Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа при вариации управляющих параметров ([129, 134, 138, 141]) 16
1.1 Вывод уравнений системы 16
1.2 Состояния равновесия и свойства симметрии 20
1.3 Динамика системы при изменении управляющих параметров 21
1.3.1 Общие свойства и классификация колебательных режимов 21
1.3.2 Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Pi} 22
1.3.3 Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Рг} 41
1.4 Общие закономерности поведения различных симметрично связанных хаотических осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад удвоений периода 44
1.5 Исследование колебательных режимов в системе (2) методом диаграмм распределения разности фаз 47
1.6 Выводы 55
2 Исследование принудительной синхронизации в симметрично связанных хаотических осцилляторах ([132, 133, 135, 136, 137, 139, 140, 142]) 57
2.1 Синхронизадия хаотических осцилляторов посредством до полнительной цепи обратной связи 57
2.1.1 Синхронизация синфазных колебаний 58
2.1.2 Численные исследования стабилизации синфазных движений 63
2.1.3 Синхронизация противофазных колебаний 70
2.1.4 Численные исследования принудительной синхронизации противофазных колебаний 74
2.2 Принудительная синхронизация колебаний посредством вы сокочастотной периодической модуляции параметра связи 78
2.2.1 Синхронизация колебаний в системе связанных нелинейных осцилляторов 79
2.2.2 Стабилизация синфазных колебаний в двух связанных через емкость генераторах Чуа 88
2.3 Выводы 97
3 Управление пространственно - временным хаосом в цепочках и решетках дискретных отображений ([130, 131]) 100
3.1 Управление хаосом в одномерной цепочке отображений 101
3.1.1 Стабилизация пространственно - однородных состояний 103
3.1.2 Стабилизация пространственно - периодических структур 113
3.2 Управление хаосом в двумерной решетке отображений 116
3.3 Выводы 121
Заключение 124
Литература 126
- Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Pi}
- Общие закономерности поведения различных симметрично связанных хаотических осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад удвоений периода
- Численные исследования принудительной синхронизации противофазных колебаний
- Стабилизация пространственно - однородных состояний
Введение к работе
С конца 80-х - начала 90-х годов в теории динамических систем возникло и развивается новое направление - управление хаосом. Это направление оказалось на стыке двух наук - теории динамического хаоса, которая занимается изучением динамических систем, генерирующих сложные непериодические колебания, [1]-[10], и теории управления - классического раздела теории колебаний, изучающего управляемые переходы в фазовом пространстве [11, 121. Под термином "управление хаосом" обычно понимается малое целенаправленное воздействие на колебательную систему в хаотическом режиме для перевода ее в регулярный режим, либо в хаотический режим с другими свойствами ( чаще всего имеется ввиду некоторая регуляризация хаоса, т.е. переход к более "простому" движению). Пионерскими работами, открывшими новое направление, можно считать статьи Хюблера и Лючера (1989) [13], Джексона (1990) [14, 15], и наиболее известную, ставшую классической, работу Отто, Гребожи, Йорка (1990) [16], в которой был предложен простой и эффективный способ управления хаосом. Идея метода Отто, Гребожи, Йорке (метод OGY) заключается в стабилизации неустойчивых предельных циклов, включенных в хаотический аттрактор, посредством воздействия на один из параметров системы. Хаотические аттракторы большинства систем содержат множество седловых предельных циклов. Эволюционируя на аттракторе, изображающая точка время от времени попадает в окрестности каждого из таких циклов. Если в этот момент, с помощью управляющего воздействия стабилизировать цикл, то есть сделать его устойчивым, то траектория останется в его окрестности, и система начнет совершать периодические колебания. На основе метода OGY было построено множество алгоритмов управления хаосом в различных системах [17]-[33]. Он успешно применяется для управления хаосом в задачах гидродинамики [19], механики [30, 32], химии [25], биологии и медицине [23, 27].
Одним из шагов на пути построения алгоритма по методу, предложенному в [16] является переход от системы с непрерывным временем, задаваемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений к дискретным отображениям посредством отображения Пуанкаре, при этом, предельным циклам исходной системы соответствуют неподвижные точки отображения. Поэтому, методы, основанные на подходе OGY, называют методами дискретного управления хаосом.
Более простые методы дискретного управления хаосом, не требующие знания локальной динамики системы вблизи стабилизируемого состояния, основаны на использовании так называемой "occasional proportional feedback" (OPF) [36, 37]. В этом случае корректирующее импульсное воздействие на систему подается, когда пиковое значение динамической переменной оказывается близким к соответствующему значению для стабилизируемого движения. К дискретному управлению можно отнести и методы импульсного управления хаосом [38, 39]. Методы дискретного управления хаосом с использованием подходов оптимального управления рассматриваются в [40].
Методы дискретного управления хаосом обладают той особенностью, что в промежутке между двумя последовательными управляющими воздействиями движение системы остается неконтролируемым. Если стабилизируемый предельный цикл является сильно неустойчивым, то за это время траектория может успеть отойти от него на большое расстояние. Поэтому подобные методы не всегда работают при стабилизации сильно неустойчивых траекторий. Для преодоления ограничений, связанных с дискретностью управляющего воздействия, разработан ряд методов так называемого "непрерывного управления хаосом" [41]-[45]. Один из способов непрерывного управления - добавление в систему дополнительной обратной связи. Простейшим случаем является использование линейного контроллера [41]:
x = f(x) + [tf](x-x),
где [К] - матрица коэффициентов обратной связи, х - стабилизируемая траектория. Для генерации опорного сигнала х() может использоваться та же система, но при значениях параметров, когда стабилизируемый цикл является устойчивым. Подобный подход рассмотрен в [45]. Другая группа методов непрерывного управления хаосом связана с использованием цепи обратной связи с задержкой [41, 42]. Если изображающая точка находится в окрестности одного из седловых предельных циклов, то время возврата Пуанкаре в окрестность первоначального состояния будет близко к периоду рассматриваемого цикла. Выбирая управляющее воздействие в виде: k(x(t) — x(t — r)), где x(t) - переменная, описывающая состояние динамической системы в момент времени , т - время задержки, равное периоду стабилизируемого цикла, к - подбираемый в эксперименте коэффициент, можно стабилизировать седловой предельный цикл с периодом т.
Общим во всех рассматриваемых выше методах является то, что:
управляющее воздействие зависит от текущего состояния динамической системы;
при достижении цели управления, то есть, когда фазовая траектория переходит на стабилизированный предельный цикл, амплитуда воздействия стремиться к нулю:
k(x{t) - x{t))-* О,
и уравнение, описывающее систему с управлением переходит в исходную систему.
Описанный выше класс методов управления хаосом получил в литературе название "feedback control", то есть управление посредством обратной связи.
В другой группе методов не используется информация о текущем состоянии динамической системы, а управление осуществляется посред-
ством внепшего воздействия, явным образом зависящего от времени. Данный класс методов получил в литературе название "non-feedback control" или управление без обратной связи. Так, в работах [14, 15],[46]-[48] рассматривается так называемый "entrainment control". Целью управления является в данном случае не стабилизация неустойчивых траекторий, встроенных в хаотический аттрактор, а направление хаотической траектории к выбранному движению g(t), которое само не является траекторией системы, а представляет собой заданную функцию времени. Необходимым условием для осуществления перехода к устойчивому движению g(i) является существование области локальной сходимости траекторий G Э g(t), где все локальные показатели Ляпунова отрицательные:
G = {х : йеЛ(х) < О, где Л(х) - решение характеристического уравнения
**1^р - MWI = о,
Sij - символ Кронекера, dfi/dxj - производные от функций, задающих правые части уравнений системы, по ее динамическим переменным. .
В работе [14] показано, что при выполнении данного условия, управление вида:
х - f (х) + g - f (g)
имеет устойчивое установившееся движение g(i), и, если начальные условия х(0) принадлежат области локальной сходимости, то
Km||x(t)-g(*)|| = 0
В качестве метода управления хаосом можно рассматривать предложенный в ряде работ [49]-[51] подход, предусматривающий периодическую модуляцию одного из параметров системы. Аналитически и методами численного и физического экспериментов в этих работах было показано, что периодическая модуляция параметра может привести к
подавлению хаоса и к переходу на периодический режим, на базе которого возник исходный хаотический аттрактор. Указанный эффект оказывается возможен, если частота модуляции кратна частоте предельного цикла, то есть данное явление носит резонансный характер. В другой работе для подавления хаоса и перехода на регулярный режим использовалась высокочастотная модуляция параметра системы, когда частота модуляции много больше собственной частоты осциллятора [53]. Было показано, что движение системы с высокочастотным воздействием может быть представлено как сумма "медленного" движения с характерной частотой системы без модуляции и "быстрого" движения с характерной частотой параметрического воздействия. Уравнение для полной системы разделяется на уравнение для "быстрых" и для "медленных" переменных, причем параметры уравнения для "быстрых" переменных оказываются зависящими от амплитуды и частоты высокочастотного воздействия. Таким образом, можно говорить о том, что высокочастотная модуляция параметра может менять средние значения параметров системы и таким образом индуцировать переход к другим колебательным режимам. Обзор различных методов управления хаосом дан в работах [54]-[56].
К проблеме управления хаосом можно отнести и задачу принудительной синхронизации хаотических осцилляторов или синхронизации посредством управления. В современной научной литературе нет единого подхода к задачам хаотической синхронизации . В зависимости от постановки задачи, свойств колебательных систем под синхронизацией понимается: переход под действием внешнего периодического воздействия от хаотических колебаний к периодическим [57]-[62], захват пиков, присутствующих в спектрах хаотических осцилляторов [63]-[65], захват мгновенной фазы хаотического сигнала (фазовая синхронизация) [66]-[70], полная идентичность колебаний в связанных осцилляторах [71]-[80] или в более общем случае существование функциональной связи между временными реализациями подсистем (обобщенная синхронизация) [81]-[83].
Активно исследуются в настоящее время вопросы прикладного применения явления хаотической синхронизации, например, к задачам секретной передачи информации [84]-[90]
Применение методов управления хаосом к связанным осцилляторам позволяет осуществлять переход от несинхронного хаоса к синхронным хаотическим или регулярным колебаниям, то есть осуществлять принудительную синхронизацию осцилляторов. Под синхронными колебаниями в настоящей работе понимаются колебания, предельные фазовые траектории которых принадлежат одному из симметричных подпространств системы: хг = Х2 - случай синфазной синхронизации, xi — —хг - случай противофазной синхронизации. Необходимо заметить, что эти два случая не исчерпывают все возможные виды синхронных режимов в системе. Например, возможен случай, когда временные реализации колебаний осцилляторов будут различаться на определенный временной сдвиг г: x\(t) = хг( — г) [91]. Однако в настоящей работе данный вид синхронизации не рассматривается. Колебательные режимы, фазовые портреты которых принадлежат симметричному подпространству, реализуются в системе только в том случае, если они устойчивы в нем по отношению к возмущениям, выводящим из данного подпространства. Эта устойчивость определяется трансверсальными показателями Ляпунова [92, 93]. Если старший трансверсальный показатель Ляпунова отрицателен, то синфазные движения в случае полной идентичности подсистем и отсутствия шумов устойчивы. Однако, при любой сколь угодно малой неидентичности подсистем, либо при наличии шума сколь угодно малой интенсивности, отрицательности старшего трансверсального показателя Ляпунова не достаточно для гарантии устойчивости синхронных движений [94]. Если хаотический аттрактор, лежащий в симметричном подпространстве, имеет встроенные седловые предельные траектории, локальные трансверсальные показатели на которых положительные, это приводит к появлению так называемых "пузырящихся" аттракторов (bub-
bling attractors) или к "изрешечиванию" бассейнов притяжения аттрактора (riddled basins) [93, 95].
Задача принудительной синхронизации колебаний, есть задача стабилизации траекторий в симметричном подпространстве по отношению к трансверсальным к этому подпространству возмущениям. Метод решения этой задачи - добавление в систему цепи дополнительной обратной связи, либо внешнего, явным образом зависящего от времени воздействия, которые меняют характер устойчивости синхронных колебаний. При этом управляющее воздействие не должно оказывать влияния на динамику системы внутри симметричного подпространства, то есть не должно менять форму синхронных колебаний. В противном случае мы имеем дело не с синхронизацией (в том смысле, в котором она определяется в работе), а с индуцированными в системе новыми колебательными режимами при воздействии на нее.
В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизация. Объектами исследования, при этом, являются системы с однонаправленной связью [96]-[104]. Представляется интересным рассмотреть принудительную синхронизацию хаоса во взаимодействующих системах с симметричной связью, не ограничиваясь случаем синфазной синхронизации. Методы синхронизации, предлагаемые в указанных работах, основаны на введении в систему дополнительной цепи обратной связи ("feedback control"). В настоящей работе делается попытка распространить методы принудительной синхронизации хаоса на случай симметрично связанных осцилляторов, рассмотреть не только синфазную, но и противофазную синхронизацию, а также предлагается новый метод принудительной синхронизации синфазных колебаний, основанный на высокочастотной периодической модуляции параметра связи.
В качестве объекта исследований, при синхронизации хаоса в маломерных системах, в работе рассматривается схема связанных через ем-
кость генераторов Чуа. Генератор Чуа - простая электронная цепь, демонстрирующая многие типичные свойства хаотических систем, такие, например, как переход к хаосу через каскад субгармонических бифуркаций [105, 106]. Она легко реализуется на практике и просто моделируется в численном эксперименте, причем результаты как численного, так и физического экспериментов почти полностью совпадают. В отличие от резистивно связанных генераторов [107], в схеме с емкостной связью синхронные хаотические колебания не реализуются. Этим и объясняется выбор данного типа связи для решения задачи принудительной синхронизации.
Решение задачи принудительной синхронизации хаоса в системе из двух взаимодействующих осцилляторов является первым шагом на пути изучения проблемы управления пространственно - временным хаосом в системах высокой размерности и распределенных средах. Такая среда может быть смоделирована цепочками и решетками осцилляторов с локальной связью между элементами [108]-[110] . Распространяя методы управления хаосом в маломерных системах на системы большой размерности, можно осуществлять управляемые переходы от режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным в пространстве и во времени структурам. Первые работы, посвященные управлению хаосом в цепочках осцилляторов появились в 1994 году [111]. До настоящего времени исследовались методы управления хаосом для простейших случаев - стабилизации пространственно - однородных состояний [111]-[115]. В настоящей работе разрабатываются алгоритмы для управляемых переходов от пространственно - временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно - периодическим регулярным во времени структурам. Методы, полученные для управления хаосом в одномерных цепочках распространяются на двумерные решетки.
Для изучения задач, связанных с управлением пространственно - временным хаосом, в работе используются цепочки и решетки логистиче-
ских отображений с локальной связью. Выбор модели обусловлен тем, что логистическое отображение является одной из базовых систем нелинейной динамики, а цепочки этих отображений используются для моделирования реальных радиофизических систем [116].
Высказанные соображения определили цели диссертации и задачи исследований.
Цель работы:
Распространить методы и алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов с однонаправленной связью на случай симметрично связанных систем. Рассмотреть случаи как синфазной, так и противофазной синхронизации. Провести численные исследования синхронизации посредством введения дополнительной цепи обратной связи в системе симметрично связанных хаотических генераторов.
Исследовать явление стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи.
Разработать методы управления пространственно - временным хаосом в цепочках и двумерных решетках дискретных отображений как для пространственно - однородных, так и для пространственно - периодических регулярных во времени режимов. Провести численные исследования по управляемым переходам от хаоса к различным пространственно - временным структурам.
Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов аналитических исследований и численных экспериментов, их воспроизводимостью, а также соответствием с результатами физических экспериментов, проведенных с рассматриваемой системой другими исследователями.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем.
Впервые проведен анализ динамики симметрично связанных через емкость генераторов Чуа. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друг другу двумерных торов с образованием самосимметричного тора. При проведении исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов обнаружено, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области, фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам для гармоник в спектрах периодических колебаний, на базе которых эти циклы образованы.
Впервые исследована синхронизация симметрично связанных хаотических генераторов посредством введения дополнительной обратной связи.
Впервые обнаружено и исследовано явление стабилизации синфазных колебаний в системе симметрично связанных хаотических осцилляторов при высокочастотном периодическом воздействии на параметр связи.
Впервые построены алгоритмы для управляемых переходов от режима пространственно - временного хаоса в решетках и цепочках связанных дискретных отображений к пространственно - периодическим, регулярным во времени структурам.
Основные положения, выносимые на защиту:
В системе симметрично связанных хаотических осцилляторов возможно осуществление принудительной синхронизации синфазных и противофазных регулярных и хаотических колебаний посредством введения дополнительной цепи обратной связи.
Высокочастотная периодическое воздействие на параметр связи позволяет стабилизировать синфазные колебания в симметрично связанных осцилляторах.
Использование метода поэтапной стабилизации элементов цепочки позволяет осуществлять управляемые переходы из режима нростран-
ственно - временного хаоса к различным регулярным пространственно - временным структурам в цепочках и решетках дискретных отображений с локальной связью.
Научно-практическое значение результатов работы состоит в том, что полученные алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов могут быть применены в реальных системах различной природы. Они могут быть использованы как для прикладных целей -генерации различных видов регулярных режимов хаотической системой, так и для фундаментальных целей - получения информации о свойствах управляемого объекта.
Содержание работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматривается динамика исследуемой системы - симметрично связанных через емкость генераторов Чуа. В ней дается вывод уравнений системы, рассматриваются состояния равновесия и свойства симметрии, исследуется динамика характерных режимов при вариации управляющих параметров. Во второй главе строятся алгоритмы для стабилизации синфазных и противофазных колебаний в си-стеме методом введения дополнительной обратной связи, изучается эффект стабилизации синфазных движений при высокочастотном параметрическом воздействии на коэффициент связи. Проводятся численные эксперименты, иллюстрирующие работоспособность данных методов. Третья глава посвящена управлению пространственно-временным хаосом в цепочках и двумерных решетках дискретных отображений. Рассматривается метод поэтапного перевода цепочки или решетки в выбранный регулярный пространственно - временной режим.
Апробация результатов работы и публикации.
Результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях: "Differential equations: bifurcations and chaos"
(Katsivelli, Ukraine, 1994), "XAOC-94" (Саратов, Россия, 1994), "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing" (Mystik, USA, 1995), "Nonlinear dynamics and chaos. Applications in physics, biology and medicine" (Саратов, Россия, 1996), "Applied chaotic systems" (Inowlodz/Lodz, Poland, 1996), "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Москва, Россия, 1997), "Control of Oscillations and Chaos" (Санкт-Петербург, Россия, 1997), на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Из них 7 статей в рецензируемых журналах [130, 132, 133, 137, 138, 141, 142], 3 статьи в рецензируемых трудах конференций [131, 139, 140] и 4 в тезисах докладов [129, 134, 135, 136].
Результаты работы использовались при выполнении грантов Госкомитета по высшему образованию (93-8.2-10 и 95-0-8.3-66), грантов ISF (RNO 000, 1994 и RNO 300, 1995) и госбюджетной темы "Автоколебания1'.
Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Pi}
Задача принудительной синхронизации колебаний, есть задача стабилизации траекторий в симметричном подпространстве по отношению к трансверсальным к этому подпространству возмущениям. Метод решения этой задачи - добавление в систему цепи дополнительной обратной связи, либо внешнего, явным образом зависящего от времени воздействия, которые меняют характер устойчивости синхронных колебаний. При этом управляющее воздействие не должно оказывать влияния на динамику системы внутри симметричного подпространства, то есть не должно менять форму синхронных колебаний. В противном случае мы имеем дело не с синхронизацией (в том смысле, в котором она определяется в работе), а с индуцированными в системе новыми колебательными режимами при воздействии на нее.
В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизация. Объектами исследования, при этом, являются системы с однонаправленной связью [96]-[104]. Представляется интересным рассмотреть принудительную синхронизацию хаоса во взаимодействующих системах с симметричной связью, не ограничиваясь случаем синфазной синхронизации. Методы синхронизации, предлагаемые в указанных работах, основаны на введении в систему дополнительной цепи обратной связи ("feedback control"). В настоящей работе делается попытка распространить методы принудительной синхронизации хаоса на случай симметрично связанных осцилляторов, рассмотреть не только синфазную, но и противофазную синхронизацию, а также предлагается новый метод принудительной синхронизации синфазных колебаний, основанный на высокочастотной периодической модуляции параметра связи.
В качестве объекта исследований, при синхронизации хаоса в маломерных системах, в работе рассматривается схема связанных через емкость генераторов Чуа. Генератор Чуа - простая электронная цепь, демонстрирующая многие типичные свойства хаотических систем, такие, например, как переход к хаосу через каскад субгармонических бифуркаций [105, 106]. Она легко реализуется на практике и просто моделируется в численном эксперименте, причем результаты как численного, так и физического экспериментов почти полностью совпадают. В отличие от резистивно связанных генераторов [107], в схеме с емкостной связью синхронные хаотические колебания не реализуются. Этим и объясняется выбор данного типа связи для решения задачи принудительной синхронизации.
Решение задачи принудительной синхронизации хаоса в системе из двух взаимодействующих осцилляторов является первым шагом на пути изучения проблемы управления пространственно - временным хаосом в системах высокой размерности и распределенных средах. Такая среда может быть смоделирована цепочками и решетками осцилляторов с локальной связью между элементами [108]-[110] . Распространяя методы управления хаосом в маломерных системах на системы большой размерности, можно осуществлять управляемые переходы от режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным в пространстве и во времени структурам. Первые работы, посвященные управлению хаосом в цепочках осцилляторов появились в 1994 году [111]. До настоящего времени исследовались методы управления хаосом для простейших случаев - стабилизации пространственно - однородных состояний [111]-[115]. В настоящей работе разрабатываются алгоритмы для управляемых переходов от пространственно - временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно - периодическим регулярным во времени структурам. Методы, полученные для управления хаосом в одномерных цепочках распространяются на двумерные решетки.
Для изучения задач, связанных с управлением пространственно - временным хаосом, в работе используются цепочки и решетки логистических отображений с локальной связью. Выбор модели обусловлен тем, что логистическое отображение является одной из базовых систем нелинейной динамики, а цепочки этих отображений используются для моделирования реальных радиофизических систем [116]. Высказанные соображения определили цели диссертации и задачи исследований. 1. Распространить методы и алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов с однонаправленной связью на случай симметрично связанных систем. Рассмотреть случаи как синфазной, так и противофазной синхронизации. Провести численные исследования синхронизации посредством введения дополнительной цепи обратной связи в системе симметрично связанных хаотических генераторов. 2. Исследовать явление стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи. 3. Разработать методы управления пространственно - временным хаосом в цепочках и двумерных решетках дискретных отображений как для пространственно - однородных, так и для пространственно - периодических регулярных во времени режимов. Провести численные исследования по управляемым переходам от хаоса к различным пространственно - временным структурам. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов аналитических исследований и численных экспериментов, их воспроизводимостью, а также соответствием с результатами физических экспериментов, проведенных с рассматриваемой системой другими исследователями.
Общие закономерности поведения различных симметрично связанных хаотических осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад удвоений периода
В ходе исследования динамики системы (2) был выявлен ряд общих черт ее поведения с поведением других симметрично связанных колебательных систем, переход к хаосу в которых также происходит через каскад бифуркаций удвоения периода [107, 116][118]-[120]. Как известно, в динамических системах с квазигиперболическими аттракторами при движении по параметру предельные циклы могут многократно претерпевать различные бифуркации, что может приводить к размножению семейств предельных циклов [2]. Бифуркационный механизм данного явления был впервые исследован в работе [121] на примере модифицированного генератора с инерционной нелинейностью.
При исследовании динамики двух связанных систем, каждая из которых демонстрирует переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, на примере диссипативно связанных логистических отображений [118], связанных через резистор нелинейных осцилляторов при синфазном гармоническом воздействии [116], генераторов Чуа [107] , а также в данном исследовании, было показано, что при эволюции к хаосу в них также происходит увеличение числа предельных циклов, в результате чего наблюдается явление мупьтистабильности, когда при фиксированных значениях параметров, в фазовом пространстве системы сосуществует несколько аттракторов различных семейств. В основе сценария формирования мупьтистабильности лежит каскад бифуркаций удвоения периода, в котором каждый из циклов претерпевает эту бифуркацию дважды: вначале с потерей устойчивости (по одному мультипликатору), а затем, уже будучи седловым (по второму мультипликатору). В результате, при однонаправленном движении по параметру происходит постепенное увеличение числа циклов: два цикла периода два, четыре -периода четыре, восемь - периода восемь и т.д.. Циклы, имеющие одинаковый период, отвечают режимам с различными временными сдвигами между колебаниями в подсистемах. Причем, как показали исследования, величина временного сдвига равна целому числу периодов исходного од-нооборотного цикла (для режимов, образованных на базе синфазного цикла). В рассмотренных системах имеются конечные области значений параметров, при которых в фазовом пространстве системы сосуществует множество устойчивых предельных циклов еще до возникновения хаоса. Типичная схема для эволюции мультистабильности показана на рис.15.
Кратность времени задержки между колебаниями осцилляторов периоду однооборотного цикла объяснялась в случае неавтономной системы привязкой фазы осцилляторов к фазе вынуждающей силы при отсутствии связи [116]. а во втором случае естественным образом следовала из дискретности времени системы. Однако, как показали дальнейшие исследования, данное свойство справедливо и для автономных систем, в которых при отсутствии связи, временной сдвиг между колебаниями подсистем может быть любым. Изучение динамики симметрично связанных через резистор [107] и емкость генераторов Чуа показало, что для автоколебательных систем также типичны периодические режимы с временной задержкой между колебаниями парциальных осцилляторов, кратной периоду однооборотного цикла.
Общие черты, обнаруживаемые в динамике различных симметрично связанных хаотических систем, переход к хаосу в которых происходит через каскад бифуркаций удвоения периода, заставляют исследователя искать ответы на следующие вопросы: 1. чем обусловлена кратность времени задержки между периодическими колебаниями парциальных генераторов периоду исходного однооборотного цикла; 2. чем объясняется общность сценария формирования мультистабиль-ности в разных связанных системах с удвоением периода. Для ответа на эти вопросы, в настоящей работе рассматриваются спектральные характеристики колебательных режимов: спектры мощности и диаграммы распределения разности фаз. Метод диаграмм распределения разности фаз для исследования хаотической синхронизации был впервые использован в работе [63]. Он заключается в следующем. По временным реализациям колебаний каждого из связанных осцилляторов при помощи быстрого преобразования Фурье находятся комплексные спектры колебаний, из которых затем определяются фазовые спектры колебаний каждого из генераторов. Эти спектры определяются не только динамикой генераторов, но, естественно, зависят и от выбранного начального момента времени. Однако, если определить разность между фазами соответствующих гармоник спектров колебаний каждого из генераторов, то полученная диаграмма разности фаз будет определяться исключительно поведением системы и может характеризовать, как это было оказано в [63, 64], взаимодействие парциальных осцилляторов. Рассмотрим левую ветвь диаграммы на рис.15 . Указанные на ней режимы - синфазные колебания, удовлетворяющие условию Xi = х2. Они полностью тождественны соответствующим колебаниям одиночного генератора при тех же значениях параметров. Естественно, что разность фаз между любыми соответствующими гармониками спектров колебаний парциальных генераторов равны нулю. При бифуркации цикла lCf, как показано на рис.15, возможно либо возникновение около него синфазного цикла 2Cf, либо несинфазного 2CJ, для которого характерна временная задержка длительностью в один период исходного цикла между колебаниями генераторов. При бифуркации удвоения синфазного цикла 2CJ также возможно либо возникновение около него синфазного цикла 4Cj, либо несинфазного 4CJ. В этом случае временная задержка между колебаниями генераторов составляет также один период исходного цикла. Те же самые бифуркации обнаруживаются и при бифуркациях цикла 4С?. На рис.16 представлены спектры мощности и диаграммы распределения разности фаз для несинфазных циклов 2С\ и 4С . Из рисунков видно, что при бифуркации удвоения периода синфазного цикла, связанной с выходом из симметричного подпространства, фазовые соотношения между уже существующими до бифуркации гармониками спектров колебаний парциальных генераторов не изменяются в результате удвоения; новые субгармоники на частотах (2к -f1)//2(/ = 2тг/Т, к — 0,1,,...) рождаются с взаимными фазовыми сдвигами в ж.
Численные исследования принудительной синхронизации противофазных колебаний
В ходе численного эксперимента проводилось сравнение текущего значения величины р с выбранным пороговым значением е. Если изображающая точка находится далеко от рассматриваемого симметричного подпространства (р Б), управление не применяется и значение управляющего коэффициента г равно нулю. Когда изображающая точка входит в е-окрестность симметричного подпространства (р є), применяется управляющее воздействие вида (4), где значение г выбирается с учетом условия (41). При этом противофазные движения становятся устойчивыми и изображающая точка притягивается к симметричному подпространству xj = —Х2- Система начинает совершать противофазные колебания. Пример управляемого перехода от режима "double-double scroll" к режиму противофазных синхронных хаотических колебаний представлен на рис.7. Как и в случае стабилизации синфазных движений, управляющее воздействие затухает во времени. При достижении эффекта стабилизации, управляющее воздействие становится равным нулю.
Если в случае стабилизации синфазных движений, синхронизация приводит к упорядочиванию колебаний в отдельном осцилляторе, например к переходу от режима хаотических к режиму периодических колебаний (рис.2,3), то при стабилизации противофазных колебаний данного эффекта не наблюдается.
Использование методики стабилизации симметричных движений дает возможность проследить в эксперименте за эволюцией режимов внутри симметричного подпространства xi = —хг. Исследования бифуркационных переходов с седловыми предельными множествами, соответствующими противофазным движениям, проводились следующим образом. Задавались начальные условия из окрестности симметричного подпространства и подавалось управляющее воздействие вида (4). В результате, при изменении параметров а и У в системе можно наблюдать как устойчивые режимы, являющиеся в полном фазовом пространстве системы (3) без управления седловыми, но которые устойчивы к противофазным возмущениям. На рис.8 приведена бифуркационная диаграмма на плоскости параметров j — а для седловых симметричных режимов.
Режимы,обозначенные на этом рисунке как С, 2(7, 4С означают противофазные предельные циклы периода 1, 2 и 4 соответственно. SAT -противофазный хаотический аттрактор ресслеровского типа, DS - противофазный режим тина "double scroll". Прерывистой линией обозначена линия перехода к хаосу. Описанные выше методы стабилизации синфазных и противофазных колебаний являются устойчивыми к действию малого шума и к введению малой неидентичности в параметрах подсистем. То есть эффект синхронизации имеет грубый характер.
Описанный в предыдущем разделе способ принудительной синхронизации основан на использовании цепи обратной связи. Он относится к так называемой группе "feedback" методов управления хаосом. В данном разделе предложен новый метод принудительной синхронизации без использования цепи обратной связи. Этот метод основан на модуляции параметра связи периодической внешней силой. Частота модуляции при этом должна быть много больше собственной характерной частоты системы. Использование периодического параметрического воздействия для целенаправленного изменения динамики хаотической системы рассматривалось в работах [50, 51, 52]. В них на примерах контакта Джозефсона и осциллятора Дуффинга-Холмса теоретически и экспериментально было показано, что резонансное параметрическое воздействие на систему может привести к подавлению хаоса. В работе [53] было исследовано явление подавления хаоса в осцилляторе Дуффинга при высокочастотном параметрическом воздействии.
Идея использования параметрического воздействия для синхронизации связанных осцилляторов базируется на хорошо известной классической задаче механики о маятнике с вибрирующей точкой подвеса. В ряде работ (125, 126] было показано, теоретически ж экспериментально, что существуют области значений амплитуды и частоты вибрации, при которых верхнее состояние равновесия маятника становится устойчивым. Значение частоты вибрации при этом должно быть много большим собственной частоты колебаний маятника. В разделе 2.1.1 было показано, что задача стабилизации синфазных движений может быть сведена к задаче стабилизации неподвижной точки. Поскольку периодическая высокочастотная модуляция одного из параметров системы может, как было показано в [125, 126], стабилизировать неустойчивую неподвижную точку, можно предположить, что данное воздействие способно стабилизировать синфазные колебания. В качестве модулируемого параметра разумно выбрать коэффициент связи: 7 = 7о + Fit), где F(t + 2ir/Q) =, F(t), П - частота модуляции.
Стабилизация пространственно - однородных состояний
Следовательно, стабилизация симметричных движений будет приводить к регуляризации: колебаний. Система переходит из хаотических режимов (pnc.l2d,g) к периодическим (рис.12і,і). Переход к синфазным хаотическим колебаниям в рассмотренной нами области значении параметров не наблюдался. На рис. 13 на плоскости амплитуда - частота ( — О) параметрического воздействия для различных значений коэффициента связи 7о построены области значений, при которых происходит стабилизация синхронных состояний. По формам областей синхронизации можно заключить, что явление стабилизации не имеет выраженного резонансного характера. Это схоже со случаем связанных неавтономных осцилляторов, рассмотренным в предыдущем разделе. Зависимость амплитуды синхронизирующего воздействия от частоты носит пороговый характер. Если частота О, меньше некоторого минимального значения, то синхронизация отсутствует, но если выше этого порогового значения, то минимальное значение синхронизирующей амплитуды уже не зависит от частоты.
Из рис.13 видно, что расположение областей синхронизации на плоскости ( — U) зависит от значений коэффициента связи 7о- При увеличении связи области синхронизации сдвигаются вверх. На рис.14 представлена зависимость минимальной амплитуды синхронизирующего воздействия от коэффициента связи 7о Для различных режимов невозмущенной системы при а = 10.9, 10.95, 11.27 и 11.475. Если при выбранных значениях параметра а в некотором интервале 7о существуют устойчивые синфазные колебания (смотри заштрихованные области на рис.12), то часть соответствующей кривой на рис.14 будет лежать на оси абсцисс (кривые 2,3,4). "Ненулевые" части представленных кривых располагаются практически параллельно друг другу. При горизонтальных сдвигах зависимости пороговых значений синхронизирующей амплитуды от коэффициента связи 7о совпадают друг с другом. Интересно, что пороговое значение амплитуды модуляции не зависит от типа колебаний в невозмущенной системе. Кривая 2, соответствующая хаотическим колебаниям в невозмущенной системе, располагается между кривыми 1 и 4, которые соответствуют периодическим режимам.
В предыдущем разделе для случая связанных неавтономных осцилляторов было показано, что стабилизация синфазных движений может быть достигнута при достаточно малых значениях амплитуды параметрического воздействия. Для используемых связанных генераторов наблюдается несколько иная ситуация. Малыми возмущениями можно обеспечить синхронизацию только в очень узкой области на плоскости параметров (а — 7о) На рис.14 прямой штриховой линией выделены области параметра 7о Щ и различных значениях параметра а, где коэффициент модуляции /7о меньше единицы. Это соответствует обычному случаю модуляции параметра. Вне этих областей синхронизация наблюдается только при больших амплитудах воздействия, когда значения емкости связи в некоторые моменты времени становятся отрицательными, хотя ее среднее значение остается положительным. Естественно, что реализовать подобные условия в эксперименте затруднительно. Тем не менее, существует некоторая область значений параметров, в которой параметрическое воздействие обеспечивает синхронизацию при значениях коэффициента модуляции меньше единицы, что вполне реализуемо в реальном эксперименте.
На рис.15 представлены проекции фазовых портретов колебательных режимов, наблюдаемых в системе при плавном уменьшении амплитуды модуляции от значения, обеспечивающего синфазные колебания. На начальном этапе происходит постепенное "разбухание" аттрактора в проекции (xi — Х2), что отражено на рис.15Ь,с, Затем при некотором значении система жестко переходит на другой аттрактор (рис.15 1). При дальнейшем уменьшении параметра наблюдается переход к аттрактору, фазовый портрет которого изображен на рис.15е. "Разбухание" аттракторов, отраженное на рис.15Ь,с, происходит в результате усиления шума вблизи бифуркационной точки, который добавлялся нами в систему при исследовании эффекта стабилизации синфазных движений. В отсутствие шума колебания остаются строго синфазными вплоть до отмеченного выше жесткого перехода.
Анализируя различные проекции фазовых портретов и временных реализаций колебательных режимов, представленных на pnc.l5d,e, можно заметить, что они схожи с режимами, которые существуют в невозмущенной системе. Конечно, движения в системе с параметрическим воздействием не могут быть совершенно такими же как и в автономной системе, поскольку добавляется еще один временной масштаб 27г/П. В рассматриваемом случае колебания могут быть представлены в виде суммы "быстрых" движений с характерным временным масштабом 27г/П и "медленных" с характерным собственным временным масштабом автономной системы. Поскольку период воздействия значительно отличается от собственного временного масштаба, "амплитуда" быстрых колебаний существенно меньше " амплитуды" медленных движений. Усредненные по периоду внешнего воздействия движения соответствуют режимам, которые могут наблюдаться в автономной системе. Аттрактор, представленный на рис.15е, соответствует "double-scroll" аттрактору. На pnc.l5d представлен аттрактор, который соответствует колебательному режиму, существующему в невозмущенной системе, но при данных значениях а и 7о являющегося неустойчивым. Эти наблюдения позволяют предположить, что высокочастотное параметрическое воздействие не индуцирует в системе новых режимов (в смысле усредненных по периоду " быстрых" движений) , а меняет их характер устойчивости. 1. Разработаны методы стабилизации синфазных и противофазных колебаний в цепи симметрично связанных через емкость генераторах Чуа методом введения дополнительной цепи обратной связи. Аналитически получены достаточные условия устойчивости синхронных движений. 2. Методом численного эксперимента исследованы управляемые переходы из режима несинхронного хаоса к синфазным и противофазным колебаниям. При переходе системы в режим синхронных колебаний управляющее воздействие становится равным нулю. 3. Стабилизация хаотической траектории в симметричном подпространстве Xi = Х2 приводит к упрощению вида колебаний и может переводить систему из режима хаотических в режим периодических колебаний. Тем самым решается классическая задача управления хаосом - перевод системы из хаотического режима в регулярный. 4. Используя метод принудительной синхронизации в симметричном подпространстве xi = —хг, получена бифуркационная диаграмма для седловых симметричных движений. Таким образом, продемонстрирована возможность использования методов управления хаосом для проведения бифуркационного анализа определенного класса седловых движений. 5. Обнаружен эффект стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи.
