Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Влияние поляризации на отражение волн 12
1.1. Варианты задания ограниченного слоя, при которых уравнение для падающей плоской волны ТЛ/или ТЕ поляризации сводится к 11У 12
1.2. Исследование решения задачи о падении плоской ТМ-волны на переходный слой 22
1.3. Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой с переменным масштабом 28
1.4. Выводы 63
Глава 2. Отражение плоских волн горизонтальной поляризации от плазменных слоев с переменным масштабом изменения плазменной частоты 64
2.1. Строгое решение задачи о поле волны горизонтальной поляризации для плазменного слоя с переменным масштабом 64
2.2. Исследование частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя 76
2.3. Вид плазменного переходного слоя, для которого решение уравнения для волны горизонтальной поляризации выражается через вырожденные ГГФ 83
2.4. Выводы 86
Глава 3. Распространение 7М-волны в плазменном слое с максимумом электронной концентрации при малых потерях 87
3.1. Задача о падении ТМ-волны на симметричный плазменный слой 90
3.2. Обсуждение полученных результатов 99
Заключение 101
Библиографический список использованной литературы 102
Приложение 1
- Исследование решения задачи о падении плоской ТМ-волны на переходный слой
- Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой с переменным масштабом
- Исследование частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя
- Вид плазменного переходного слоя, для которого решение уравнения для волны горизонтальной поляризации выражается через вырожденные ГГФ
Введение к работе
Задачи распространения волн в неоднородных средах являются предметом исследования разных разделов физики (механики, квантовой механики, радиофизики, оптики). В большинстве случаев математические модели изучаемых явлений сводятся к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям (ЛОДУ) второго порядка, которые для многих задач теории колебаний оказываются схожими и можно говорить об общих способах решения этих уравнений. Изучению этих уравнений посвящено огромное число работ. По теории распространения электромагнитных волн в детерминированных неоднородных средах имеется целый ряд монографий [1-13] и журнальных статей [14-31], а также диссертаций [32-34], в которых рассмотрены точные и приближенные решения многих задач распространения волн. Интерес к этим задачам возник в начале XX века, после того как эксперименты Кеннеди в Америке и Хевисайда в Европе доказали возможность отражения волн от ионосферы [35].
Распространение радиоволн в изотропной среде зависит от дисперсионных свойств и степени неоднородности среды, а также от вида поляризации волны. При рассмотрении слоисто-неоднородных сред (плоскослоистых, цилиндрически-слоистых, сферически-слоистых) уравнения Максвелла распадаются на две независимые пары, которые соответствуют двум видам поляризации (вертикальной и горизонтальной). Как известно [7], простейшим типом электромагнитной волны является плоская волна. Сферическая или цилиндрическая волна на большом расстоянии от источника может в силу малого искривления участков фронта рассматриваться в ограниченной области пространства как плоская. Это позволяет в ряде случаев при изучении отражения волн от слоев пользоваться выражениями для коэффициентов отражения плоских волн. Линейно поляризованная волна (распространяющаяся в плоскослоистой среде сг(г)), у которой вектор электрического поля лежит в плоскости распространения, проходящей через прямую (z) и направление распространения падающей волны, назьгаается вертикально поляризованной (или ТЪ/f), а с вектором, перпендикулярным плоскости, - горизонтально поляризованной (или ТЕ).
Изучение отражения волн от неоднородностей среды является одной из широкого круга задач, касающихся теории распространения волн и энергетического расчета радиолиний. В случае плоскослоистой среды cs(z) и гармонической зависимости поля от времени в результате Фурье-преобразования поля по двум другим пространственным переменным из уравнений Максвелла (с учетом линейности уравнений), являющихся (в дифференциальной форме) уравнениями в частных производных, для комплексных амплитуд полей получаются ЛОДУ [4]. Рассмотрение задач, для которых известны точные анали-
тические решения (ТАР) (т.е. решения, выраженные через специальные функции математической физики) этих уравнений, имеет весьма большое значение. Дело в том, что вытекающие из точных решений выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн раскрывают важные закономерности в зависимостях этих коэффициентов от частоты волны, угла падения волны на слой, параметров слоя, а также от поляризации волны. Радиофизика, как наука, имеет дело с определенными математическими моделями. Наибольший интерес представляет задание зависимости є от расстояния z посредством аналитических функций, для которых известны ТАР уравнений Максвелла. Такие зависимости e(z) при рассмотрении других качественно сходных моделей среды можно рассматривать в качестве эталонных [20,25].
В задачах радиофизики, описываемых дифференциальными уравнениями, параметры задачи, входящие в коэффициенты этих уравнений, не могут быть измерены точно, и они могут изменяться под влиянием различных возмущающих факторов. В связи с этим большое значение имеет теорема [36] об условиях (Липшица), при которых решение ЛОДУ непрерывно зависит от параметров, входящих в коэффициенты уравнения. Условия этой теоремы в практических задачах обычно выполняются, за исключением случаев, связанных с некоторыми предельными переходами по параметру либо параметрам [37]. Так, например, в случае, когда дифференциальное уравнение имеет малый параметр при старшей производной при частоте волны а> —> оо, модуль коэффициента отражения в пределе может терпеть скачкообразное изменение. Возможна также ситуация, когда решение, являющееся непрерывным по каждому из параметров, не является непрерывным по их совокупности. В этом случае значение коэффициентов отражения и прохождения волны может зависеть от порядка предельного перехода по параметрам. Учёт одного из них, как правило, меняет структуру особых точек дифференциального уравнения. Такая ситуация имеет место в задаче об экранировании ТЫ- волны в симметричном плазменном слое с малыми потерями и на частоте волны, близкой к максимальной плазменной частоте слоя [25, 33]. При этом решение зависит от порядка стремления параметров задачи -эффективной частоты столкновений и угла падения волны - к нулю. Реально эти предельные значения никогда не достигаются. Значения этих параметров могут находиться в окрестности их предельных значений, и представляет интерес исследование коэффициентов отражения и прохождения в более широкой области изменения параметров.
Хорошо известно, что впервые законы отражения и преломления волн в электромагнитной теории света были угаданы Френелем в 1823 году. Затем этими вопросами занимался Рэлей, Жамен, Коши. Ряд вопросов о согласовании теории и эксперимента, а также
5 обсуждение возможных причин, ответственных за некоторое их несогласование полно освещен в лекциях [38] в разделе, посвященном некоторым вопросам теории колебаний.
Поскольку механика, а вместе с ней и теория дифференциального и интегрального исчисления появилась значительно раньше радиофизики, то нет ничего удивительного в том, что многие модели неоднородных сред в радиофизике были заимствованы из механики. ЛОДУ второго порядка описывают в радиофизике, например, распространение электромагнитных полей, а в механике - колебания с сосредоточенными или распределенными параметрами и одной степенью свободы. Разумеется, аналогия между механикой и радиофизикой прослеживается и при рассмотрении задач, математические модели которых даются в виде систем ЛОДУ.
Теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами, которая берёт начало в XIX веке, привела к получению всех важнейших специальных функций [39-42]. Важную роль среди них занимают уравнения, все особые точки которых регулярны [43]. Гипергеометрическое уравнение (ГГУ) является одним из таких наиболее изученных уравнений с тремя регулярными особыми точками. Коэффициенты в функциональных соотношениях (связывающих линейно-независимые решения ГГУ в различных интервалах изменения независимой переменной) выражаются через гамма-функцию [44], теория которой в основном была завершена к концу XIX - к началу XX века. По теории ЛОДУ существует обширная литература [45-60]. Такой большой интерес к ним связан с их важностью в прикладной математике и отсутствием метода нахождения общего решения произвольного ЛОДУ второго порядка. Вместе с тем в течение последних тридцати лет теория дифференциальных уравнений (прежде всего по таким вопросам, как устойчивость решений, применение методов функционального анализа, разработка новых методов приближенного решения уравнений) развивалась настолько интенсивно, что претендующее на полноту сопоставление с литературой заняло бы более сотни страниц списка литературы (заметим, что в книге [61] библиография занимает 140 страниц, а с момента её" выхода появился целый ряд монографий и статей)
Одной из самых первых (обзорных) работ об интегрировании ЛОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, которое встречается в теории колебаний, является работа [57]. В ней рассмотрены функции /(х), для которых дифференциальное уравнение
УІ+Р*/(*)У = 0, (1)
(где Р0 - параметр), посредством замен зависимой и независимой переменных сводится
а) к уравнению с постоянньгми коэффициентами, б) к уравнению Бесселя и в) к ГГУ.
^ + aexp(f- г)
В случае a) f{x) = ^, в случае б) Дх) = „*+„"?*і * где
„ -Т-^-- »<*У^ /(*) = J* + «r + «r
(л + /их + пх ) (Л + /нх + их )
,т,п, q,atfi- произвольные величины. В [57] утверждалось (без доказательства), что в
случае в)
... a + bx + cx2 +dx3 ,„
/(*) = -7Г- ^ 2ч2 (2)
(k + mx + nx у Однако, как показано в [47], уравнение Римана, которое дробно-линейным преобразованием независимой переменной и линейной заменой зависимой переменной сводится к
т^г^г - ^ч ,, ч a + bx + cx1 ,
ГТУ, имеет канонический вид (1), где/(г) = г—, так что эта функция совпа-
(к + тх + пх у
дает с (2) только при d=0.
Решения уравнения (1) можно применить в задаче о нормальном падении ТЕ волны на слой, функция диэлектрической проницаемости є которого зависит от безразмерного расстояния х по закону f(x). Некоторые из этих зависимостей є (х)= fix) одними из первых были рассмотрены в радиофизической литературе в задачах о распространении плоских электромагнитных волн [23].
Наиболее полный обзор функций s{z), для которых решения уравнений Максвелла для волны ТМ поляризации имеют ТАР в терминах ГГФ и вырожденных ГТФ, сделан в работе [24]. В интервале z є (-00,+00) почти все (кроме двух вариантов) рассмотренные в ней зависимости s{z) являются либо неограниченными, либо одно из их предельных значений при z —> —оо (или z —> +00 ) равно нулю. На этих двух вариантах e{z) следует подробнее остановиться. Одна из этих функций задаётся выражением
s(z) = Kth2(az + b)t (3)
где Kta,b — постоянные. Для этой модели среды в [15, 22] рассмотрены ТАР уравнения и для ТЕ волны. Другая зависимость e{z) , для которой было найдено ТАР для ТМполя, задавалась в неявном виде є = eiC(z)), однако, об ограниченности этой функции е("(г)) в работе [24] не упоминалось. В ней не рассматривался и вопрос о возможном виде (или видах) слоя при той или иной взаимно однозначной связи между переменными (и:. Оказывается (это рассмотрено в диссертации), что при определенной такой связи эта функция будет описывать переходный слой.
Что касается систематического анализа функций, для которых известны ТАР уравнения для ТЕ волны, то этот вопрос был рассмотрен в [15, 22] . В работах [14, 15, 22-24] приведены зависимости є(г), для которых ЛОДУ для полей горизонтальной и верти-
7 кальной поляризации сводятся к изученным специальным функциям. Эти работы имеют радиофизическую специфику, в том числе связанную и с различными вариантами задания среды распространения волны (в какой-либо выбранной системе координат). В общем же математическом плане книги [49, 56] охватывают более широкие виды линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которые заменами переменных сводятся к уравнениям Бесселя, Лежандра, Уиттекера, Матье, Ламе и гипергеометрическому. В них проведено более полное по сравнению с [22-24] исследование тех случаев, когда ЛОДУ второго порядка приводятся к изученным уравнениям. Однако не все результаты исследований, проведённых в этих работах, можно приложить к радиофизическим задачам. Это связано с тем, что в ЛОДУ для полей параметры задачи (частота волны, угол падения волны на слой, либо производная Шварца (при рассмотрении ТЫ- волны)) входят в уравнение определенным образом, что заметно сужает применение многих уравнений, рассмотренных в [49], к теории распространения электромагнитных волн. Кроме того, в [49] проанализированы только линейные преобразования зависимой переменной. Заметим, что некоторые результаты этой работы были получены в [56] методом факторизации, обобщенным на случай переменных коэффициентов.
Обсудим коротко приближенные методы решения задач о падении плоской волны какой-либо поляризации на слой, необходимость привлечения которых связана с отсутствием известных ТАР уравнений для полей. Все эти приближенные методы [60-72] связаны с наличием малого параметра задачи. Это методы: частичных отражений (частный случай метода последовательных приближений) [1], ВКБ [62, 64], метод геометрической оптики [67], метод фазовых интегралов [9,62]. Границы применимости метода геометрической оптики были расширены [73]. Здесь следует упомянуть предложенный в 1952 году метод осреднения функциональных поправок [74], применяемый для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. Ссылок на его применение в задачах радиофизики автор не нашёл, но этот метод, возможно, будет применён и при решении задач о распространении электромагнитных волн в неоднородных средах. Большая библиография в [74] указывает на его различные (математические) видоизменения и обобщения. В случае среды, характеризующейся бесконечно дифференцируемой функцией диэлектрической проницаемости, а также при отсутствии точек поворота на вещественной оси модуль коэффициента отражения при стремлении частоты падающей волны & —> да экспоненциально мал [9]. Таким образом, он не может быть получен в рамках лучевого метода, где для него получается степенное убывание с ростом частоты. Приближенные методы решения задачи распространения волн тесно связаны с математической теорией устойчивости [75] и с теорией асимптотического (в редких случаях сходящегося) разложе-
8 ния (в монографии [64] решения уравнений с малым параметром при старшей производной представлены в виде сходящихся рядов). Укажем также на метод эталонного уравнения (МЭУ) (который в отечественной физико-математической литературе связывают с работами А. А. Дородницына, а в западной математической литературе (вероятно учитывая историю возникновения, а не саму идею метода, безусловно принадлежащую А. А. Дородницыну, более известный как преобразование Лангера) [60, 70]. Этот метод приближенного решения ЛОДУ при наличии большого параметра задачи нашёл широкое применение в задачах распространения электромагнитных волн в неоднородных (изотропных и анизотропных) средах (см. работу [20], а также большое число работ Г. И. Макарова, на которые в ней приведены ссылки). Этот метод является одним из эффективных способов нахождения асимптотического поведения специальных функций математической физики.
С математической точки зрения возможна ситуация, когда слой настолько медленно выходит (при 2 -> ±оо ) на вакуум (или другую однородную среду), что полученное решение при z -> ±оо не будет иметь вид плоских волн. Математическая формулировка условий, при которых это имеет место, дана в работе [61]. Два варианта такого слоя приведены в диссертации (один вариант - в первой главе, а другой - во второй). Указанные выше асимптотические методы часто приводят к решению в виде расходящегося ряда.
В радиофизической литературе интерес к точно решаемым задачам о распространении волны в среде никогда не пропадал. Трудность этих задач в том, что основной метод интегрирования дифференциальных уравнений - это введение удобных замен зависимой и независимой переменных, преобразующих уравнение к простейшему виду, но для нахождения этих замен нет общего правила. Заранее не ясно, к какому уравнению целесообразнее свести исходное дифференциальное уравнение. При этом количество и характер его особых точек не всегда может навести на успешное преобразование. В математической литературе линейно-дифференциальные и другие более сложные (нелинейные) преобразования зависимой переменной (которые могут изменить количество особых точек уравнения) рассмотрены не так подробно, как линейные преобразования. При рассмотрении нелинейных преобразований зависимой переменной тем более нет общего правила.
Из обзора вышеперечисленных работ можно сделать вывод, что в классе аналитических функций e{z), вещественных и непрерывных при действительных значениях z, а также принимающих произвольные конечные значения при z — ±оо, существует только одна зависимостье(г), допускающая ТАР уравнения для 7-волны - это слой Эпштейна [1,14]. Однако даже для простейшего случая переходного слоя Эпштейна решение уравнения для ТМ- волны не получено. С помощью замен независимой и зависимой перемен-
9 ных его можно свести к уравнению с четырьмя особыми точками [58, 59], теория которого к настоящему времени еще не завершена. Функциональные соотношения, связывающие асимптотики линейно-независимых решений произвольного уравнения с четырьмя правильными особыми точками на сегодняшний день не известны. Полученные в [59] решения такого уравнения (в случае вещественного коэффициента уравнения) в виде очень громоздких рядов, сходимость которых имеет место только в отдельных областях, не дают возможности получить простые (т.е. в конечном виде) выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны даже в случае вещественного слоя.
В литературе исследовано все ещё недостаточное количество точно решаемых моделей, чтобы провести какую либо классификацию закономерностей коэффициента отражения, поэтому представляет интерес дальнейшее изучение закономерностей отражения волн при рассмотрении некоторых новых моделей среды. С целью их изучения предприняты исследования, результаты которых изложены ниже.
В диссертационной работе представлены некоторые новые ТАР задач о распространении плоских гармонических волн в безграничных изотропных плоскослоистых средах. В математическом отношении эти задачи сводятся к решению дифференциальных уравнений с соответствующими условиями на бесконечности [7, 17].
В диссертации рассмотрены такие зависимости диэлектрической проницаемости є от расстояния z, для которых ТАР уравнений Максвелла для гармонических полей горизонтально и (или) вертикально поляризованных волн сводятся к гипергеометрическим и вырожденным гипергеометрическим функциям. В диссертации впервые, исходя из ТАР уравнений Максвелла для ТМ и ТЕ- волны, рассматривается задача о влиянии поляризации на особенности отражения волн для положительной и ограниченной функции є (г) специального вида, моделирующего переходный слой. Для него автором найдены коэффициенты отражения R и прохождения Т плоских гармонических волн и исследованы зависимости коэффициентов отражения от частоты волны и угла падения волны на слой.
В первой главе диссертации для этого слоя (который в общем случае задается неявно) найдены выражения для коэффициентов отражения и прохождения ТМ- волны. Затем (для этого же слоя) автором получено ТАР уравнения и для ТЕ- волны, что позволяет исследовать влияние поляризации на особенности отражения волн от такого слоя при произвольных значениях частоты волны и угла падения волны на слой. При получении ТАР уравнения для ТЕ- волны применяется линейно-дифференциальное преобразование зависимой переменной уравнения с целью понижения количества его особых точек с четырех до трех регулярных особых точек и сведения уравнения (для новой функции) к 11 У.
10 Кроме того, в первой главе получено точное ТЕ- решение и для более общего случая переходного слоя.
Полученное в этой главе ТАР ЛОДУ для ТЕ поляризации было применено автором к рассмотрению ТАР задачи о распространении электромагнитных волн в однородной нестационарной среде (это решение приведено в приложении). При этом в случае медленного изменения свойств среды была установлена новая зависимость коэффициента трансформации волны от параметра, характеризующего различный характерный интервал изменения свойств среды при t ~-> ±оо. В работах [76-78] нестационарность плазмы характеризовалась более простыми моделями s{f) и этот случай не был исследован. Приведённая в [78] зависимость є(ґ) является частным случаем неявно заданной функции, рассмотренной в диссертации применительно к этой задаче.
Во второй главе диссертации рассмотрены некоторые ТАР задач о падении ТЕ -волны на плоскослоистую среду и изучены особенности в поведениях коэффициентов отражения от частоты и угла падения волны. Проведено обобщение результатов Эпштейна на случай, когда плазменная частота характеризуется различной скоростью стремления к предельным значениям при z - ±оо . Получены R и Г для новых видов слоев (с одним, двумя и тремя максимумами й»м(г) ). Установлено, что модуль коэффициента отражения
может характеризоваться как монотонным убыванием с ростом частоты, так и наличием осцилляции. Кроме того, рассмотрен новый вид слоя, для которого ТАР задачи о распространении ТЕ- волны выражается через ГГФ и их производные. Для этого слоя в частности получено выражение для |/ї| в случае сильного изменения свойств среды при 2 —> ±00 .
>
В третьей главе рассмотрено приближенное решение задачи о падении ТМ- волны на ограниченный плазменный слой с максимумом электронной концентрации (частота волны полагается равной максимальной плазменной частоте в слое). При этом диссипа-тивные процессы в среде определяются отношением эффективной частоты столкновений электрона v к частоте волны m . В отличие от работ [25, 33], в которых рассматривался
случай больших значений sin вл\—, когда коэффициент прохождения волны
7"= 0{.\— ), в данной работе построено решение задачи о падении ТЫ - волны на слой
при малых углах в, но при произвольном значении sin2 в J— . Показано, что при малых
порядок величины |Г| согласуется с результатами работ [25, 33], в которых были рассмотрены другие модели слоя. В случае sin г вЛ— <, 1 модуль коэффициента прохожії к
дения [У| = 0(1). Коэффициент прохождения волны сильно изменяется в очень узком диапазоне углов в. Таким образом, найденное в третьей главе решение задачи о распространении ТМ- волны сквозь плазменный слой дополняет результаты исследований, выполненных в вышеупомянутых работах.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [79-84].
На защиту выносятся следующие основные положения.
Решение задачи о падении плоской волны на переходный ограниченный слой dz), заданный в неявном аналитическом виде и характеризующийся разными масштабами изменения (z) при 2 — ±оо. Для этого слоя найдены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн обеих поляризаций. Решение уравнения для ТМ- волны выражается через элементарные и гипергеометрические функции (ГГФ), а решение для ТЕ - волны - через элементарные, ГГФ и производные от них. Исследовано влияние поляризации на отражение волн от такого слоя. Установлено, что с ростом частоты асимптотические зависимости модулей коэффициентов отражения ТЕ и ТМ- волн в случае падения на слой под углом, равным углу Брюстера, оказываются различными.
Новые точные аналитические решения задачи о поле горизонтально поляризованной волны в бесстолкновительной плазме для трёх других распределений электронной концентрации, соответствующих слоям e(z) с разными масштабами изменения (г) при
z —> ±00. Решения выражены через ГГФ, найдены коэффициенты ЕиТ для волны, падающей из вакуума, и проведён анализ зависимости |й| от частоты волны, угла падения волны и параметров слоя.
3) Особенности частотной зависимости \Л\ плоской ТЕ~ волны от плазменного слоя e(z),
характеризующимся одинаковыми предельными при z —> ±оо значениями e(z) и переменным масштабом изменения.
В работе используется система единиц СИ. Все формулы в тексте (за исключением введения и приложений) пронумерованы двумя цифрами: первая означает номер главы, а вторая - порядковый номер формулы в данной главе.
Исследование решения задачи о падении плоской ТМ-волны на переходный слой
Рассмотрим два случая. I. Пусть Єтощ -sin1 в й 0 (это условие выполняется при sKfm 1 и углах в из интервала [вгш, —), sin 9 = єкоа X т.е. имеется точка поворота [9, 20] на вещественной оси s, С учётом (1.40) - (1.42) в этом случае имеем l-a = c-a, Ь-с + \=Ь H(/?JJJ = 1. 2. Пусть Ета -sin02 0 (в случае еквя 1 это неравенство верно при произвольных углах 9, а в случае etBH 1 оно выполняется при углах 9 из интервала (0,#„„)), т.е. точки поворота на вещественной оси s нет. Воспользовавшись формулой [41] а также учитьгеая (1.41),(1 42) и (1.53), выражение (1.54) можно представить в виде где введены обозначения: С учетом инварианта дифференциального уравнения (1.1) (в случае отсутствия При е 1 иб- -,а также при єкон 1 и & - втп величина Л - 1 Поскольку Ji К, то всегда выполняется неравенство ЛШ 1. С ростом % величина К возрастает, а также возрастает JL, если (Здесь в0 - угол Брюстера для коэффициента отражения от среды с I =0). Тогда приі 1 и \1\ »1 из (1.56) - (1.58) находим Во всех случаях имеет место экспоненциальное убывание \RTM с ростом частоты. При фиксированном значении еХОІІ 1 с ростом в в интервале (0, в0) Лт возрастает и не зависит от значения є„„; в интервале (#,0, ) ЛШ при а -» 0 („„, — оо) частота осцилляции стремится к константе. При А: = кй»і Здесь с ростом частоты наряду с периодическим «замиранием» [R l экспоненциально уменьшается. Чтобы исследовать влияние поляризации на отражение волн от рассмотренного выше переходного слоя, для него, как будет показано ниже, можно найти ТАР для ТЕ-волны. В этом параграфе с помощью линейно-дифференциального преобразования зависимой переменной уравнение (1.1) (для 7Е-волны) для функции (1.32), (1.33), а также для более общей зависимости e(s)t определяющей переходный слой, будет сведено к 11 У Уравнение для U = Еу =Е имеет вид При этом, как и в предыдущем параграфе будем считать, что 7Е-волна падает на слой e(s) со стороны s=-oo, где среда является вакуумом. В этом случае TJ0 - td. В уравнении (165) положим Тогда, выражая П— в (1.68) через Z и согласно (1.69), приходим к уравнению Из (1.69) и (1.70) - двух (связанных) дифференциальных уравнений для этих функций можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка для Z Зададим зависимость СЦу) в виде в котором постоянную интегрирования С0, влияющую на выбор начала отсчета по s (или по у\ ПОЛОЖИМ равной единице.
Из (1.73) следует, что связь между у и s взаимно однозначная, причём с ростом s от - ю до + » величина у также увеличивается от -оо до + оо, при этом функция е(л) монотонно изменяется от є = 1 до Отметим, что если в формулах (1.72), (1.73) положить Р = 0, то зависимость e(s) совпадёт с функцией (1.32), так как согласно (1.73) при /7 = 0 и (1.34) имеет место равенство v= еу, а переходя от v к С (v -fl ), получаем соотношение, связывающее Q и яв (1.38). Решим уравнение (1.70) для зависимости (1.72). Для этого перейдём в нём от независимой переменной у к новой независимой переменной а Тогда для функции Z получаем уравнение где В качестве линейно-независимых решений уравнения (1.75) целесообразно использовать в области 1 функции а в области // 1 - функции Рассмотрим задачу о падении на слой (1.66), (1.72) (из области s = - x ) плоской монохроматической волны горизонтальной поляризациис ростом 9 продолжает 1 возрастать, но по другому закону и зависит от сш = — - с ростом єхт, т.е. с а уменьшением а значение \ЯШ уменьшается. При фиксированном значении єтн 1 в диапазоне углов (0, &0) зависимость \Rm\ от в (при фиксированном е ) также монотонно возрастает, но с ростом єЮЯІ значение \ЯШ\ увеличивается. В интервале ( 0о ) \ ш продолжает возрастать. Если жев = в0, то L = 0 и из формулы (1.56) получаем [Л ] = Из этих выражений видно, что при а - оо (е(ОИ — 0) частота осцилляции стремится к бесконечности, а при а -» 0 („„, — оо) частота осцилляции стремится к константе. При А: = кй»і Здесь с ростом частоты наряду с периодическим «замиранием» [R l экспоненциально уменьшается. Чтобы исследовать влияние поляризации на отражение волн от рассмотренного выше переходного слоя, для него, как будет показано ниже, можно найти ТАР для ТЕ-волны. В этом параграфе с помощью линейно-дифференциального преобразования зависимой переменной уравнение (1.1) (для 7Е-волны) для функции (1.32), (1.33), а также для более общей зависимости e(s)t определяющей переходный слой, будет сведено к 11 У Уравнение для U = Еу =Е имеет вид При этом, как и в предыдущем параграфе будем считать, что 7Е-волна падает на слой e(s) со стороны s=-oo, где среда является вакуумом. В этом случае TJ0 - td. В уравнении (165) положим Тогда, выражая П— в (1.68) через Z и согласно (1.69), приходим к уравнению Из (1.69) и (1.70) - двух (связанных) дифференциальных уравнений для этих функций можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка для Z Зададим зависимость СЦу) в виде в котором постоянную интегрирования С0, влияющую на выбор начала отсчета по s (или по у\ ПОЛОЖИМ равной единице. Из (1.73) следует, что связь между у и s взаимно однозначная, причём с ростом s от - ю до + » величина у также увеличивается от -оо до + оо, при этом функция е(л) монотонно изменяется от є = 1 до Отметим, что если в формулах (1.72), (1.73) положить Р = 0, то зависимость e(s) совпадёт с функцией (1.32), так как согласно (1.73) при /7 = 0 и (1.34) имеет место равенство v= еу, а переходя от v к С (v -fl ), получаем соотношение, связывающее Q и яв (1.38). Решим уравнение (1.70) для зависимости (1.72). Для этого перейдём в нём от независимой переменной у к новой независимой переменной а Тогда для функции Z получаем уравнение где В качестве линейно-независимых решений уравнения (1.75) целесообразно использовать в области 1 функции а в области // 1 - функции Рассмотрим задачу о падении на слой (1.66), (1.72) (из области s = - x ) плоской монохроматической волны горизонтальной поляризации. Решение Е уравнения (1.65) должно подчиняться граничному условию при s — -ню (у — +оо); принципу излучения при отсутствии точки поворота на вещественной оси s или принципу предельной
Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой с переменным масштабом
При е 1 иб- -,а также при єкон 1 и & - втп величина Л - 1 Поскольку Ji К, то всегда выполняется неравенство ЛШ 1. С ростом % величина К возрастает, а также возрастает JL, если (Здесь в0 - угол Брюстера для коэффициента отражения от среды с I =0). Тогда приі 1 и \1\ »1 из (1.56) - (1.58) находим Во всех случаях имеет место экспоненциальное убывание \RTM с ростом частоты. При фиксированном значении еХОІІ 1 с ростом в в интервале (0, в0) Лт возрастает и не зависит от значения є„„; в интервале (#,0, ) ЛШ с ростом 9 продолжает 1 возрастать, но по другому закону и зависит от сш = — - с ростом єхт, т.е. с а уменьшением а значение \ЯШ уменьшается. При фиксированном значении єтн 1 в диапазоне углов (0, &0) зависимость \Rm\ от в (при фиксированном е ) также монотонно возрастает, но с ростом єЮЯІ значение \ЯШ\ увеличивается. В интервале ( 0о ) \ ш продолжает возрастать. Если жев = в0, то L = 0 и из формулы (1.56) получаем [Л ] = Из этих выражений видно, что при а - оо (е(ОИ — 0) частота осцилляции стремится к бесконечности, а при а -» 0 („„, — оо) частота осцилляции стремится к константе. При А: = кй»і Здесь с ростом частоты наряду с периодическим «замиранием» [R l экспоненциально уменьшается. Чтобы исследовать влияние поляризации на отражение волн от рассмотренного выше переходного слоя, для него, как будет показано ниже, можно найти ТАР для ТЕ-волны. В этом параграфе с помощью линейно-дифференциального преобразования зависимой переменной уравнение (1.1) (для 7Е-волны) для функции (1.32), (1.33), а также для более общей зависимости e(s)t определяющей переходный слой, будет сведено к 11 У Уравнение для U = Еу =Е имеет вид При этом, как и в предыдущем параграфе будем считать, что 7Е-волна падает на слой e(s) со стороны s=-oo, где среда является вакуумом. В этом случае TJ0 - td. В уравнении (165) положим Тогда, выражая П— в (1.68) через Z и согласно (1.69), приходим к уравнению Из (1.69) и (1.70) - двух (связанных) дифференциальных уравнений для этих функций можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка для Z Зададим зависимость СЦу) в виде в котором постоянную интегрирования С0, влияющую на выбор начала отсчета по s (или по у\ ПОЛОЖИМ равной единице. Из (1.73) следует, что связь между у и s взаимно однозначная, причём с ростом s от - ю до + » величина у также увеличивается от -оо до + оо, при этом функция е(л) монотонно изменяется от є = 1 до
Отметим, что если в формулах (1.72), (1.73) положить Р = 0, то зависимость e(s) совпадёт с функцией (1.32), так как согласно (1.73) при /7 = 0 и (1.34) имеет место равенство v= еу, а переходя от v к С (v -fl ), получаем соотношение, связывающее Q и яв (1.38). Решим уравнение (1.70) для зависимости (1.72). Для этого перейдём в нём от независимой переменной у к новой независимой переменной а Тогда для функции Z получаем уравнение где В качестве линейно-независимых решений уравнения (1.75) целесообразно использовать в области 1 функции а в области // 1 - функции Рассмотрим задачу о падении на слой (1.66), (1.72) (из области s = - x ) плоской монохроматической волны горизонтальной поляризации. Решение Е уравнения (1.65) должно подчиняться граничному условию при s — -ню (у — +оо); принципу излучения при отсутствии точки поворота на вещественной оси s или принципу предельной амплитуды при наличии такой точки [7,17]. Отсюда с учетом соотношения (1.69) вытекает, что функция Z(s) также должна удовлетворять этому граничному условию. Поэтому где Дз - постоянная. Таким образом, из (1.71), (1.77) получаем, что решение Е, удовлетворяющее граничному условию при s -» +оо, дается выражением Из (1.79), (1.80) находим коэффициент ТТБ прохождения волны через слой Более подробно проанализируем решение задачи при /3 = 0. Полагая в (1.74), (1.76), (1.81)-(1.83) /7 = 0, приходим к выражению для коэффициента отражения Rf.E При стремлении к нулю толщины переходного слоя / или частоты волны а (при этом параметр/;,) - 0) из формулы (1.84), если воспользоваться соотношением (1.51), получаем выражение которое совпадает с формулой Френеля [1] для коэффициента отражения ТЕ - волны от резкой границы раздела двух сред. Сопоставляя модули коэффициентов Френеля отражения волн для двух поляризаций, получаем, что при _ S sin10 \R\ = = 1. а при е_ sin2 в \R\ 1 Для слоя конечной толщины модуль коэффициента отражения согласно (1.84) определяется выражением Из формулы (1.86) следует, что са -1 = 1 - с0 (черта означает операцию комплексного сопряжения), так что Пусть єжся - sin1 в О, т.е. точки поворота нет на вещественной оси. Воспользовавшись формулами (1.54), (1.55), а также учитывая (1.85) - (1.87), выражение (1.88) можно представить в виде где Lw.K определены в (1.57), а С ростом г}о значение К увеличивается, а также увеличивается Щ, если где во -находится из (1.59). Тогда при К»І, \L\»1 и условии (1.90) из (1.89) получаем, что асимптотика \RTE\ такая же, как и асимптотика \RTM\, т.е. определяется формулой (1.60). Если в = вй, то так что асимптотики \RTE\ И [Л j при щ — да одинаковы только при Є &в0. Так же как и в случае ЇМ - поляризации, с ростом частоты наряду с убыванием Jj j происходят его периодические обращения в нуль. Если сравнить значения т;0, при которых [RJ-EI и \Rm\ В Я-ЫЙ раз становятся равными нулю, то получается такой результат: равенство iR ] = 0 наступает при меньшем значении rf0n по сравнению с темт/0л, при котором )./ 1 = 0. В случае а -»1, воспользовавшись соотношением (1.51), для слоя (1.32),(1,34) получаем Зависимости (1.60) и (1.93) совпадают только в области & в0. Кроме того, как видно из (1.93), для переходного слоя Эпштейна зависимость модуля коэффициента отражения от частоты волны монотонная, а аналогичная зависимость для неявно-заданного переходного слоя при в - в0 характеризуется наличием осцилляции. Что касается более детальных отличий значений RTE и R \, то их можно получить уже при конкретных численных расчётах. Некоторые из таких расчётов для рассматриваемого переходного слоя приведены на рис. 1-25. На рис. 1-8 показаны зависимости \ЯШ и [Я І (на рисунках они обозначены соответственно Rtm и Rle) от параметров в и щ ( на рисунках они обозначены соответственно tetta и ettaO) при некоторых значениях а, а также некоторые из этих зависимостей от одного какого-то параметра (в или rja) при фиксированном другом и фиксированном значении а . Из этих рисунков видно, что при а \ значения ДШ и [Н различны в более широком диапазоне изменения в, чем в случае а 1. С ростом а отличие ЛШ от Лге уменьшается. На рис. 1 показаны осцилляции ІЛ и [й при изменении Tja в случае а = 0,005 и в = 1,5, когда угол в близок к углу Брюстера в9 = 1,500204. При 7j0=l для любых значений в имеем следующее: в интервале 0,005 . а , 0,1 K„f m, в интервале 0,5 а ; 1,5 /їга. /гім,при а 1,5 Дпт = л-Ha рис. 9-17 показаны зависимости ш\ и l/t j от одного из параметров в или 7о(пРи фиксированном другом) в случае а = ОД. На рис. 18-22 показаны аналогичные зависимости в случае а = 2. Из рис. 9-12 видно, что в случае а = 0,1 при значениях TJ0 0,8 справедливо неравенство 1 j Лге; с ростом щ в этом интервале разность \ ГБ\ \КТМ\ уменьшается и при t}0 0,8 и в и 1,2 \ЯШ = (й І. В интервале т/0 0,8 имеет место обратное неравенство 1/ jiJ I.
Исследование частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя
В параграфе 2.1 рассмотрен частный вид слоя (2.12) при С=2. В данном параграфе рассмотрим другие варианты этой функции - симметричные (относительно точки s=0) функции 1 (s) и исследуем вопрос о монотонности зависимости Д(). Рассмотрим частный вид слоя (2.12) с параметрами т.е. зададим функции/и Р в виде Выберем начало отсчета по х таким образом, чтобы х=0 при 5=0. Из уравнения (2.2) с учётом четности функции/по х (см. (2.43)) следует равенство x(s)=-x( s\ так что функции Y и С1 оказываются четными не только по переменной х, но и по s, а связь переменной s с переменной Удается выражением и имеет на вещественной оси два нуля второй кратности. Функция Q,(s) с двумя или тремя максимумами принимает максимальные значения в точках ± s , которым соответствует Y = = — Ц L„, (2.50) а для слоя с тремя максимумами также при У=1+/ (или s=0). Исследование отношений максимальных значений в общем случае достаточно громоздко. В частном случае (2.49) отношение х максимального значения О в точке s=0 к значению П в точке s=s равно - - " " и при росте у в интервале (6,+оо) это отношение монотонно возрастает от нуля до — » 0,1 (см. рис. 29). Для слоя с тремя максимумами (см.(2.48)) с параметром /, принадлежащим интервалу отношение % = — . »1 (см- Рис- 30). n(s s ) Анализ зависимости \R\ от m (или TJO) требует в общем случае численных расчётов. Для получения более простой аналитической зависимости модуля коэффициента отражения от частоты при фиксированных значениях о шм и у исследуем частный случай параметров А и у. 3(Зу + 2)2 Рассмотрим слой с одним максимумом (см.(2.47)) в случае А - - —. На рис. 31 и 32 для слоя с одним максимумом приведены зависимости Sia от у соответственно при -\ у ,0 и y Q, При увеличении параметра /возрастает полутолщина слоя. В случае основной вклад в числитель дроби (2.45) даёт слагаемое Ь2г и вьфажение для С1(х) упрощается: Перейдём к анализу коэффициента отражения. При выполнении неравенства (2.54) d d0 = 2 1 cos2 0-(1+ YWun. p- В случае j 0 (см. выражение (2.53) d=i\da\, и выражение (2.52) для \R\ принимает вид Нетрудно показать, что модуль коэффициента отражения в данном случае монотонно убывает с ростом частоты. В окрестности критической частоты (при наклонном падении волны на слой) окр ш = е)шт /costf ,а = + До, дф« т МК1, модуль коэффициента отражения дается выражением По мере уменьшения у в области отрицательных значений (? - -1) оа возрастает, т.е. уменьшается скорость изменения \R\ С изменением частоты. Это можно объяснить тем, что слой становится тоньше.
При у- 1 si -+0, с увеличением у значение sx 2 2 При 7=0 x=s и слой (2.42)-(2.45) переходит в известный симметричный слой Эпштейна [1, 14], для которого модуль коэффициента отражения монотонно убывает с ростом частоты. При у \ имеем следующую зависимость \к\ от частоты. приближенно определяется формулой (2.55). Здесь Л монотонно уменьшается с ростом частоты, В окрестности критической частоты в этом случае получаем прежнее выражение следует, что с ростом /увеличивается скорость изменения \Щ С изменением частоты. В области аР-Отр значение d0 вещественно и ростом /частота его осцилляции увеличивается с ростом у. Рассмотрим частный вид слоя с тремя максимумами с параметрами А = А 2 (см. (2.48)) и у»\. Из формул (2.46), (2.50) следует, что с ростом у расстояние между максимумами увеличивается и равно As jr Jy, при этом (согласно выражениям (2.49)) амплитуды максимумов стремятся к константам. Если в выражение для частот « , при которых ІЛІ (см. 2.52) обращается в нуль: Из этого выражения следует, что при »— с ростом у частота осцилляции модуля коэффициента отражения увеличивается пропорционально Jy, а в другом предельном случае - перестает зависеть от у. Для ионосферной плазмы практический интерес из рассмотренных выше I представляет только слои с одним максимумом, для которого величина й №Пвк — может : быть большим параметром. Таким образом, переменный масштаб изменения свойств слоя приводит к возникновению осцилляции в частотной зависимости модуля коэффициента отражения. Рассмотрим ещё одну зависимость диэлектрической проницаемости, для которой решение уравнения (2.1) выражается через функции Уиттекера. Схема построения решения здесь такая же, как и в параграфе 1.3, отличие от первой главы в том, что здесь рассматривается плазма. Для изотропной плазмы без потерь, как известно [4], где G M \S) плазменная частота, зависящая от электронной концентрации в слое. Для определённости в дальнейшем будем считать, что плоская волна вида ехр( іт}0з cos (?) падает на слой из области s = —о , где среда является вакуумом. Уравнение (2.1) с учетом (2.57) эквивалентно системе Далее можно подбирать такие зависимости Х{х) 0, при которых уравнение (2.59) сводится к изученному уравнению. Рассмотрим зависимость X(x) = Xt (2.61) ,ге (0,+оо), 5 0, В + х В результате интегрирования уравнения (2.60) с учётом (2.61) получаем соотношение s = x + B\nx + C0, (2.62) где постоянную интегрирования С0 положим равной нулю. Из (2.60)-(2.62) видно, что с ростом JC от Одо + » переменная 5 монотонно возрастает от - со до + оо, так что связь между JC И S (в указанных интервалах) взаимнооднозначная. Таким образом, при J-+-0C (х- 0) — ЄІШЧ =11 при 5- -Но (х-- -Но) Є Єжон= 1 - Xmsy., Уравнение (2.59) для зависимости (2.61) преобразованием независимой переменной Vx удовлетворяет граничному условию (принципу предельной амплитуды в случае наличия точки поворота на вещественной оси или принципу излучения при отсутствии такой точки) на s = -кю, а У2 не удовлетворяет. С учетом (2.58) и (2.60) общее решение уравнения (2.1) при зависимостие($), задаваемой формулами (2.57), (2.61) и (2.62) дается выражением E iCK + 0 )- - +( ). (2.67) ах л Определим теперь одну из двух произвольных постоянных в общем решении из условия, что функция Е удовлетворяет граничному условию при s — +оо, При этом с учётом известных асимптотических представлений функций Уиттекера [42] в выражении (2.67) необходимо положить С2 = О, так что -С{г& П-"ЬХ-тв жЦ. (2.68) Чтобы найти поведение решения (2.68) при s — х (при этом ґ-»0), учтём (2.62), (2.63) и воспользуемся соотношениями [42]:
Вид плазменного переходного слоя, для которого решение уравнения для волны горизонтальной поляризации выражается через вырожденные ГГФ
В параграфе 2.1 рассмотрен частный вид слоя (2.12) при С=2. В данном параграфе рассмотрим другие варианты этой функции - симметричные (относительно точки s=0) функции 1 (s) и исследуем вопрос о монотонности зависимости Д(). Рассмотрим частный вид слоя (2.12) с параметрами т.е. зададим функции/и Р в виде Выберем начало отсчета по х таким образом, чтобы х=0 при 5=0. Из уравнения (2.2) с учётом четности функции/по х (см. (2.43)) следует равенство x(s)=-x( s\ так что функции Y и С1 оказываются четными не только по переменной х, но и по s, а связь переменной s с переменной Удается выражением и имеет на вещественной оси два нуля второй кратности. Функция Q,(s) с двумя или тремя максимумами принимает максимальные значения в точках ± s , которым соответствует а для слоя с тремя максимумами также при У=1+/ (или s=0). Исследование отношений максимальных значений в общем случае достаточно громоздко. В частном случае (2.49) отношение х максимального значения О в точке s=0 к значению П в точке s=s равно и при росте у в интервале (6,+оо) это отношение монотонно возрастает от нуля до — » 0,1 Анализ зависимости \R\ от m (или TJO) требует в общем случае численных расчётов. Для получения более простой аналитической зависимости модуля коэффициента отражения от частоты при фиксированных значениях о шм и у исследуем частный случай параметров А и у. 3(Зу + 2)2 Рассмотрим слой с одним максимумом (см.(2.47)) в случае А - - —. На рис. 31 и 32 для слоя с одним максимумом приведены зависимости Sia от у соответственно при -\ у ,0 и y Q, При увеличении параметра /возрастает полутолщина слоя. В случае основной вклад в числитель дроби (2.45) даёт слагаемое Ь2г и вьфажение для С1(х) упрощается: Перейдём к анализу коэффициента отражения. При выполнении неравенства (2.54) В случае j 0 (см. выражение (2.53) d=i\da\, и выражение (2.52) для \R\ принимает вид Нетрудно показать, что модуль коэффициента отражения в данном случае монотонно убывает с ростом частоты. В окрестности критической частоты (при наклонном падении волны на слой) окр ш = е)шт /costf ,а = + До, дф« т МК1, модуль коэффициента отражения дается выражением По мере уменьшения у в области отрицательных значений (? - -1) оа возрастает, т.е. уменьшается скорость изменения \R\ С изменением частоты. Это можно объяснить тем, что слой становится тоньше. При у- 1 si -+0, с увеличением у значение sx 2 2 При 7=0 x=s и слой (2.42)-(2.45) переходит в известный симметричный слой Эпштейна [1, 14], для которого модуль коэффициента отражения монотонно убывает с ростом частоты. При у \ имеем следующую зависимость \к\ от частоты. приближенно определяется формулой (2.55).
Здесь Л монотонно уменьшается с ростом частоты, В окрестности критической частоты в этом случае получаем прежнее выражение следует, что с ростом /увеличивается скорость изменения \Щ С изменением частоты. В области аР-Отр значение d0 вещественно и ростом /частота его осцилляции увеличивается с ростом у. Рассмотрим частный вид слоя с тремя максимумами с параметрами А = А 2 (см. (2.48)) и у»\. Из формул (2.46), (2.50) следует, что с ростом у расстояние между максимумами увеличивается и равно As jr Jy, при этом (согласно выражениям (2.49)) амплитуды максимумов стремятся к константам. Если в выражение для частот « , при которых ІЛІ (см. 2.52) обращается в нуль: Из этого выражения следует, что при »— с ростом у частота осцилляции модуля коэффициента отражения увеличивается пропорционально Jy, а в другом предельном случае - перестает зависеть от у. Для ионосферной плазмы практический интерес из рассмотренных выше I представляет только слои с одним максимумом, для которого величина й №Пвк — может : быть большим параметром. Таким образом, переменный масштаб изменения свойств слоя приводит к возникновению осцилляции в частотной зависимости модуля коэффициента отражения. Рассмотрим ещё одну зависимость диэлектрической проницаемости, для которой решение уравнения (2.1) выражается через функции Уиттекера. Схема построения решения здесь такая же, как и в параграфе 1.3, отличие от первой главы в том, что здесь рассматривается плазма. Для изотропной плазмы без потерь, как известно [4], где G M \S) плазменная частота, зависящая от электронной концентрации в слое. Для определённости в дальнейшем будем считать, что плоская волна вида ехр( іт}0з cos (?) падает на слой из области s = —о , где среда является вакуумом. Уравнение (2.1) с учетом (2.57) эквивалентно системе Далее можно подбирать такие зависимости Х{х) 0, при которых уравнение (2.59) сводится к изученному уравнению. Рассмотрим зависимость В результате интегрирования уравнения (2.60) с учётом (2.61) получаем соотношение где постоянную интегрирования С0 положим равной нулю. Из (2.60)-(2.62) видно, что с ростом JC от Одо + » переменная 5 монотонно возрастает от - со до + оо, так что связь между JC И S (в указанных интервалах) взаимнооднозначная. Таким образом, Уравнение (2.59) для зависимости (2.61) преобразованием независимой переменной сводится к уравнению Уиттекера [42] Vx удовлетворяет граничному условию (принципу предельной амплитуды в случае наличия точки поворота на вещественной оси или принципу излучения при отсутствии такой точки) на s = -кю, а У2 не удовлетворяет. С учетом (2.58) и (2.60) общее решение уравнения (2.1) при зависимостие($), задаваемой формулами (2.57), (2.61) и (2.62) дается выражением Определим теперь одну из двух произвольных постоянных в общем решении из условия, что функция Е удовлетворяет граничному условию при s — +оо, При этом с учётом известных асимптотических представлений функций Уиттекера [42] в выражении (2.67) необходимо положить С2 = О, так что Чтобы найти поведение решения (2.68) при s — х (при этом ґ-»0), учтём (2.62), (2.63) и воспользуемся соотношениями [42]:
