Введение к работе
Актуальность темы. О существовании солитонных процессов ізвестно с середины XIX века, когда они впервые наблюдались в їєханической (гидравлической) системе. Тем не менее, на протяжении іолее чем столетия успехи исследователей в изучении процессов >аспространения уединенных волновых импульсов ограничились излучением нескольких нелинейных уравнений (наиболее известным из ;оторых является уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ)) и нахождением к частных решений подобного рода [Л.1,2]. Интенсивное развитие іелинейной физики, характерное для XX столетия продемонстрировало іеобьгчайную распространенность в природе уединенных волновых юзмущений. Так, обнаружилось, что возникающее в теории дисперсии ак называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) допускает >ешения в виде высокочастотной волны с огибающей в форме уединенного імпульса. Исследования в области нелинейной оптики привели к открытию [влений самофокусировки волнового пучка.
Качественно новая эпоха в исследовании уединенных волновых гашульсов началась с 60-х годов, когда Гарднером, Грином, Крускалом і Миурой [Л.З] был предлолсен новый метод, позволивший іроинтегрировать уравнение КдФ, вскрыть структуру его решений, іроанализировать математическую природу и условия существования їх солитонной части. Данный метод, получивший в русскоязычной гитературе наименование "метод обратной задачи рассеяния (ОЗР)" был юнован на оригинальной идее нелинейной замены переменных с [спользованием терминологии и аппарата квантовомеханической теории іассеяния. Рассматривая искомую функцию как потенциал в задаче іассеяния, авторы отыскивали по ней совокупность данных рассеяния, і, полагая, что потенциал подчиняется уравнению КдФ, отыскивали оответствующий закон временной эволюции данных рассеяния. Последний казался чрезвычайно простым и, проведя тривиальное интегрирование, атем авторы решали обратную задачу рассеяния - восстановление отенциала (т.е. искомого решения КдФ) в произвольных! момент времени. !скоре метод был обобщен на уравнение НУШ (Захаров и Шабат, 1971), юдифицированное уравнение КдФ (Бадати, 1972), уравнение sin-Гордон Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур. 1972), уравнения для решетки Тоды : некоторые другие уравнения [Л.4-6].
Последовавшие два десятилетия в исторических экскурсах обычно арактеризуются как период «солитонного бума». В эти годы интерес к олитонной проблематике достиг максимума. Было найдено и исследовано :етодом ОЗР немало новых уравнений, допускающих солитонные ешения, чрезвычайно успешно развит аппарат самого метода ОЗР. [еоспоримые успехи в аналитическом исследовании солитонов, появление елого направления в физике, стимулировали всплеск активности
исследователей и в традиционных направлениях, связанных с солитонам численном моделировании процессов распространения и взаимодейств] уединенных волн, экспериментальной работе, построению приближеннь решений уравнений, описывающих эволюцию локализованных импульс (методами теории возмущений, в рамках вариационного подхода и т.п
Интерес к солитонной проблематике усиливается также в свя: с продолжающимся обнаружением новых примеров, в которь проявляются солитониые процессы. Особенно большой иитері представляет исследование солитонных процессов в полосково-щелгвь линиях передачи различной геометрии с нелинейными включениями. Э связано с перспективностью использования подобного рода структур качестве элементной базы объемных интегральных схем в СБЧ диапазон В.А. Негановым [Л.7,8] был предложен метод исследования волноводнь экранированных полосково-щелевых структур с тонкими нелинейныг слоями, сводящий краевую задачу для электромагнитных волн векторному нелинейному сингулярному интегродифференциальнол уравнению относительно функции распределения поля в области ще.; с нелинейными параметрами. Проведенный анализ показал возможное существования солитонных решений на примере волноводно~щелев< линии передачи.
В настоящее время исследование солитонной проблематики такя продолжается весьма интенсивно в различных направлениях. Во-первы многие авторы работают в области теоретического анали: солитоноподобных волновых процессов на математическом урові абстракции: поиск точно интегрируемых уравнений, допускающі решения в віще уединенных волн, исследование их структуры и свойст строгий аналитический подход к задачам о существовании и устойчивое солитонных решений, зависимости их параметров от условий задач Основным средством анализа по-прежнему выступает метод ОЗР в е развитіш. В то же время с успехом используются и иные аналитичесю подходы к исследованию уравнений (переход к автомодельнь: переменным, анализ фазовых портретов и др.). В центре виймані исследователей находятся проблемы возбуждения солитонов, j взаимодействия, влияния параметров среды на процесс распространени а также вопросы устойчивости.
Другим направлением в исследовании солитонных волн являет* численное моделирование процессов их распространения взаимодействия. Роль численного подхода велика в связи с тем, ч-число точно интегрируемых уравнений, допускающих солитоннь решения, невелико, для многих практически интересных начальнь условий невозможно получить точные решения. Поэтому на СЄГОДНЯШНЇ день численное моделирование процессов распространения взаимодействия солитонов является незаменимым средством исследовани
Хотя изучение солитонных процессов в настоящее время ИД<
5 фезвычайно активно, круг вопросов, ждущих разработки, достаточно нирок. Актуальным является исследование солитонных явлений в шектродинамике волноведущих структур с нелинейными включениями. $ак известно, распространение волнового пакета в диспергирующей :реде с кубической нелинейностью в рамках второго приближения теории дисперсии может быть описано с помощью НУШ. Представляет шачительный интерес исследование солитонов в подобных структурах сак в данном приближении, так и с учетом дисперсии более высокого торядка, а также нелинейной дисперсии и иных типов нелинейности. В утом случае системы будут описываться обобщениями и модификациями сравнения НУШ. В настоящей работе проводится изучение солитонных ївлений в некоторых моделях подобного рода, как аналитическое, так и зснованное на численном моделировании.
Целью работы является исследование процессов возбуждения, эаспространения и взаимодействия солитонов в системах с различными типами нелинейностей с учетом дисперсии второго и третьего порядков, і также нелинейной дисперсии.
Научная новизна заключается в том, что:
1. Разработан новый метод решения нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих
тераторное представление посредством пар Лакса, основанный на
иодификации алгоритма метода обратной задачи рассеяния с получением
іа основе метода последовательных приближений приближенных
шалитических выражений для решений задач Коши. С помощью метода
проведено исследование нелинейного уравнения Шредингера и уравнения
Хортевега - де Фриза.
-
Определены условия возбуждения солитонов прямоугольным імпульсом в нелинейной системе, описываемой НУШ.
-
Предложена и реализована модификация численных методов эешения нелинейных дифференциальных уравнений в частных іроизводньїх, сходных с нелинейным уравнением Шредингера, основанная га. предварительном преобразовании уравнения по пространственной теременной и последующем применении неявной конечно-разностной :хемы или спектрального алгоритма Е? Теркина на полиномах Чебышева. Іоказаио, что предложенная модификация позволяет более точно лоделировать решение при малых значениях пространственной череменной и избежать искажений, вызываемых влиянием эффектов на раницах отрезка, на котором проводится расчет.
4. Впервые проведен численный анализ процессов
эаспространения, возбуждения и взаимодействия уединенных волн в
іелинейньїх системах, описываемых обобщенным НУШ (оНУШ) - НУШ,
юполненным членами линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной
дисперсии. Найдены новые классы солитонных решений.
-
Впервые осуществлено численное моделирование процессов распространения, возбуждения и взаимодействия солитонов в нелинейных сисстемах на основе модифицированного НУШ (мНУШ) - НУШ с логарифмической нелинейностью. Показано, что основным солитоном данного уравнения является импульс гауссовской формы.
-
Впервые проведено сравнение возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, оНУШ и мНУШ:
влияние дисперсии третьего порядка приводит к увеличению скорости распространения импульса и постепенной деформации его профиля, а также к изменению амплитуды импульсов после взаимодействия импульсов различной амплитуды, а если параметры импульсов отличаются от стандартных - к расплыванию импульса меньшей амплитуды;
нелинейная дисперсия обеспечивает увеличение скорости распространения импульса, а её совместное влияние с линейной дисперрией третьего порядка делает возможным распространение в системе солитонных импульсов нового класса;
основным солитонным решением мНУШ является импульс гауссовской формы; при взаимодействии импульсы такого рода ведут себя частицеподобным образом.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:
- достаточной строгостью разработанных физических и
математических моделей изучаемых физических явлений;
использованием математически обоснованных методов решения поставленных задач;
соответствием численных результатов известным аналитическим результатам;
сравнениям тестовых расчетов с результатами, полученными другими авторами.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
— 1. Разработан новый приближенный аналитический метод решения
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, (допускающих операторное представление посредством пар Лакса), позволяющий более просто проводить анализ солитонных решений по сравнению с методом ОЗР.
2. Разработанный новый, модифицированный численно-аналитический метод решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, применим к достаточно широкому кругу таких уравнений, в том числе и не имеющих
7 солитоноподобных решений.
3. Результаты анализа и сравнения возбуждения, распространения
и взаимодействия солитонон в нелинейных системах, описываемых НУШ,
оНУШ, мІІУІД, могут быть использованы при конструировании
различного рода новых приборов (с нелинейными слоями и пленками)
сверх-, крайневысоких частот и оптического диапазона.
-
Результаты аналитического и численного моделирования уединенных волновых процессов в различных нелинейных системах могут служить составной частью исходного материала при решении задачи создания систем передачи информации по волноведущим структурам с помощью солитонов.
-
Результаты диссертации могут быть использованы в различных областях науки. В частности, результаты моделирования возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейной системе, описываемой мНУШ, имеют большое значение в биофизике, при анализе распространения электрического импульса в нервно-синаптической системе и задаче о течении жидкости в трубках с эластичными стенками.
Апробация работы
Диссертация выполнена в рамках НИР «Разработка электродинамических методов анализа полосково-щелевых структур СВЧ с учетом анизотропии и нелинейности параметров среды и создание новых принципов обработки и передачи информации в системах связи СВЧ и КВЧ диапазонов» (тема 35/93, шифр - «Аспект-ПИИРС», 1997-1999 гг.). Основные результаты диссертационной работы докладывались на IX Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г.Самара, 1997), VI Международной научно-технической конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г.Самара, 1999), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ПГАТИ (1997 - 1999 гг.). Результаты работы внедрены в учебный процесс Самарского государственного университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 4 статьи и 7 тезисов докладов на различных научно-технически:: конференциях и школах-семинарах.
Основные положения, выпосимые яа защиту:
1. Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих операторное представление посредством пар Лакса, основанный на модификации алгоритма метода ЭЗР с получением на основе метода последовательных приближений приближенных аналитических выражений для решений.
2. Условия существования солитонных решений НУШ при
потенциале прямоугольной формы: уравнение для нахождения
собственных значений оператора Захарова-Шабата и зависимости
собственных значений оператора от параметров возбуждающего импульса.
-
Численно-аналитический метод решения НУШ и сходных с ним нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на предварительном преобразовании пространственной координаты, определенной от -оо до +оо, в новую переменную, определенную на конечном интервале, и последующем применении неявного конечно-разностного метода или спектрального метода Галеркина.
-
Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения солитонным начальным возмущением и прямоугольным импульсом в нелинейной системе, описываемой НУШ.
-
Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения импульсом в виде солитона в нелинейной системе, описываемой оНУШ.
-
Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения прямоугольным импульсом и начальным возмущением в виде солитона в нелинейной системе, описываемой НУШ с логарифмической нелинейностью (мНУШ).
-
Результаты сравнения процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, оНУШ и мНУШ.
Структура и объем диссертации.
