Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы оптимального обнаружения и оценки параметров сигналов 10
1.1. Современные методы оптимального обнаружения 10
1.2. Оптимальные алгоритмы определения временной задержки 18
1.3. Оптимальная обработка сигналов с цифровой модуляцией 23
1.4. Принципы синтеза линейных фильтров 31
1.5. Информационно-оптимальный подход к решению недоопределенных задач 37
1.6. Выводы 42
Глава 2. Алгоритм синтеза линейных фильтров для обработки сигналов с выделенными частотными компонентами на основе подхода минимальной дисперсии 46
2.1. Постановка задачи 46
2.2. Синтез фильтров на основе обобщения подхода Кейпона 47
2.3. Анализ частотных характеристик 51
2.4. Решение задачи синтеза фильтров 55
2.5. Сравнение использования различных функционалов при синтезе фильтров для решения задачи демодуляции 58
2.6. Выводы 60
Глава 3. Применение линейных фильтров минимальной дисперсии в задаче оценки параметров частотпо-манипулированпых сигналов 62
3.1. Предварительная обработка сигналов на основе вычисления функции текущей дисперсии 62
3.2. Синтез фильтра минимальной дисперсии для обработки частотно-манипулированных сигналов 65
3.3. Применение обобщенного фильтра минимальной дисперсии в задаче определения взаимной временной задержки частотно-манипулированных сигналов 70
3.4. Применение обобщенного фильтра минимальной дисперсии в задаче демодуляции частотно-манипулированных сигналов 78
3.5. Выводы 81
Глава 4. Применение нелинейных фильтров минимальной дисперсии в задаче оценки параметров ФМ-4 сигналов 83
4.1. Нелинейный фильтр минимальной дисперсии 83
4.2. Построение алгоритма обработки ФМ-4 сигналов 86
4.3. Применение нелинейных фильтров минимальной дисперсии в задаче определения взаимной временной задержки ФМ-4 сигналов 90
4.4. Выводы 92
Заключение 94
Литература 95
- Оптимальные алгоритмы определения временной задержки
- Информационно-оптимальный подход к решению недоопределенных задач
- Анализ частотных характеристик
- Синтез фильтра минимальной дисперсии для обработки частотно-манипулированных сигналов
Введение к работе
Задача цифровой фильтрации встречается во многих областях науки и техники, в частности, связанных с решением задач обнаружения и оценки параметров сигналов [1, 3, 58 и др.]. Общий подход к решению данных задач, формулируемых в терминах различения сигналов, основан на разделении этапов предварительной обработки и последующего принятия решения об обнаружении [1, 2, 4]. Второй этап формулируется в виде проверки статистических гипотез и решается на основе классических подходов с использованием критериев, выбираемых исходя из специфики решаемой задачи [4]. Проблема эффективной обработки сигналов в условиях параметрической неопределенности в присутствии помех различной природы возникает при решении большого числа практических задач. Основные теоретические подходы к их решению получены в фундаментальных работах П.А. Бакута, В.А. Котельникова, Ю.С. Лезина, Б.Р. Левина, В.И. Тихонова, Ю.Г. Сосулина и многих других ученых, посвященных решению общих задач анализа сигналов в присутствии помех. Вместе с тем, различия в свойствах обрабатываемых сигналов и характере помех, а также требования к вычислительной эффективности применяемых алгоритмов, обусловили большое число подходов, применяемых для решения задач цифровой обработки сигналов.
Такими задачами, в частности, являются задача демодуляции, играющая ключевую роль при создании систем связи [1], и задача определения временной задержки при многоканальном распространении [5], встречающаяся в различных областях науки и техники при оценке расстояния до источника излучения и исследовании дисперсионных свойств среды распространения. Использование различных видов кодирования и типов модуляции позволяет достигать компромисса между помехоустойчивостью канала связи и скоростью передачи данных [102]. При этом существенные различия в параметрах сигналов, используемых в системах связи и навигации, приводят к невозможности построения универсальной схемы фильтрации. Классические подходы к решению данной задачи основаны на той или иной реализации подхода максимального правдоподобия [1, 4, 6].
Специфические свойства сигналов, используемых в современных многоканальных цифровых системах связи с временным разделением каналов, ограничивают возможность применения традиционных подходов и требуют разработки методов решения задач обработки таких сигналов [103, 104, 105], представляющих собой короткие информационные последовательности с фазовой или частотной манипуляцией, в присутствии аддитивных и фазовых шумов высокого уровня, а также относительного движения источника и приемника излучения. Согласованная фильтрация в подобных условиях теряет свою эффективность, а использование оптимальных алгоритмов, оценивающих характер и величину искажений, приводит к существенному росту вычислительных затрат, что затрудняет их применение для обработки сигналов в режиме реального времени. Вместе с тем, существуют альтернативные алгоритмы цифровой фильтрации, которые не имеют описанных недостатков [83, 95].
В соответствии с изложенным выше, целью диссертационной работы является разработка и анализ эффективности алгоритмов оценки параметров сигналов с различными видами цифровой модуляции. Основой для разрабатываемых алгоритмов служат линейные и нелинейные схемы предварительной обработки, являющиеся модификациями подхода минимальной дисперсии Кейпона [58]. Схемы применяются в задачах демодуляции и определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении фазо- и частотно-манипулированных сигналов. Спецификой разрабатываемых алгоритмов является возможность вычислительно эффективной реализации на базе сигнальных процессоров или программируемых интегральных схем для работы в режиме реального времени по коротким сигналам в присутствии эффекта Доплера, а также аддитивных и фазовых шумов высокого уровня. Важной особенностью является возможность унифицированной реализации алгоритмов обработки сигналов с различными типами цифровой модуляции.
Актуальность работы. Задачи обнаружения и оценки параметров сигналов имеют большое значение во многих областях прикладной физики и техники, таких как радиосвязь, радиолокация, сейсморазведка, гидроакустика, атомная инженерия, биомедицина, дефектоскопия и других. Решение задачи демодуляции является обязательным этапом при работе систем связи. Определение взаимной временной задержки при многоканальном распространении служит основой для построения систем радиопеленгации и слежения за мобильными объектами. Основные трудности при решении поставленных задач на основе традиционных корреляционных методов связаны с возникающей в процессе распространения неопределенностью относительно параметров обрабатываемых сигналов и свойств шума. В частности, различные дисперсионные характеристики каналов распространения или наличие относительной скорости между источником и приемником излучения приводят к смещению и масштабированию спектра сигналов. Традиционные походы, применяемые в этом случае, сводятся к компенсации частотного сдвига, что обычно делается либо введением перебора по частоте, либо использованием различных адаптивных схем. Перебор по частоте в рамках задачи определения взаимной временной задержки обычно производится на основе вычисления функция неопределенности [4], что приводит к необходимости компромисса между вычислительной эффективностью и требуемой точностью получаемой оценки. Существенным ограничением традиционных адаптивных схем [37, 2] является относительная длительность процессов начальной настройки, ограничивающая применение данного подхода при обработке коротких сигналов. Вместе с тем существуют алгоритмы, основанные на использовании предварительной цифровой обработки исходных сигналов [38, 29, 95, 91], не требующие компенсации неизвестного частотного сдвига, позволяющие значительно сократить время вычислений и обеспечивающие возможность решать поставленную задачу по коротким сигналам в условиях аддитивных и фазовых шумов высокого уровня.
Научная и практическая ценность. Задача демодуляции в условиях неточного знания несущей частоты традиционно решается путем введения дополнительных адаптивных схем [37, 46], структура которых существенно зависит от вида обрабатываемого сигнала, а необходимость предварительной настройки ограничивает возможность их применения при обработке коротких битовых последовательностей. Классические алгоритмы определения взаимной временной задержки в условиях неточного знания несущей частоты сводятся к перебору по возможным значениям частотного сдвига [2, 3, 4]. Многочисленные реализации подобного подхода основаны на построении и последующем анализе функции неопределенности. Вместе с тем, необходимость спектральной обработки больших объемов данных существенно затрудняет оценку временной задержки в режиме реального времени.
В диссертационной работе предложены алгоритмы определения взаимной временной задержки фазоманипулированных (ФМ-2 и ФМ-4) и частотно-манипулированных (ЧМн) сигналов, использующие предварительную цифровую обработку, целью которой является выделение информационной составляющей. Предлагаемые алгоритмы допускают унифицированную относительно типа сигнала эффективную реализацию на базе ПЛИС и сигнальных процессоров. Проведенные исследования устойчивости работы алгоритмов по отношению к аддитивным и фазовым шумам дают основания для их применения в задаче определения временной задержки сигналов с цифровой манипуляцией в условиях неточного знания несущей частоты в присутствии шумов высокого уровня. На основе предложенного алгоритма фильтрации ЧМн сигналов также решена задача демодуляции.
Научная новизна работы. В диссертационной работе задача предварительной фильтрации сигналов с различными видами модуляции в условиях неточного знания центральной частоты и наличия шумовых помех неизвестного уровня решается на основе подхода минимальной дисперсии Кейпона [58]. В частности, предложен алгоритм синтеза линейных информационно-оптимальных фильтров, основанных на обобщении подхода Кейпона. Применение данного алгоритма позволяет синтезировать субоптимальные фильтры, предназначенные для обработки сигналов, в спектре которых могут быть выделены одна и более частотных компонент. На основе применения данных фильтров разработаны алгоритмы демодуляции и определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении частотно-манипулированных сигналов. В работе показана субоптимальность предложенного в [91, 95] подхода на основе использования квадратичного фильтра Кейпона при обработке ФМ-2 сигналов и проведено обобщение на случай ФМ-4 сигналов. Подход применен в задаче определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении ФМ-4 сигналов, представляющих собой короткие битовые последовательности.
Апробация работы. Результаты, приведенные в данной работе, докладывались и обсуждались: на X, XI, XII международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, 2008, 2009, 2010 гг.; на одиннадцатой научной конференции по радиофизике, посвященной 105-й годовщине со дня рождения М.Т. Греховой, Н.Новгород, РФ ННГУ, 2007 г.; на международной научно-технической конференции «ШЕЕ EUROCON-2009», Санкт-Петербург, 2009 г.; на международной научно-технической конференции «The 3rd International Symposium on Communications, Control and Signal Processing», St. Julians, Malta, 2008 г.; на международной научно-технической конференции «Digital Signal Processing Workshop and 5th IEEE Signal Processing Education Workshop», USA, Florida, Macro Island, 2009 г.; на всероссийской научно-технической конференции Информационные системы и технологии, Н.Новгород, НГТУ, 2008 г.; и были опубликованы в статьях: в журнале «Автометрия», 2008; в журнале «Известия ВУЗов. Радиофизика», 2008, 2009; в журнале «Вестник ННГУ», 2008; Основные положения, представляемые к защите: модификация подхода минимальной дисперсии Кейпона для определения коэффициентов линейного фильтра, настроенного на пропускание произвольного числа частотных компонент, и реализация алгоритма синтеза таких фильтров на основе оптимизации информационного функционала; цифровой алгоритм предварительной обработки частотно-манипулированных сигналов на основе использования линейного фильтра, настроенного на пропускание двух частотных компонент и его применение в задачах определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении и демодуляции; метод нелинейной цифровой фильтрации фазоманипулированных (ФМ-2 и ФМ-4) сигналов, его применение и программная реализация в задаче определения взаимной временной задержки; результаты моделирования и исследования устойчивости работы алгоритмов определения взаимной временной задержки ЧМн и ФМ-4 сигналов при многоканальном распространении, а также демодуляции ЧМн сигналов в условиях воздействия аддитивных и фазовых шумов высокого уровня и неточного знания несущей частоты.
Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 108 страниц, включая список литературы из 105 наименований.
Первая глава посвящена обзору актуальных в настоящее время задач обнаружения сигналов и подходов, которые используются для их решения. Основное внимание уделено оптимальным подходам, основанным на принципе максимального правдоподобия (согласованная фильтрация, квадратурный приемник, обобщенный коррелятор, функция неопределенности) и реализующим их алгоритмам, которые могут быть применены для решения задач определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении и демодуляции сигналов с цифровой модуляцией в условиях неточного знания несущей частоты. Приводится краткое описание преимуществ и недостатков традиционных методов решения поставленных задач и ограничения на область применения. Рассмотрены оптимальные подходы к синтезу линейных фильтров и возможные пути их модификации с целью решения поставленных в работе задач. Приводится обоснование возможности использования принципа информационной оптимальности в рамках построения субоптимальных алгоритмов решения поставленных задач. В заключении главы формулируются основные направления проведенного в данной работе исследования.
Вторая глава посвящена разработке алгоритма синтеза линейных фильтров, являющегося обобщением подхода минимальной дисперсии Кейпона. Предлагаемый подход позволяет синтезировать фильтры с использованием различных критериев оптимальности для обработки сигналов с различным числом выделенных спектральных компонент.
В третьей главе предложено обобщение подхода предварительной обработки, основанного на вычислении функции текущей дисперсии, для случая частотно-манипулированных сигналов. Обобщение заключается в построении информационно-оптимальных фильтров, настроенных на пропускание двух выделенных частотных компонент. Разработан алгоритм определения взаимной временной задержки частотно-манипулированных сигналов при многоканальном распространении в условиях наличия неизвестного частотного сдвига. Разработан алгоритм демодуляции частотно-манипулированных сигналов, основанный на применении информационно-оптимальных фильтров, настроенных на пропускание двух выделенных частотных компонент. Эффективность предложенных алгоритмов показана с помощью численного моделирования.
Четвертая глава посвящена разработке и исследованию эффективности алгоритма предварительной обработки фазоманипулированных сигналов на основе нелинейного подхода минимальной дисперсии, предложенного в [91, 95]. Проведено обобщение для случая обработки ФМ-4 сигналов и показана связь с согласованной фильтрацией. Разработан алгоритм определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении в присутствии эффекта Доплера. Эффективность предложенного подхода показана с помощью численного моделирования в сравнении с традиционным подходом на основе вычисления функции неопределенности.
В заключении содержится сводка основных результатов.
В приложении 1 показана эквивалентность критерия минимальной нормы вектора коэффициентов и требования максимального в статистическом смысле подавления белого шума при синтезе фильтров.
В Приложении 2 приведены предельные параметры частотно-манипулированных сигналов, для которых возможно построение фильтров, предложенных во второй главе.
В приложении 3 описан метод многомерной оптимизации Хука-Дживса, используемый в рамках алгоритма синтеза линейных информационно-оптимальных фильтров.
Оптимальные алгоритмы определения временной задержки
Задача определения временной задержки или времени прибытия является одной из основных задач статистической обработки сигналов. Различные приложения задачи определения временной задержки (ВЗ) основаны на различной интерпретации соотношения Ar = vAt, где Лг -расстояние, которое проходит волновой фронт за время At с постоянной скоростью v. Так при измерении расстояния (например, при радиопеленгации) скорость полагается известной, и искомая величина определяется с помощью измерения времени А , необходимого излучению для распространения от радара до цели и обратно. В других задачах (биомедицина, атомная инженерия) известным полагается расстояние, а время измеряется для вычисления скорости. Измерение ВЗ также необходимо при решении более сложных задач, таких как определение направления на источник излучения или измерения положения в пространстве. Если имеются два синхронизированных по времени приемника, разнесенные на расстояние /, то задержка между принимаемыми ими сигналами вычисляется как At = ls m6/v, где в -угол прихода сигнала относительно линии, соединяющей приемники. Соответственно, измерение угла часто основано либо на измерении времени задержки At, либо (для узкополосных сигналов) на измерении фазового рассогласования, которое связано с задержкой следующим выражением Ay/ = covAt. На практике задача определения задержки решается для искаженных сигналов, вид которых в общем случае может быть неизвестен. К сожалению, общего подхода к определению ВЗ, подходящего во всех возможных случаях, не существует. Этот факт, наряду с важностью оценки ВЗ для решения многих практических задач, является причиной, по которой разработка методов решения подобных задач остается актуальной на протяжении нескольких десятков лет. В самом общем виде задача определения ВЗ может быть сформулирована следующим образом.
Для двух сигналов xx(t) и x2(t), распространяющихся по различным каналам и принимаемых независимыми синхронизированными по времени приемниками необходимо определить временную задержку /0. Исследуемый сигнал j(t0) представляет собой задержанную во времени и, в общем случае, искаженную копию эталонного сигнала s{t); предположения относительно характера сигналов nA(t), n2(t), а также значений задержки t0 зависят от конкретной решаемой задачи [5]. Таким образом, задача определения временной задержки может быть сведена к отысканию в принятых данных сигнала, который полагается известным, и решается на основе теории оптимального обнаружения (раздел 1.1). Оптимальный обнаружитель в задаче определения временной задерлски. При анализе задачи определения ВЗ целесообразно разделять задачи активной и пассивной оценок ВЗ. В случае активного определения ВЗ, когда x{(t) и x2(t) соответствуют посланному и принятому сигналу соответственно, обычно можно положить nl(t)=0, a s(t) считать полностью известным детерминированным сигналом. Тогда при стандартных предположениях (n2(t) является белым гауссовым шумом с нулевым средним) оптимальным решением является согласованный фильтр (раздел 1.1.4), коррелирующий х,(/) и x2(t). Оценка ВЗ Л? в этом случае соответствует максимуму выхода согласованного фильтра.
При пассивном определении ВЗ в стандартной постановке задачи хх {t) и Х2\Ч соответствуют принятым сигналам, которые являются стационарными случайными гауссовыми процессами, a nx(t) и n2{t) белыми некоррелированными между собой и с сигналом гауссовыми шумами с нулевым средним. Данная задача имеет хорошо известное решение, асимптотически оптимальное по критерию максимального правдоподобия, основанное на применении обобщенного кросс-коррелятора (ОКК) [6]. Структурная схема ОКК с учетом модели (1.2.1) приведена на рис. 1.2.1. Целью ОКК является вычисление оценки взаимной корреляции
Информационно-оптимальный подход к решению недоопределенных задач
При решении различных практических задач часто приходится иметь дело с ситуацией, когда имеющихся данных недостаточно для получения однозначного решения. Такие задачи часто называют задачами с недостатком информации. Если задача может быть сформулирована в виде решения некоторой системы уравнений, также говорят о том, что система недоопределена и имеет бесконечное число решений. Подобные задачи относятся к классу некорректных и должны решаться на основе введения дополнительных условий, так или иначе согласованных со спецификой решаемой задачи [74]. Математически это приводит к необходимости решать задачу оптимизации некоторого функционала, оптимум которого отвечает решению с требуемыми свойствами и лежит в области решений, допускаемых имеющимися данными. Для получения однозначного решения необходимым условием является выпуклость и непрерывность функционала. Задачи такого типа можно решать различными прямыми методами минимизации функционалов или на основе метода неопределенных множителей Лагранжа [74]. Таким образом, при решении задач с недостатком информации важнейшим моментом является выбор критерия оптимальности решения и соответствующего ему функционала. При этом представляется целесообразным использовать такие математические критерии отбора наилучшего варианта, которые ассоциируются с понятием информативности решения - информационные функционалы. В рамках субоптимальной фильтрации часто для повышения помехоустойчивости фильтрующего алгоритма приходится увеличивать порядок используемой модели по сравнению с минимально необходимым для заданного сигнала. Это приводит к появлению бесконечного числа решений, удовлетворяющих существующим ограничениям на параметры модели, и решение в этом случае должно выбираться на основе информационно-оптимального подхода. Принцип максимума энтропии. Понятие «информационная энтропия» можно считать основополагающим в теории информации [75]. Информационная энтропия представляет собой меру количества информации. Для решения физических задач понятие «информационная энтропия» было конструктивным образом впервые использовано
Джейнсом [76]. Дальнейшее применение этого понятия к решению конкретных прикладных задач было осуществлено Бергом при решении проблем высокоразрешающего спектрального анализа сигналов [77]. Принцип максимальной энтропии является способом выбора предпочтительного решения из всех возможных. Принцип максимальной энтропии, сформулированный в наиболее краткой форме, гласит: «если решение принимается на основе неполной информации, то необходимо опираться на такое распределение вероятностей, которое имеет максимальную энтропию, допускаемую априорной информацией» [76]. Таким образом, этот принцип является формальным критерием отбора предпочтительного решения из всех тех, которые одинаково хорошо согласуются с имеющимися данными. Смысл принципа максимальной энтропии может быть понят на основе следующих соображений. Пусть имеется некоторая надежная информация о какой-либо физической системе, описываемой распределением вероятностей. Перед нами стоит задача реконструкции этого распределения по имеющейся информации. Поставим перед собой задачу построить такое распределение вероятностей, чтобы оно, с одной стороны, полностью согласовывалось, с этими данными, а, с другой стороны, не несло бы в себе никакой произвольной информации, для которой нет оснований в имеющихся данных (другими словами, не содержало бы артефактов). Если удастся сконструировать распределение с максимальной энтропией, то это будет означать, что мы располагаем минимально информативным распределением, которое, вместе с тем, полностью согласуется с экспериментальными данными. Минимальная информативность распределения гарантирует от привнесения ложной информации, а согласие с имеющимися данными обеспечит сохранение надежной информации. При использовании принципа максимальной энтропии для получения оптимального решения в условиях недостаточной информации используются два вида информационных функционалов. Это функционал информационной энтропии распределения вероятностей Шеннона где р{х) - плотность распределения вероятности величины X, и функционал Берга который впервые применил принцип максимальной энтропии для вычисления спектральной плотности мощности (Pxx{f)) случайного процесса с использованием (1.5.2) [77]. Джейнс показал [76], что значения р(х), получаемые с использованием формул (1.5.1) и (1.5.2) являются в равной степени обоснованными: выражение (1.5.1) должно применяться тогда, когда имеет место задача построения функций, имеющих смысл распределения вероятностей, выражение (1.5.2) - для функций, представляющих собой спектральную плотность мощности. Для реализации выражения (1.5.2) существует развитый вычислительный аппарат [58], основанный на методах регрессионного анализа. Применение выражений (1.5.1-1.5.2) к решению одной и той же задачи в большинстве случаев дает близкие друг другу результаты. Основное различие в свойствах (1.5.1) и (1.5.2) может быть охарактеризовано следующим образом. В тех случаях, когда решается задача разрешения близких друг к другу острых максимумов, лучшие результаты дает формула (1.5.2). Требованию максимально точного воспроизведения рельефа плавно меняющейся функции лучше
Анализ частотных характеристик
На рис. 2.1 приведены примеры АЧХ низкочастотных (НЧ) фильтров, построенных на основе среднеквадратичного критерия (2.5), критерия максимума энтропии (2.6), максимума энтропии Реньи (2.7), а также синтезированных в среде MATLAB чебышевских фильтров. Анализ рис. 2.1 позволяет сделать следующие выводы. АЧХ фильтров, построенных на основе среднеквадратичного критерия обладают наиболее узким главным лепестком, но самым высоким уровнем боковых лепестков. Применение энтропийных критериев (2.6,2.7) позволяет понизить уровень боковых лепестков ценой уширения главного лепестка. Более широкий главный лепесток может быть как недостатком, так и достоинством, в зависимости от решаемой задачи. В частности, при наличии неопределенности относительно центральной частоты сигнала широкий лепесток является скорее положительным свойством, поскольку позволяет эффективно работать при большей частотной неопределенности. На основе традиционных подходов синтеза возможно построение фильтров с различными свойствами, в том числе таких, которые аналогичны полученным на основе предложенного подхода. Однако следует отметить, что на основе традиционных подходов возможно построение бесконечного числа фильтров, слабо отличающихся друг от друга своими параметрами. Вопрос выбора одного из них для решения конкретной задачи обработки сигналов представляется трудно осуществимым вследствие . отсутствия четких критериев отбора. Использование предложенного подхода, напротив, для каждой конкретной задачи позволяет получить единственное решение, оптимальное в некотором специфическом смысле. На рис. 2.2 приведены примеры АЧХ фильтров, построенных на основе оптимизации системы (2.3) с использованием двух частотных ограничений на коэффициенты фильтра.
При этом фильтры с параметрами 6,=1, b2 = 0.5 могут быть использованы при решении задач обработки частотно-манипулированных (ЧМн) сигналов [85, 86, 87, 88, 89], а фильтры с параметрами 6, = 1, b2 = 0 могут быть использованы для восстановления комплексной фазы гармонического сигнала [90, 91]. Анализ рис. 2.2 (а, в, д) позволяет сделать некоторые дополнительные выводы по поводу использования различных критериев оптимальности в рамках рассматриваемой задачи. В частности, тот факт, что использование критерия минимума нормы позволяет получать наиболее узкий главный лепесток, оказывается преимуществом при построении «двугорбых» фильтров с точки зрения минимально допустимого расстояния между частотами при заданном числе коэффициентов. Другими словами, на основе функционала (2.5) возможно построение фильтров для обработки ЧМн сигналов с меньшим индексом модуляции, чем на основе других критериев. С другой стороны, высокий уровень боковых лепестков в этом случае ограничивает возможности выбора величины коэффициента пропускания. Более широкие лепестки с плоской вершиной, получающиеся при использовании функционалов (2.6) и (2.7), могут быть преимуществом при обработке сигналов в условиях наличия неизвестного частотного сдвига, но имеют меньшую область применения. АЧХ, приведенные на рис. 2.2 (б, г, е), позволяют более отчетливо выделить характерные особенности, проявляющиеся при использовании того или иного критерия оптимальности. Использование критерия минимальной нормы приводит к построению фильтра, АЧХ которого минимально отличается от АЧХ фильтра, настроенного на обработку одной частоты (рис. 2.1 (а)). Применение критерия максимума энтропии Реньи позволяет понизить уровень боковых лепестков, однако платой за это может служить не только уширение главного лепестка, но и различные искажения АЧХ в области пропускания. АЧХ фильтров, построенных на основе оптимизации функционала энтропии Берга, имеют характерный широкий главный лепесток, низкий уровень боковых лепестков и максимально сглаженный общий вид.
Классические подходы также позволяют строить фильтры с «двугорбыми» АЧХ или областями подавления, однако при этом опять встает проблема выбора одного фильтра из практически неограниченного многообразия вариантов. Помимо АЧХ при анализе фильтров часто рассматривают также фазо-частотные характеристики (ФЧХ), которые вычисляются как аргумент величины (2.4). Нелинейность ФЧХ фильтра приводит к изменениям соотношений между фазами составляющих сигнала, и в конечном итоге к искажению формы сигнала. Поэтому на практике, как правило, пытаются добиться максимальной линейности ФЧХ фильтрующих систем. В частности, все классические подходы к синтезу цифровых КИХ-фильтров гарантируют линейную ФЧХ. Анализ ФЧХ фильтров, построенных на основе предложенного подхода (рис. 2.3), позволяет сделать вывод о том, что для случая «одногорбых» фильтров синтезируемые характеристики в области пропускания обладают в точности линейной фазочастотной характеристикой. При синтезе «двугорбых» фильтров линейность фазовой характеристики может незначительно нарушаться на краях области пропускания и на границе между лепестками, отвечающими за обработку интересующих частот. В области, соответствующей высокому уровню пропускания, ФЧХ таких фильтров также является линейной. Таким образом, можно сделать вывод, что фильтры, сформированные на основе предложенного подхода, обладают линейной ФЧХ, соответствуют заданным условиям на АЧХ и оптимальны по заданному критерию качества. Использование критерия минимума нормы при этом позволяет получать фильтры с узким главным лепестком, но высокими боковыми лепестками. Применение функционала энтропии Берга позволяет понизить уровень боковых лепестков ценой уширения главного, при этом АЧХ фильтра имеет характерную «гладкую» форму.
Синтез фильтра минимальной дисперсии для обработки частотно-манипулированных сигналов
Основным отличием ЧМн сигнала от ФМ является наличие в спектре двух выделенных частотных компонент. Это приводит к тому, что традиционно алгоритмы обработки ЧМн сигналов основаны использовании нескольких идентичных фильтрующих систем, настроенных на соответствующие частоты [1]. Вместе с тем, может быть разработан алгоритм обработки ЧМн сигналов на основе использования одного фильтра со специфической частотной характеристикой [85, 86, 87, 88, 89]. Основным преимуществом подобного подхода является возможность построения унифицированного алгоритма для обработки ФМ и ЧМн сигналов. Покажем возможность такого обобщения на основе подхода минимальной дисперсии Кейпона [58]. Для ситуации, когда необходимо обрабатывать сигнал, в спектре которого могут быть выделены две частотные компоненты, подход Кейпона может быть модифицирован следующим образом. Необходимо минимизировать дисперсию (1.4.4) на выходе линейного фильтра при условии заданных коэффициентов пропускания Ьх, Ъг на частотах /J, /2. Математически данная задача может быть сформулирована следующим образом [85]: где с - вектор коэффициентов фильтра, e(/j) - вектор комплексных экспонент соответствующей частоты, R = R(/J,/2) - АКМ сигнала, содержащего две синусоиды с частотами fx, f2. Выполнение поставленных ограничений соответствует задаче обработки ЧМн сигнала с возможными частотами /,,/-,. Целью обработки является перевод сигнала в такой вид, в котором каждой из возможных частот отвечает соответствующий уровень выходного сигнала. Использование такого выходного сигнала позволяет решать различные задачи обнаружения и оценки параметров сигнала [85, 86, 87, 88, 89]. Система (3.2) допускает аналитическое решение, которое при /J =/2 и Ъх=Ъг переходит в решение минимума дисперсии (1.4.6). Варьирование функционала Лагранжа, который в этом случае имеет вид приводит к следующей системе линейных уравнений относительно коэффициентов фильтра с: Выражения (3.5) и (3.8) являются точным решением поставленной задачи нахождения коэффициентов кейпоноподобного фильтра (3.2). Следует отметить, что полученное решение (при условии взаимной непротиворечивости параметров /]} /,, Ьх, Ь2) имеет свойства, аналогичные свойствам решения минимума дисперсии.
В частности, при нахождении решения системы (3.2) предполагается, что автокорреляционная матрица невырождена, а количество коэффициентов фильтра р определяется количеством спектральных составляющих в исходном сигнале. Увеличение значения параметра р приводит к вырождению автокорреляционной матрицы [58], что, в свою очередь, приводит к появлению бесконечного числа решений, удовлетворяющих поставленным линейным ограничениям (3.2). Один из традиционно применяемых в этом случае методов заключается в замене обратной матрицы на псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза. Решение задачи (3.2), полученное в этом случае, будет соответствовать критерию минимальной нормы вектора коэффициентов фильтра [58]. На рис. 3.2 (а,в,д) приведены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) модифицированных фильтров Кейпона, полученных на основе псевдообратной матрицы. В соответствии с подходом Кейпона построим зависимость дисперсии выхода предложенного фильтра от частот /,, /2, считая их переменными величинами: Є\2 + Є2\ выражения дисперсии Кейпона. Пока fx и /2 в выражении (3.9) не соответствуют тем частотам, для которых построена автокорреляционная матрица, дисперсия оказывается практически нулевой. При совпадении одной из частот с частотой, соответствующей ЛКМ, дисперсия принимает некоторое значение, которое увеличивается вдвое, когда совпадают обе частоты. Следует отметить, что в силу симметрии на рис. 3.3 приведена четверть всех частотных отсчетов. Можно показать, что как выражения (3.5) и (3.8), так и выражение (3.9) в пределе при fi=f2 , bx=b7=\ асимптотически переходят в выражения для фильтра минимальной дисперсии Кейпона.
Действительно, при данных условиях а множители Лагранжа можно записать в виде68 выражению для дисперсии Кейпона [58]. Указанные факты позволяют говорить о том, что фильтры, полученные с помощью предложенного подхода, действительно обладают свойствами, характерными для подхода минимальной дисперсии Кейпона. Как было указано выше, в случае, когда число коэффициентов кейпоноподобного фильтра больше числа спектральных составляющих обрабатываемого сигнала, традиционным решением является замена обратной матрицы на псевдообратную. Вместе с тем, в разделе 2 было показано, что подобный подход допускает обобщение, позволяющее задавать различные критерии оптимальности. В частности, было показано, что использование критерия максимума энтропийного функционала Берга S, аргументом которого является амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра Н{/\ приводит к построению информационно-оптимального решения, обладающего рядом положительных свойств. Задача синтеза фильтра в этом случае формулируется следующим образом: необходимо найти коэффициенты линейного фильтра, максимизирующие энтропийный функционал Берга при условии заданных коэффициентов пропускания 6,,Ь2 на частотах f\,f2- Математически данная задача может быть записана следующим образом [85]: Частотные характеристики фильтров, полученных на основе описанного подхода, приведены на рис. 3.2 (б, г, е). Анализ рис. 3.2 позволяет сделать следующие выводы. Решение системы оптимизации (3.2) или (3.13) позволяет получить фильтры, АЧХ которых имеет два выраженных максимума на заданных частотах. В зависимости от решаемой задачи, могут быть заданы различные величины коэффициентов пропускания. При этом следует учитывать, что в случае использования фильтров на основе псевдообратной матрицы, минимально задаваемый уровень пропускания ограничен уровнем боковых лепестков. На рис. 3.2 (в) приведен пример фильтра, у которого второй главный лепесток подавлен боковыми. При использовании функционала энтропии боковые лепестки существенно подавлены и данный момент не является практической проблемой. Использование одинаковых коэффициентов пропускания (рис. 3.2 (д,е)) также может иметь смысл. Во-первых, обработанный таким фильтром ЧМн сигнал будет иметь те же свойства, что и ФМ сигнал (это может оказаться полезным для создания унифицированных алгоритмов оценки параметров или обнаружения). Т.е. пока на вход фильтра поступает сигнал с одной из возможных частот,
