Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор подходов к исследованию и управлению в системах с неопределенностями 15
1.1. Основные модели описания линейных систем 15
1.2. Обзор основных положений робастной теории 18
1.2.1. Основные модели описания систем с неопределенностями 18
1.2.2. Основные подходы к исследованию робастной устойчивости 20
1.2.3. Основные положения ню-теории 23
1.2.4. Дискретная ню-теория 25
1.2.5. Основные положения /л-анализа и синтеза 25
1.3. Обзор современных подходов для решения задач робастного управления 27
1.3.1. Подходы нелинейного робастного управления 27
1.3.2. Подходы теории 29
1.3.3. Направления, связанные с параметрическим представлением класса стабилизирующих регуляторов и использующие оптимизационные и минимаксные задачи на основе матричных уравнений и неравенств типа лурье-риккати 31
1.3.4. Робастноеуправление на основе подходов теории дифференциальных игр 36
1.3.5. Робастная стабилизация на основе релейного синтеза 37
1.4. Выводы 38
Глава 2. Теоретическая разработка методики стабилизации на основе робастнои я-теории 40
2.1. Обзор подходов решения задач многокритериальной оптимизации 40
2.1.1. Метод свертывания векторного критерия 45
2.1.2. Принципы парето-оптимального управления 46
2.2. Разработка методики стабилизации на основе робастнои yl-теории с учетом двух заданных критериев качества 51
2.3. Выводы 59
Глава 3. Модификация алгоритма синтеза к робастного управления линейными стационарными динамическими системами с неконтролируемыми возмущениями 60
3.1. Модифицированный алгоритм синтеза робастного управления 60
3.2. Модельные примеры 66
3.3. Выводы 74
Глава 4. Разработка технологии стабилизации управляемого процесса 75
4.1. Модели систем, редуцированные на центральное инвариантное многообразие 75
4.2. Моделирование по экспериментальным данным 86
4.3. Технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества 95
4.4. Выводы 105
Основные результаты и выводы 106
Список использованных источников 108
Приложения 122
Приложение 1. Программный модуль расчета параметров робастногояоо-регулятора 122
Приложение 2. Программный модуль построения компромиссной зависимости 125
- Подходы нелинейного робастного управления
- Разработка методики стабилизации на основе робастнои yl-теории с учетом двух заданных критериев качества
- Модифицированный алгоритм синтеза робастного управления
- Технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества
Введение к работе
Актуальность. Синтез управления реальными техническими системами и промышленными объектами определяется как возможностью построения математических моделей управляемых процессов только с некоторой степенью точности в заданном классе, так и необходимостью учета нескольких заданных критериев качества и ограничений.
Моделированию систем по наблюдаемым экспериментальным данным посвящены работы X. Cremers, A. Hubler, J. P. Crutchfield, В. S. McNamara, Т. Kapitaniak, В. В. Астахова, А. Н. Павлова, Н. Б. Янсона, Е. В. Никульчева и др. Применение этих методов позволяет на основе анализа реконструированного фазового портрета, строить эволюционные уравнения в заданном классе систем. Однако эти исследования явно не ориентированы на управление моделируемыми объектами.
Задачи проектирования систем управления, обеспечивающие сохранение заданного высокого уровня успешного функционирования процессов при возможных изменениях внешних воздействий в рамках некоторого заданного класса, могут быть решены на основе робастной теории. Робастные методы являются альтернативой адаптивным методам в условиях априорной неопределенности моделей. Значительный вклад в развитие робастной теории внесли Я. 3. Цыпкин, Б. Т. Поляк, В. Л. Харитонов, G. Zames , В. A. Francis , J. С. Doyle, К. Glover и др. Решению различных задач на основе робастной теории посвящены результаты многих ученых (П. С. Щербаков, Е. И. Веремей, G. Zames , В. A. Francis , J. С. Doyle, К. Glover, В. R. Barmish, S. P. Bhattacharrya, M. Dahleh, P. P. Khargonekar, K. Zhou и др.). При использовании робастной теории в практических приложениях
задается, как правило, один критерий качества управления. Использование //«-теории позволяет минимизировать Яот-норму передаточной функции замкнутой системы от входов к контролируемым выходам и в результате синтезировать стабилизирующую систему управления с устранением отклонения процесса. Однако к реальным промышленным стабилизируемым системам автоматического управления предъявляется несколько критериев оценки качества функционирования, могут также задаваться и различные ограничения.
Таким образом, задача разработки методики робастной
^ стабилизации систем в условиях неопределенности моделей при
заданных критериях качества является актуальной задачей системного анализа и управления в промышленной отрасли.
Цель диссертационного исследования. Разработка методики
построения систем управления, обеспечивающих робастную Я»-
стабилизацию систем в условиях неопределенности моделей на
центральном инвариантном многообразии на основе построения
компромиссной зависимости по двум заданным квадратичным
^ критериям.
Задачи, решаемые в работе:
Обзор методов синтеза робастных систем управления и стабилизации.
Обоснованный выбор моделей и методов проектирования многокритериальных систем автоматического управления.
Разработка методики синтеза регулятора, обеспечивающего робастную Дю-стабилизацию при двух заданных квадратичных
' критериях качества.
4. Модификация и реализация в среде MATLAB/Simulink
алгоритма расчета параметров робастного регулятора.
Тестирование алгоритма и анализ результатов.
Разработка технологии регулирования, использующей предложенную методику и аппарат качественного моделирования систем по экспериментальным данным в выбранном классе моделей.
Практическое применение предложенных решений в промышленности.
8. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.
Методы исследования. В диссертации использованы методы
управления многосвязными объектами, робастной теории управления, теории нелинейной динамики, системного анализа и современные информационные технологии.
Объект исследования. Данные наблюдений экспериментального функционирования управляемого процесса промышленной системы; заданные требования к стабилизации и качеству управляемого процесса.
Предмет исследования. Методы обеспечения качества управляемого процесса в условиях неопределенности моделей при заданных критериях.
Научная новизна:
Разработана методика робастной Яю-стабилизации при двух заданных квадратичных критериях качества, основанная на решении системы линейных матричных неравенств.
Модифицирован алгоритм расчета параметров робастного Яда-регулятора, ориентированный на использование линеаризованных моделей с параметрическими неопределенностями, обеспечивающий стабилизацию на основе построения компромиссной зависимости по заданным критериям качества.
Разработана технология стабилизации управляемого процесса, использующая предложенную методику и аппарат
качественного моделирования линеаризованных систем,
редуцированных на центральное инвариантное многообразие.
Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием математических методов и алгоритмов, результатами компьютерного моделирования и экспериментальными исследованиями на реальном промышленном объекте, а также подтверждена апробацией и обсуждением результатов работы на научных конференциях.
Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в
t работе теоретических результатов создана методика, обеспечивающая
решение научно-технической задачи, имеющей существенное значение для промышленности — построение систем управления, обеспечивающих робастную стабилизацию при двух заданных критериях качества в условиях неопределенности модели.
Созданная технология внедрена для регулирования процесса
изготовления алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская
металлургическая компания». Результаты диссертационной работы
использованы в учебном процессе кафедры «Моделирование систем и
информационные технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» — Российского
государственного технологического университета
им. К. Э. Циолковского. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и
обсуждались на научных конференциях и семинарах: VI и VIII
Всероссийских научно-технических конференциях «Новые
ї информационные технологии» (Москва, 2003, 2005), XXX
Международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2004), I Межвузовском семинаре молодых ученых
«Задачи системного анализа, математического моделирования и обработки информации» (Москва, 2006).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6-й печатных работах, включая 3-й статьи в сборниках научных трудов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников из 134 наименований, приложения. Общий объем работы 127 с, из них 103 с. — основное содержание, включая 19 рисунков, 6 с. — приложение, 14 с. — список использованных источников.
В первой главе проведен аналитический обзор существующих подходов к управлению в системах с неконтролируемыми параметрическими или структурными возмущениями, обоснованно выбраны модели и методы исследования, уточнены задачи работы.
На основе анализа современных работ по решению задач стабилизации в условиях неопределенности моделей выбрана робастная теория управления. Рассмотрены ее основные положения. В значительной степени теорию робастного управления развивали зарубежные школы, однако, общие основы теории были сформулированы в статье А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина, в которой исследовались изменения фазовых траекторий «грубой» динамической системы при малых вариациях параметров дифференциальных уравнений.
Изложены понятия Дю-теории (G. Zames, В. A. Francis , J. С. Doyle, К. Glover), позволяющей рассматривать задачи с неопределенностью в частотной характеристике объекта, ограниченной в Яда-норме. Рассмотрены особенности данного подхода. Теория Яда-оптимизации (G. Zames) ограничена классом внешних возмущений из пространства Li, который представлен исчезающими функциями времени, альтернативой которой является
/і-теория (Е. Д. Якубович, А. Е. Барабанов, О. Н. Граничин, В. Ф. Соколов, М. Vidyasagar, М. Dahleh, J. Pearson, М. Н. Khammash, М. V. Salapaka, Т. Vanvoorhis и др.). В /гтеории класс внешних возмущений — произвольные ограниченные функции времени, а критерием оптимизации является максимум модуля отклонения регулируемой переменной. Выбран подход, задающий неопределенность моделей в параметрической или ограниченной матричной норме (В. A. Francis).
Рассмотрен математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей— ц-
I анализ (J. С. Doyle), в основу которого положено понятие
структурного сингулярного числа. Проанализированы результаты разработки вычислительно эффективных алгоритмов для решения матричных уравнений и неравенств (Ю. Нестеров, А. С. Немировский). Проведен анализ решений, полученных с использованием робастной теории (Я. 3. Цыпкин, Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков, Е. И. Веремей, В. R. Barmish, S. P. Bhattacharrya, М. Dahleh, P. P. bChargonekar, К. Zhou и мн. др.). Сделан вывод о
. перспективности эффективного применения робастного управления
для решения задач промышленности в условиях неопределенности моделей.
Проведена классификация методов робастного управления с целью выявления класса неопределенности в системах, идентифицируемых по экспериментальным данным.
При решении задач робастного управления принято различать классы параметрических и непараметрических неопределенностей.
> Модели параметрических неопределенностей отражают неточное
знание физических параметров управляемой системы.
Непараметрическими называют неопределенности в структуре объекта, наличие которых приводит к изменению порядка системы.
Дискретная Яоо-теория управления (P. A. Iglesias,K. Glover, V. Ionescu, М. Weiss, J. С. Geromel, P. L. D. Peres, S. R. Souza и др.) позволяет исследовать свойства стабилизирующего решения модифицированного уравнения Риккати и робастные свойства Ноо-регулятора по отношению к параметрическим неопределенностям математической модели объекта управления.
Робастное управление, представленное в работах
И. Н. Крутовой, В. Ю. Рутковского, А. М. Цыкунова,
В. О. Никифорова, О. И. Королевой, А. Л. Фрадкова, М. Krstic, I. Kanellakopoulos, P. V. Kokotovich, R. Smith, G. Dullerud, S. Miller и др., позволяет учитывать нелинейности динамических объектов.
Можно выделить научное направление, связанное с параметрическим представлением класса стабилизирующих регуляторов (М. Vidyasagar, В. A. Francis, В. А. Якубович, А. Е. Барабанов, М. М. Коган и мн. др.) и направление, использующее оптимизационные и минимаксные задачи и связанные с ними матричные уравнения и неравенства типа Лурье-Риккати (Т. Iwasaki, R. Е. Skelton, L. Xie, С. Е. de Souza, L. Y. Wang, W. Zhan, T. Basar, P. Bernhard, А. А. Первозванский, В. А. Брусин и мн. др.).
Существует решение задач синтеза робастного управления на основе подходов теории дифференциальных игр (I. Е. Petersen, D. С. McFarlane, P. Colaneri, J. С. Geromel, A. Locatelli, М. М. Коган).
В заключении делается вывод о том, что наиболее универсальным для использования в технологиях управления в промышленности являются методы Яоо-стабилизации, использующие матричные неравенства и линеаризованные модели с параметрической неопределенностью.
В конце первой главы сформулированы выводы. Вторая глава посвящена теоретической разработке методики стабилизации на основе робастной До-теории с учетом двух заданных квадратичных критериев качества.
На основе анализа методов синтеза робастных До-регуляторов для двух заданных критериев качества показана эффективность подхода, предложенного P. Gahinet, P. Apkarian, являющегося альтернативным 2-Риккати подходу. Особенность подхода заключается в том, что обобщенные алгебраические уравнения Риккати (известные из работ J. С. Doyle, К. Glover, P. P. Khargonekar,
у В. A. Francis по решению стандартных проблем Д> и До-управления в
пространстве состояний) заменяются неравенствами.
Рассмотрены подходы к решению многокритериальных задач. Выделены два основных подхода. Первый основан на введении дополнительных гипотез, с целью сведения многокритериальных задач к однокритериальным (Л. Г. Евланов, И. Е. Казаков, Н. Н. Моисеев, В. С. Пугачев и др.). Известно, что при таком подходе не всегда можно гарантировать качественный синтез управления. Второй
\ подход основан на использовании концепции множества точек
неулучшаемых решений — оптимальности по Парето. При этом строится область компромиссов, в которую попадают только неулучшаемые решения, т. е. те, в которых улучшение одной из целей приводит к ухудшению другой, а оптимальное решение необходимо искать на границе этой области (И. М. Соболь, Р. Б. Статников, Е. М. Воронов, А. Б. Пиуновский, В. Т. Грумондз, и др.). Обосновано использование проектирования Парето-оптимальных систем
) управления.
Разработана методика синтеза робастной стабилизации при двух заданных квадратичных критериях качества на основе построения
компромиссной зависимости, сводящая вычисление параметров регулятора к решению системы линейных матричных неравенств.
В конце второй главы сформулированы выводы.
Третья глава посвящена модификации алгоритма синтеза робастного управления линейными (линеаризованными) стационарными динамическими системами с неконтролируемыми параметрическими или структурными возмущениями.
На основе методики модифицирован алгоритм расчета параметров робастного Яоо-регулятора, ориентированный на использование в MATLAB 7.0, с пакетами LMI Control Toolbox 1.0.9, Simulink 6.0.
Приведены примеры использования разработанной методики и алгоритма синтеза робастного Яоо-управления, в системах с параметрической неопределенностью.
Показана эффективность предложенных решений двукритериальной задачи стабилизации.
В конце третьей главы сформулированы выводы.
В четвертой главе разработана технология стабилизации управляемого процесса на основе предложенной методики и аппарата качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие; проведен анализ синтеза робастного Яда-регулятора для системы управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская металлургическая компания».
Рассмотрены вопросы моделирования динамических систем по экспериментальным данным. Для построения линеаризованных моделей на основе геометрического анализа аттрактора, используется метод, предложенный Е. В. Никульчевым. Метод использует топологическую эквивалентность восстанавливаемого по
наблюдаемым данным фазового портрета и аттрактора динамической системы (теорема F. Takens). Для моделирования используются геометрические свойства решений дифференциальных уравнений: выделяются локальные области фазовых траекторий, близкие к периодическим, и строятся конечно параметрические преобразования, переводящие одну область в другую. В результате параметрической идентификации получаются дифференциальные уравнения систем по теореме Тураева, редуцированные на локальное центральное инвариантное многообразие. Показано, что на основании теоремы Гробмана-Хартмана, можно представить полученные уравнения в пространстве состояний.
Разработана оригинальная технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества, использующая методы Яда-стабилизации и аппарат качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие.
Для анализа эффективности предложенных решений решалась задача синтеза управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская металлургическая компания». Использование разработанной технологии регулирования позволило обеспечить заданные критерии качества при изготовлении слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063)
В конце четвертой главы сформулированы выводы.
В заключении диссертации приведены основные результаты и выводы.
Подходы нелинейного робастного управления
Один из подходов решения задач робастного управления параметрически и функционально неопределенными объектами в условиях внешних возмущений связан с использованием нелинейных обратных связей, обеспечивающих некоторое заданное качество
-28 управления для всех объектов класса. При этом говорят о нелинейном робастном управлении [36, 82, 98,99, 102, 105, 125 и др.] или сигнальной адаптации [122].
Решение различных задач, базирующихся на нелинейном робастном управлении, представлено в работах И. Н. Крутовой, В. Ю. Рутковского, А. М. Цыкунова, В. О. Никифорова, О. И. Королевой, А. Л. Фрадкова, М. Krstic, I. Kanellakopoulos, P. V. Kokotovich, R. Smith, G. Dullerud, S. Miller и др.
В работах [97, 105] предложено решение проблемы нелинейного робастного управления линейным параметрически неопределенным объектом по выходу. Причем в отличие от [105] в [97] процедура синтеза робастного управления не является итеративной и использует основной контур управления, при этом формирование нелинейной обратной связи основано на принципе сигнальной адаптации [122]. Для физической реализации управления в [127] предполагается использование производных сигнала обратной связи, что возможно за счет введения в структуру регулятора специального нестационарного фильтра.
В статье [82] возможность использования методов нелинейного робастного управления расширена на класс объектов с различными видами функциональных неопределенностей. Для сингулярно возмущенных систем получены условия применения нелинейного робастного управления. Показано, что алгоритм нелинейного робастного управления может применяться не только для параметрически неопределенных систем как в работах [36, 102, 105, 125], но и для систем функциональными неопределенностями.
Как известно, теория Д»-оптимизации ограничена классом внешних возмущений из пространства L2, который представлен исчезающими функциями времени, поэтому была сформулирована /г теория, в которой класс внешних возмущений — произвольные ограниченные функции времени, а критерием оптимизации является максимум модуля отклонения регулируемой переменной. Решению задач /i-теории посвящены работы Е. Д. Якубовича, А. Е. Барабанова, О. Н. Граничина, В.Ф. Соколова, М. Vidyasagar, М. Dahleh, J. Pearson, М. Н. Khammash, М. V. Salapaka, Т. Vanvoorhis и др. [31, 32, 29, 30, 117,118,119 и др.].
В работе [117] задачи верификации модели и оценивания весов возмущений реализованы в рамках -теории робастного управления, соответствующей основному сигнальному пространству /«, и нестационарным или нелинейным операторным возмущениям [31, 32]. Показано [117] , что в отличие от Яоо-теории робастного управления, где задача верификации модели со структурированной неопределенностью является достаточно сложной и в настоящее время остается нерешенной (согласно [47]), в /гтеории эта задача для любой модели в форме линейной стационарной дискретной системы сводится к проверке справедливости системы неравенств, порожденных данными измерений. Также установлено [149], что для модели с неструктурированной неопределенностью и с диагональным взвешиванием возмущений задача оптимизации весов возмущений сводится к задаче дробно-квадратичного программирования, а для модели с возмущениями несократимых множителей передаточной матрицы номинального объекта задача оптимизации весов возмущений сводится к задаче линейного программирования [11].
В статье [119] рассматривается задача синтеза 1\-субоптимального робастного регулятора для линейного дискретного скалярного объекта с ограниченным внешним возмущением и неструктурированным операторным возмущением по выходу и управлению. Показателем качества замкнутой системы управления считается наихудшее в классе допустимых возмущений значение /ос-нормы выхода объекта. В работе [119] дана геометрическая интерпретация задачи синтеза оптимального робастного регулятора и предложен алгоритм синтеза субоптимальных регуляторов. В отличие от работы [118], где операторные возмущения в объекте предполагались структурированными, в работе [119] они предполагаются неструктурированными. Такая модель операторных возмущений в частном случае одинаковой интенсивности возмущений по выходу и управлению получила широкое распространение в литературе по адаптивному робастному управлению. В случае неструктурированных операторных возмущений вспомогательная задача известного метода /-итераций может быть переформулирована в виде нестандартной задачи 1\ -оптимизации, заключающейся в минимизации максимума /і-норм двух различных функций стандартного вида. Для приближенного решения этой задачи используется обобщение предложенного в [29] метода Q-масштабирования решения стандартной задачи /(-оптимизации.
Разработка методики стабилизации на основе робастнои yl-теории с учетом двух заданных критериев качества
Пусть конечномерный линейный управляемый и наблюдаемый объект может быть идентифицирован по экспериментальным данным в пространстве состояний в виде:
х = Ах + Bxw + В2и,
z = Cxx + Dnw + Dnu, (2.1)
у = С2х + D2lw + D22u,
где хеШщ — вектор состояний системы, ueW2 — вектор управлений, WER1"1 — вектор неопределенности, характеризующий неточность модели, у є Ж 2 — вектор измеряемых выходов, z є Ш.1[ — вектор управляемых выходов системы, A,BvB2,CvC2,DxvDn,D2VD22 постоянные матрицы соответствующих размерностей. Необходимо отметить, что часто выполняется вполне реалистичное требование малости D\y=0 и Дг=0- Объект, заданный системой (2.1) — это объект, структурная схема которого представлена на рис. 2.2.
Робастный регулятор включается в контур подсистемы [Р21 Р22].
Неконтролируемые сигналы, проходящие по подсистеме [Рп Рп], должны быть эффективно подавлены.
Пусть матрица передаточных функций от входа w к выходу z (рис. 2.2) замкнутой системы будет иметь вид
Согласно известному определению [14], если задана некоторая величина у О, то система (2.1) стабилизируема через регулятор (2.2) в обратной связи со степенью у подавления неопределенности w, замкнутая система (2.1) внутренне устойчива и f J /» где Twz — матрица передаточных функций от вектора w к контролируемому выходу z в замкнутой системе. Величина /играет роль параметра, эту величину называют максимальным уровнем неопределенности, допускающим робастную стабилизацию, а ее оптимальное (минимальное) значение можно найти с помощью одномерного поиска.
Алгоритм подбора минимального у можно построить, последовательно проверяя существование положительно определенного решения уравнения (2.6) при различных значениях у.
Для данной задачи величина J{ равна До-норме передаточной функции линейной системы. Таким образом, с помощью подхода, основанного на решении линейных матричных неравенств (LMI) [19] можно осуществлять синтез робастного регулятора посредством Нт-оптимизации, с учетом критерия качества, заданного в виде (2.3а).
Для второго критерия качества Ji (2.36). Если уравнение Риккати имеет решение Y О, то J2 . у2.
Объединяя (2.5) и (2.7) в систему матричных неравенств, можно синтезировать управление, учитывающее критерии качества (2.3а, 2.36).
Предложено ввести коэффициенты ccva2, определяющие достижение минимальных значений соответствующих критериев качества при компромиссном решении, при этом 0 ах 1, 0 а2 1. На основе алгоритма, представленного в работах [19, 18], альтернативного 2-Риккати подходу, можно синтезировать #« -управление на основе решения системы линейных матричных неравенств. Известно, что множество решений этих неравенств используется для параметризации всех Ди-регуляторов. Синтез регулятора (с учетом двух критериев качества вида (2.3а, 2.36) осуществляется на основе множества решений (X, Y) симметричных матриц, удовлетворяющих системе матричных неравенств где p{X,Y) — спектральный радиус. Таким образом, как было сказано выше, можно синтезировать управление, учитывающее два заданных критерия качества, а для минимизации критериев качества необходимо найти минимальное значение ymin, при котором существует положительно определенное решение (X, Y) системы (2.8).
Модифицированный алгоритм синтеза робастного управления
В данной главе модифицирован алгоритм синтеза робастного управления линейными (линеаризованными) стационарными динамическими системами с неконтролируемыми параметрическими возмущениями. Приведены модельные примеры, иллюстрирующие применение разработанной методики и алгоритма.
На основе методики модифицирован алгоритм расчета параметров робастного Яоо-регулятора, ориентированный на использование в MATLAB 7.0, с пакетами LMI Control Toolbox 1.0.9, Simulink 6.0 [134]. Алгоритм включает 17 этапов:
1. Задать матрицы Р є R"1 "1, Q є І"1 "1.
2. Задать матрицы AeR" еМ«,52 еГ х"\С, єМ/Х\ С2 єК їХ\Яп єК Д2 єК іХИ2,Я2І eRhxm\D22 eRh%m\
3. Проверить выполнение требований Du=0,D!2[Dn С,] = [/ О],А2[АТ, ВТ{] = [1 0].
4. Вычисление базисов N]2 и N2l.
5. Выбрать точность решения є, задать количество итераций п.
6. Задать начальные значения ах = 0, а2=0.
7. Вычислить ахР, a2Q.
8. Сформировать систему линейных матричных неравенств матрицы Ас, Вс, Сс -і
9. Задать начальное значение у.
10. Решить систему линейных матричных неравенств, вычислить (R, S).
11. Уменьшить у. Перейти к шагу 10, пока не будет найдено у такое, что у -у є, где у - значение у на предыдущем шаге, причем решение (R, S) положительно определено. Присвоить у = у. Если решение (R, S) не найдено при у", то перейти к шагу 5, при этом увеличить количество итераций и/или уменьшить точность решения е.
12. Увеличить ах,а2. Перейти к шагу 7 пока ах \,а2 1.
13. Построить множество компромиссных решений у(ах,а2).
14. Выбрать оптимальное решение.
15. Вычислить решение (X, Y) системы, используя формулы
16. Вычислить матрииы по выражению
АС = А-В2В]Х-(/-y-2YXf YC\C2 + у %В]Х, Bc=(l-y-2YX) lYCr2, сс=-віх.
Провести имитационное моделирование с вычисленными параметрами Н -регулятора. На первом этапе предлагаемого алгоритма задаются матрицы PeR"xn,QeR"x", соответствующие интегральным критериям качества. В случае, если Р - 0 и Q = О рассчитываются параметры //«,-регулятора без учета критериев качества. На втором этапе задаются матрицы АеЖщхп\Вх бГХИ,52 єИГ С, eR x\C2 eRl ,Du є I 1, Dl2 є Rh2,D2l є К 21 ,D22 є M 22 линейной (линеаризованной) стационарной системы вида
х = Ах + Bxw + В2и,
z = Cxx + Dnw + Dnu, (3.1)
у = С2х + D2lw + D22u,
где хєЕ"1 — вектор состояний системы, ueR1"2 — вектор управлений, weR7"1 — вектор неопределенности, характеризующий неточность модели, у є R 2 — вектор измеряемых выходов, zel 1 — вектор управляемых выходов системы, A,Bl,B2,Cl,C2,Du,Dl2,D2l,D22 постоянные матрицы соответствующих размерностей. Эти матрицы могут быть заданы непосредственно проектировщиком или могут быть получены в результате параметрической идентификации системы по экспериментальным данным [129, 131]. На третьем этапе проверяется выполнение требований
Технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества
. Разработана оригинальная технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества, использующая методы Дю-стабилизации и аппарат качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие [134]. Технология включает пять этапов.
1.Проведение экспериментов и обработка исходных данных. Включает использование методов предварительной обработки данных и планирования эксперимента.
2. Восстановление фазового портрета системы. Построение методом Паккарда фазового портрета, топологически эквивалентного, по теореме F. Takens, аттрактору динамической системы.
3. Построение системы, редуцированной на центральное инвариантное многообразие и параметрическая идентификация линеаризованной модели. Используется геометрический метод, предложенный Е. В. Никульчевым для качественного моделирования динамических систем. Вычисление параметров линеаризованной модели происходит методом наименьших квадратов, реализованном в System Identification Toolbox 6.0.1 системы MATLAB 7.0.
4. Проектирование системы управления, обеспечивающей Hog-стабилизацию и заданные критерии качества. Применяются разработанные во второй и третьей главе методика и алгоритм управления с учетом заданных ограничений и критериев качества.
5. Реализация регулятора и внедрение. Обеспечивается ориентированностью модифицированного алгоритма на системы, применяемые в промышленности.
Для анализа эффективности предложенных решений решалась следующая задача синтеза управления процессом охлаждения алюминиевых слитков. Химический состав алюминиевых сплавов и температура, при которой он готовится, зависит от марки. Металл плавится в специальной печи. После готовности расплав перекачивается в другую печь (миксер) (см рис. 4.1), где отбираются пробы и при необходимости добавляются различные присадки.
Отливка круглых сплошных слитков из алюминиевых деформируемых сплавов в кристаллизаторы с тепловыми насадками ПН-10 допускается только после полной готовности расплава, оснастки, инструмента и рабочего места, а также соответствия режимов литья при данной технологии.
Рассмотрим работу литейной машины на примере отливки круглых сплошных слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063). Температура расплава контролируется по показаниям термоэлектрического термометра, расположенного в миксере и для литья слитков данного диаметра составляет от 690 С до 710 С включительно. Расплавленный металл через фильтр по литейному желобу поступает на поворотную раму с кристаллизаторами. В литейном желобе добавляется лигатурный пруток и отбирается жидкая проба для контроля газонасыщенности методом первого пузырька по ГОСТ 21132.0. На поворотной раме расположено 24 кристаллизатора цилиндрической формы в каждый кристаллизатор подается вода для охлаждения металла и газо-масляная смесь для получения более качественного слитка. Металл по желобам поступает в кристаллизаторы и начинает кристаллизоваться за счет охлаждения. Платформа, приводимая в движение электродвигателем, начинает опускаться со скоростью (скорость литья) от 90 до 100 мм/мин, пока не будут отлиты слитки необходимой длины.
Такие параметры, как температура расплава, давление и расход воды, скорость движения платформы и длина слитка визируются электроникой литейной машины и записываются на жесткий диск ЭВМ с периодичностью 1-3 секунды в файл.
Для слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063) расход масла составляет от 0,12 до 0,15 л/мин включительно, давление охлаждающей воды от 0,7 до 0,9 кгс/см включительно, расход охлаждающей воды должен быть в диапазоне от 1,6 до 2 л/с. Изменение расхода воды определяет качество изделия. Воздействие на процесс осуществляется управляемым клапаном. Необходимо с помощью дополнительного регулирующего контура обеспечить расход воды в заданном диапазоне. На рис. 4.2 представлен исходный процесс расхода воды при охлаждении слитков диаметром 190 мм длиной 4,5 м из сплава АД31 (6063). Видно, что расход воды выходит за пределы диапазона от 1,6 до 2 л/с.
