Введение к работе
Актуальность темы. Задачи улучшения и оптимизации управлений в динамических системах представляют одно из ключевых направлений современной математики с приложениями к робототехнике, квантовым вычислениям, химической кинетике, биосинтезу и т.д. Начиная с 1950 - 1960-х гг. в связи с запросами практики были разработаны и продолжают совершенствоваться различные методы решения задач оптимального управления в работах отечественных и зарубежных научных школ (В.Н. Афанасьев, В.А. Батурин, А.В. Булатов, О.В. Васильев, Ф.П. Васильев, Р. Габасов, В.И. Гурман, В.Ф. Демьянов, В.В. Дикусар, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.Ф. Кротов, И.А. Крылов, Н.Н. Моисеев, Б.Т. Поляк, А.И. Пропой, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, Т.М. Энеев и другие). В трудах А.И. Тятюшкина1, А.Ю. Горнова для решения задач оптимального управления разрабатываются различные многометодные технологии.
В работах В.Ф. Кротова2, В.А. Срочко3, А.С. Булдаева4 и учеников построены эффективные методы нелокального улучшения управлений, в которых улучшение производится без использования процедуры трудоемкого параметрического варьирования в достаточно малой окрестности управления.
Конструктивной основой нелокального улучшения управлений являются формулы приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений по переменным состояния и управления.
В классе линейно-управляемых нелинейных по состоянию дифференциальных систем А.С. Булдаевым был предложен новый подход5 к нелокальному улучшению, в котором получение точной формулы приращения основывается на введении специальной дифференциально-алгебраической сопрязюенпой системы, учитывающей фактор нелинейности. Диссертационное исследование посвящено развитию и обобщению данного подхода на новые классы нелинейных (по переменным со-
1Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992.
2Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996.
3Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.
4Булдяев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского государственного университета, 2008.
ьБулдаев А.С. Новый подход к оптимизации управляемых систем на основе краевых задач // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 87-94.
стояния и управления) задач оптимального управления в непрерывных и дискретных системах, включая задачи оптимизации управляющих параметров. Реализация развиваемого подхода связана с необходимостью решения специальных систем условий улучшения в функциональном пространстве управлений.
Цель исследования - разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных дифференциальных и дискретных систем в развитие и обобщение проекционного подхода.
Основные задачи исследования.
1. Разработка проекционных методов нелокального улучшения
управляющих функций и параметров в непрерывных и дискретных за
дачах оптимального управления со свободным правым концом.
-
Построение итерационных алгоритмов для реализации функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Получение условий сходимости последовательных приближений.
-
Разработка вычислительной технологии для решения рассматриваемых классов задач оптимального управления. Сравнительный анализ предложенных методов улучшения.
Методика исследования. Для разработки методов нелокального улучшения используется подход построения нестандартных формул приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений на основе модифицированных сопряженных систем. Для построения итерационных алгоритмов решения систем условий улучшения управлений используются методы функционального анализа решения задач о неподвижной точке. Сравнительный анализ эффективности методов проводится на известных в литературе тестовых задачах и прикладных моделях.
Научная новизна. Новыми являются:
-
разработанные проекционные методы нелокального улучшения в классах нелинейных систем;
-
необходимое условие оптимальности, усиленное по сравнению с дифференциальным принципом максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления;
-
итерационные алгоритмы для реализации операторных условий улучшения управлений и условия сходимости этих алгоритмов;
-
результаты численного исследования сравнительной эффективности новых методов улучшения и приложений для аппроксимации мно-
жеств достижимости.
Теоретическая ценность и практическая значимость. Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию методов решения классов нелинейных задач оптимального управления. Разработанный подход может быть использован для анализа более сложных классов нелинейных задач оптимального управления. Практическая значимость новых методов улучшения обуславливается проиллюстрированной высокой сравнительной эффективностью и возможностью улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Полученные в диссертации методы могут быть использованы для решения прикладных нелинейных задач оптимального управления, а также в учебном процессе для студентов математических специальностей.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертационное исследование ориентировано на разработку новых методов в области системного анализа, Диссертация соответствует формуле специальности 05.13.01 и ее областям 1 - «Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», 4 - «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации».
Достоверность результатов обеспечивается строгостью математического аппарата, цельностью и завершенностью диссертационного исследования и подтверждается вычислительными экспериментами.
Апробация работы. Основные результаты представлены автором на следующих научных мероприятиях:
семинары, конференции преподавателей Института математики и информатики ФБГОУ ВПО «БГУ» (г. Улан-Удэ, 2007 - 2011);
IX Международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященная 105-летию со дня рождения Н.Г. Четаева (г. Иркутск, 2007);
I, II, III Всероссийские традиционные молодежные летние школы «Управление, информация и оптимизация» (ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН; г. Переславль-Залесский, 2009, 2010; п. Ярополец, 2011);
Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (ИПС им. А.К. Айламазя-на РАН, г. Переславль-Залесский, 2009);
семинары Исследовательских центров процессов управления и системного анализа ИПС им. А.К. Айламазяиа РАН (г. Переславль-
Залесский, 2008, 2010, 2011);
- V Международный симпозиум «Обобщенные постановки и реше
ния задач управления» (Монголия, г. Улан-Батор, 2010);
III Международная конференция «Инфокоммупикационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал. 2010);
Российский семинар «Приближенные методы оптимального управления в приложении к квантовым системам» (ЙПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);
Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях» (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);
семинар отделения 2 «Методы управления и исследования операций» Института динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск, 2011).
Результаты представлены в отчетах по проектам РФФИ №№ 09-01-90203-Монг_а, 08-01-00945-а. В 2009, 2010 гг. диссертантом выиграны гранты №№ 09-01-16054-моб_з_рос, 10-01-09373-моб_з, 10-01-16016-моб_з_рос по программе «Мобильность молодых ученых» РФФИ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ, включая статьи в журналах, в трудах конференций, школ. Основными являются публикации [1-8]. Статьи [1 - 5] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общее количество страниц - 112, рисунков - 22, таблиц - 7, наименований в списке литературы - 152.
