Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ подходов к решению задач построения моделей объектов и управления при неточных данных 10
1.1. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов при неточных данных 10
1.1.1. Построение прямых статических характеристик объектов 10
1.1.2. Ограниченность гипотез статистического подхода 20
1.1.3. Построение обратных статических характеристик объектов 24
1.2. Погрешность средств измерения и статическая характеристика преобразования 37
1.2.1. Оценка ошибок измерительных систем 37
1.2.2. Статическая характеристика преобразования 42
1.3. Задача управления 45
1.3.1. Задачи оптимального управления: классификация и методы решения 46
1.3.2. Модели описания объекта управления 49
1.4. Новая парадигма описания неопределенности 53
1.4.1. Источники неопределенности в научных и прикладных задачах 53
1.4.2. Современный подход к выражению неопределенности измерений 55
1.4.3. Новый подход к оценке риска 60
1.4.4. Модели описания неопределенных чисел 61
1.4.5. Арифметические операции с неопределенными числами 69
1.5. Постановка задачи 77
Выводы к главе 1 77
Глава 2. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов по интервальным данным 79
2.1. Построение прямых характеристик объекта 79
2.1.1. Этапы решения задачи 79
2.1.2. Сравнительный анализ статистического и интервального подходов к построению прямой характеристики 90
2.2. Построение обратных характеристик объекта 96
2.3. Аппроксимация интервальных сплайн-моделей гладкими функциями 104
2.3.1. Аппроксимация полиномами второго порядка 110
2.3.2. Аппроксимация неявной функцией 114
2.3.3. Сравнительный анализ методов по качеству аппроксимации 116
Выводы к главе 2 122
Глава 3. Интервальные модели в задачах градуировки 124
3.1. Идентификация модели помех объекта 125
3.1.1. Модели помех в реальных условиях 128
3.1.2. Модели помех при пассивном эксперименте 134
3.1.3. Модели помех при активном эксперименте 13 6
3.2. Методология градуировки измерительных систем 144
3.3. Пример построения градуировочной характеристики 161
3.4. Интервальный подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем 168
3.4.1. Решение задачи выбора единственного датчика 173
3.4.2. Усреднение показаний датчиков 179
3.4.3. Интегрирование градуировочных характеристик 182 Выводы к главе 3 186
Глава 4. Интервальные модели в задачах управления автоматическими системами 189
4.1. Решение задачи оптимального управления 189
4.1.1. Основные понятия и определения 191
4.1.2. Прогноз состояния системы 194
4.1.3. Решение задачи оптимального управления с заданной точностью 201
4.1.4. Решение задачи при наличии связи между параметрами управляющего воздействия 211
4.2. Решение задачи при интервальной неопределенности на параметры задачи 215
4.2.1. Задача разгона 218
4.2.2. Задача сближения 234
4.3. Решение задачи регулирования 241
Выводы к главе 4 247
Заключение 248
Список использованных источников 253
- Статическая характеристика преобразования
- Построение обратных характеристик объекта
- Интервальный подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем
- Решение задачи при интервальной неопределенности на параметры задачи
Введение к работе
Актуальность проблемы.
При решении большинства прикладных задач исследователь, как правило, имеет дело с неточными или неопределенными данными. При анализе и обработке неточных данных, необходимо выполнять с ними различные арифметические операции, вычислять значения функций от неточных переменных и т.п. Результат этих операций и его интерпретация зависит от принятой исследователем модели описания неопределенности и неточности данных.
Наиболее популярной моделью описания неопределенности и неточности данных является вероятностная, точнее статистическая модель, в которой неточные данные рассматриваются как случайные величины. Доминирование вероятностных моделей описания неточности и неопределенности связано не только с хорошо разработанной теорией вероятности и математической статистики, но и с наличием многочисленных пакетов программ для обработки статистических данных. Существующие подходы к решению задач идентификации и управления в основном ориентированы на вероятностные модели описания неточности и неопределенности.
Вместе с тем, по ряду причин в последнее десятилетие произошло энергичное развитие другой парадигмы описания неопределенности данных. Одной из причин такой смены стали, в том числе, произошедшие глобальные техногенные и природные катастрофы, другие масштабные явления, которые не имели прецедентов прошлом, т.е. рассматривались как невероятные. Это привело к необходимости изменить методологический подход к оценке рисков, отказаться от его узкой трактовки, как вероятности и перейти к более широкому термину - возможности неблагоприятного события. Результатом смены парадигмы явилось появление нового термина «неопределенные числа»,
модели которых включали наряду с вероятностной моделью описания также нечеткие и интервальные модели.
Аналогичные изменения происходят в концепции описания неопределенности в метрологии, где от понятия неточности измерений перешли к понятию неопределенности измерений.
В данных случаях, как и в целом ряде других, одной из основных моделей описания неопределенности является интервальная модель, когда неопределенность величины описывается в терминах интервала ее возможных значений.
В связи с этим проблема решения прикладных задач управления и построения моделей в условиях неопределенности интервальными методами является актуальной.
Работа проводилась в рамках тематики научно-технических программ Минобразования России «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», «Малое предпринимательство в науке и научном обслуживании высшей школы», «Государственная поддержка региональной научно-технической политики высшей школы и развитие ее научного потенциала», по тематическим планам, утвержденным Минобразования России.
Цель и задачи работы.
Целью работы является разработка интервальных методов в задачах построения объектов и процессов управления. В соответствии с этим основными задачами работы являются:
-сравнительный анализ концепций описания и обработки неточных и неопределенных данных;
-разработка методов и алгоритмов построения прямых и обратных характеристик объектов по интервальным данным;
-разработка метода идентификации моделей ошибок системы с использованием интервального подхода;
-разработка методов градуировки измерительных систем по интервальным данным и повышения точности градуировочнои характеристики в мультисенсорных измерительных системах;
-постановка задач управления и разработка методов и алгоритмов их решения для объектов с интервально заданными параметрами.
Методы исследования.
Для решения поставленных в работе задач использовались методы описания и анализа объектов и систем в условиях неопределенности, методы регрессионного и интервального анализа, методы исследования и градуировки односенсорных и многосенсорных систем, методы оптимального управления и анализа качества систем автоматического управления при неточных параметрах системы.
Научная новизна исследования состоит в следующих результатах:
-предложен новый метод нахождения параметров статических характеристик объекта по интервальным данным, обеспечивающий корректную, однозначную обратимость полученной модели;
-для описания линейного сплайн-коридора с интервально заданными эмпирическими зависимостями разработан алгоритм аппроксимации с использованием неявных и полиномиальных функций, основанный на управляемом вычислительном эксперименте;
-показана принципиальная разница между моделями помех в эксперименте и в реальных условиях, предложен подход к идентификации модели помех;
-с использованием интервальных методов разработана новая методология градуировки измерительных систем, предполагающая раздельное решение задач нахождения градуировочнои характеристики и ее коридора неопределенности;
-предложен подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем с интервально заданными данными и методы повышения их точности;
-разработаны новая постановка и метод решения задачи оптимального управления объектами при интервально заданных параметрах и определены априорные требования к точности идентификации объекта.
Практическая ценность.
Полученные теоретические результаты доведены до уровня конкретных методик, алгоритмов и позволяют решать ряд важных прикладных задач в условиях неопределенности и неточности исходных данных, в том числе:
-построения прямых и обратных интервальных аналитических моделей сложных систем на основе неточных данных;
-градуировки систем измерения с учетом различных факторов неопределенности и моделей их воздействия на показания сенсора;
-формирования паспорта системы измерения с указанием ее рабочего диапазона, интервальных границ неопределенности измерения и допустимого диапазона изменения внешних факторов;
-анализа и синтеза систем управления при интервально заданных параметрах системы.
Результаты работы внедрены в ИВЦ - филиале ОАО «Мосэнерго», в Федеральном государственном унитарном предприятии «Особое конструкторское бюро Московского энергетического института», в учебном процессе МЭИ (ТУ) при подготовке бакалавров, специалистов и магистров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и включены в дисциплины «Методы оптимизации», «Управление в больших системах». Результаты нашли отражение в учебно-методических пособиях.
Апробация работы.
Основные результаты работы доложены и обсуждены на 17 международных, всесоюзных и всероссийских конференциях, проходивших в СССР, Российской Федерации и за рубежом в период с 1984 по 2005 годы. Результаты работы опубликованы в 44 печатных работах и в 9 отчетах по НИР.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 186 наименований, 3 приложений, имеет объем 310 страниц, включая 54 рисунка и 24 таблицы.
Статическая характеристика преобразования
Нелинейные ГХ обычно сводят к линейной функции с помощью замены переменных.
Для построения ГХ СИ по этим экспериментальным данным строят прямую ГХ, которую затем используют для нахождения входной величины х по результату измерения выходной величины у в соответствии с соотношением (1.20).
В связи с таким назначением некоторые авторы [53] предлагают сразу определять вместо «прямой» ГХ «обратную» ГХ, которую можно было бы непосредственно использовать для нахождения значения входной величины. Выбор прямой или обратной функции основывают на соотношении между погрешностями измерений входной и выходной величин:
- если погрешности измерений входных величин пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями выходных величин, то считается, что целесообразно строить прямую ГХ. Методы построения ГХ в этом случае основаны на классических методах регрессионного анализа и современных робастных методах. Для нахождения х по у используют обратную функцию;
- если пренебрежимо малы погрешности измерений выходных величин, то считают целесообразным сразу строить обратную ГХ. Для этого применяют те же методы, что и для первого случая и полученную ГХ непосредственно применяют для оценивания значений х по у;
- если относительные погрешности измерений входных и выходных величин одного порядка, то статистические методы построения ГХ основаны на методах конфлюентного анализа [43-45].
Основные методы оценивания параметров ГХ описаны в [49,77,85,110,112,113,150,151,158].
При построении ГХ в виде линейной по параметрам функции обычно предполагается, что значения входных величин х известны точно, а результаты измерений выходных величин описываются моделью УГУю + еуь (1.34) где вуї - независимые нормально распределенные случайные погрешности с нулевым средним Евуі = 0 и дисперсиями Deyi = с?, либо De-yi = J h(Xj), где h (х) -известная функция. Если эти гипотезы выполняются, то МНК-оценки являются несмещенными и имеют минимальные дисперсии среди несмещенных оценок, линейных относительно результатов y-v При использовании статистических методов оценивание погрешности ГХ предусматривает построение доверительных интервалов для заданной доверительной вероятности Р (обычно 0,95 или 0,99). Построив доверительные интервалы для всех значений X из диапазона Д., получают доверительную полосу для истинной зависимости у = /и (х). Построенная ГХ далее используется для оценивания входных величин по наблюдаемым выходным в соответствии с (1.20).
Вместе с тем, на практике часто:
а) погрешности измерений входных величин существенны. Это приводит к тому, что МНК-оценки становятся смещенными, эти смещения не устраняются при увеличении числа точек; оценки не являются состоятельными. Но считается, что при построении линейной ГХ эксперимент с контролируемой входной переменной может быть поставлен так, что МНК будет оптимален.
б) погрешности измерений выхода содержат как случайные, так и систематические составляющие. Это означает, что МНК не является оптимальным в статистическом смысле.
в) распределение случайных погрешностей отлично от нормального, что может привести к значительным погрешностям параметров ГХ.
г) встречаются зависимые случайные погрешности. Если корреляционная матрица погрешностей известна, то можно использовать обобщенные оценки наименьших квадратов. Тогда будут получены несмещенные оценки с наименьшими дисперсиями. Но часто корреляционная матрица погрешностей неизвестна. В этом случае предлагают применять обычные оценки наименьших квадратов, хотя их дисперсии и не будут наименьшими.
д) наибольшие трудности обычно вызывают систематические составляющие и суммарные погрешности; для них не удается разработать строгие формализованные методы и приходится использовать практические полуэмпирические методы, основанные на правдоподобных допущениях и опыте обработки экспериментальных данных.
е) если для систематических и суммарных погрешностей известны лишь границы, но нет сведений о примерном характере их изменения по диапазону, то применение статистических методов для построения ГХ и оценивания погрешностей формально не обосновано. Применяя один из численных методов, можно получить некоторую ГХ, но оценить ее погрешности удается довольно грубо. Поэтому, обычно пользуются оценками сверху по модулю, но эти оценки, как правило, сильно завышены и в практических задачах предполагают, что известна некоторая априорная информация о поведении погрешностей измерений по диапазону. Если погрешности изменяются по диапазону нерегулярным образом, то для построения ГХ, а также для оценивания ее погрешностей, используют численные методы, основанные на усреднении и сглаживании, близкие к статистическим методам. Таким образом, хотя погрешности, строго говоря, и не являются случайными, но для обработки результатов наблюдений применяют статистические методы.
ж) помеха измерения и/или установки факторов может описываться не только аддитивной моделью, но и мультипликативной или аддитивно-мультипликативной.
Решаемые ниже задачи в целом ряде случаев могут быть сформулированы не только для традиционных систем автоматического управления, но и, например, для задач управления качеством, когда при изменении партий сырья, параметры качества которого всегда указываются с точностью до интервала, необходимого каждый раз выводить процесс на некоторый заданный уровень.
В этом случае последовательно встают задачи:
- оптимального управления (перевода системы из одного фазового состояния в другое на основе совокупности управляющих параметров), обеспечения устойчивости работы системы на достигнутом уровне;
- минимизации отклонения значений показателей качества от заданных в процессе дальнейшего функционирования.
Построение обратных характеристик объекта
Ошибки эксперимента приводят к тому, что оценки bf и, следовательно, оценки cij являются неточными. В силу этого предсказанное по обратной функции (2.5) значение х{у) будет также содержать неизбежные ошибки. Как показывают исследования, из-за существенной нелинейности обратного преобразования модель ошибки является очень сложной и не может быть описана в терминах абсолютной или относительной ошибки функции (2.5). Поэтому, наиболее полной характеристикой точности решения задачи построения обратной функции является интервал ее неопределенности где х(у)- неизвестное точное значение измеряемой величины, xmin(y), хтях(у) нижняя и верхняя границы ее возможных значений.
В технических приложениях задача обратного преобразования обычно решается для однофакторных, монотонных функций, обеспечивающих однозначность преобразования. Примеры таких функций представлены в таблице 1.2. Описываемый ниже интервальный метод построения обратной функции рассматривается для линейной функции, как наиболее часто применяемой, и основан на следующих допущениях [32]:
- предполагается, что результаты эксперимента, содержащего N опытов, представлены в виде двух интервальных векторов й=([х/],...,[хд?]) и [й=(Ы -,Ы);
- каждый интервал определяет множество возможных значений переменной в данном опыте.
Тогда любому фиксированному значению аргумента х будет соответствовать не единственное значение функции у, а множество возможных значений, т.е. интервал [у].
Это позволяет получить интервальную функцию, которая, будет иметь вид: \y]=[bj]+[Ь2]х, где [b]], [Ь2] - интервально заданные коэффициенты. Коэффициенты [bi], [b2] можно также представить в виде интервального вектора [Ь] = (IM Ы).
Решение задачи построения обратной интервальной функции может быть осуществлено двумя способами.
1. Непосредственное построение обратной функции по экспериментальным данным.
В этом случае значения [х] рассматриваются как выходные значения, а [у] - как входные, и процедура построения, как точечной обратной модели, так и интервального коридора содержательно полностью совпадает с соответствующей процедурой построения прямой интервальной функции.
2. Определение прямой функции по интервальным данным и ее обращение. В этом случае множеству всех адекватных прямых моделей соответствует область В всех возможных векторов Ъ, являющаяся:
- выпуклой,
- в случае двух параметров имеющая вид замкнутого четырехугольника с координатами вершин &,, Ъ2, Ьъ, ЪА, где 6, рассчитывается для эксперимента, в котором переменные установлены на своих верхних границах х1тш1, уішх, вершина Ь2 - по данным нижних границ хітіп, уітп, а вершины Ь3, Ь4 определяются по двум наиболее разнесенным в области переменной у экспериментальным точкам.
Тогда четырем вершинам Ь} соответствуют векторы 3. є А, определяющие четыре обратных модели и задающие коридор возможных ошибок обратной функции, т.е. ее интервал неопределенности Границы интервала неопределенности обратной функции определяются выражением Предсказанное значение рассчитывается по формуле х(у)-0.5{хтт(у) + хт у)}. (2.8) Преимущество интервального подхода состоит в том, что в отличие от статистического подхода, оба варианта расчета:
- непосредственное построение обратной модели;
- построение прямой модели и ее обращение приводят к одним и тем же результатам, однако второй подход предпочтительнее, т.к. он обеспечивает построение одновременно прямой и обратной интервальных характеристик. Проиллюстрируем схему применения двухэтапной процедуры построения обратной функции на данных примера 2.2, в котором был описан эксперимент по измерению вязкости окрашенной ткани с помощью спектрометра. Активный эксперимент проводился на трех уровнях значения вязкости (0;1;2) с повторением каждого опыта 12 раз. Диапазон изменения переменной у был определен по результатам параллельных опытов, ошибка установки уровней вязкости х была принята равной Ах = 0.05.
Интервальные экспериментальные данные представлены в таблице 2.2. Опытам в эксперименте соответствуют прямоугольные области неопределенности. Прямая интервальная модель в области эксперимента имеет вид (2.2).
Как было показано, границы коридора ошибок прямой модели имеют вид кусочно-линейных функций, образованных четырьмя экстремальными прямыми, коэффициенты которых задаются векторами 6,.,i = l + 4. Прямые участки, образующие коридор, построены по конечному числу экстремальных наборов точек. Учитывая взаимно однозначное соответствие между переменными, на основе модели (2.2) легко получить обратную интервальную модель которая в области эксперимента имеет вид и является искомой обратной функцией. Можно видеть, что в рассматриваемом экспериментальном диапазоне изменения переменных ширина коридора ошибок модели практически постоянна, а средняя линия, соответствующая точечному предсказанию, симметрична относительно границ. В таблице 2.4 представлены коэффициенты уравнений пяти прямых, формирующих коридор неопределенности прямой и обратной интервальных моделей. Точки bi,a„i = l + 4, задают границы прямой и обратной интервальных моделей, а Ь0 и а0 - центральную прямую. Координаты четырех ее вершин aj, представленные в таблице 2.4, были найдены по формулам таблицы 1.2 путем преобразования соответствующих вершин области В. В последнем столбце таблицы показано, какие экспериментальные значения использовались при расчете коэффициентов. В частности, модель №0 рассчитана по трем средним интервальным значениям переменных.
Интервальный подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем
Простейшая измерительная система предполагает измерение входного сигнала х с помощью единственного датчика. При наличии нескольких датчиков в зависимости от числа измеряемых величин измерительные системы разбиваются на два класса: однофакторные системы, многофакторные системы. Пусть имеется вектор измеряемых величин x=(xi...xp) и вектор показаний датчиков у={уі...ут). Тогда при: р=1,т=\ имеем однофакторную односенсорную систему, р=1,т 1 имеем однофакторную мультисенсорную системуЗадача градуировки многофакторных мультисенсорных систем, когда имеется вектор входных переменных х=(х]...Хр), которые необходимо измерять с помощью набора датчиков, определяемых вектором y=(yi...ym) и т р, является наиболее сложной. В этом случае среди т датчиков необходимо выбрать подмножество р датчиков, обеспечивающих наиболее точное предсказание вектора х. Условие совпадения числа датчиков в выбранном подмножестве с числом измеряемых величин диктуется требованием однозначности измерительного преобразования. Составной частью этой задачи является построение многофакторных моделей предсказания для каждого из датчиков, включенного в подмножество. Точечное предсказание вектора х получается в результате решения квадратной системы уравнений. Для определения ошибки предсказания в каждой точке необходимо найти область изменения решения при наличии ошибок в элементах матрицы системы.
Однофакторные мультисенсорные системы, рассматриваемые ниже, предназначены для измерения одной физической величины х с помощью т различных датчиков. Подобные системы используются, например, при контроле однородности физических полей, а также с целью повышения точности измерений за счет дублирования каждого измерения системой из т датчиков.
Задача градуировки однофакторных мультисенсорных систем возникает, когда одна входная величина х измеряется с помощью нескольких датчиков {уі-Ут}. Как составную часть она включает рассмотренную выше задачу построения градуировочной характеристики отдельного датчика и может быть решена с помощью рассмотренных выше методов построения прямой и обратной статических характеристик.
Задача включает следующие этапы в зависимости от сравнительных характеристик датчиков [179,180,183]:
- выбор «наилучшего» датчика для предсказания измеряемой величины х;
- исключение из заданного множества т «наихудших» датчиков и формирование подмножества к датчиков, сопоставимых по точности измерения;
- определение интегрированной характеристики исследуемой системы на основе выделенного подмножества к датчиков.
Допустим, что функции преобразования датчиков известны и задаются в виде: Предполагается, что получены N измеренных значений yf и их интервалы неопределенности, т.е. имеется совокупности значений ху и интервальных показаний датчиков где Xj - значение входной величины в у -ом наблюдении, [yf] - интервальное значение на выходе г -го сенсора в этом же наблюдении. Решение указанных задач основано на предположении, что каждый интервал неопределенности [yf] достоверно содержит неизвестное истинное значение выходной величины в данном опыте, т.е. выполняется условие [у{Р1П[у(;]] 0, VU \fj = \...N, (3.45) т.е. интервальные показания двух любых датчиков, полученные при одном и том же значении х;, пересекаются, причем это условие должно выполняться для всех N наблюдений. Если для некоторого датчика в каком-то наблюдении условие (3.47) не выполняется, это означает, что или имеет место выброс, или интервал для данного датчика указан неверно, т.е. указано заниженное значение ширины интервала неопределенности. Область совпадения значений всех трех датчиков А представлена на рисунке 3.13. Именно ей и принадлежит истинное значение. При этом «наилучшим», т.е. наиболее точным называется датчик с номером/?, для которого выполняется условие которое означает, что все интервальные наблюдения точного сенсора вложены в соответствующие интервалы остальных сенсоров. «Наихудшим», т.е. наименее точным, называется такой датчик с номером w, для которого выполняется условие
Геометрически условие (3.47) означает, что в любом наблюдении интервал наихудшего сенсора целиком накрывает интервалы всех остальных сенсоров.
Все сенсоры подмножества S, включающего к сенсоров, считаются эквивалентными по точности, если внутри исследуемого подмножества не существует наилучшего и наихудшего сенсора.
При любом подходе необходимо использовать приводимые ниже утверждения, определяющие связь между ошибками в прямой и обратной зависимостях.
Утверждение Пусть для выбранного датчика, описываемого прямой зависимостью у = f(x) получены данные градуировочного эксперимента (х7, означает интервал неопределенности истинного значения выходной переменной в опыте, у и у соответственно нижняя и верхняя граница интервала. Пусть f(x) означает любую оценку прямой функции /О) такую, что Дх) проходит через все интервальные наблюдения. Тогда справедливо неравенство
Решение задачи при интервальной неопределенности на параметры задачи
Выше было рассмотрено решение задачи оптимального управления при интервально заданных параметрах системы. Вместе с тем, с точностью до интервала может быть известен и вектор состояния или отдельные его компоненты. Рассмотрим решение задачи для случая, когда для описания объекта используется так называемая каноническая форма О
Такое описание позволяет достаточно точно описать динамику некоторых технологических процессов, движение летательных аппаратов и т.д.
Дальнейшее изложение будем вести для системы второго порядка, что позволит сделать его максимально наглядным и, в то же время, не снизит общность предлагаемого подхода [117,120-122].
Предположим, что а0 = к, где к- коэффициент усиления системы. Для удобства введем обозначения Л/л — Л/ш Л гу — V, Как и ранее будем искать решение задачи управления конечным состоянием с помощью управления и = u(t) для критерия (4.1) В зависимости от цели управления в этом случае выделяют задачи [11]: - приведения, когда требуется за фиксированное время Т = tk0 привести объект из заданного начального состояния х0 = x(t0) в конечное хк = x\h) , - разгона, когда требуется за фиксированное время Т разогнать объект с начальной скорости о=И о) До скорости к, т.е. обеспечить справедливость условия vfe) = ; (4.29) - сближения, когда требуется за время Т привести объект из заданного начального состояния 0 в конечное хк, обеспечив при этом изменение скорости с vo до скорости vk.
Известно [11,162], что оптимальное управление для приведенных задач, описания объекта (4.28) и критерия (4.1) можно найти аналитически с использованием методов вариационного исчисления [4], применив которые нетрудно показать, что оно определяется в соответствии с выражением где і - число граничных условий задачи. Таким образом, при единственном граничном условии (т.е. при решении задач приведения или разгона) оптимальное управление принадлежит классу постоянных функций: а при двух (т.е. при решении задачи сближения) - классу линейных функций В том случае, если с точностью до интервала известно: - значение параметра объекта, то получаем - соответственно нижняя и верхняя границы интервала возможных значений параметра к; - значение состояния объекта, то можно записать Предположим, что все приведенные интервалы не являются нуль-содержащими, т.е., например, что представляется разумным в силу того, что значения соответствующих интервалов, как правило, получаются в результате решения задачи идентификации. Поэтому нарушение, в частности, условия (4.35) свидетельствовало бы о получении при идентификации незначимых оценок параметров объекта. Очевидно, что на практике могут встречаться ситуации, когда интервальная неопределенность присутствует как при задании какого-либо одного параметра задачи, так и в произвольной их комбинации. Ниже будут рассмотрены особенности решения задачи разгона и сближения при интервальной неопределенности на значения различных параметров задачи. Применение методов вариационного исчисления при точно известных значениях параметров задачи разгона сводит ее решение к определению значения с0 в выражении (4.30), которое и задает значение оптимального управляющего воздействия с0 задачи. Прогноз состояния объекта. Использование выражения (4.30) для определения управляющего воздействия при интервально заданном параметре объекта и начальной скорости приводит к выражению т.е. искомое управление представляет собой интервал, причем Значения ки v0 известны с точностью до интервала, поэтому множество k,v не может быть рассчитано, а может быть определено лишь множество При этом Vlv представляет собой множество возможных значений прогноза скорости объекта в момент времени tk при реализации на множестве возможных моделей объекта множества возможных значений начальной скорости и управляющего воздействия, принадлежащего классу постоянных функций, область определения которых сформирована с учетом интервально заданных параметров задачи.
Нетрудно убедиться [118], что задает значение скорости v(tk) при реализации произвольного управления из интервала [с ] на объекте. Таким образом, и истинное значение скорости, и ее требуемое значение гарантировано принадлежит множеству Vky.
Важной характеристикой множества Vkv является его ширина и положение средней точки [120]. Для определения этих параметров предварительно докажем лемму.
