Содержание к диссертации
Введение
1. Концепция частичной предсказуемости физических процессов
1.1. Введение. Реальный, наблюдаемый и модельный процессы 38
1.2. Степень предсказуемости и время предсказуемости. Концепция частичной предсказуемости 41
1.3. Изменение степени предсказуемости по мере совершенствования прогностической модели. Горизонт предсказуемости хаоса 47
1.4. Основные результаты главы 1 51
2. Пределы предсказуемости линейных и нелинейных авторегрессионных моделей
2.1 .Введение 53
2.2 Принципиальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных методов 57
2.2.1. Авторегрессия первого порядка 61
2.2.2. Процессы случайной (нединамической) природы 61
2.2.3. Дискретные хаотические последовательности 64
2.2.4. Многомерные непрерывные динамические процессы 67
2.3. Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели 70
2.3.1. Процессы случайной (нединамической) природы 73
2.3.2. Дискретные модели. Одномерные отображения 77
2.3.3. Многомерные непрерывные динамические процессы 85
2.4. Запаздывающие корреляции между шумом и ошибкой прогноза хао
тических систем 94
2.4.1. Влияние шумов на ошибку прогноза в дискретных системах 94
2.4.2. Линейный этап: экспоненциальный рост 97
2.4.3. Нелинейный этап: насыщение и спад корреляций 99
2.5. Основные результаты главы 2 103
3. Применение дискриминантного анализа для решения задач реконструкции нестационарных хаотических систем
3.1. Введение 105
3.2. Дискриминация случайных событий 107
3.3. Модификация алгоритма для решения задач реконструкции 113
3.3.1. Скалярный вариант 113
3.3.2. Векторный вариант 127
3.4. Примеры реконструкция нестационарных временных рядов 130
3.4.1. Одномерные отображения 130
3.4.2. Многомерные процессы 144
3.4.3. Детектирование особенностей фазовых траекторий 157
3.5. Влияние шумов на качество реконструкции 160
3.6. Основные результаты главы 3 166
4. Оценка погрешности реконструкции хаотических временных рядов .
4.1. Введение 168
4.2. Основные источники погрешностей 169
4.3. Анализ алгоритма восстановления модельного отображения методом наименьших квадратов 171
4.4. Анализ погрешностей 172
4.5. Время предсказуемости и оптимальная длина выборки 178
4.6. Иллюстрации. Поведение квадратичного функционала погрешности 181
4.7. Результаты главы 4 190
5. Проблемы предсказуемости при бифуркационных переходах в присутствии шумов
5.1. Введение 191
5.2. Динамические бифуркации и явление спонтанного нарушения симметрии 193
5.3. Стохастический и динамический сценарии бифуркационных переходов. Граница адиабатичности 194
5.4. Зоны притяжения конечных состояний 206
5.5. Динамика флюктуации в точках бифуркаций 229
5.6. Результаты главы 5 239
6. Применение методов хаотической динамики в био- медицинских исследованиях .
6.1. Введение 243
6.2. Возможность оценки состояния пациентов при стрессе по степени хаотичности 245
6.2.1. Клинические исследования 246
6.2.2. Изменение степени хаотичности при стрессе (метод П.С.Ланда и '* М.Розенблюма) 248
6.2.3. Динамика степени хаотичности при нагрузочном стрессе (двухпара- метрический метод оценки) 250
6.3. Применение дискриминантного анализа для оценки аэробно-анаэробного порога 253
6.4. Основные результаты главы 6 258
Заключение 260
Библиографический список использованной литературы 263
- Степень предсказуемости и время предсказуемости. Концепция частичной предсказуемости
- Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели
- Модификация алгоритма для решения задач реконструкции
- Оценка погрешности реконструкции хаотических временных рядов
Введение к работе
Актуальность работы.
Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики - реконструкции динамических систем по наблю- даемым временным рядам, которое известно также как обратная задача не линейной динамики.
Задача получения динамического описания хаотических систем по экспериментальным данным становится в последние годы все более актуальной в связи с насущной необходимостью в предсказании поведения нелинейных сис- Щ тем, модели которых находят всё большее применение в радиофизике, в биоло гии, медицине, химии, астрономии и т.д. Прогностические критерии, разработанные в перечисленных областях знания, опираются в основном на статистические методы и являются уже недостаточными. Развитие науки требует создания новых методов, основанных на использовании динамического описания ф/ исследуемых систем, одним из которых является метод глобальной реконструк ции динамических систем по экспериментальным данным.
Несмотря на большое число работ, посвященных методу глобальной реконструкции, в большинстве работ рассматриваются в основном стационарные случаи и автономные системы, т.е. системы с постоянными параметрами. На на- стоящий момент число публикаций, в которых описывается применение метода глобальной реконструкции к сигналам, порожденным нестационарными или неавтономными системами, мало (B.C. Анищенко, А.Н. Павлов [59], Б.П. Безруч-ко [62] и др.). В этих работах, фактически, используется метод глобальной реконструкции на минимально необходимом для усреднения Актуальность работы. Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики - реконструкции динамических систем по наблю- даемым временным рядам, которое известно также как обратная задача не линейной динамики.
Задача получения динамического описания хаотических систем по экспериментальным данным становится в последние годы все более актуальной в связи с насущной необходимостью в предсказании поведения нелинейных сис- Щ тем, модели которых находят всё большее применение в радиофизике, в биоло гии, медицине, химии, астрономии и т.д. Прогностические критерии, разработанные в перечисленных областях знания, опираются в основном на статистические методы и являются уже недостаточными. Развитие науки требует создания новых методов, основанных на использовании динамического описания ф/ исследуемых систем, одним из которых является метод глобальной реконструк ции динамических систем по экспериментальным данным.
Несмотря на большое число работ, посвященных методу глобальной реконструкции, в большинстве работ рассматриваются в основном стационарные случаи и автономные системы, т.е. системы с постоянными параметрами. На на- стоящий момент число публикаций, в которых описывается применение метода глобальной реконструкции к сигналам, порожденным нестационарными или неавтономными системами, мало (B.C. Анищенко, А.Н. Павлов [59], Б.П. Безруч-ко [62] и др.). В этих работах, фактически, используется метод глобальной реконструкции на минимально необходимом для усреднения временном интерва ле или какая-либо априорная информация о характере неавтономности системы, т.е. характер нестационарного поведения отслеживается по изменению абсолютных значений коэффициентов реконструируемой модели.
Если провести аналогию между процессом измерения физических величин и процессом реконструкции как "процессом измерения" коэффициентов модели, то можно определить применяемые авторами методы реконструкции нестационарных динамических систем как прямые или абсолютные, которые по своей сути слабо чувствительны к малым изменениям восстанавливаемых параметров системы. Для регистрации малых изменений физических величин, как правило, используются разностные (потенциометрические) методы, или методы сравнения. При измерениях такими методами фиксируют не саму величину, а её отклонение от некоторой опорной величины, что значительно повышает чувствительность к обнаружению изменений. Таким образом, разработка разностных методов глобальной реконструкции чувствительных к малым изменениям управляющих параметров является совершенно неразработанным и актуальным направлением.
В любой отрасли знаний при разработке новых методов исследования всегда актуален вопрос о границах их применимости. Таким вопросом при моделировании является определение границ предсказуемого поведения. Можно ли восстановить динамические уравнения из экспериментальных временных рядов? Можно ли на основе восстановленных уравнений делать эффективные прогнозы? Что ограничивает время прогноза? Эти актуальные для развивающегося направления нелинейной науки проблемы и определили основную цель настоящей работы.
Цели работы
1. Исследование предела предсказуемости (горизонта предсказуемости) нелинейных динамических систем с хаотическим поведением при решении задач реконструкции. Выявление фундаментальных ограничений предельного времени предсказания при использовании линейных и нелинейных авторегрессионных моделей для построения прогноза поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.
2. Разработка разностных методов глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем по наблюдаемым временным рядам, основанных на дискриминации моделей в пространстве состояний.
3. Определение оптимального времени усреднения и времени дискретизации наблюдаемых временных рядов, обеспечивающих максимальное приближение к горизонту предсказуемости при реконструкции хаотических систем.
4. Анализ предсказуемости при переходе через точки бифуркаций в присутствии шумов в нестационарных нелинейных динамических системах и выявление условий, при которых переход становится предсказуемым.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Впервые на основе единой концепции "частично-детерминированного хаоса", основанной на соглашении, что в качестве признака случайности (детерминированности) выбирается непредсказуемость (предсказуемость) наблюдаемого процесса на основе определённой прогностической модели или класса моделей:
•получена оценка предельного времени предсказуемости - "горизонта предсказуемости" - для хаотических временных рядов с учётом шумов;
•аналитически и численно исследованы предельные возможности и получены фундаментальные ограничения времени предсказуемости авторегрессионных моделей при описании наблюдаемых временных рядов хаотических систем;
•аналитически установлены оптимальное время дискретизации и оптимальное время усреднения для получения максимального времени предсказуемости для нелинейных дискретных отображений;
• предложен метод различения случайных и хаотических процессов по отношению времени предсказуемости к радиусу корреляции наблюдаемых временных рядов
2. Разработан оригинальный разностный дискриминантный метод гло- 1 бальной реконструкции нестационарных хаотических систем как по одномерному, так и по многомерным наблюдаемым временным рядам, который позволяет выявлять в наблюдаемых нестационарных хаотических процессах, как резкие скачки, так и плавные изменения управляющих параметров. Кроме этого алгоритм позволяет сравнивать модели наблюдаемого процесса не только в разные временные интервалы, но и от разных временных рядов (например, один из которых может быть от опорной или эталонной системы). Эта возможность практически реализована при построении приёмника в хаотических каналах связи.
3. В результате исследований проблемы предсказуемости при переходе нелинейной динамической системы через точки бифуркаций:
•обнаружено и исследовано новое явление - явление динамического нарушения вероятностной симметрии, при котором переход становится предсказуемым;
•расширено понятие адиабатичности бифуркационных переходов с учё- том интенсивности флуктуации, т.е. показано, что с точки зрения предска зуемости условие адиабатичности (медленности) перехода определяется не только скоростью перехода, но и уровнем внутренних шумов;
•аналитически и численно определена граница между стохастическим (непредсказуемым) и динамическим (предсказуемым) сценариями переходов и обнаружено явление разбиения плоскости начальных состояний на зоны притяжения конечных постбифуркационных состояний.
4. На реальных данных R-R интервалов (времени кардиоциклов сердца), показано:
• что по изменению коэффициентов реконструируемой малоразмерной нелинейной динамической модели с коэффициентами, являющимися значимыми для всей группы пациентов, можно оценивать один из важнейших клинических показателей - аэробно-анаэробный порог, определение которого традиционными клиническими методами требует дорогостоящей аппаратуры;
•величина степени хаотичности и размерность последовательности R-R интервалов, фазовые портреты функций последования пациентов кардиореанимационного отделения в состоянии близком к критическому на фоне лечения могут использоваться в качестве индикаторов состояния.
Создан комплекс компьютерных программ, реализующий разработанные процедуры.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных оценок и разработанных методов для решения задач реконструкции нелинейных стационарных и нестационарных динамических систем и выявление изменений управляющих параметров по наблюдаемым временным рядам. В частности, разработанный автором метод реконструкции нелинейных нестационарных динамических систем на основе дискриминации моделей в пространстве состояний был положен в основу приёмника для хаотических каналов связи со следящим дискриминатором, который разрабатывался совместно с коллективом под руководством М.В. Капранова (МЭИ) для выявления медленной и быстрой составляющих переменного управляющего параметра. Программный комплекс, разработанный совместно с аспирантом О.Л. Аносовым на основе дискриминантного анализа и методов оценки степени хаотичности, использовался во Владимирском кардиоцентре при исследованиях нарушений в сердечно-сосудистой деятельности наряду со стандартными комплексами для кардиологических исследований.
Полученные фундаментальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных моделей временем корреляции процесса представляют интерес для широкого круга теоретических и практических задач радиофизики и смежных областей, определяя стратегию выбора моделей и методов анализа, решения задач прогнозирования.
Разработанные процедуры и компьютерные программы восстановления моделей и обнаружения нестационарного поведения управляющих параметров хаотических систем могут быть использованы для исследования широкого класса радиофизических, медико-биологических, метеорологических, геофизических и других явлений для построения нелинейных динамических моделей процессов. На их основе могут быть созданы эффективные методы и приборы диагностики состояния и предсказания поведения нелинейных динамических систем.
Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту
1. Получено соотношение, определяющее "горизонт предсказуемости" для нелинейных динамических систем с хаотическим поведением с учётом основных факторов: измерительного шума, внутреннего шума и неточности модельного оператора. На основе полученной оценки предложен критерий выявления динамики из наблюдаемых временных рядов по соотношению между временем корреляции и временем предсказуемости.
2. Аналитически и численно выявлены фундаментальные ограничения на время предсказуемости при использовании линейных и нелинейных авторегрессионных моделей для описания нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Показано, что во всех случаях, кроме случая восстановления моделей дискретных отображений, время предсказуемости практически не превышает время корреляции наблюдаемого процесса как и для процессов случайной природы. Увеличение порядка модели не приводит к увеличению времени предсказуемости, а даже наоборот приводит к некоторому его ухудшению.
3. Аналитически и численно оценены границы оптимального времени дискретизации и оптимального времени усреднения для получения макси Щ мального времени предсказуемости в случае дискретных моделей нелиней ных динамических систем.
4. Предложен новый метод глобальной реконструкции нелинейных нестационарных динамических систем как по одномерным, так и по многомерным наблюдаемым временным рядам, основанный на сравнении моделей т в пространстве состояний. На тестовых примерах показана устойчивость ме тода к действию шумов, выявлена высокая чувствительность метода к изменениям управляющих параметров и, благодаря простоте алгоритма, возможность построения системы, работающей в реальном времени, например в качестве приёмника для хаотических каналов связи.
v 5. В численных экспериментах по исследованию предсказуемости в нелинейных динамических системах при динамических (нестационарных) бифуркациионных переходах в присутствии шумов обнаружено что, наряду с общеизвестным непредсказуемым сценарием перехода существует новый динамический - предсказуемый сценарий перехода. Теоретически и численно
• определена граница между этими сценариями, которая определяется соотно шением между скоростью перехода и уровнем шума.
6. Клинические исследования кардиоциклов (R.-R интервалов) показали возможность использования реконструированных малоразмерных моделей для оценки клинических показателей, а оценки степени хаотичности в качестве индикаторов состояния пациентов не только в нормальном, но и в состоянии близком к критическому.
В своей совокупности эти положения составляют основу нового интенсивно развивающегося научного направления - методы глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем по экспериментальным данным.
Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в ВлГУ, ИКИ РАН, ИРЭ РАН, МГУ (семинар "Синергетика" под руководством проф. Ю.Л. Климон-товича и семинар «Время, Хаос и Математические проблемы» под руководством акад. В.А. Садовничего), АКИН РАН, МПГУ, СО ИРЭ РАН, а также на следующих Российских и зарубежных конференциях:
Third Technical Conference on Nonlinear Dynamics (CHAOS) and Full Spectrum Processing, Mystic, July 10-14, Connecticut, USA (1995);
International Conference "Appl. Nonlinear Dynamics Near the Millenium" (ANDM 97), San Diego, С A, USA, July 7-11 1997;
International Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (NDES 97), Moscow, Russia, June 26-27 1997;
The International Conference on Dynamical Systems and Chaos (23-27 May 1994, Tokyo);
International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine, Saratov. 1996, 1998;
International Conference "Stochastic and Chaotic Dynamics" in The Lakes (Ambleside 16-20 August 1999, England), 1999.
Работы, положенные в основу диссертации, были поддержаны Международным Валютным Фондом в рамках Соросовской программы (гранты NAG00O, NAG300), Министерством образования (грант 95-0-8.3-1), Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 99-02-16625, 00-02-17441), INTAS (грант 96-0305), ФПЦ "ИНТЕГРАЦИЯ" (гранты А0030 и Б0001).
Материалы диссертации отражены в 47 опубликованных работах, в том числе в 20 статьях в иностранных и центральных российских журналах, 2 препринтах ИКИ РАН, 7-ми научных сборниках и коллективных монографиях, в трудах 18 конференций.
Достоверность научных выводов основана на совпадении аналитических результатов с результатами численного моделирования на широко используемых моделях хаотических систем, а также с результатами экспери-ментов на макетах электронных систем. Материалы диссертации обсуждав лись на российских и международных научных конференциях и семинарах различного уровня. В значительной своей части они уже получили признание у специалистов и неоднократно цитировались в литературе.
Личный вклад автора. Основные результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.
Личный вклад автора в большинстве публикаций был определяющим и состоял в постановке задач, получении аналитических результатов, построении алгоритмов, составлении программ и проведении численных расчётов, обсуждении результатов и участии в написании всех статей. Анализ и обсуждение полученных результатов, написание и редактирование статей проходили при поддержке проф. Ю.А. Кравцова, которому принадлежит формулировка общего направления исследований по проблемам предсказуемости. Компьютерная реализация дискриминантного анализа и подготовка численных иллюстраций выполнены О.Л.Аносовым во время его обучения в аспи-рантуре под совместным научным руководством диссертанта и Ю.А. Кравцова. Исследования явления динамического нарушения вероятностной симметрии были проведены сначала совместно с Е.Д. Суровяткиной, проходившей обучение в аспирантуре МПГУ под нашим с Ю.А. Кравцовым научным руководством, а затем совместно с И.А. Рычка и С.Г. Бильчинской, которые окончили аспирантуру МПГУ под научным руководством Е.Д. Суровяткиной и Ю.А. Кравцова. Е.Д. Суровяткиной, И.А. Рычка и С.Г. Бильчинской принадлежит основная роль в проведении численного моделирования и анализе результатов в публикациях [10, 16, 17, 19, 20].
Сотрудничество с группой Ю.И. Кузнецова (МГУ) было направлено на сравнение эффективности разных подходов к проблеме реконструкции хаотических систем [31,32]. Дж. Брашу принадлежат результаты вычислений зависимости соотношения сигнал-шум для динамического и стохастического
Др сценариев бифуркационных переходов [22]. Работы [14,20,40,41] были вы полнены в рамках совместного с группой проф. М.В. Капранова (МЭИ) гранта РФФИ по использованию дискриминантного анализатора в качестве приёмника сигналов с хаотической несущей. К выполнению части численных расчётов привлекались студенты ВлГУ М.Ю. Логунов и И.М. Кошевой.
Щ Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка использованной литературы. В ней содержится 279 страниц машинописного текста, в том числе 57 рисунков. Библиография включает 181 наименование.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении определена актуальность темы, дан краткий обзор проблем, возникающих при восстановлении динамических уравнений из хаотических временных рядов [92] и описаны наиболее употребительные алгоритмы восстановления. Введение содержит также общую характеристику рабо ,# ты, краткое содержание отдельных глав диссертации с указанием степени новизны основных результатов.
В первой главе в рамках концепции частично-детерминированного хаоса (Ю.А.Кравцов 1997 г.) рассматривается вопрос о предельном времени , предсказуемости для нелинейных динамических систем с хаотическим пове W дением. В разд. 1.2. описаны основные понятия концепции: степень предска зуемости (детерминированности) и время предсказуемости. Используя понятие степени предсказуемости для динамических систем с хаотическим поведением в разд. 1.3. получена оценка, которую можно определить как "гори зонт предсказуемости хаоса" [92, 104]. В последующих главах полученная оценка подтверждена численными расчётами.
На основе полученной оценки предложен простой критерий выявления динамики в наблюдаемых временных рядах по сравнению времени предска- ф зуемости и времени корреляции [104].
Во второй главе, опираясь на понятие степени предсказуемости, аналитически и численно проведен анализ времени предсказуемости линейных и нелинейных авторегрессионных алгоритмов для непрерывных моделей хаотических динамических процессов и одномерных нелинейных отображений в хаотическом режиме [90,91,130] с целью определения фундаментальных пре делов предсказуемости.
В разд. 2.2., на основе анализа выражения степени предсказуемости аналитически, исследованы принципиальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных моделей (ЛАР модели). г Показано, что максимальное время предсказуемости в случае примене ния ЛАР - моделей практически не может превышать время корреляции и не увеличивается с увеличением порядка модели. В разд. 2.2.1-2.2.4., полученные результаты подтверждены в численных экспериментах.
В разд. 2.3 главы рассматривается вопрос о качестве прогнозирования, Щ обеспечиваемого нелинейными авторегрессионными моделями (НАР - моде ли). Исследование пределов предсказуемости НАР - моделей проводилось также путём анализа выражения для степени предсказуемости: процессов случайной (нединамической) природы; одномерных нелинейных отображений в хаотическом режиме; непрерывных хаотических динамических про- 7 цессов.
В следующем разделе главы было показано, что для моделей непрерывных процессов динамической природы, таких как система Ресслера в хаотическом режиме, максимальное время предсказуемости, получаемое для нелинейных авторегрессионных моделей, также не превышает времени корре ляции, практически, как и для линейных авторегрессионных моделей (ЛАР) [разд. 2.2.]. В то время как для дискретных систем, время предсказуемости приближается к "горизонту предсказуемости".
В последнем разд. 2.4. на примере дискретной хаотической системы аналитически и численно исследована корреляционная связь между шумом, действующим на нелинейную хаотическую систему, и ростом ошибки прогноза поведения этой системы [4]. Обнаружено, что корреляции между шумом, действующим на хаотическую систему, и ошибкой прогноза поведения этой системы носят запаздывающий характер. Проведён теоретический анализ линейного и нелинейного этапов роста корреляционных связей между ошибками прогноза и флуктуационными силами, действующими в системе, который показал, что такое запаздывание непосредственно связано с динамикой флуктуации в хаотической системе. Теоретические результаты подтверждены в численных экспериментах на логистическом отображении.
В третьей главе предлагается алгоритм нового метода решения задач глобальной реконструкции для нестационарных динамических моделей хаотических систем с переменными параметрами [60, 114, 115].
Ставилась задача разработки метода глобальной реконструкции нестационарных динамических систем чувствительного к малым изменениям управляющих параметров. Алгоритм, отвечающий этим требованиям, был разработан на основе объединения разностного дискриминантного метода статистической классификации (задача Фишера), двухоконного скользящего авторегрессионного метода выявления нестационарностей и метод глобальной реконструкции Броумхеда-Кинга.
В разд. 3.1. описаны алгоритмы традиционного дискриминантного анализа, для которого решающие правила строятся на основе так называемой дискриминантной функции, которая связывает между собой взвешенные значения набора признаков случайных событий.
В разд. 3.2. предлагается модификация решения одной из задач дис-криминантного анализа - задачи Фишера. Основная идея состояла в представлении моделей динамических систем в форме эквивалентной описанию нелинейной динамической системы в расширенном фазовом пространстве или в пространстве состояний. В такой постановке задача реконструкции динамических систем формально оказывается аналогичной задаче дискрими-нантного анализа [1, 5, 6]. Оценивание модели осуществляется на основе минимаксного критерия Фишера. Используя векторное представление для модельных функции, решение задачи идентификации удаётся свести к частному Релея, а задачу оценивания векторов параметров модели к задаче на собственные значения.
Раздел содержит описание алгоритмов двух вариантов метода: скалярного - для реконструкции по одной наблюдаемой переменной и векторного -по нескольким переменным, для которого был введён векторный критерий Фишера.
В следующих разделах на примерах логистического отображения, отображения Хенона, систем Рёсслера и Лоренца показывается возможность решения задачи восстановления динамической модели хаотического процесса посредством модифицированной дискриминантной процедуры со временем предсказуемости, заметно превышающим время корреляции.
В разд. 3.3. рассмотрена задача выявления изменений управляющих параметров динамического процесса хаотического типа. Представлены примеры детектирования резких и малых (менее 0,5%) скачков, плавных и периодических изменений управляющих параметров дискретных и непрерывных нелинейных систем в присутствии умеренного аддитивного шума.
Последний раздел гл. 3 посвящен анализу влияния шумов и времени усреднения на качество оценивания. Изучена зависимость качества восстановления от уровня шума и от времени усреднения, которое определяется шириной окон, используемых в дискриминантной процедуре. В разделе при водятся численно рассчитанные зависимости ошибки идентификации управляющих параметров дискретной и непрерывной хаотических систем от уровня умеренного аддитивного гауссового шума и от ширины временных окон [5]. Описана возможность детектирования особенностей фазовых траекторий Щ по временной зависимости критерия Фишера.
В четвёртой главе рассмотрен вопрос о точности восстановления модели динамической системы и о качестве предсказания на примере одномерного отображения, допускающего хаотический режим [9, 117, 118].
В разд. 4.2. проанализированы основные источники погрешностей при w реконструкции, а в разд. 4.3, 4.4 на основе анализа системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов показано, что в хаотических системах, как и в обычных локально устойчивых системах, существует оптимальная длина выборки Nopt, обеспечивающая наименьшую погрешность восстановления коэффициентов при заданной модели и заданном уровне шумов.
" В разд. 4.6. сделанные выводы проиллюстрированы примерами восста новления дискретной системы с нелинейностью четвертой степени.
Пятая глава посвящена изучению проблемы предсказуемости при быстрых бифуркационных переходах и всестороннему изучению обнаруженного автором работы явления динамического нарушения вероятностной сим JH метрии [84, 87, 88, 95, 97, 101]. Основной целью исследований, представлен ных в данной главе, явилось определение условий, при которых бифуркационные переходы могут быть предсказуемы, несмотря на влияние шумов.
Во введении дан обзор работ о спонтанном нарушении симметрии в природе и о его аналоге в бифуркационных переходах - явления нарушения вероятностной симметрии конечных состояний системы. В разд. 5.3 описаны два возможных сценария бифуркационного перехода. Показано, что кроме общепринятого "стохастического" (непредсказуемого) бифуркационного перехода в одно из двух равноправных конечных состояний в нестационарных нелинейных системах может реализоваться иной - "динамический" вариант перехода с сильным нарушением вероятностной симметрии за счёт высокой скорости перехода. В разд. 5.4 представлено описание границы, разделяющей стохастический (вероятностно симметричный) и динамический (с нарушенной вероятностной симметрией) режимы бифуркационных переходов. Щр При объяснении отклонения результатов численных экспериментов от оцененной теоретически линейной зависимости показано, что ось начальных состояний разбивается на зоны притяжения конечных состояний, структура которых определяется скоростью перехода и величиной шума.
В шестой главе приведены некоторые результаты применения как из вестных, так и разработанных автором данной работы методов реконструкции и исследования хаотических систем к анализу состояния сердечнососудистой системы (ССС) по клиническим измерениям кардио - циклов или RR-интервалов [109, 116]. Основная цель - показать возможность использования методов нелинейной динамики, в частности методов реконструкции, для разработки методов диагностики ССС. В разд. 6.2. описаны условия проведения клинических исследований в кардиоцентре Областной клинической больницы г. Владимира и в лаборатории кафедры Общей и прикладной физики Владимирского государственного университета. В следующем разделе представлены результаты исследований изменения степени хаотичности кар щ дио - циклов студентов при переменной физической нагрузке с помощью способа оценки степени хаотичности основанного на изучении изменения парциальной взаимной информации с увеличением размерности векторов, реконструированных по методу Паккарда-Такенса. В разделе 6.3. представлены результаты клинических исследований аэробно-анаэробного порога при нагрузочном стрессе с помощью медицинской аппаратуры (Metabolic Meas urement System Sensor Medics 2900) и возможности её оценки по реконструированной малоразмерной модели.
Результаты клинических и параллельных исследований методами нелинейной динамики наглядно показали возможность использования мало у размерных моделей (динамики параметров модели) в качестве простых диагностических средств.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Степень предсказуемости и время предсказуемости. Концепция частичной предсказуемости
В данной главе рассматриваются общие вопросы прогнозирования. Излагаемая в разделе 2 концепция частичной предсказуемости является концептуальной основой для всей работы, в частности, для оценок времени предсказуемости и качества восстановления моделей хаотических систем по наблюдаемым временным рядам. В разделе 3 данной главы получена оценка для горизонта предсказуемости хаотических процессов, а в разделе 4 приведены основные результаты главы.
Любой прогноз начинается с анализа наблюдаемого процесса y(t), под которым мы будем подразумевать процесс, регистрируемый физическими приборами. Наблюдаемый процесс y(f) отнюдь не тождествен реальному, физическому процессу x{i). Дело в том, что наблюдение (измерение) всегда вносит искажения в регистрируемый процесс. Прежде всего, физические приборы обычно осуществляют фильтрацию сигнала, т.е. вносят определенные спектральные искажения. При сильном сигнале или при использовании неадекватного измерительного устройства могут проявиться нелинейные искажения. Далее, принципиальную роль играют шумы и помехи при измерениях, которые ради краткости мы будем называть просто измерительными шумами и обозначать v{t). Измерительные шумы ограничивают возможности измерять, а в некоторых случаях - даже обнаруживать слабые сигналы. Наконец, совокупность наблюдаемых данных y(i) может иметь меньшую размерность q , чем размерность реального процесса qx, поскольку число измеряемых параметров qy всегда меньше, чем общее число степеней свободы, вовлекаемых в движение. Такие искажения можно назвать размерными. В простейшем случае, когда спектральные, размерные и нелинейные искажения малы, а шум имеет аддитивный характер, наблюдаемый процесс y{t) связан с реальным процессом x{t) соотношением y{t) = x(t) + v{t) (1.1) где v(t) - измерительный шум.
Прогноз всегда составляется на основе модельных представлений и возникает как результат упрощенного (приближенного, идеализированного) описания реальной системы. Дифференциальное уравнение, которому подчиняется реальная динамическая система, символически запишем в виде : Mx(d/dt,x-,ak,fl) = 0, (1.2) где Мх - оператор, отвечающий данной системе, d/dt - символ дифференцирования, х - набор переменных, существенных для данной задачи при принятом уровне описания, ак - параметры реальной системы, ft(t) - все несущественные, малозначащие и флуктуационные переменные. В разбиении переменных на существенные и несущественные уже содержится определенный произвол. В зависимости от того, как он решается, возникает то или иное приближенное модельное уравнение: Mx(d/dt,z;ak ,0) = 0. (1.3)
Здесь ак - оценки параметров ак, (в идеале ак=ак), а символ "0" поставлен там, где в реальной системе (1.2) находились малозначительные факторы .. Пренебрежение этими факторами и составляет существо идеализации. При рассмотрении проблемы предсказуемости мы вынуждены иметь дело фактически с двумя процессами: наблюдаемым y{t) и модельным z{t), то 40 гда как реальный процесс x(t) остается как бы на заднем плане: он не подвер гается прямой регистрации и подвержен влиянию флуктуационных факторов ft(i). Все три процесса схематически изображены на рис. 1.1. В качестве на чального условия z для модельного процесса z{t) естественно взять значение ф) у наблюдаемого процесса y(t) в начальный момент времени t: z=/, zSzO), У- »0) (1.4)
Именно в силу этого соотношения измерительные шумы v(r) оказывают существенное влияние на прогноз. Действительно, из (1.4) и (1.1) следует, что начальные значения модельного и реального процессов отличаются как z = х +v, и если уравнение (1.2) для x(t) обладает свойством локальной неустойчивости, как для большинства реальных динамических систем, то начальная невязка v0=z-x0 породит экспоненциально нарастающую разницу z-x vexp(A+r), где, как и выше, Х+ - наибольший Ляпуновский показатель, а г = t -1 - интервал времени после начала наблюдения.
Вторая причина погрешности прогноза - действие флуктуационных сил fi(t). Даже в отсутствие измерительных шумов флуктуационные силы fi(t) вызывают слабое начальное расхождение между процессами z и х, которое испытывает затем гигантское усиление в силу экспоненциального роста возмущений. Этот механизм появления погрешностей прогноза присущ всем без исключения хаотическим системам. Третий, не менее важный источник погрешности прогноза - неточность модельного оператора Mz относительно реального оператора Мх. Удачный выбор модельного оператора Mz в значительной мере определяет успех прогноза.
Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели
Приведенные выше рассуждения о фундаментальном ограничении времени предсказуемости для ЛАР-моделей подтверждаются и в случае многомерных непрерывных процессов динамической природы. На рис. 2.5 приведены результаты расчёта степени предсказуемости Dm(r) ЛАР-моделей различных порядков (т=1,2,..,10), построенных для Г(/)-компоненты системы Ресслера[35, 121]:
Степень предсказуемости ЛАР-модели первого порядка D\(z) на рис.2.5 изображена линией, а степень предсказуемости ЛАР-моделей более высоких порядков - точками. Компонента Y{t) вычислялась путем численного интегрирования системы Ресслера (2.18) при значении параметров (а=6=0,2; с=-25), соответствующих хаотическому поведению.
Зависимость относительного времени предсказуемости g{m) = rL d Iтс от порядка ЛАР-модели, полученная для У(/)-компоненты системы Ресслера, показана на рис. 2.6.
Зависимость степени предсказуемости 7(/)-компоненты системы Ресслера от времени прогноза для ЛАР-моделей порядка /и=1,2,...,10 g(m)
Зависимость относительного времени предсказуемости от порядка ЛАР-модели для 7(/)-компоненты системы Ресслера Как видно из рис. 2.6, время предсказуемости rpred для детерминированного процесса, также как и для случайного процесса, по порядку величины сравнимо с временем корреляции тс и увеличение порядка ЛАР-модели существенно его не меняет.
Расширение области применимости авторегрессионных моделей воз можно за счет введения нелинейных членов - использование нелинейных авторегрессионных моделей (НЛАР-модели).
Однако для случайных процессов нединамической природы возможности таких моделей так же ограничены, как и в случае ЛАР-моделей. Это было показано в работе [105] на примере гауссовых процессов. Для процес сов динамической природы применение НЛАР-моделей более оправдано, однако более перспективным является подход с позиции идентификации мо делей в пространстве состояний: восстановление нелинейных динамических уравнений (дифференциальных или разностных) непосредственно из наблю даемых временных рядов [1,14-17,66,76,125]. В условиях, когда погрешность динамических уравнений становится малой по сравнению с вкладом шумов той или иной природы, время предсказуемости достигает своего предельного значения max{Tprecj}, которое может существенно превышать время корреля , v ции процесса. Примеры такого рода приведены в работе [125] (см. также [77] и [122]).
Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели Рассмотрим, как соприкасаются между собой ЛАР- и НАР- модели с точки зрения предсказуемости [91].
В рамках ЛАР-моделей М-го порядка прогноз ZUR (і) для процесса x(t), наблюдаемого до момента t, имеет вид ХЫК(Г +т) = а0+ a{x(t) + a2x(t -т) +...+амх[Г -(М- 1)г], ,о (2-19) аналогичный (2.7). Коэффициенты ак в выражении (2.19) вычисляются, например с использованием нормальных уравнений Юла-Уоккера (2.9), и выражаются через значения коэффициента корреляции (нормированной функции корреляции) наблюдаемого процесса в моменты времени At = T,2T,3T,...NT кратные интервалу т = t -1.
Как показано в предыдущих разделах главы, на основе весьма общих соображений и численного моделирования, предельное время предсказуемо / AR сти Tpred, обеспечиваемое ЛАР - моделью (2.19), ограничено временем, сравнимым со временем корреляции наблюдаемого процесса тс:
Сложнее положение с нелинейными авторегрессионными НАР - моделями, например полиномиальными, которые отличаются от ЛАР - модели (2.19) включением нелинейных членов. НАР модель порядка Ми степени N принимает вид:
Модификация алгоритма для решения задач реконструкции
Как было показано во второй главе, время предсказуемости т д для широко используемых при моделировании временных рядов авторегрессионных моделей сравнимо с интервалом корреляции тс и стремится к нулю в случае 8- корреляции [72]. Между тем, хотя, хаотические последовательности и имеют быстро спадающие корреляции, но допускают предсказание (экстраполяцию) на времена т д, значительно превышающие интервал корреляции тс [72,122], т.е. т д»те. Разработанные к настоящему времени методы реконструкции моделей хаотических систем по наблюдаемым временным рядам, которые кратко описаны во введении, направлены в основном на решение задач реконструкции стационарных динамических систем.
В данной главе предлагается новый метод глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем по наблюдаемым временным рядам [13, 14, 60, 66, 76, 104]. В предлагаемом методе объединены дискри-минантный метод статистической классификации [26, 129, 130], двухоконный авторегрессионный метод выявления нестационарностей [131] и метод глобальной реконструкции Броумхеда-Кинга [49]. Параметризация модели осуществляется в двух смежных скользящих временных окнах, как и в алгоритме, описанном в работе [131], но используется критерий, минимизирующий ошибку модельного описания в пространстве состояний [4] в обоих окнах и одновременно максимизирующий разность ошибок
106
между окнами (аналог дискриминантной задачи Фишера). Такая процедура объединяет процедуру параметризации с процедурой проверки на обновляющейся последовательности (метод скользящего экзамена [130]) и, как показано в работе [6, 130], является селективной к виду модели. Двух оконная процедура идентификации также снижает статистические ошиб ки, но в отличие от однооконных алгоритмов типа [7-10] является, как и ожидалось, более чувствительной к нестационарным свойствам модели наблюдаемого процесса. Иными словами, наряду с идентификацией пара метров модели двухоконная минимаксная процедура позволяет эффектив но выявлять участки нестационарного поведения и закон изменения управляющих параметров в рамках выбранной модели.
Выбор критерия Фишера [132] в качестве критерия качества оптимизации модели обусловлен тем, что для вектора коэффициентов модели было получено аналитическое решение, которое сводится к задаче на соб ственные значения [129,137]. Это обстоятельство даёт возможность реализовать алгоритмы для идентифицикации нестационарных нелинейных динамических систем, которые способны работать в режиме реального времени. Кроме того, разностный характер критерия Фишера должен был иметь высокую чувствительность к изменениям параметров модели, что и подтверждено численным моделированием в разделе 3 данной главы.
Материал главы распределен следующим образом. В разд. 3.2. кратко описана методология классического дискриминантного анализа [129,130] и определены основы её модификации для построения разност Щ ного метода глобальной реконструкции [60,66].
В разд. 3.3 описывается модификация дискриминантного анализа и алгоритмы двух вариантов нового метода глобальной реконструкции нестационарных систем в пространстве состояний: скалярного - для реконст 107 рукции по одной наблюдаемой переменной и векторного — для реконструкции по нескольким наблюдаемым переменным.
В разд. 3.4. приведены примеры реконструкции моделей стацио нарных и нестационарных хаотических систем в пространстве состояний как по одной, так и по нескольким наблюдаемым переменным [14,16,60,66,75,77,120]. В разд. 3.5. проведена оценка влияния шумов и ширины окон на качество реконструкции и показана возможность детек тирования особенностей фазовых траекторий по временной зависимости критерия Фишера [120]. В заключительном разделе сформулированы основные результаты главы.
Дискриминантным анализом (ДА) называют совокупность алгоритмов, с помощью которых на основании обучающих выборок и предположений строится конкретное правило классификации.
В классическом дискриминантном анализе в качестве функцио ф нального преобразования набора признаков F(x) используется так назы ваемая дискриминантная функция Z)(x,a), которая связывает между собой взвешенные значения набора признаков событий х. Неизвестный вектор весов а (вектор параметров дискриминантной функции) и вид дискрими-нантного функционала D(x,a) выбирается таким образом, чтобы макси-мизировать отличие выборки полезных от выборки фоновых событий. Путем подбора значений параметров а дискриминантная функция "настраивается" (обучается) на имеющихся в распоряжении исследователя априорных выборках. Таким образом, дискриминантная процедура относится к классу алгоритмов "обнаружения с учителем". Априорные выборки, на которых проводится обучение, принято называть "обучающими".
Оценка погрешности реконструкции хаотических временных рядов
Отличие многомерных распределений различаемых классов от гауссовых влечет за собой необходимость введения в дискриминантную функцию более сложных нелинейностей, что может существенно усложнить процедуру оптимизации параметров. Однако, в случае дискрими-нантных функций полиномиального вида, общий вид функции может быть записан выражением, аналогичным (3.5), где под F x) следует подразумевать произведения степеней координат вектора признаков л:, включая и порядок более второго. Выражение (3.5), тем не менее, остаётся линейным относительно весовых коэффициентов дискриминантнои функции хотя оно нелинейно относительно координат вектора признаков х. Это позволяет интерпретировать гиперповерхность в п-мерном Евклидовом пространстве А п), описываемую дискриминантнои функцией (3.5), еще и как гиперплоскость в расширенном Евклидовом 4 пространстве Я размерностью р, которое получается путем дополнения исходного пространства нелинейными координатами F;(x). Такая интерпретация указывает, что при нахождении параметров дискриминантнои функции (3.5) могут быть использованы те же методы оптимизации, что и в случае линейной дискриминантнои функции (3.2). Таким образом, с учетом высказанных ограничений, дискриминантную функцию (3.5) мож но записать в обобщенном линейном виде где X = {xii),x{2),...,x(a\Fl ,+l)(x),...,F{p)(x)}- расширенный р-мерный вектор признаков, полученный дополнением и-мерного вектора исходных признаков х = {xw,xi2),...,x{n)} нелинейными координатами Fj(x).
Именно два последних обстоятельства, а также интересные алгоритмы для выявления нестационарностей в двух скользящих временных окнах [131] и свойства временных последовательностей, генерируемых хаотическими системами [35,73,80] определили направление модифика-ции описываемого ниже алгоритма.
В практике моделирования нелинейных динамических систем наиболее часто используются модели в виде уравнений или систем уравнений в дискретном времени: отображения, функции последования и др.
[35,73,80], а для описания процессов в непрерывном времени системы дифференциальных уравнений первого порядка. Если ввести фазовые координаты, то и те и другие формы описания формально можно представить в аддитивном относительно коэффициентов модели виде (3.6). В этом случае модели дискретных систем, описываемые системой уравнений в конечных разностях с дискретным временем п, можно переписать в следующем виде: модели непрерывных процессов в виде:
Использование моделей динамических систем в виде (3.7) и (3.8) эквивалентно описанию нелинейной динамической системы в расширен ном фазовом пространстве с координатами Ф .
Расширенное фазовое пространство Фр является пространством состояний динамической системы [4], т.е. пространством с координатами: {y(i),dy(f)ld{i),dy(t)ldt,..,}, являющимися компонентами дифференциаль-ных уравнений системы (3.8). В случае дискретных систем (3.7) вместо производных фигурируют конечные разности.
В такой постановке задача реконструкции динамических систем аналогична задаче дискриминантного анализа. Вместо расширенного пространства признаков Хр, используется расширенное фазовое пространство Ф . В качестве обучающих выборок из дискриминируемых классов х и х(р выберем отрезки временного процесса У(0 и y(2)(t), наблюдаемые в смежных окнах Т\ и Т2, а в качестве дискриминантной функции (3.5) - ад дитивные модели (3.7) или (3.8).
Рассмотрим алгоритм решения дискриминантной задачи Фишера в новой постановке, частично следуя [132].
Пусть наблюдаемый одномерный временной процесс y(t) генерируется некоторой пока неизвестной в общем случае многомерной нелинейной системой, которая подчиняется уравнению c?[x(/),b] = 0, где Ь вектор параметров системы. Здесь и далее модели будем представлять в виде (3.7) или (3.8). Кроме того, как и в главе 1, наблюдаемая величина y(t) будет связана с "истинной" переменной x{t) соотношением (1.1): y(t) = x(t) + v(0, где v(t) - шумы.
Зададим размерность системы, оценив её одним из методов, опи санных во введении или главе 6. Имея оценку размерности и руководству ясь теми или иными соображениями, выберем для анализа дискретную или непрерывную модель, которой предположительно описывается поведение системы, и представим ее в виде (3.7) или (3.8). Тогда задача идентифика ции сводится к параметризации, т.е. к определению вектора параметров а, минимизирующего отличие процесса z(t) сгенерированного этой моделью, от модели на основе наблюдаемого процесса y(t).
Как уже указывалось выше, полученный в виде (3.7) или (3.8) модельный оператор й?[у(0,а] линеен относительно коэффициентов акк и аналогичен по виду линейной дискриминантной функции, используемой в статистическом дискриминантном анализе. Однако, в данном случае анализ из статистического пространства признаков переносится в расширенное динамическое фазовое пространство.
Суть предлагаемой двухоконной минимаксной процедуры состоит в том, чтобы проводить совместную параметризацию динамической моде ли на двух участках временного процесса таким образом, чтобы одновременно минимизировать ошибку модельного описания наблюдаемого процесса y(t) в обоих временных окнах и максимизировать отличие ошибок между окнами.
