невелика и в процесс взаимодействия будут вовлечены только частотные компоненты вблизи точки (o)0t ко((Оо)), можно для обеих волн в диапазоне \Аа \«(оо, включающем частоту соо, записать приближенные соотношения где V] и V2 играют роль групповых скоростей соответствующих волн. Переходя в систему координат, которой в плоскости параметров (со, к) соответствует система координат с началом в точке (со0, ко), будем иметь где F = \F \exp(jg F) и I = \i\exp(jq ,) - комплексные амплитуды огибающих двух волн. Буквы F и / для обозначения амплитуд волн использованы потому, что в радиофизических системах, к которым применима развиваемая здесь теоретическая модель, — в СВЧ генераторах на обратной волне - одной из взаимодействующих волн является электромагнитная волна с традиционным обозначением ее амплитуды буквой F, а другой - волна высокочастотного тока в потоке электронов с обычным обозначением ее амплитуды буквой I. Несмотря на то, что модель может использоваться для исследования процессов в системах и другой природы, в настоящей работе сохранены традиционные для радиофизики обозначения. Так, волну с амплитудой FMLI будем называть для определенности электромагнитной (ЭМ), а с амплитудой / -электронной. Отметим, что в рамках сделанных предположений обе волны будут рассматриваться как без дисперсные, хотя в общем случае верно это лишь в узкой полосе взаимодействия волн. Однако процессы за пределами этой полосы нас и не интересуют. Используя далее систему координат со смещенным отсчетом времени где L — длина пространства взаимодействия волн, v/ 0, vp-0, что соответствует случаю распространения волн в разные стороны), будем иметь учтем, что —- = kt играет роль волнового числа (безразмерного). Выделим в волновом числе изохронную (не зависящую от энергии волны IV1 = a\l \ , а -коэффициент пропорциональности) часть, и представим неизохронную (за висящую от энергии) часть волнового числа первым членом его разложения по энергии: Здесь // = а — параметр неизохронности, р) — часть фазы волны, не зависящая от изменения энергии.
Переопределяя теперь амплитуду нели нейной волны как / = 2/ ехр(у ), получим уравнение волны с кубичной фазовой нелинейностью Уравнение (1.2.12) для нелинейной волны в какой-то степени аналогично уравнению Дуффинга в теории колебаний, поскольку в обоих процессах главную роль играет нелинейное смещение фазы при изменении энергии, представленное в уравнении в этих простейших случаях кубичной функцией. Поэтому модели взаимодействия волн, в которые входит нелинейная волна в форме (1.2.12), можно рассматривать как базовые в данном классе распределенных динамических систем. Эффекты, которые обнаруживаются в исследованиях этой простейшей модели, могут иметь место и в более сложных моделях этого класса, а отработанные в процессе анализа методики могут применяться для изучения систем с более сложной динамикой. Допустим теперь, что волны взаимодействуют в пространстве длиной L, но связь их достаточно слаба для того, чтобы взаимное влияние волн можно было представлять пропорциональным величине их амплитуд. В этом случае при реализации абсолютной неустойчивости система уравнений для комплексных амплитуд волн принимает форму [37,38,41] Здесь FB,x амплитуда входного значения линейной волны, і (ф а/(ф — нормализованные стохастические функции, f,F- амплитуды начальных возмущений обеих волн. В автономном режиме (F&y-O) начальные условия (1.2.16) обеспечивают «старт» системы с уровня начальных колебаний, а уравнения (1.2.13) — (1.2.14) описывают автоколебания системы. Для исследования влияния внешних шумов на динамику системы предположим, что т.е. задается гауссовым источником белого шума с нулевым средним и интенсивностью D, т.е. С(т) =0, (T)C(Z ) =S(T ). В силу линейности уравнения (1.2.13) представим амплитуду F в виде где источником возбуждения волн с амплитудой F(I) является нелинейная волна (1.2.14), а шумовой волны с амплитудой F„oise - источник шума FBx-Эволюция этих компонентов поля описывается уравнениями
Однопараметрическая модель взаимодействия волн с инерционной нелинейностью с учетом внешних флуктуации
Как уже отмечалось, модель взаимодействия волн с инерционной нелинейностью возникла в простейшем варианте нестационарной теории лампы обратной волны типа О [34,35,38]. Поэтому для ее обоснования приведем основные элементы теории лампы обратной волны типа О, результатом которой является однопараметрическая модель ЛОВО. В основе работы лампы обратной волны лежит взаимодействие волн в электронном потоке со встречной электромагнитной волной, где эффективное взаимодействие волн реализуется в малой частотной области Лео вблизи частоты too, которая определяется из условия пространственного резонанса vSr(coo)=vP!l((oo}- При этом ширина данной полосы частот Jco зависит от величины безразмерного коэффициента связи между волнами [37,70] и, как правило, удовлетворяет условию Аа «соо- Отсюда следует возможность разделения процессов взаимодействия на быстроменяющиеся (с частотой а о) и медленноменяющиеся (с частотой —Асо). Таким образом, в подобных системах электромагнитная волна с частотной полосой, лежащей в узком спектральном интервале \а -ооо\ Ао 1 может быть представлена в виде функции с медленноменяющейся амплитудой: Здесь c(zft) = EtF(z,t), Ег -значение продольной компоненты векторного поля "(г), усредненное по поперечному сечению; F(z,t) - медленноменяю щаяся по сравнению с ен а1) безразмерная комплексная амплитуда; а о — частота, на которой групповая скорость электронного потока vgr равна фазовой скорости электромагнитной волны vpj,; k0=a)(/vsr - продольное волновое число. Необходимо отметить, что подобное разложение может быть использовано при условии одномерности эволюционирующих волн и в предположении, что все поперечные распределения волн E(rL) заданы и неизменны. Используя известные уравнения возбуждения [34] при условии медленности изменения F(z,t), пренебрегая затуханием электромагнитной волны и поперечным разбросом в электронном потоке, т.е. предполагая учет только продольного движения электронов, после преобразований можно получить систему уравнений взаимодействия электронного пучка с полем волны (2.2.1) в приборах с инерционной группировкой частиц вида: ные коэффициенты, причем X/ пропорционален току пучка; Ij - амплитуда первой гармоники тока; I0=I(z=0) — постоянный ток электронного пучка. Знак «-» в левой части уравнения (2.2.2) соответствует взаимодействию волн в электронном потоке с обратной электромагнитной волной. В этом случае граничное условие для поля должно отражать в общем случае ввод сигнала, в том числе шумового, на коллекторном конце пространства взаимодействия при z=L: (1,,1)=8 .
Для удобства решения описанных уравнений перейдем в систему координат со смещенным отсчетом времени и введем безразмерные координату и время г следующим образом где C=(IoK/4Vd) /3 — параметр усиления Пирса, К = — сопротивление связи пучка, V0 =rnv2ph /2е —ускоряющее напряжение. В результате введения новых переменных и в предположении, что скорость и энергия электронов в процессе взаимодействия изменяются мало, уравнения (2.2.2)-(2.2.4) примут вид описывающим отсутствие модуляции электронного потока и наличие в общем случае внешнего сигнала на входах в пространство взаимодействия. Полученные уравнения (2.2.5) - (2.2.8) являются наиболее распространенной моделью исследования процессов взаимодействия волн в электронном потоке со встречной электромагнитной волной, применимые к реальным системам, таким, например, как ЛОВ типа О. Описанная однопараметриче-ская модель (без учета параметров входного сигнала) содержит параметр взаимодействия A=koLC, от величины которого зависит характер устанавливающегося автоколебательного режима. Параметр А является безразмерным и имеет смысл нормированной длины пространства взаимодействия системы. Отметим, что система уравнений не содержит параметров, описывающих дисперсию, т.к. при сделанных предположениях волны формально являются бездисперсными. Предположим, как в главе I, что входной сигнал задается источником белого шума. В этом случае, повторяя изложенные в п.1.2 рассуждения, приходим к выводу, что на электронный поток помимо излучаемой им электромагнитной волны воздействует распределенный в пространстве взаимодействия источник белого шума, а уравнение движения электронов (2.2.7) заменяется на уравнение отличное от классического представления в нестационарной теории ЛОВО наличием дополнительного члена, описывающего источник аддитивного шума интенсивностью Вс. Функция (%,т) , как уже отмечалось, обычно соответствует гауссовому белому шуму с нулевым средним значением, удовлетворяющему условиям (4,т) =0, (т)( тЗ =$(- !; )5(т-т), величина Вс в конкретных случаях может быть рассчитана, исходя из представлений об источнике шума. Отмстим, что, строго говоря, источник шума должен зависеть и от фазы щ, т.к. шум действует па различные частицы пучка независимо. Однако учет этого эффекта существенно усложняет проведение численного эксперимента. Поэтому в рамках данной работы использовано более грубое приближение, заключающееся в предположении о том, что на все частицы сгустка действует один и тот же импульс случайной силы.
Основанием служит интуитивная гипотеза о том, что усреднение по фазам щ даст такой же результат, как и действие источника (, г) с некоторым эффективным значением амплитуды ВФ Полученная система уравнений (2.2.5), (2.2.6), (2.2.9) дополняется граничными условиями і\Іж0 =0, F =0. В качестве начальных используются условия, задаваемые начальными шумовыми возмущениями пучка и волны с малыми амплитудами. В данной работе представленная система уравнений решается численно методом второго порядка на основе двухслойной разностной схемы, рассмотренной для предыдущей задачи (п.1.2.2). В процессе моделирования накапливается модуль амплитуды «выходного сигнала» \Fi\ = \F(0,AT k)\, где Лт=ЛЕ/2 — шаг интегрирования по времени, аА,- шаг интегрирования по координате, и действительная часть амплитуды выходного сигнала ReFb=\Fk\ cos(pF. Изучение временного поведения функции ReFk позволяет оценить вклад модуляции фазы комплексной амплитуды в сложных автоколебательных режимах. Идентификация сложных автоколебательных режимов проводится на основе сравнительного анализа результатов расчета спектральной плотности мощности S(f), плотности распределения вероятностей значений FA, двумерной проекции бесконечно-мерного «фазового пространства» системы и автокорреляционной функции R(t), выполненных для выходного сигнала с вычтенным средним значением в случае накопления F и с учетом среднего значения для действительной компоненты поля. Главным образом степень развитости нерегулярных автоколебаний оценивается на основе зависимостей производных показателей стандартных статистических характеристик таких, например, как декремент се автокорреляционной функции, отношения декремента к частоте автомодуляции колебаний a /fa, характерного времени корреляции тс АКФ, отношения шум/сигнал (см. ниже) от бифуркационного параметра системы Л и амплитуды внешнего шумового воздействия. Методика расчета этих показателей приведена в п.1.2.2 и п.2.2.2. Степень влияния аддитивного шума различной амплитуды BQ на интегральные характеристики определяется по графикам зависимостей мощности выходного сигнала. Так, в
Поведение не одночастотных колебаний системы под внешним шумовым воздействием
Влияние внешнего шума на различные не одночастотные режимы колебаний будем оценивать на основе зависимостей от амплитуды шума декремента а (Вс) (рис.2.15) и характерного времени корреляции тс(Вс) (рис.2.16) при некоторых характерных значениях бифуркационного параметра А. 2.4.2.1. Режим периодических колебаний В результате исследований обнаружено, что в режимах периодических (в отсутствие шума) колебаний, наблюдающихся в области параметра 2.9 А 4,02, внешний шум малой амплитуды также фактически складывается с генерируемым сигналом. Это приводит к расширению основной спектральной линии и спектральных линий ее гар.чоник в остающемся сильно неоднородном спектре практически без изменения автокорреляционной функции (точнее, с появлением спада АКФ с крохотным декрементом (рис.2.17 (а))). Плотность распределения вероятностей теряет вид, характерный для синусоидальной функции, но пока сохраняет два максимума (рис.2.18 (а)), «предельный цикл» на проекции фазового портрета начинает размываться, хотя его структура еще вполне различима. Дальнейшее увеличение амплитуды внешнего шума приводит к быстрому усложнению колебаний системы (рис.2.17 (б), 2.18 (б)) с полным разрушением ее внутренней динамики при превышении критического значения амплитуды флуктуации (рис.2.17 (в),(г)). Из графиков зависимостей ог(Вс) и тс(Вс) (рис.2.15, 2.16) видно, что влияние шума на поведение системы тем сильнее, чем меньше значения бифуркационного параметра. Так, при А-3.0 декремент при небольших значениях амплитуды внешнего шума BG растет, а характерное время корреляции падает быстрее, чем при других значениях параметра Л. Таким образом, внешний шум в этом режиме понижает степень корреляции колебаний в системе и вызывает существенную непериодическую модуляцию выходного сигнала, что наглядно видно из графиков пространственно-временных распределений амплитуд поля и тока для характерных зна Воздействие шума малой амплитуды в области значений бифуркационного параметра А, соответствующих сложной динамике системы (4,П А 6.0), приводит к постепенному (по мере роста Во) усложнению поведения. Это хорошо видно из графика зависимостей характерного времени корреляции тс(А) (рис.2.11), построенных как на основе \F(T)\, так и по реализации действительной части комплексной амплитуды волны. Нетрудно при 1 дти к выводу, что для слабой и средней амплитуды шумового воздействия при А=4.2 характерное время корреляции тс имеет гораздо меньшее значение, чем, например, при А=5.0. Это согласуется с ранее полученными результатами подробного численного моделирования ЛОВО в этой области параметров [38,39].
Однако следует отметить, что внешний шум «размазывает» сложную картину динамики системы, не изменяя общей тенденции поведения. Действительно, в случае отсутствия шума при А-4.2 система демонстрирует более хаотическое поведение, чем при А=5.0, эта же закономерность остается и при внешнем воздействии небольшой интенсивности. Усложнение различных статистических характеристик при увеличении внешнего шума хорошо прослеживается на графиках спектральной плотности мощности и автокорреляционной функции для выбранных значений параметра Л (рис.2.20 и рис.2.21). Изменение плотности распределения вероятностей и проекции фазового портрета для этих же значений параметра А при увеличении Во показывает, что внешний шум сильнее сказывается на поведении системы при А=4.2. В такой системе шум малой амплитуды накладывается на колебания системы (рис.2.20 (а),(б) и 2.18 (в)), большой амплитуды Вс О.5 практически полностью разрушает динамику системы (рис.2.20 (в),(г) и 2.18 (г)). Для системы с А=5.0 при внешнем воздействии с амплитудой вплоть до больших значений Вс=0.5 автокорреляционная функция еще имеет вид, соответствующий сильно окрашенному шуму (рис.2.21 (а-в)), плотность распределения вероятностей при этом сохраняет структуру с двумя максимумами, характерными для периодического поведения (аналогичного рис.2.18 (в)), и принимая вид гауссового распределения только при значениях, близких к значению Вс 0.8. При такой амплитуде шума проекция фазового портрета окончательно размывается, теряя какую-либо структуру, и все статистические характеристики принимают вид, соответствующий хаотическим колебаниям. Влияние внешнего шума на поведение системы в широком диапазоне параметров можно также проследить по изменению максимальных значений
Определение значений параметров модели
Параметры изучаемой модели не могут принимать значения, выходящие за рамки ограничений, наложенных условиями функционирования живого организма. В первую очередь необходимо определить значения констант моделируемой системы, присутствующих в уравнениях (3.2.3)-(3.2.7), исходя из известных физиологических данных. Если принять значения коэффициентов к] и &г в уравнении (3.2.3), равными нулю, то все значения ЛД-интервалов должны быть одинаковыми, что можно идентифицировать как стационарное состояние системы. Такое поведение не может наблюдаться при функционировании здорового человеческого сердца. Однако известно [83], что отдельно взятые клетки водителя ритма совершают собственные колебания с постоянной частотой. Тогда, исходя из имеющихся данных о времени распространения возбуждения через проводящую систему сердца и условия постоянства 7?Л-интервалов в отсутствие связи с внешними нервными волокнами, то есть при нулевых значениях параметров к} и к2 в исследуемой модели, определяются положительные коэффициенты уравнений (3.2.5) - (3.2.7). На основании экспериментальных данных [81] известно, что продолжительность потенциала действия ЛІ пейсмекера изменяется в пределах от 0.18 до 0.27 секунд. Этому соответствуют следующие значения коэффициентов в уравнении (3.2.6): А(/=0.22; Ass=0.2\ b=0.8. Время распространения возбуждения по проводящей системе сердца Tt складывается из нескольких компонентов. Из кардиологических данных известно, что время проведения возбуждения от синусового узла до предсердий составляет приблизительно 0.04 с; за 0.12 — 0.18 с. сигнал распространяется от предсердий до желудочков; и 0.06— 0.09 с. затрачивается на возбуждение желудочков. Следовательно, величина 7} должна изменяться в пределах от 0.22 с. до 0.31 с. Рассчитанным теоретическим данным удовлетворяют следующие значения коэффициентов уравнения
Основной функцией моделируемой системы является поддержание постоянного уровня кровяного давления, достигаемого сокращением сердечной мышцы с определенной частотой, которой соответствует «идеальный» RR-интервал, с которым сравниваются все остальные, с величиной ef, равной 1.0с. Величина периода рефрактерности tr в уравнении (3.2.7) равна 0.03с. [83], поэтому для основных расчетов временная задержка в петле обратной связи / полагается фиксированной и равной 3. Это означает, что отклик на какое-либо изменение в системе придет лишь через 3 удара сердца [84]. Задав таким образом основные константы исследуемой системы, необходимо оценить области допустимых значений оставшихся двух параметров к{ и &2, для которых решение системы соответствует реальным физиологическим данным. Исходя из того, что, во-первых, должно выполняться условие рефрактерности (3.2.7); во-вторых, в нормально функционирующем организме ЯЛ-интервалы могут изменяться в пределах от 0.5 с. до 1.65 с. (чему соответствует частота сердечных сокращений от 36.4 до 120 ударов в минуту) [83]; в-третьих, вариационный размах (ВР), определяющий степень вариативности значений /?/ї-интервалов (т.е. максимальную амплитуду колебаний значений /?/ї-интервалов), в норме должен лежать в пределах от 0.15 с. до 0.25 с. [89], нетрудно определить области допустимых значений параметров к/ и кг в двух режимах функционирования исследуемой системы - автономном, т.е. без учета влияния внешних факторов, определяемых шумовым воз действие.ч gi в соотношении (3.2.3) и неавтономном, в присутствии внешних флуктуации gi [1 ,3 ]. Рис.3.2 дает возможность оценить пределы изменения параметров к{ и к2 в соответствии с экспериментальными данными. На нем белым цветом обозначена область разрешенных значений параметров, черным - не разрешенных согласно описанным выше ограничениям, серым цветом определены области допустимых значений вариационного размаха.
Моделирование проводилось с шагом дискретизации по обоим параметрам Для исследования динамики представленной системы в работе используется апробированная в предыдущих задачах методика численного статистического анализа полученных реализаций. В ходе численных экспериментов рассчитываются и представляются графически такие статистические характеристики нерегулярной функции, как распределение плотности вероятности Р, спектральная плотность мощности S(f) и автокорреляционная функция R(r) [89,92-96]. Кроме этого строятся ритмограмма, проекция фазового портрета и бифуркационная диаграмма. Но сначала поясним некоторые особенности применения указанных характеристик в данном случае. Ритмограмма представляет последовательность кардиоинтервалов RRS. Проекция фазового портрета отображает зависимость последующего от текущего кардиоинтервала (RRj+Jt RRi). В ходе численного эксперимента рассматривались различные времена задержки/отображения фазового портрета: j=1,3,5,15 (т.е. строились зависимости RRif}(RR,); RRi+3(RRj); RRi45(RRi) и RRjusiRRi)), однако оптимальной является задержка в одну точку, графики которой в основном приводятся в дальнейших иллюстрациях. Бифуркационная диаграмма отображает зависимость ЛЛ-интервалов от основных параметров системы. По этой диаграмме можно судить о режимах, реализующихся в системе. В данной работе рассматриваются бифуркационные диаграммы для фиксированных значений параметра / при варьировании параметра к2, что
