Содержание к диссертации
Введение 2
1 Эффекты динамической перколяции 33
1.1 Перколяционные фазовые переходы. Краткий обзор 37
1.1.1 Перколяция как критическое явление 43
1.1.2 Структурные свойства перколяционного кластера 46
1.1.3 Градиентная перколяция 50
1.1.4 Распространение инфекций 52
1.1.5 Модель лесных пожаров 55
1.2 Направленная перколяция 61
1.2.1 Перколяция в средах с размножением 61
1.2.2 Эстафетная передача информации 71
1.2.3 Направленная перколяция и структура биотических сообществ 78
1.3 Динамическая перколяция 99
1.3.1 Бистабильная среда с восстановлением в представлении клеточных автоматов 99
1.3.2 Динамическая перколяция на кубической решетке со случайно потенциалом 103
1.3.3 Приближение среднего поля 120
1.3.4 Роль внешнего поля 126
1.3.5 Динамическое обобщение законов Хортона и Хака 133
2 Фрактальная динамика грозового облака 140
2.1 Особенности электрической структуры грозового облака 141
2.1.1 Крупномасштабное поле грозовой ячейки 142
2.1.2 Топкая структура внутри облачного электрического поля145
2.1.3 Само подобие структуры электрического поля в грозовом облаке 146
2.2 Предварительная стадия и инициация молниевого разряда 150
2.2.1 Экспериментально наблюдаемые особенности предварительной стадии 151
2.2.2 Много потоковая нестабильность в грозовом облаке 152
2.2.3 Фрактальная модель предварительной стадии молниевого разряда 156
2.3 Инициированные грозой электрические разряды в средней атмосфере 161
2.3.1 Структурные особенности грозы генерирующей разряды в средней атмосфере. Анализ данных эксперимента 162
2.3.2 Моделирование тонкой структуры спрайтов 169
3 Электромагнитное излучение грозового облака 173
3.1 Радиоизлучение грозового облака 173
3.1.1 Наблюдаемые особенности радиоизлучения грозы ISO
3.1.2 Моделирование высокочастотного радиоизлучения 182
3.1.3 Фрактальный анализ данных высокочастотного картографирования молний 186
3.1.4 Моделирование радиоизлучения в широкой полосе 199
Предметный указатель 3CKS
3.2 Особенности рентгеновского и гамма-излучения грозового облака 203
3.2.1 Мелкомасштабная электрическая структура и пробой на убегающих электронах 204
3.2.2 Ускорение электронов стохастическим полем 205
4 Перколяция в гидродинамике и сейсмике 216
4.1 Фрактальная динамика фильтрационных течений 216
4.1.1 Универсальная форма нелинейного закона фильтрации 217
0 4.1.2 Бидисперсный ансамбль 223
4.1.3 Скорость распространения фронта возмущения 226
4.2 Перколяционный механизм гравитационной дифференциации 228
4.2.1 Гравитационный критерий Гриффита 229
4.2.2 Перколяционная неустойчивость пористой среды в гравитационном поле 233
4.2.3 Сеть релаксационных генераторов 246
4.2.4 Дегазация и сейсмическая активность 251
4.2.5 Закон Гуттенберга-Рихтера 254
Заключение 264
Литература 267
Предметный указатель 297
Список обозначений 298
Введение к работе
Важным объектом радиофизических исследований в области нелинейной динамики являются процессы в сильно неравновесных открытых системах. Потоки энергии и вещества, проходящие через эти системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образования макроскопических диссипативных структур [16, 19, 21, 23]. В последнее время в области интересов радиофизики оказывается вес большее число нелинейных распределенных сред, структурообразование в которых демонстрирует в широком диапазоне параметров и масштабов пространственно-временной скейлинг -— один из фундаментальных видов симметрии физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной [17, 26, 28, 30, 31]. Пространственно-временной скейлинг характеризуется сильными, спадающими по степенному закону, корреляциями, которые типичны для критических явлений. Критический режим в процессах самоорганизации оказывается самосогласованным и самонастраивающимся, причем динамика критических флуктуации непосредственно связана с появлением фракталов в конфигурационном пространстве нелинейных распределенных систем при кинетических переходах. Исследования явлений такого рода были объединены недавно общим направлением названным самоорганизованной критичностью (self-organized criticality) [9] и позиционирующим скейлинговый аспект самоорганизации как ярчайшую интригу современной физической парадигмы, вызывающую колоссальный интерес
Фрактальная динамика активных систем как неотъемлемое проявление самоорганизованной критичности обнаруживается в природе повсеместно. Рост деревьев и дренажные системы речных бассейнов, растительный покров и лесные пожары, структура облачности и грозовые электрические разряды, просачивание жидкости сквозь грунты и сейсмичность, эволюция популяций и многое другое, — все это примеры фрактального поведения. Однако, несмотря на широкое разнообразие физических контекстов, в которых разворачивается фрактальная динамика конкретных систем, существуют общие фундаментальные закономерности самоподобной динамики, предопределяющие независимость макроскопического поведения от мелкомасштабных нюансов взаимодействия локальных элементов. Поиск этих закономерностей наряду с построением базовых моделей фрактальной динамики представляется чрезвычайно актуальной задачей.
Развитие базовых представлений о фрактальной динамике в короткий срок шагнуло от решеточных моделей песочной кучи, ставшей своеобразной визитной карточкой самоорганизованной критичности, до синтеза фрак-тальности и топологии в описании перколирующих систем как геометрического образа самосогласованной критической динамики [25]. Последний случай, когда в качестве исходных посылок используются идеи теории перколя-ции, представляется особенно актуальным. Дело в том, во-первых, что подобно днесипативным структурам, перколяшюипые структуры также оказываются результатом фазовых превращений [G, 7, 8, 13, 36, 12У, 133, 135]. Во-вторых, геометрические параметры перколяпионпых кластеров вблизи порога слабо зависят от деталей мелкомасштабного устройства, что делает перколяциго чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте. И, наконец, в-третьих, наличие контрастных — по отношению к фону — физических свойств элементов перколяционных структур (например, высокой — па фоне низкой — проводимости или проницаемости элементов) делает их весьма чувствительными к воздействию внешних полей. Во внешнем поле экспоненциально редкое событие образования крупного кластера способно вызвать катастрофу на масштабах, сопоставимых с размерами системы, причем катастрофическое событие не может быть обнаружено или предсказано в приближении среднего ПОЛЯ.
Последнее обстоятельство особенно ярко проявляется в крупномасштабных природных системах, таких как грозовое облако и сейсмически активные участки литосферы. Здесь возникает новое интересное направление исследований связанное с фрактальной динамикой перколирующих систем в потенциальных полях. Описание таких сред не укладывается в рамки традиционных подходов и, хотя, использование средств фрактальной геометрии уже имеет здесь свою историю [58, G9, 100, 101], многие актуальные проблемы грозовой и сейсмической активности остаются открытыми. Так, до сих пор не нашли своего решения принципиальные вопросы формирования электрической структуры грозовых облаков, инициации молниевого разряда, его распространения и сбора объемного виутриоблачного заряда в ли-дерный канал молнии, актуальные вопросы электромагнитного излучения грозы. В сейсмике своего решения ждут вопросы энергетики сейсмических событий, проблемы вертикальной миграции гипоцентров и проблема генерации краткосрочных электромагнитных предвестников землетрясении.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с исследованием нелинейной динамики и самоорганизации активных систем различной природы.
Цель диссертационной работы. Выявление общих закономерностей пели динамики активных систем различной природы, приводящих к формированию само подобных диссипативных структур. Построение и анализ моделей, описывающих фрактальную динамику активных распределенных систем на примере грозового облака и сейсмической активности.
Достижение поставленной пели было связано с решением ряда конкретных задач:
1. Выявление общих закономерностей критической динамики в системах с размножением, распадом и диффузией и в активных системах со случайно растущим потенциалом. Моделирование динамической перколя-ции на простой кубической решетке для различных алгоритмов случайного рота. Изучение роли внешнего поля и линейных размеров системы. Развитие динамических обобщений законов Хака и Хортона для самоаффннных проводящих структур.
2. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по зондированию внутри облачного электрического поля. Выявление топкой электрической структуры грозовых облаков и построение модели ее формирования. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по высокочастотному картографированию молниевого разряда. Развитие фрактального подхода для количественного описания множественных электрических разрядов ассоциированных с тонкой электрической структурой грозового облака на предварительной фазе молнии.
3. Построение самосогласованной перколяшгонной модели описывающей электромагнитное излучение грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами. Построение фрактальной электродинамической модели разветвленных транспортных цепей, осуществляющих перенос крупномасштабного электрического заряда в грозовом облаке. Исследование эффекта "убе-гающих"электронов при наличии мелкомасштабной электрической структуры грозового облака.
4. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по выявлению количественных характеристик грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере - спрайты и эльфы. Моделирование тонкой структуры ассоциированных с грозой высотных разрядов. Исследование динамики зон интенсивной конденсации в грозовых облаках.
5. Построение обобщенной модели фильтрационных течений в дисперсных средах с переменной пористостью с использованием методов континуальной теории перколяцни. Экспериментальная проверка выводов теории о скейлинговом характере изменения активной пористости и проницаемости дисперсных систем. Исследование нелинейной динамики фильтрационных течений вблизи порога перколяцни.
6. Исследование механизма неустойчивости многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу в гравитационном поле. Построение самосогласованной перколяпионной модели распределенной сейсмичности. Объяснение эффекта вертикальной миграции очагов землетрясений.
Решение поставленных задач предопределило композицию диссертационной работы, которая состоит из Введения, четырех глав и Заключения.
Все полученные в диссертации научные результаты являются новыми и получены впервые:
1. Построена фрактальная модель нелинейных распределенных систем со случайно растущим потенциалом и с пороговым подавлением роста локальных градиентов потенциального рельефа. Для различных моделей роста найдены условия, при которых модельная динамика обладает скейлинговьши свойствами. Показано, что эффекты динамической перколяцни предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее поле и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Продемонстрировано флуктуационное понижения порога динамической перколяцни на броуновском потенциальном рельефе. Предложено динамическое обобщение законов Хака и Хортона для саморазвивающихся транспортных структур.
2. Построена физическая картина предварительной стадии молниевого разряда и показано, что динамическая перколяшія лежит в основе механизма, осуществляющего фрактальную "металлизащпо"грозового облака — лавинообразный рост самоподобного поля мелкомасштабных нс-однородностей проводимости внутрпоблачной среды. В рамках пер-коляционной модели получена оценка среднего уровня активности на предварительной фазе молниевого разряда, соответствующая данным экспериментальных наблюдений. Показано, что взаимодействие возникающих проводящих структур с крупномасштабным полем грозы приводит к возникновению иерархической системы сбора объемного виу-триоблачного заряда в активной части облака, которая предопределяет появление лидерного канала молнии.
3. Предложена фрактальная модель электромагнитного излучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами, учитывающая разветвлеиность и конечную проводимость токовых каналов. Проведен фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов и выявлены эффекты кластеризации мелкомасштабных вспышек электромагнитного излучения на предварительной стадии молнии. Характерные значения фрактальной размерности процесса кластеризации извлеченные из эксперимента определяются размерностью геодезической перколяционного кластера.
4. Показано, что наряду с ускорением электронов до релятивистских энергий, случайно ориентированные мелкомасштабные электрические поля при наличии столкновений с молекулами воздуха приводят к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий и объясняют значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.
5. Проведен фрактальный анализ радарных образов грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере на примере зимних гроз в Японии. Выявлено критическое поведение зон интенсивной внутри-облачной конденсации непосредственно перед генерацией епрайтов и эльфов — электрических разрядов в средней атмосфере, инициированных крупномасштабным молниевым разрядом. Построена перколяци-онная модель эволюции зон интенсивной внутрноблачной конденсации, соотвествующая реальным наблюдениям за поведением грозовой системы на радаре. Предложен перколяционный механизм формирования тонкой структуры епрайтов. На основе принципов, развитых в диссертации при описании внутриоблачного разряда, построена фрактальная модель, позволяющая описывать структуру и динамику развития епрайтов.
6. Получена универсальная форма нелинейного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред. Экспериментально доказано, что фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скей-липговые особенности, обусловленные перколяцией внутрипорового пространства. Обнаружен эффект критического замедления при распространении фронта возмущения, вызванного резким включением градиента давления в дисперсной системе.
7. Показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, например, конвекцией, существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу. Показано, что пер-коляштониый механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.
Перейдем к изложению содержания работы.
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы се пель и задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые па защиту.
Глава 1 посвящена исследованию эффектов динамической перколяции. Раздел 1.1 содержит обзор основных идей теории перколяции (от английского to percolate - протекать, просачиваться). Основы теории были заложены еще в дофрактальпые времена, но пшрокую популярность ей принес фрактальный бум 80-х годов. Теория перколяшш занимается геометрическим фазовым превращением — появлением связности в ансамбле очень большого (макроскопического) числа элементов при условии, что расположение самих элементов и связи между ними носят случайный характер.
Простейшие решеточные задачи теории протекания формулируются следующим образом. На пространственной решетке каждый узел (независимо от своих ближайших соседей) занят с некоторой определенной вероятностью, которую можно интерпретировать как долго (концентрацию) занятых узлов при случайно-однородном заполнении решетки. Пустые и занятые узлы могут отвечать самым разнообразным физическим свойствам.
В противоположность обычным фазовым превращениям, где смена фаз происходит при некоторой критической температуре, перколяпионный переход является геометрическим фазовым превращением и характеризуется критическим поведением кластеров — групп занятых узлов, являющихся ближайшими соседями, вблизи порога перколяции. Ниже порога существуют только кластеры небольших размеров. По мере роста концентрации средний размер кластеров увеличивается. При концентрации близкой к критической появляется кластер, связывающий противоположные стороны решетки. Такой кластер называют перколяшюнпым. В термодинамическом пределе бесконечно протяженной решетки перколяпионный кластер называют бесконечным кластером. С дальнейшим ростом концентрации доля принадлежащих перколяционному кластеру узлов (плотность перколяцион-ного кластера) возрастает. Соответственно, средний размер конечных кластеров, не принадлежащих перколяционному кластеру, уменьшается и при концентрации близкой к единице все узлы принадлежат, очевидно, только одному кластеру.
Крупномасштабная геометрия кластеров вблизи порога превращения оказывается фрактальной, имеет универсальный характер и не зависит от мелкомасштабной структуры, определяемой физической природой связей и свойствами отдельных элементов. Универсальная геометрия крупномасштабных структур предопределяет универсальность глобальньгхсвойств в системе, делая перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте.
Тот факт, что перколянионный переход является критическим явлением, подразумевает степенной характер поведения связанных с ним физических величин: они меняются как степени отстройки критического параметра — концентрации от порогового значения. Это утверждение сохраняет свою силу и для динамических, например, транспортных свойств перколирующих объектов.
Динамическим развитием идей перколяшш можно считать ситуации, когда критический параметр перколяционного перехода сам становится внутренней динамической переменной системы. Естественно, что такие превращения возникают только в активных средах и сопровождаются подводом к системе свободной энергии и диссипацией. При этом ключевую роль начинает играть явление, так называемой, самоорганизовашюй критичности, когда система автоматически эволюционирует к состоянию динамического равновесия, близкому к порогу перколяцпи.
Изложение оригинальных результатов начинается с раздела 1.2, где исследуются эффекты направленной перколяшш в средах с диффузией и размножением [43, 44, 45, 46, 47]. Здесь в п. 1.2.1 рассмотрена взрывная неустойчивость роста населенности вблизи порога направленной перколяшш и численно исследована зависимость средней населенности от линейных размеров системы в двумерном случае [43, 45]. В качестве базовой модели рассматривается распределенная система со случайным размножением, распадом и диффузией. Предполагается, что скорость распада однородна в пространстве и во времени, а размножение происходит лишь внутри определенных центров размножения, которые случайно возникают во времени в случайных точках среды, но имеют одинаковую форму, интенсивность и продолжительность жизни. Среднее число импульсов, приходящихся в единицу времени на единицу объема, постоянно. Критическим параметром задачи является безразмерная пространственно-временная концентрация центров размножения, определяемая как произведение объема пространственно-временной области занятой центром размножения на среднее число импульсов, приходящихся в единицу времени на единицу объема. Когда критический параметр мал, различные центры размножения действуют независимо друг от друга и расчет порога взрывной неустойчивости осуществляется в рамках известного, стандартного анализа в приближении среднего поля. По мере роста критического параметра различные центры размножения начинают перекрываться в пространственно-временном континууме и их взаимное влияние становиться существенным: последующие центры начинают действовать на фоне пятен населенности оставленных предыдущими центрами. Появляются пространственно-временные цепочки центров размножения — кластеры размножающегося вещества эволюционирующие на фоне практически нулевой населенности. Пространственно-временные масштабы этих кластеров расходятся при стремлении критического параметра к пороговому значению. Важным представляется тот факт, что средняя населенность в системе падает с ростом ее размеров в силу фракталыюсти кластеров размножающегося вещества.
Близкой дискретной иллюстрацией конструктивной роли геометрических флуктуации связанных с направленной перколяпией может служить передача информации по одномерному информационному каналу [43, 45]. В 1.2.2 рассмотрена возможность эстафетной передачи возбуждений через цепочку клеточных автоматов, каждый из которых может либо блокировать, либо пропускать проходящую через него информацию. Цепочка характеризуется удельным числом элементов прозрачных для сигнала. Предполагается, что элементы сети могут с течением времени изменять свое состояние, так что за один шаг дискретного времени некоторое число прозрачных элементов становятся непрозрачными, и наоборот. При этом уровень прозрачности остается постоянным, а доля обновляемых за один шаг автоматов составляет фиксированную величину. Исследуется возможность передачи информации по такой флуктуирующей цепи при условии, что информация способна сохраняться на прозрачных ячейках, и пропадает только при изменении статуса ячейки. На каждом шаге модельного времени поступившая на вход системы информация передвигается вправо до ближайшего блокирующего узла. Предполагается, что информация передается через прозрачные ячейки за время малое по сравнению с длиной шага модельного времени, так что бит информации всегда занимает крайнее правое из доступных ему положений. Для одномерной ситуации, численно найдены порог эстафетной перколяции и соответствующий критический индекс.
Применение идей направленной перколяции в экологическом мониторинге видовой структуры биотических сообществ [61, G2, G3, 64] обсуждается в п. 1.2.3. Здесь перколяционный подход позволяет связать фрактальные особенности видовой структуры биотического сообщества с масштабной инвариантностью его ландшафтного распределения.
Непосредственный анализ эффектов динамической перколяции содержится в разделе 1.3. Рассмотрение начинается с описания бистабильной среды с восстановлением в рамках системы двух уравнений для компоненты, характеризующей активность системы, и для ингибитора, определяющего скорость восстановления активного вещества [42, 166]. Принципиальным является вопрос о возможности существования режима фрактальной динамики в этой модели [162, 42, 166, 46, 237]. Поиск ответа осуществляется в представлении базовой системы сетью клеточных автоматов, где каждому узлу решетки поставлено в соответствие зависящее от дискретного времени значение скалярного потенциала. Роль ингибитора в представлении клеточных автоматов заключена в характере эволюции разностей потенциалов между ячейками: медленном росте с последующим резким переходом в нуль. Активация соседних ячеек соответствует передаче возбуждения посредством диффузии. При этом шаг счета по времени и размер ячейки в системе клеточных автоматов можно связать с масштабом и скоростью движения импульса возбуждения в исходной системе.
Переход к сети клеточных автоматов целесообразен по следующим причинам. Во-первых, даже в том случае, когда известны точные дифференциальные уравнения, описывающие интересующую нас среду, очень редко удается найти аналитические решения этих уравнений и возникает необходимость в проведении расчетов. При исследовании динамических структур в таких двумерных и, тем более, трехмерных системах расчеты оказываются чрезвычайно трудоемкими. Во-вторых, часто возникают ситуации, когда модели дискретных сетей оказываются более адекватными по сравнению с приближением сплошной среды. Яркими примерами здесь могут служить живые ткани, нейронный и информационные сети, экологические и социально-экономические системы. Наконец, в-третьих, при развитии различных нсустойчивостей, непрерывные распределенные системы могут быть подвержены вынужденной дискретизации с характерными масштабами, соответствующими оптимальным инкрементам этих нсустойчивостей.
В рассматриваемой модели клеточных автоматов основным управляющим параметром является отношение скорости роста перепадов потенциала в соседних ячейках к скорости диссипации, принимаемой за единицу в дискретной модели. Проведенные компьютерные эксперименты [171, 173, 42, 166] показали, что при отношении скорости роста к скорости дисеипации порядка и больше единицы в рассматриваемой системе клеточных автоматов реализуются хорошо известные регулярные режимы автоволн и релаксационные автоколебания. Интересующая нас критическая динамика обнаруживается в пределе, когда отношение скорости роста к скорости диссипации значительно меньше единицы. При этом происходит динамическая псрколяция возбуждений на случайном потенциальном рельефе, когда после некоторого переходного процесса система оказывается в состояние динамического равновесия вблизи порога перко ляции. Этот критический уровень определяется равновесием между процессами роста мелкомасштабного потенциального рельефа и процессами выравнивания потенциалов в соседних ячейках при возникновении пробоя между ними. Появление новых активированных связей компенсируется их исчезновением в процессе металлизации. Можно сказать, что происходит заселение среды активированными элементами. На больших временах при грубом временном разрешении события представляют собой дсльтаобразные вспышки, частота появления которых обратно пропорциональна их амплитуде. Напротив, при более высоком разрешении, на коротких временах выявляется тонкая структура каждого события, определяемая процессом выгорания отдельного кластера активированных связей. Принципиально важным оказывается тот факт, что кластеры активированных связей оказываются фрактальными структурами. Вычисленная по результатам моделирования фрактальная размерность кластеров в пределах ошибки совпадает с размерностью перколяционного кластера.
В п. 1.3.3 в рамках приближения среднего поля выясняются общие критерии, обеспечивающие появление критической динамики. Для этого вводится функция распределения связей модельной решетки по абсолютной величине разности потенциалов на их концах. Эволюция функции распределения описывается уравнением Фокксра - Планка в пространстве разностей потенциалов с источником и диссипацией. Искомые критерии соответствуют стационарному решению полученного уравнения при условии достижения порога перколяшш по удельному числу активированных связей.
Динамические эффекты возникающие при появлении в системе крупномасштабного "силового"поля [42, 161, 168, 169, 166] обсуждаются в п. 1.3.4. При этом на смену изотропным перколяштопным кластерам приходят само-аффинныеструктуры, жизнеспособность которых целиком зависит от внешнего поля. При наличии внешнего поля пороги динамической перколяшш рассчитывались с учетом конечной провод ил гости возникающих кластеров. Каждый кластер рассматривается как проводящий граф, вершины и ребра которого соответствуют узлам и связям проводящей структуры. Все вершины отдельного кластера можно разбить на три группы: периферийные точки, т.е. вершины, образующие внешнюю границу кластера, промежуточные вершины, последовательно соединяющие смежные звенья отдельных ветвей, и точки ветвления - вершины общие для трех и более звеньев. За индекс ветвления вершины принимается число приходящих в нее ребер уменьшенное на единицу. Например, индекс ветвления периферийной вершины равен нулю, промежуточной вершины - единице и т.д. Исследовалась ситуация, когда смена конфигурации кластера на каждом шаге моделирования целиком определяется состоянием его периферийных вершин. Если разность потенциалов между такой вершиной и хотя бы одним из се ближайших соседей превышает уровень активации, то возникает одна или несколько новых проводящих связей и такое же количество новых периферийных вершин, опрос которых будет производиться уже на следующем шаге. Если же периферийная вершина не находит активированных соседей, то она отмирает вместе с соответствующим ей проводящим ребром, передавая роль периферии ближайшей своей предшественнице, если эта последняя не является точкой ветвления. В противном случае, когда вершина отмирающей связи является точкой ветвления, ее индекс ветвления просто уменьшается на единицу. Непротиворечивая работа предложенного алгоритма возможна лишь при условии "саыоизбегаиия"процесса активации, когда передача возбуждения некоторому узлу решетки возможна лишь при наличии среди его ближайших соседей единственной периферийной вершины. Выполнение последнего условия запрещает появление петель в возникающих проводящих кластерах. При введении в алгоритм процесса активации ближайших соседей условия самоизбегания, результирующий кластер теряет петли и несколько "худеет , при этом его фрактальная размерность падает. Важно отметить, что наличие внешнего потенциального поля с амплитудой существенно уступающей величине локальных флуктуации потенциала не меняет, сколько-нибудь заметно, требуемого уровня активации.
Самоаффинные системы, возникающие при наличии внешнего поля, по своим структурным свойствам напоминают дренажные системы бассейнов крупных рек. Существенным отличием первых от последних является динамический характер их существования. В гидрологии описание стационарной структуры потоков дренажных систем речных бассейнов опирается на совокупность эмпирических законов Хака и Хортона. В основе предлагаемого в п. 1.3.5 динамического обобщения законов Хака и Хортона лежит фундаментальный факт скейлинговой зависимости времени жизни фрагмента дренажной системы от его характерных пространственных размеров. По-существу речь идет о расширении и перенесении свойства самоаффинности дренажных систем с пространственного континуума на пространственно-временной [46, 237].
Глава 2 посвящена исследованию фрактальной динамики грозового облака. В разделе 2.1. проведены исследования структуры электрического поля и пространственного заряда в грозовых облаках на стадии их интенсивного роста и инициации молниевого разряда. Для выявления закономерностей формирования макроструктуры электрического поля грозы наряду с механизмами электрической зарядки облачных частиц необходимо исследовать их динамику при взаимодействии с воздушными потоками с учетом действия наряду с силами трения и тяжести электрических сил. Важную роль при этом играет неодномерность этих потоков, в частности конвективных ячеек, существенно влияющих на распределение заряда в грозовом облаке [46, 237]. Эти вопросы обсуждаются в п. 2.1.1.
В п. 2.1.2 на основе статистического анализа систематических баллон-пых измерений выполненных американскими коллегами впервые продемонстрировано наличие тонкой структуры электрического поля грозового облака и исследованы ее характеристики. Анализ результатов измерений показал, что спектры электрического поля в грозовых облаках носят степенной характер для достаточно широкого интервала масштабов от десятков метров до километров. В целом ряде экспериментов показатель спектра оказался близким к -2. Установлено, в частности, что на стадии высокой электрической активности стратифицированные и конвективные области мезо-масштабных конвективных систем имеют неоднородную топкую структуру электрического поля и соответствующие степенные спектры в диапазоне характерных масштабов от десятков метров до километров [168, 167].
В п. 2.1.3 результаты экспериментов объясняются в рамках диффузионного уравнения для электрического поля с ланжевеновским источником, описывающим в простейшем приближении процесс стохастической зарядки гидрометеоров. По-существу, процесс внутриоблачной зарядки может рассматриваться как случайная депозиция заряда при соблюдении только глобальной электронейтральности. Потенциальный рельеф в этом случае имеет характер трехмерного горного ландшафта и может быть промоделирован пространственным распределением, называемым обобщенным броуновским распределением.
Центральное место в диссертации занимает изучение предварительной стадии молниевого разряда и проблеме его инициации (раздел 2.2) [177, 178, 181, 179, 180, 182, 183, 184, 185, 186, 168, 166, 175, 17G]. Сначала в п. 2.2.1 рассмотрены экспериментально наблюдаемые особенности предварительной стадии молниевого разряда. Затем в п. 2.2.2 обсуждаются физические механизмы появления мелкомасштабной электрической структуры грозового облака и связь этой структуры с предварительной стадией разряда. Известно, что грозовое облако на зрелой стадии его развития состоит из различных компонентов, которые включают ионизированный воздух, заряженные тяжелые частицы типа больших капелек и градин и заряженные легкие частицы — маленькие капельки и кристаллы льда. Восходящий воздушный поток, который является типичным для облака на его зрелой стадии, обеспечивает зарядку частиц и ведет к появлению крупномасштабного электрического поля, благодаря разделению зарядов на его границах. Инициирование молнии возникает в точке, где величина электрического поля близка к пробойному значению. Однако, развитие молниевого разряда в такой постановке не принимает во внимание важную особенность грозового облака, которая связана с много-потоковым характером облачной среды. Опыт с подобными мультипотоковыми плазменными системами показывает, что там существует пучково-плазменная неустойчивость, которая ведет к рождению электростатических волн, дрейфующих вместе с потоком. В п. 2.2.2 эта неустойчивость рассмотрена в применении к грозовому облаку. Именно электростатические волны создают мелкомасштабную электрическую структуру внутри облака.
В разделе 2.3. осуществлено моделирование нелинейной стадии развития пучковой неустойчивости с использованием результатов первой главы диссертации. Внутриоблачная среда представлена в виде трехмерной решетки клеточных автоматов, где каждому узлу решетки поставлена в соответствие зависящее от времени значение электрического потенциала. Эволюция потенциального рельефа на решетке осуществляется в рамках моделей случайного роста.
Рост потенциального рельефа ограничен некоторым критическим значением разности потенциалов между ближайшими узлами, по достижении которого происходит пробой — между соседними узлами возникает проводящая связь, выравнивающая соответствующую разность потенциалов. Предполагается далее, что некоторые участки потенциального рельефа ме-тастабильны и на следующем шаге модельного времени возникший пробой может инициировать пробои соседних связей (инфицировать соседей), если приложенная к ним разность потенциалов превышает некоторый фиксированный уровень — уровень активации, значение которого меньше критического. Важно подчеркнуть, что активация может иметь как скалярный, так и векторный характер. В первом случае принимается во внимание только абсолютное значение разности потенциалов, во втором - дополнительно учитывается знак. В диссертации рассмотрен общий случай, когда учитываются и скалярный и векторный аспекты. При этом смена конфигурации кластера на каждом шаге моделирования целиком определяется состоянием его периферийных вершин. Такой подход дает уникальную возможность учета эффектов связанных с наличием крупномасштабного поля, поскольку именно периферийные вершины являются точками приложения к кластеру внешней разности потенциалов, тем большей, чем сильнее поле и чем крупнее сам кластер.
В диссертации разработан следующий алгоритм" анализа периферии. Если разность потенциалов (с учетом знака - векторный характер активации) между такой вершиной и хотя бы одним из ее ближайших соседей превышает уровень активации, то возникает одна или несколько новых проводящих связей и такое же количество новых периферийных вершин, опрос которых будет производиться уже на следующем шаге. Если же периферийная вершина не находит активированных соседей, то она отмирает вместе с соответствующим ей проводящим ребром, передавая роль периферии ближайшей своей предшественнице, если эта последняя не является точкой ветвления. В противном случае, когда вершина отмирающей связи является точкой ветвления, ее индекс ветвления просто уменьшается на единицу. Не трудно убедиться в том, что непротиворечивая работа предложенного алгоритма возможна лишь при условии "самоизбегания"процесса металлизации, когда передача возбуждения некоторому узлу решетки возможна лишь при наличии у него единственного металлизированного соседа. Выполнение последнего условия запрещает появление петель в металлизированных кластерах. Возникающие при этом структуры без петель и самопересечений называются в теории графов деревьями, а их совокупность - лесом. В нашем лесу, возникающем в процессе эволюции потенциального рельефа, деревья не только растут и исчезают, но и объединяются друг с другом, причем алгоритм объединения сводится просто к увеличению индекса ветвления общей вершины соединившихся кластеров.
В п. 2.3.1 проведен фрактальный анализ радарных образов грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере на примере зимних гроз в Японии [273]. Для всех анализируемых событий выявлено критическое поведение зон интенсивной внутриоблачной конденсации непосредственностью перед генерацией спрайтов и эльфов. Обнаружено, что появление мощных положительных молниевых ударов облако - земля, генерирующих спрайты, хорошо коррелирует с моментом, когда величина радиуса тирании зон интенсивной внутриоблачной конденсации в горизонтальной проекции начинает превышать 100 км. Построена перколяпионная модель эволюции зон интенсивной внутриоблачной конденсации, соотвсствугощая радарным наблюдениям за поведением грозовой системы, инициирующей спрайты и эльфы.
В главе 3 рассматриваются актуальные вопросы электромагнитного излучения грозового облака. В разделе 3.1 в рамках развиваемой в диссертации модели исследуются характеристики высокочастотного радиоизлучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и между обратными ударами.
Характерные свойства радиоизлучения грозы обнаруженные в эксперименте рассмотрены в п. 3.1.1. И внутриоблачные разряды и разряды на землю излучают электромагнитную энергию в широком диапазоне частот. Процессы ионизации и локальных пробоев (главным образом лидеры и стримеры) обусловливают сильную эмиссию в высокочастотном диапазоне. Когда сильные токи проходят в предварительно ионизированных каналах (главным образом токи обратного удара и токи активной стадии внутриоблачных вспышек), наиболее мощная эмиссия наблюдается в низкочастотном и сверх низкочастотном диапазонах. В них обратные удары разрядов облако-земля полностью доминируют над низкочастотным полем излучения молнии из-за потрясающей длины их канала и больших токов [180, 185]. Облачные вспышки производят в низкочастотном диапазоне десятки и сотни относительно слабых импульсов ( 5% средней амплитуды обратных ударов) и только иногда импульсы, сопоставимой с обратным ударом величины. Напротив, в высокочастотном диапазоне количество импульсов в сотни раз превышает их число в низкочастотной области, и амплитуды импульсов, произведенных облачными вспышками сопоставимы с амплитудой вспышек "облако-земля . Высокочастотная радиация производится пробойными процессами с небольшими токами и масштабами порядка десятков и сотен метров. Проблема формирования высокочастотного радиоизлучения напрямую связана с внутриоблачной динамикой, поскольку обычно, лишь относительно небольшая часть высокочастотной импульсной активности связана с компонентами типа обратных ударов, содержащих значительные токи.
В п. 3.1.2 рассматривается высокочастотное поло излучения грозы [173], которое формируется совокупностью микроразрядов, возникающих в процессе роста рассмотренных во второй главе кластеров металлизации и может быть, следовательно, напрямую сопоставлено с экспериментальными данными, В развиваемой модели каждая металлизированная связь представляет собой линейный ток с размером равным период} модельной решетки, текущий от большего потенциала к меньшему. Поскольку в исследуемой модели знак разности потенциалов фиксируется, то, следовательно, известно и направление возникающих токов. Выполненная па основе модельных расчетов оценка частоты появления микроразрядов по измерениям радиоимпульсов наземной приемной антенной, хорошо согласуется с экспериментальными данными.
В п. 3.1.3 проведен фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов выполненных совместно с японскими коллегами [44, 47], Летом 2002 года система локации грозовых разрядов, использующая LDAR (Lightning Detection and Ranging) датчики производства Космического центра имени Кеннеди (США), впервые была развернута на территории Яиошш в местечке Точиджи. Система локации обеспечивает трехмерное картографирование молнии, основанное на регистрации времени прибытия высокочастотного импульса. После приема сигнала от грозового разряда каждый LDAR датчик измеряет абсолютное время прихода сигнала. Сопоставляя информацию, полученную, как минимум, от четырех датчиков, локационная система вычисляет позицию (широта, долгота и высота) и истинное время каждого события. Анализ экспериментальных записей грозовых событий наглядно подтверждает фрактальный характер грозовой активности и во временном и в пространственном аспектах. Хорошо выделяемые области высокой плотности числа вспышек можно интерпретировать как зоны интенсивной кластеризации отдельных вспышек на предварительной стадии молниевых разрядов и между отдельными обратными ударами. Фрактальные особенности экспериментальных данных полностью соответствуют результатам теоретического анализа и определяются соотношением размерности геодезической и химической размерности перколяциошгого кластера.
В разделе 3.2 обсуждаются особенности рентгеновского и гамма-излучения грозового облака [164, 165, 172]. Существование предварительной фазы грозового разряда в виде многочисленных микроразрядов, длящейся несколько десятых секунды без заметного изменения макроскопического электрического поля в облаке, указывает на то, что электрический пробой, который определяется критической разностью потенциалов между соседними ячейками, возникает в первую очередь в мелкомасштабных структурах. Пробой в отдельно взятой ячейке может инициировать электрические разряды в соседних ячейках. К этому приводит ряд причин, главной из которых в условиях грозового облака служит электрический пробой на убегающих электронах. Суть пробоя на убегающих электронах состоит в том, что в процессе первого, по-существу, холодного разряда с высоким порогом, соответствующим критическому уровню, рождаются энергичные электроны МэВ-ных энергий, которые могут запустить лавину ионизации в соседних ячейках при гораздо меньшей разности потенциалов, соответствующей уровню активации. Оценки показывают, что путь торможения МэВ-ных электронов в воздухе на высоте h 5км составляет 50м. Таким образом, эти электроны могут служить эффективным механизмом "размножения" микроразрядов, даже если в соседних ячейках разность потенциалов существенно уступает критическому уровню. Реально, отношение критического потенциала к потенциалу активации достигает пяти.
С другой стороны, ускорение электронов постоянным полем представляется переходным процессом, который ограничивается, как правило, электрическим пробоем воздуха. В то же время, эксперименты показывают, что 7 и X излучение проявляет себя как долгоживущнй процесс, свидетельствующий о постоянном присутствии энергичных электронов в грозовом облаке. Дополнительная возможность генерации энергичных электронов возникает благодаря ускорению электронов стохастическим электрическим полем. Такая постановка проблемы ускорения электронов представляется совершенно естественной, если учесть существование больших объемов впутриоблач-ной среды с различными ориентациями электрического поля. В п. 3.2.2 исследовано ускорение электронов постоянным во времени, но изменяющимся в пространстве мелко-масштабным электрическим полем случайной ориентации с учетом ограниченных размеров области, ускорения и показано, что стохастическое поле может существенно повлиять на время жизни энергичных частин.
Глава 4 посвящена исследованию эффектов перколяции в задачах гидродинамики фильтрационных течений и сейсмики. В разделе 4.1 анализируются результаты проведенной под руководством автора экспериментальной проверки выводов континуальной теории протекания для фильтрационных течений в дисперсных средах с переменной пористостью [243, 239, 240].
В описании явлений переноса в дисперсных средах естественное применение находят методы стохастической геометрии. Так, в последние годы, появились модели нефтяных и газовых коллекторов, основанные на решеточных задачах теории протекания. Эти модели хорошо приспособлены для компьютерного моделирования и дают качественное представление о типичных режимах фильтрации, однако, они не могут претендовать на количественное соответствие реальным процессам, поскольку фигурирующие в них параметры носят феноменологический характер и не связаны с физически измеримыми величинами. Количественные сопоставления возможны в континуальных моделях протекания, где критическим параметром является полная пористость системы, а активная пористость естественно интерпретируется как параметр порядка перколяциошюго перехода. Таким образом, идеология континуальной теории протекания позволяет с единой точки зрения рассмотреть непрерывный набор сред, различающихся между собой величиной критического параметра, сопоставляя им обобщенную систему с переменной пористостью.
Основное утверждение теории о том, что вблизи порога протекания активная пористость и проницаемость системы изменяются по скейлинговому закону, было подтверждено в серии экспериментов, где полная пористость модельной среды изменялась под действием одноосного сжатия в цилиндрическом стакане. Соответствующие экспериментальные зависимости скорости фильтрации от величины перепада давления для различных значений пористости хорошо ложатся на теоретические зависимости, полученные с помощью полученного в работе универсального двухчленного закона фильтрации (п. 4.1.1).
В свое время неоднократно делались попытки выразить фильтрационное число Рсйнольдса через параметры дисперсной системы таким образом, чтобы процесс фильтрации в пористых средах различной структуры описать единой формулой. Использование порколяпионного подхода позволяет получить универсальную форму записи двухчленного закона фильтрапии для широкого класса дисперсных сред, объединенных общей геологической историей.
Экспериментально исследовалась зависимость порога протекания от корреляционных свойств пространственного распределения пор. В экспериментах с монодисперснымп ансамблями измерялась скорость распространения фронта возмущения, вызванного резким включением градиента давления в системе. Был обнаружен эффект критического замедления распространения возмущения с приближением к порогу перколящш. Рассмотрены перспективы неоднородного обобщения перколяшюнноп проблемы в дисперсных системах.
В п. 4.2 показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, (конвекцией), существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяпионному переходу [238, 247, 244, 245, 246, 256, 44, 46]. Этот механизм проявляется, в частности, при перемещении связной области трещин в твердой литосфере Земли. Критический уровень пористости обеспечивает появление зон прозрачности - макроскопических зон геометрической связности порового пространства - кластеров газовой компоненты. Нижняя часть области прозрачности характеризуется дефицитом порового давления по сравнению с литостатическим. С другой стороны, верхняя часть области включает зоны с избыточным поровым давлением.
Перепады внутрипорового давления пропорциональны размерам зоны прозрачности и компенсируются прочностью твердой матрицы. При некотором критическом размере кластеров газовой компоненты уровень флуктуации внутрипорового давления превышает прочность пород, - твердая матрица разрушается. Газ перемещается в верхние горизонты, где избыточное поровое давление провоцирует дальнейшее разрушение твердой матрицы. Процесс дегазации, таким образом, превращает литосферу в распределенный, сейсмический генератор, источником энергии которого является потенциальная энергия недифференцированного материала литосферы в поле тяжести планеты. Обсуждаемый перколяцпонный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и является основой механизмов генерации электромагнитных предвестников сейсмических событий [255, 256]. Построена двумерная модель процесса дифференциации. Результаты численного моделирования сопоставляются с данными наблюдений.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Эффекты динамической перколящга лежат в основе специфического механизма запорогового ограничения роста населенности при кинетическом переходе типа заселения среды в неравновесных системах различной природы. При этом поле диссипации в широком диапазоне пространственных и временных масштабов имеет фрактальную структуру, предопределяющую нетривиальный отклик на внешнее поле и зависимость характера динамики от линейных размеров системы.
2. Динамическая перколяция является механизмом фрактальной "металлизации" внутри облачной среды на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между последовательными обратными ударами и обеспечивает формирование иерархической системы токовых каналов, собирающих внутриоблачный объемный заряд в канал лидера.
3. Фрактальная "металлизация"впутрноблачной среды на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами лежит в основе фрактальной модели электромагнитного излучения грозового облака, учитывающей разветвленность и конечную проводимость токовых каналов. Скейлинговый подход к сети микроразрядов позволяет определить основные электрические макропараметры грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда.
4. Случайно ориентированное мелкомасштабное электрическое поле грозового облака в присутствии столкновений с молекулами воздуха приводит к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий, объясняя значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.
5. Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скей-линговые особенности, обусловленные перколяцией внутрипорового пространства. При этом для широкого класса дисперсных сред справедлива универсальная форма нелинейного закона фильтрации.
6. Наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле существует механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к пер коляшгоиному (разовому пераходу. Динамическая перколяиия обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.
В диссертационной работе рассмотрены важнейшие аспекты фрактальной динамики перколирующих систем в потенциальных полях. Суммируя результаты работы, выделим следующие принципиальные моменты:
1. Построена фрактальная модель нелинейных распределенных систем со случайно растущим потенциалом и с пороговым подавлением роста локальных градиентов потенциального рельефа. Для различных моделей роста найдены условия, при которых модельная динамика обладает скейлинговыми свойствами. Показано, что эффекты динамической перколяции предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее поле и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Продемонстрировано флуктуационное понижения порога динамической перколяции па броуновском потенциальном рельефе.
2. Построена физическая картина предварительной стадии молниевого разряда и показано, что динамическая перколяция лежит в основе механизма, осуществляющего фрактальную "металлизацию"грозового облака - лавинообразный рост самоподобиого поля мелкомасштабных не-однородностей проводимости внутриоблачной среды. Взаимодействие возникающих проводящих структур с крупномасштабным полем грозы приводит к возникновению иерархической системы сбора объемного внутриоблачного заряда в активной части облака, которая предопределяет появление лидерного канала молнии.
3. Предложена фрактальная модель электромагнитного излучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами, учитывающая разветвленноеть и конечную проводимость токовых каналов. Фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов выявил эффекты кластеризации мелкомасштабных вспышек электромагнитного излучения па предварительной стадии молнии. Характерные значения фрактальной размерности процесса кластеризации извлеченные из эксперимента полностью соответствуют результатам теоретического анализа и определяются размерностью геодезической перколяционного кластера.
4. Показано, что наряду с ускорением электронов до релятивистских энергий, случайно ориентированные мелкомасштабные электрические поля при наличии столкновений с молекулами воздуха приводят к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий и объясняют значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.
5. Предложен перколяционный механизм формирования тонкой структуры спрайтов электрических разрядов в средней атмосфере, инициированных крупномасштабным молниевым разрядом. На основе принципов, развитых в диссертации при описании внутриоблачного разряда, построена фрактальная модель, позволяющая описывать структуру и динамику развития спрайтов.
6. Получена универсальная форма нелинейного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред. Продемонстрировано, что фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет особенности, обусловленные перколяцпей внутрипорового пространства.
Экспериментально исследована зависимость порога протекания от корреляционных свойств пространственного распределения пор. В экспериментах с монодисперсными ансамблями обнаружен эффект критического замедления распространения возмущения с приближением к порогу перколяпии. Выявлены перспективы неоднородного обобщения перколяционнон проблемы в дисперсных системах.
7. Показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, например, конвекцией, существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу. Этот механизм превращает литосферу в распределенный сейсмический генератор, источником энергии которого является потенциальная энергия недифференцированного материала литосферы в поле тяжести планеты. Предлагаемый перколяциопный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет энергетические и статистические характеристики сейсмических событий, а также наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.
