Введение к работе
Актуальность тематики. Одной из важнейших характеристик устойчивого движения управляемых динамических систем является область допустимых начальных условий, при которых движение системы асимптотически приближается при возрастании времени к заданному программному движению.
В работе развивается системный подход к теоретико-множественному и теоретико-информационному анализу свойств областей асимптотической устойчивости решений нелинейных дифференциально-разностных систем уравнений запаздывающего типа. Анализ устойчивости таких систем дает необходимые условия для стабильного функционирования большого числа физических и технических объектов.
В связи с этим актуальна задача построения области притяжения. Данная проблема была поставлена A.M. Ляпуновым в 1892 году и решена для динамических систем В.И. Зубовым в середине XX века.
Важным, как с практической, так и с теоретической точек зрения, является класс систем, содержащих запаздывание и описываемых системами дифференциально-разностных систем уравнений. Для анализа устойчивости систем с запаздыванием используется прямой метод Ляпунова в формулировке Н.Н. Красовского или B.C. Разумихина. Аппарат функций Ляпунова (P.M. Julich, В.А. Каменецкий) или функционалов Ляпунова-Красовского используется для приближения области притяжения дифференциально-разностных систем. При аппроксимации области асимптотической устойчивости на основе функционалов Ляпунова-Красовского возникают задачи поиска подходящих функционалов и вычисления константы уровня. Основанные на таком подходе методы (В.Д. Го-ряченко, А.П. Блинов) не предполагают реализации на основе компьютерных технологий и приводят к известным трудностям при автоматизированном построении области притяжения. Поэтому для систем с запаздыванием представляют интерес методы построения области притяжения, пригодные для дальнейшей алгоритмизации и исследованные в настоящей работе. В связи с этим актуален вопрос приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем с запаздыванием разностными системами с последующей реализацией данной задачи на основе компьютерных методов обработки информации.
В частности, решен вопрос о максимальности области притяжения при оптимальном управлении дифференциально-разностных систем (рассмотренный ранее В.И. Зубовым для динамических систем).
Целью диссертации является теоретическое обоснование и разработка алгоритмов приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем уравнений запаздывающего типа об-
ластью асимптотической устойчивости разностной системы. Другая цель работы состоит в развитии методов описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений в функциональном пространстве начальных функций, в разработке способов построения приближенных решений и создании компьютерной программы для визуализации полученной информации об области асимптотической устойчивости.
Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследования
Разработка системного подхода к описанию и анализу свойств области асимптотической устойчивости динамических объектов, задаваемых системами с запаздывающим аргументом.
Теоретическое обоснование возможности приближения области притяжения решений системы дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа путем построения области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы уравнений.
Развитие и создание конструктивных методов и алгоритмов построения и визуализации областей притяжения на основе компьютерных методов обработки информации.
Исследование свойств области асимптотической устойчивости управляемых дифференциально-разностных систем уравнений при оптимальном управлении.
Научная новизна результатов определяется созданием методов приближения решений дифференциально-разностных систем запаздывающего типа решениями разностных уравнений и разработкой алгоритма построения области асимптотической устойчивости нелинейных систем с запаздыванием с помощью разностных систем уравнений на основе оценок погрешности аппроксимации соответствующих решений.
Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлечены классические и современные методы анализа устойчивости нелинейных дифференциально-разностных и разностных систем. Анализ устойчивости осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории систем с запаздыванием, теории устойчивости и теории управления. Одним из основных методов исследования является второй метод Ляпунова. Для визуализации области асимптотической устойчивости применялись численные и компьютерные методы.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретический интерес имеет разработанный метод приближения области асимптотической
устойчивости дифференциально-разностных систем. Доказана теорема об области притяжения нелинейных разностных систем, которая является аналогом теоремы В.И. Зубова для динамических систем. На основе доказанных теорем сформулирован и реализован алгоритм построения связной части области асимптотической устойчивости разностных систем. Выведено уравнение границы области притяжения. Доказана теорема о вложении области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений в область асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы. Сформулирована и доказана теорема о максимальности области асимптотической устойчивости при оптимальном управлении дифференциально-разностных систем.
Полученные результаты имеют большое практическое значение при исследовании устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа, что проиллюстрировано в диссертационной работе на ряде примеров.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на заседаниях кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на 14th International Workshop Beam Dynamics and Optimization, на III Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB", на XXXVIII, XLI и XLII международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", на Всероссийской конференции, посвященной 80-ти летию со дня рождения В.И.Зубова, на V Международной научно-практической конференции "Современные информационные технологии и ИТ-образование".
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 9 печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ. Список опубликованных работ приведен на странице 17.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 54 наименования, и 4 приложений. Объем составляет 108 страниц машинописного текста, работа содержит 15 рисунков.
