Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы и современное состояние вопроса 9
1.1. Общие проблемы устойчивости тонких оболочек при малых перемещениях 9
1.2. Учет больших перемещений при оценке устойчивости гладких оболочек 14
1.3. Призматические оболочки с изломами срединной поверхности в одном направлении 18
1 4. Складчатые многогранные оболочки с изломами срединной поверхности в двух направлениях 21
1.5. Оценка устойчивости пологих оболочек с изломами срединной поверхности с помощью обобщенных функций 24
1.6. Геометрически нелинейные задачи устойчивости оболочки с изломами срединной поверхности. Задачи, рассмотренные в диссертации 29
Глава 2. Система разрешающих уравнений устойчивости складчатых оболочек при больших перемещениях 34
2.1. Уравнения равновесия геометрически нелинейной теории пологих оболочек 34
2.2. Уравнения совместности деформаций нелинейной теории пологих оболочек 40
2.3. Система разрешающих уравнений геометрически нелинейной теории устойчивости складчатых оболочек 42
Глава 3. Устойчивость пологой складчатой оболочки при больших перемещениях 45
3.1. Решение геометрически нелинейной задачи об устойчивости пологой складчатой оболочки 45
3.2. Устойчивость квадратной в плане пологой складчатой оболочки при поперечной нагрузке 51
3.3. Исследование устойчивости пологих складчатых оболочек—56
Глава 4. Уточнение решения геометрически нелинейной задачи об устойчивости складчатой оболочки 67
4.1. Общая схема решения задачи об устойчивости складчатой оболочки во втором приближении метода Бубнова-Галеркина 67
4.2. Решение поставленной задачи во втором приближении 70
Основные результаты работы 85
Список литературы 87
- Учет больших перемещений при оценке устойчивости гладких оболочек
- Уравнения совместности деформаций нелинейной теории пологих оболочек
- Устойчивость квадратной в плане пологой складчатой оболочки при поперечной нагрузке
- Решение поставленной задачи во втором приближении
Введение к работе
Актуальность проблемы. Пространственные конструкции, образованные из тонких плит, нашли широкое применение в строительстве для перекрытия больших площадей без сооружения промежуточных опор. Неоспоримыми преимуществами складчатых оболочек перед гладкими являются простота изготовления плоских плит-граней оболочки в заводских условиях, индустриальные методы монтажа, удобство эксплуатации подвесного транспорта в перекрываемом пространстве, повышенная жесткость конструкции и многие другие.
Многочисленные экспериментальные исследования показали, что расчеты оболочек на устойчивость по линейной теории дают завышенные значения критических нагрузок. Дальнейшие исследования в области устойчивости оболочек развивались по пути учета перемещений, сравнимых с толщиной, что привело к геометрически нелинейным задачам. Решение таких задач сопровождается значительными математическими трудностями, поэтому тема диссертации, посвященная решению геометрически нелинейной задачи об устойчивости такого типа оболочек – актуальна.
Цель работы – разработать методику аналитического расчета на устойчивость складчатых пологих оболочек, изгибаемых поперечной нагрузкой, в геометрически нелинейной постановке.
Научная новизна:
- разработана методика исследования устойчивости пологих складчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке, которая приводит к достаточно простому, эффективному и удобному для программирования алгоритму;
- исследована устойчивость некоторых пологих складчатых оболочек при больших перемещениях;
- разработаны практические рекомендации по оценке устойчивости складчатых оболочек при поперечном изгибе.
Практическое значение результатов диссертации. Научные результаты исследований, полученных в диссертации, дают возможность решать задачи устойчивости пологих складчатых оболочек с изломами поверхности в двух направлениях в геометрически нелинейной постановке, используя полученные формулы и аналитические выражения.
Достоверность результатов подтверждается использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики, соответствием результатов расчета, полученных в работе, с известными экспериментальными исследованиями из литературных источников.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: научные семинары кафедры «Прочность материалов и конструкций», ПГУПС, С-Пб., 2006-2008 г.г.; научные семинары кафедры «Конструкций из дерева и пластмасс», СПбГАСУ; 64-я научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета СПбГАСУ, С-Пб., 2007 г.; 60-я международная научно-техническая конференция молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ, С-Пб., 2007 г.; научный семинар кафедры «Инженерных наук и технологий» ИНЖЭКОН, С-Пб., 2007 г.; научный семинар кафедры «Сопротивление материалов и теории упругости», Петербургский институт машиностроения, С-Пб., 2007 г.; VII Международная конференция «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», ПГУПС, С-Пб., 2008 г.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 статьях и тезисах докладов. Три статьи – в научных журналах по Перечню изданий ВАК.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Содержит 104 страницы текста, включая 11 рисунков, 2таблицы. Библиография – 162 наименования.
Учет больших перемещений при оценке устойчивости гладких оболочек
Линейная теория оболочек, учитывающая малые перемещения, дает завышенные результаты для значений критических нагрузок. Это показывают многочисленные экспериментальные исследования [1, 42, 79, ПО, 127 и др]. Поэтому дальнейшее развитие исследований устойчивости оболочек пошло по пути учета больших перемещений, т.е. по пути решения задач устойчивости на основании геометрически нелинейной теории. Общие вопросы этой теории изложены в монографии Х.М. Муштари и К.З. Галимова [97].
Основой для решения геометрически нелинейных задач устойчивости пологих оболочек при поперечном изгибе являются нелинейные дифференциальные уравнения Т. Кармана — Л. Доннела [148], полученные ими для тонких пластинок и обобщенные В.З. Власовым для пологих оболочек [24]. Эти уравнения были решены Т. Карманом и Цянь Сюэ-Сеном [149, 150], для цилиндрической и сферической оболочек вариационным методом Ритца.
В дальнейшем устойчивость сферических пологих оболочек была рассмотрена В.И. Феодосьевы [133], Х.М. Муштари [95], а цилиндрических -СВ. Александровским [3], Н.А. Алфутовым [2], Ф.С. Исанбаевой [51] и др. Задачи устойчивости пологих оболочек, т.е. таких оболочек, у которых стрела подъема/не превышает 1/5 наименьшего размера в плане, решались, в основном, методом Бубнова - Галеркина. Определялась зависимость между поперечной нагрузкой и прогибом Wo в центре оболочки. Эта зависимость, как правило, имеет вид диаграммы, представленной на рис. 1.1.
В начале нагружения параметр нагрузки монотонно возрастает с увеличением стрелы прогиба W0 до предельной точки А, где при критическом значении нагрузки начальное равновесное состояние оболочки становится неустойчивым, и она прощелкивает к новому устойчивому равновесному состоянию.
Среди ранних работ, посвященных решению геометрически нелинейной задачи об изгибе и устойчивости пологих оболочек, наибольшей полнотой освещения вопроса отличаются статьи М.А. Колтунова [59,60], где задача решается методом Бубнова - Галеркина в первом приближении при значениях аппроксимирующих функций для д и1в виде:
Кроме того, в работе [60] приводится строгое обоснование применения метода Бубнова - Галеркина к решению геометрически нелинейных задач такого типа.
В работе [59] исследуется устойчивость панели пологой цилиндрической оболочки, загруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой. Получена следующая нелинейная зависимость «нагрузка - стрела прогиба» в безразмерных величинах: a, b - размеры оболочки в плане, ky - кривизна срединной поверхности оболочки.
По зависимости (1.12) построены графики вида рис. 1.1 при различных значениях кривизны к для квадратной в плане цилиндрической оболочки.
Позднее в работе [61] М.А. Колтунов получил уточненное решение задачи устойчивости в геометрически нелинейной постановке для изгибаемой равномерно распределенной нагрузкой шарнирно закрепленной на краях прямоугольной в плане пологой оболочки. Решение задачи было получено методом Бубнова — Галеркина при представлении аппроксимирующих функций в виде двойных тригонометрических рядов: с сохранением в решении четырех членов разложения с нечетными значениями m, «=1, 3, 5, 7. При этом рассматривалась только симметричная форма потери устойчивости, для которой, как отмечено в [61], несимметричные члены рядов (1.13) при т Ф п не имеют существенного значения и в решении не рассматривались. В результате решения была получена система семи нелинейных алгебраических уравнений с семью неизвестными. Решение этой системы на ЭВМ представлено в виде графиков «нагрузка - стрела прогиба» для разных значений кривизн А и ку, с помощью которых проанализирована сходимость метода Бубнова — Галеркина для данной задачи. В результате анализа сделано заключение, что метод Бубнова — Галеркина для данной задачи дает сходящееся решение, причем для практических расчетов достаточно ограничиться решением во втором приближении.
Аналогичное решение для первого приближения при симметричной форме потери устойчивости получено О. Д. Ониашвили [ПО], где исследована погрешность линейного решения по сравнению с более точным нелинейным решением в зависимости от пологости оболочки. Отмечено, что эта погрешность возрастает с увеличением пологости.
Уравнения совместности деформаций нелинейной теории пологих оболочек
Рассмотрим складчатую пологую оболочку, многогранная регулярная срединная поверхность которой образована из плоских плит — граней таким образом, что эта поверхность при неограниченном увеличении количества граней стремится к срединной поверхности гладкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны с главными кривизнами кх, ку. Геометрия рассматриваемой складчатой оболочки представлена на рис. 2.4 в ортогональных координатах х, у, z, где ось z направлена вниз к центру кривизны перпендикулярно плоскости ху. Оболочка имеет размеры а, Ъ в плане и опирается краями х = йИ) = 6на диафрагмы, жесткие в своей плоскости и не обладающими жесткостью из плоскости.
Линии сопряжения граней складчатой оболочки совпадают по направлению с линиями главных кривизн, вписанных в ее срединную поверхность гладкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны и представляют собой взаимно перпендикулярные ломаные линии, расположение которых от оси х определяется координатами yh от оси у — координатами xt (см. рис. 2.4). Углы перелома ломаных, направленных вдоль оси х, обозначены &ah направленных вдоль оси , обозначены 6 #.
Используя изложенную в п. 1.5 теорию обобщенных функций, представим главные кривизны рассматриваемой складчатой оболочки с изломами срединной поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях в виде условных кривизн, выраженных в виде (1.16) через 5 — функцию Дирака.
Подставляя эти выражения для кривизн в уравнение равновесия (2.8) и уравнение совместности деформаций (2.13) пологой оболочки, получим разрешающие уравнения равновесия и совместности деформаций геометрически нелинейной теории устойчивости прямоугольных в плане пологих складчатых оболочек с изломами срединной поверхности в двух направлениях, загруженных нормальной распределенной нагрузкой q(X,y): - уравнение равновесия
Устойчивость квадратной в плане пологой складчатой оболочки при поперечной нагрузке
В частном случае оболочки с квадратным планом, т.е. при а — Ъ и у = 1, нелинейная зависимость (3.8) между нагрузкой и прогибом в середине оболочки принимает вид:
При увеличении количества граней складчатой оболочки ее срединная поверхность стремится к поверхности вписанной гладкой оболочки положительной гауссовой кривизны, а параметры условной кривизны (3.9) стремятся в пределе к параметрам главных кривизн гладкой оболочки: кх, ку — главные кривизны гладкой оболочки положительной гауссовой кривизны.
В результате при большом количестве граней и при коэффициенте Пуассона v = 0,3 соотношение (ЗЛО) переходит в известную нелинейную зависимость для квадратных в плане гладких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны [28,61]:
Для квадратной в плане складчатой оболочки, соответствующей вписанной в ее поверхность гладкой сферической оболочке, имеем X Ху - X и из (ЗЛО) получим соотношение:
Для квадратной в плане призматической оболочки, соответствующей вписанной гладкой цилиндрической оболочки, одна из кривизн обращается в нуль и из (ЗЛО) в виде частного случая получится зависимость щ - W », использованная в работах [65, 92] при исследовании устойчивости призматических оболочек:
Проведем сравнение деформации и устойчивости квадратной в плане пологой складчатой оболочки, соответствующей вписанной в ее поверхность гладкой сферической оболочки, используя нелинейную зависимость (3.12). С этой целью определим критическую нагрузку qKp для складчатой оболочки с размерами в плане а = Ъ — 8 м с тремя взаимно перпендикулярными изломами срединной поверхности и с постоянным углом поворота касательной к поверхности при переходе через линию излома радиус вписанной сферической поверхности R — 16 м. Значение параметра приведенной условной кривизны складчатой оболочки определяется по (3.9)
Используя соотношение (3.12) и задавая последовательные значения w , получим кривую зависимости щ - W y для складчатой оболочки с тремя изломами срединной поверхности и параметром = 31,5 (см. рис. 3.1).
Максимальная точка кривой с горизонтальной касательной дает критическую нагрузку q Kp=752.
Увеличим количество граней в данной складчатой оболочке и рассмотрим ее с семью взаимно перпендикулярными изломами срединной поверхности. При этом угол поворота касательной уменьшится и будет 0=/до (. а параметр приведенной условной кривизны по (3.9) уменьшится до значения = 30,5. Используя соотношение (3.12), получим более низкое значение параметра критической нагрузки q — 665.
Увеличение количества граней приближает срединную поверхность складчатой оболочки к вписанной в ее поверхность гладкой сферической оболочки. На рис. 3.1 штриховой линией показана зависимость щ - W », приведенная в книге А.С. Вольмира [28] для гладкой сферической оболочки с параметрами кривизны к х =Аг = — = 30, к поверхности которой стремится рассмотренная складчатая оболочка. Критическая нагрузка для этой гладкой сферической оболочки составила qKp =658, что на 12,5 % меньше, чем для соответствующей складчатой оболочки с тремя изломами срединной поверхности.
Решение поставленной задачи во втором приближении
Для решения геометрически нелинейной задачи об устойчивости пологой складчатой оболочки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q=const, во втором приближении метода Бубнова - Галеркина запишем систему нелинейных разрешающих уравнений устойчивости (3.1) в операторной форме (4.2) где дифференциальные операторы LX(W, имеют вид:
Общая постановка задачи и граничные условия на краях оболочки (3.2), сформированные в главе 3, остаются теми же для решения во втором приближении.
Решая задачу во втором приближении метода Бубнова - Галеркина, следуем общей схеме решения, сформированной в предыдущем параграфе. В соответствие с этой схемой принимаем за аппроксимирующие функции первые два члена рядов (4.1): каждая из которых удовлетворяет заданным граничным условиям (3.2).
Подставляем аппроксимирующие функции W и Ф в разрешающие уравнения (4.2) вместо функций W и р, умножаем на базовые функции и интегрируем по области заданной поверхности оболочки; получим в результате уравнения метода Бубнова - Галеркина, представляющие собой условия ортогональности этих функций:
Подставляя в полученную систему уравнений метода Бубнова -Галеркина соответствующие аппроксимирующие функции (4.6), получим, используя развернутые выражения (4.5) для дифференциальных операторов
После вьиисления производных в (4.9), (4.10) получим следующую систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов при аппроксимирующих функциях:
