Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратные задачи идентификации характеристик и оценки механического состояния конструкций и методы их решения 11
1.1. Обратные задачи в проблемах мониторинга и диагностики механического состояния конструкций. Общая характеристика 11
1.2. Математические подходы к решению обратных задач 13
1.3. Пример, демонстрирующий неустойчивость обратных задач и эффект регуляризации 25
1.4. Обзор применений математических методов к обратным задачам мониторинга и механики конструкций 28
1.5. Конструкции на упругом основании. Модели основания. Обратные задачи 32
1.6. Выводы по главе 1 37
Глава 2. Метод дополнительных нагрузок для решения задач реконструкции механического состояния системы балка-неоднородное упругое основание 38
2.1. Континуальная формулировка 38
2.2. Конечномерная формулировка обратной задачи 41
2.3. Процедуры регуляризации 47
2.4. Результаты решения модельных задач 49
2.5. Выводы по главе 2 71
Глава 3. Постановка и решение задач идентификации 73
3.1. Идентификация распределения коэффициента упругости основания 74
3.2. Идентификация подвижек основания 78
3.3. Идентификация сосредоточенных нагрузок 83
3.4. Выводы по главе 3 89
Глава 4. Методы решения обратных физически нелинейных задач з
4.1. Упругопластический изгиб балки на упругом основании 91
4.2. Методы учета одностороннего сопротивления основания 111
4.3. Обратная задача об изгибе железобетонной балки на упругом основании 118
4.4. Обратная задача об изгибе тонкостенной трубы с учетом овализации сечения 125
4.5. Выводы по главе 4 129
Основные результаты и выводы 131
Список литературы
- Пример, демонстрирующий неустойчивость обратных задач и эффект регуляризации
- Конечномерная формулировка обратной задачи
- Идентификация подвижек основания
- Обратная задача об изгибе железобетонной балки на упругом основании
Пример, демонстрирующий неустойчивость обратных задач и эффект регуляризации
Многие задачи, возникающие при мониторинге и натурных обследования конструкций, могут рассматриваться как обратные [59]. Например, определение действующей на конструкцию нагрузки, вызывающей измеряемые инструментально перемещения или деформации, идентификация параметров жесткости и выявление поврежденных элементов конструкции по спектру ее собственных частот и форм, идентификация остаточного напряженного состояния или граничных условий. Такие задачи обычно характеризуются малым объемом и невысокой точностью входной информации и требуют использования специальных математических подходов для решения.
Понятия «прямых» и «обратных» задач существуют в науке достаточно давно, тем не менее, классификация конкретной рассматриваемой проблемы по данному признаку не всегда очевидна. Определяющими критериями здесь являются соотношение «причина-следствие», а также наблюдаемость или ненаблюдаемость искомых параметров в физическом эксперименте. Так пусть m - вектор параметров некоторой физической модели, а d - вектор ее характеристик (проявлений), которые могут быть получены в эксперименте (например, прогибы или частоты собственных колебаний). Задача определения характеристик d по известным параметрам модели m называется прямой так называемый прямой оператор, описывающий рассматриваемую физическую модель. К данному классу относятся многие классические задачи механики деформируемого твердого тела. Для большинства прямых задач детально разработаны методы решения, доказаны теоремы существования и единственности. Обратная задача возникает, когда по полученным в результате эксперимента характеристикам d требуется определить с достаточной точностью параметры m физической модели, которая может привести к заданным проявлениям
Во многих случаях интуитивно понятно, что искомая модель может быть неединственной или же может не существовать ни одной модели в точности удовлетворяющей экспериментальным данным d, и для выделения интересующего исследователя набора параметров m необходимо включать в процедуру решения задачи некоторую дополнительную априорную информацию.
В математике задачи данного типа относят к классу некорректных, т.е. не удовлетворяющих хотя бы одному из условий корректности, сформулированных в начале XX века французским математиком Ж. Адамаром для задач математической физики [92]: 1) существование решения; 2) единственность решения; 3) непрерывная зависимость решения от входных данных. Последнее условие обеспечивает устойчивость решения к малым возмущениям входных данных. Многие обратные задачи (в частности, все рассматриваемые в данной работе) могут быть сформулированы в виде интегрального уравнения Фред гольма первого рода
Одним из первых подходов к решению некорректных задач, предложенным А.Н. Тихоновым в 1943 г. [47], является поиск решения на некотором компактном подмножестве Q множества решений Z. Данное подмножество предполагается вводить, основываясь на имеющихся представлениях о свойствах искомого решения (априорной информации). При такой постановке задача становится условно корректной (корректной по Тихонову), т.е. для нее выполняются следующие требования [28, 47]:
Таким образом, для условно корректной задачи требования корректности по Адамару накладываются лишь на подмножество Q полного множества решений Z, называемое множеством корректности.
Примером компактного множества является отрезок действительной оси [а; Ь], где а, Ъ - действительные числа. В пространстве функций компактным подмножеством будет, например, множество функций ограниченных вместе с первой производной.
Ограничением данного подхода является необходимость введения достаточно сильных предположений о свойствах искомого решения, что не всегда возможно на практике. Также он приводит к необходимости решения задач условной оптимизации. Поэтому на практике при решении обратных задач обычно применяются методы регуляризации (регуляризующие алгоритмы).
Понятие регуляризующего алгоритма (оператора) было введено А.Н. Тихоновым в 1963 г. [50]. При решении задачи (1.2) обратный оператор Ал заменяется т.н. регуляризующим R(u, 3, а), который зависит от известных данных us, уровня их погрешности 3 и набора параметров а. Регуляризующий оператор должен давать решение zs, непрерывно зависящее от входных данных Us Zg=R(us,S,a), \\us-u\\/\\u\\ S, (1.3) где її - точная правая часть уравнения (1.2), которая неизвестна. Метод регуляризации Тихонова (в вариационной форме) [48, 79] заключается в замене уравнения (1.2) на задачу минимизации функционала minMa(z) = min\\\Az-u\\2+a2-n(z)] (1.4) где Q(z) т.н. стабилизатор (стабилизирующий функционал), выражающий априорную информацию о качественных характеристиках искомого решения (например, гладкости), - параметр регуляризации, количественно задающий соотношение между требованиями соответствия решения входным данным и удовлетворения желаемым характеристикам (априорной информации).
Конечномерная формулировка обратной задачи
Проблема определения нагрузок по полю перемещений или деформаций известна из области обратных задач механики деформируемого твердого тела, которая развивается достаточно давно [9]. Тем не менее, в большинстве работ, посвященных классическим обратным задачам теории упругости, которые решаются, как правило, аналитическими методами, вопросы устойчивости решения не исследуются, доказывается только существование и единственность. В то же время в приложении к реальным конструкциям и задачам мониторинга проблема устойчивости получаемых решений по отношению к возмущениям входных данных принципиально важна и значительная часть работ последних лет в этой области ориентирована на применение численных методов с использованием методов регуляризации, статистических подходов, методов оптимизации.
Вопросы некорректности задач идентификации нагрузок рассматриваются в статье Starkey J., Merrill G. [131].
В работе Elliott К. и др. [77] для восстановления нагрузок предлагается использовать методы сингулярного разложения. Подробно рассматривается вопрос устойчивости получаемого решения к погрешности входных данных.
В работе Ring W. [125] рассматривается задача идентификации нагрузки на железобетонную сваю и определения изгибающего момента в ней с учетом частичного повреждения бетона в растянутой зоне. Предполагается, что исходные данные получены в результате мониторинга деформации в сече 29 нии. Применяется метод регуляризации Тихонова с использованием стабилизатора в форме полной вариации.
В статье Jang T. S. и др. [105] исследуется задача идентификации нагрузки на бесконечно длинную балку на упругом основании. В качестве исходных данных принимается непрерывная функция прогиба, содержащая погрешности. Для решения применяется метод Тихонова с выбором параметра регуляризации по L-кривой.
В работе Reddy A. N., Ananthasuresh G. K. [124] рассмотрена проблема определения нагрузок на основе массива перемещений, полученного методом неразрушающего контроля. Предлагаются два подхода к ее решению: псевдообращение переопределенной системы уравнений и вариационный подход, включающий варьирование перемещений в пределах заданной точности средства измерений. На примерах показано преимущество второго подхода в случае высокой погрешности входных данных.
В [132] дан подробный обзор задач идентификации динамических нагрузок. В работе Wang B. T., Chiu C. H. [138] предлагается метод определения амплитуды и точки приложения динамической нагрузки на балку на основе решения задачи оптимизации. В качестве целевой функции выступает сред-неквадратическое отклонение экспериментально полученной зависимости ускорения от времени или частоты (определяется посредством преобразования Фурье) от теоретической.
В работе Jang T. S., Han S. L. [104] рассмотрена задача идентификации зависящей от времени сосредоточенной силы, действующей на балку. В качестве входных данных рассматривается известный из измерений динамический отклик балки (зависимость от времени вертикального перемещения некоторого сечения), содержащий шум. При численном решении используется итерированный метод Тихонова с выбором параметра регуляризации по L-кривой, проводится сопоставление с классическим вариационным методом, делается заключение о достаточно быстрой сходимости и эффективности предложенного итерационного подхода.
В работе Gunawan F. E. и др. [89] задача восстановления нагрузки решается с помощью сплайн-аппроксимации, применяются методы усеченного сингулярного разложения и L-кривой.
В работе Hashemi R., Kargarnovin M. H. [100] рассматривается возможность идентификации вибрационного воздействия с помощью генетического алгоритма оптимизации.
В работе Cardi A. A. и др. [70] исследуется вопрос идентификации ударного воздействия на керамическую броню.
В статье Guo X.-L., Li D.-S. [91] рассмотрена задача идентификации случайного вибрационного воздействия. Другие работы, посвященные восстановлению динамических нагрузок: [21, 60, 72, 86, 88, 107, 113, 122, 136]. 1.4.2. Идентификация механических характеристик Работы, посвященные обратным задачам идентификации параметров материалов на основе экспериментальных исследований: [3, 18, 34, 37, 64, 69, 87, 99, 114, 119, 133]. Подробный обзор методов идентификации упругих характеристик содержится в статье [69]. В работе [99] рассмотрена задача идентификации упругопластических характеристик плиты на основе экспериментально полученной зависимости прогибов срединной поверхности от внешних нагрузок для набора контрольных точек. Задача трактуется как обратная задача идентификации коэффициентов нелинейного дифференциального уравнения 4-го порядка. В статье [87] рассмотрена задача определения исходной формы неде-формированной конструкции по требуемой деформированной конфигурации при заданной нагрузке.
Идентификация подвижек основания
Отметим, что приведенные результаты получены для случая, соответствующего весьма грубой схеме измерений, в котором шаг z существенно превышает длину краевого эффекта в проектном состоянии системы LB. Тем не менее, решение достаточно информативно в отношении характеристик непроектного механического состояния (рис. 2.8, 2.9). Показаны распределения прогиба и изгибающего момента, соответствующие квазиоптимальным значениям параметра по (2.28) и параметру 0, отвечающему проектному коэффициенту упругости ко.
Влияние количества и качества входной информации Для рассмотренной выше системы были получены решения на последовательности вложенных схем измерений при Az = 12.5-1.56м и числе измерений прогиба в области непроектного залегания п1 =8,16,32,64. Задаваемым значениям W эталонной функции прогиба w(z) сообщались возмущения, моделирующие погрешности измерений. Возмущения входной информации представлялись собственным вектором матрицы коэффициентов влияния A, соответствующим минимальному собственному числу и нормированным по заданной относительной погрешности
В этом случае влияние возмущений данных на результат решения обратной задачи (2.11) максимально по сравнению с любой другим вектором ошибки, удовлетворяющим данному условию нормировки [43].
Результаты решения с применением процедур регуляризации (2.27) -(2.31) при уровне погрешности данных = 1% представлены на рис. 2.10. Среднеквадратичная погрешность определения изгибающего момента убывает при увеличении объема входной информации (числа точек измерений) и приближается к величине порядка погрешности данных.
Исследование консолидированного влияния количества и качества входной информации на результаты решения проведено при рассмотрении двух вариантов схем измерений с шагами: zj = 12.5 м (схема 1, Az1 LB) и
Характеристика погрешности задаваемых массивов входной информации варьировалась в пределах: 0 1%. Решение проводилось с применением и без применения итерированной регуляризации (2.29)-(2.31). Как показывают результаты для распределений изгибающего момента, приведенные на рис. 2.11, для грубой схемы измерений (схема 1) влияние погрешности данных малозначительно, погрешность решения определяется в основном погрешностью аппроксимации дополнительной нагрузки, регуляризация в отношении входной информации не приводит к качественным из менениям решения.
При использовании более детальной схемы измерений (схема 2) погрешность решения на точных данных (погрешность аппроксимации) уменьшается на порядок, однако чувствительность к погрешностям входной информации существенно возрастает. Применение итерированной регуляризации (2.29)-(2.31) позволяет получить решения, устойчивые в отношении возмущений данных (рис. 2.12, = 1%), при этом имеет место в среднем двухкратное повышение точности по сравнению с результатами, полученными для схемы 1.
Применение базисных функций высокого порядка Рассматривалась возможность применения в качестве базисных функции в аппроксимации дополнительных нагрузок (2.8) В-сплайнов [74] 2-го порядка (рис. 2.13а)
Функции влияния вычисляются путем численного интегрирования выражения (2.12) по методу Гаусса. На рис. 2.14 показаны функции влияния, соответствующие кусочно-постоянным, кусочно-линейным, квадратичным и кубическим базисным функциям Nf (z) для рассматриваемой задачи в масштабированном виде (отнесенные к максимальным абсолютным значениям). Видно, что с повышением порядка базисной функции уменьшается скорость затухания соответствующей функции влияния. Применение базисных функций высокого порядка естественным образом снижает погрешность аппроксимации распределения нагрузки (2.8). Наилучшее приближение по изгибающему моменту при этом практически не изменяется, однако уменьшается разброс погрешности решения в диапазоне изменения параметра . Для грубых схем измерений данный эффект существенен (рис. 2.15а), для более подробных – не столь ярко выражен (рис. 2.15б). Этот результат объясняется тем, что базисные функции в форме кубических B-сплайнов наиболее отвечают классу искомых распределений в рассматриваемой задаче и поэтому позволяют применять конечномерные аппроксимации интегрального уравнения (2.6) меньшей размерности.
Результаты (относительные среднеквадратичные погрешности наилучших приближений по изгибающему моменту) представлены в таблице 2.2. Как можно видеть, итерированный вариант метода Тихонова дает решение практически идентичное вариационному методу, что ожидаемо, поскольку это лишь различные формулировки единого метода. Критерии по невязке и L-кривой (рис. 2.17а) для метода Тихонова в рассматриваемой задаче дают близкие приближения. Для метода TSVD решение, полученное с помощью критерия по невязке, близко к методу Тихонова. В то же время критерий определения числа отбрасываемых сингулярных значений по дискретной L-кривой (рис. 2.17б, отбрасывалось 10 сингулярных значений) дает лучшее приближение (отличие от метода Тихонова порядка 2%). L-кривая для TSVD имеет ярко выраженный угол и хорошо отражает баланс между приближением входных данных и гладкостью искомой функции.
На рис. 2.16 представлены графики изменения относительной погрешности распределения изгибающего момента для итерированного метода Тихонова, вариационного метода и TSVD с критерием выбора числа учитываемых сингулярных значений по L-кривой. Как видно, в рассматриваемой задаче TSVD дает в целом лучшее приближение и более устойчив к варьированию параметра .
Обратная задача об изгибе железобетонной балки на упругом основании
Тем не менее, проблема чувствительности решения к возмущениям входной информации в рассматриваемых задачах имеет существенное значение. Так была рассмотрена задача реконструкции нагрузки 3 (рис. 4.6в) при различном объеме входной информации (n = 21, 41, 101), заданной с погрешностью = 1%. В табл. 4.6 представлены характеристики задач и среднеквадратичные погрешности определения внешней нагрузки, изгибающего момента и максимальной пластической деформации. Видно, что для вариантов схем измерений с шагом z = 5 м и z = 2 м погрешность решений существенно превышает погрешность входных данных, что явно коррелирует с изменением спектрального числа обусловленности матрицы коэффициентов влияния AW1 [n1]. Таким образом, применение регуляризации в процедуре решения обратной задачи (рис. 4.5) является необходимым.
В качестве иллюстрации в табл. 4.6 включены результаты решения рассмотренной задачи при z = 2 м с применением регуляризации по методу Тихонова на этапе определения начального приближения (1, рис. 4.5). Полученные регуляризованные прогибы принимались в качестве входной информации в модифицированной итерационной процедуре метода начальных мо 111 ментов (5-14, рис. 4.5). Как показывают результаты, применение регуляризации позволяет снизить погрешность решения на порядок
Деформируемые основания, характерные для строительной области оказывают сопротивление действию только сжимающих нагрузок и не работают на растяжение. При определенных видах воздействий могут возникать зоны потери контакта конструкции с основанием, оказывающие существенное влияние на напряженно-деформированное состояние конструкции. Опишем итерационную процедуру, позволяющую учесть эффект одностороннего контакта балочного конструктивного элемента с упругим основанием винкле-ровского типа.
Блок-схемы для данных алгоритмов представлены на рис. 4.12. Вариант 2 характеризуется более медленной сходимостью (см. табл. 4.8), однако он представляется более удобным в применении к обратным задачам в рамках подхода, изложенного в главе 2. Отметим, что рассматриваемые здесь итерационные схемы достаточно широко известны: процедуры такого типа применялись, например, в работах [116, 117].
Для иллюстрации и верификации реализованных алгоритмов (рис. 4.12) рассмотрим тестовой пример изгиба протяженной балки на упругом основании под действием сосредоточенной силы Q и равномерно распределенной весовой нагрузки p (рис. 4.13), приведенный в работе [135], где данная задача решена путем численного интегрирования уравнений равновесия балки с заданием условий стыковки решений на границах зон потери контакта. Сравним решение, полученное с применением рассматриваемых здесь алгоритмов (рис. 4.12), с источником [135]. Параметры задачи приведены в табл. 4.7.
Заметим, что возможны две принципиально различные по отношению к проблеме учета одностороннего сопротивления основания постановки обратных задач для конструкций на упругом основании. Если первоначальный профиль поверхности основания известен из условия задачи и изменяется только под влиянием внешних воздействий со стороны конструкции, то входные данные обратной задачи (массив прогибов) определяют наличие и границы зон потери контакта конструкции и основания с той или иной степенью точности в зависимости от количества данных. В этом случае может применяться процедура решения, изложенная в главе 2, с обнулением жесткости основания в зонах потери контакта и соответствующим вычислением матриц коэффициентов влияния (например, с применением МКЭ). Если же объема входной информации недостаточно для надежного выделения зон потери контакта, то в решение может быть включена некоторая итерационная уточняющая процедура, аналогичная предложенной в разделе 4.1 для учета упругопластических деформаций.
Вторая постановка допускает наличие самопроизвольных (не зависящих от конструкции) подвижек основания (см. раздел 3.2). В данном случае становится необходимой специальная итерационная процедура, включающая определение текущего профиля основания без учета взаимодействия с конструкцией и коррекцию зон потери контакта с вычислением соответствующей системы дополнительных нагрузок R. Алгоритм такой процедуры для балок на упругом основании представлен на рис. 4.16. Пример применения приведен в разделе 3.2 для решения задачи об идентификации подвижек основания.
