Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор и анализ методов планирования эксперимента для построения математических моделей 14
1.1. Постановка задачи планирования эксперимента по выяснению механизма явления 16
1.2. Критерии оптимальности и способы сравнения планов эксперимента 18
1.3. Многокритериальные планы эксперимента 30
1.4. Методы планирования эксперимента, применяемые при построении математических моделей 33
Выводы 36
2. Разработка и исследование ортогональных D -оптимальных планов высоких порядков 38
2.1. Методика построения ортогональных "D -оптимальных планов для одной переменной 38
2.1.1. Математическая постановка задачи 36
2.1.2. Методика построения ортогональных D- оптимальных планов для одной переменной 39
2.2. Построение и анализ ортогональных D - оптимальных планов 2-8 порядков 43
2.2.1. Определение координат точек и - оптимальных планов 2-8 порядков 43
2.2.2. Вывод формульных зависимостей для определения параметров замен переменных и оценивания коэффициентов уравнений регрессии 47
2.2.3. Анализ разработанных ортогональных В- оптимальных планов 57
2.3. Методика построения ортогональных "D - оптимальных планов для IX переменных 64
2.3.1. Математическая постановка задачи 64
2.3.2. Методика построения ортогональных Ъ- оптимальных планов для Ґі переменных 65
2.4. Построение и анализ двух, трех и четырех Х факторных ортогональных Ъ - оптимальных планов для специального вида моделей 70
2.4.1. Построение двухфакторных ортогональных Ъ -оптимальных планов для специального вида моделей 70
2.4.2. Построение трехфакторных ортогональных Т-оп-тимальных планов для специального вида моделей 79
2.4.3. Построение четырехфакторных ортогональных D-оптимальных планов для специального вида моделей 82
2.4.4. Анализ и исследование разработанных планов 85
Выводы 96
3. Разработка и исследование кошозиционных ортогональных планов высоких порядков, близких к "D - оптимальным 98
3.1. Методика построения композиционных ортогональных планов для одной переменной 98
3.1.1. Постановка задачи 99
3.1.2. Методика построения композиционных ортогональных планов,близких к В-оптимальным,для одной переменной 99
3.2. Построение и анализ композиционных ортогональных планов,близких к D -оптимальным,для одной переменной 101
3.2.1. Построение композиционных ортогональных планов 3-8 порядков 101
3.2.2. Построение и исследование сеточных ортогональных: планов и сравнительный анализ их с композиционными ортогональными планами. 117
3.3. Методика построения многофакторных композиционных ортогональных планов высоких порядков,близких к В - оптимальным 126
3.3.1. Постановка задачи 126
3.3.2. Методика построения многофакторных композиционных ортогональных планов близких к D -оптимальным 126
3.4. Построение и анализ двух, трех и четырехфакторных композиционных ортогональных планов для специаль ного вида моделей 132
3.4.1. Построение двухфакторных композиционных ортогональных планов для специального вида моделей 132
3.4.2. Построение трех и четырехфакторных ортогональных композиционных планов для специального вида моделей 139
3.4.3. Анализ и исследование разработанных планов 146
Выводы 148
4. Экспериментальное исследование разработанных планов и методик 151
4.1. Постановка и решение задачи исследования динамики работы предохранительного механизма корпуса плуга 152
4.2. Решение задачи оптимизации параметров очистки зерно уборочного комбайна 168
4.2.1. Постановка задачи оптимизации параметров очистки зерноуборочного комбайна 169
4.2.2. Решение задачи оптимизации параметров очистки зерноуборочного комбайна 172
4.3. Представление передаточных функций полиномиальными моделями в задачах управления 182
Выводы 188
Список литературы 194
- Критерии оптимальности и способы сравнения планов эксперимента
- Определение координат точек и - оптимальных планов 2-8 порядков
- Построение двухфакторных ортогональных Ъ -оптимальных планов для специального вида моделей
- Методика построения многофакторных композиционных ортогональных планов близких к D -оптимальным
Введение к работе
„Стремление к изучению и оптимизации сложных систем стимулирует интенсивное развитие методов моделирования. Этому способствует успехи в создании мощных вычислительных систем, а также автоматизированных систем управления. В настоящее время существует боль -шое количество методов получения моделей. Наиболее популярными и эффективными являются статистические методы моделирования, представляющие собой совокупность методов многомерной статистики и методов имитационного моделирования'^ 24].
Методы многомерной статистики основываются на наблюдении за функционированием моделируемой системы и обработке результатов наблюдений. К ним относятся методы регрессионного, дисперсионного, ковариационного, факторного и компонентного анализа. Наблюдение за исследуемой системой может быть пассивным и активным. При активном наблюдении за поведением моделируемой системы весьма эф -фективным является применение методов и идей планирования эксперимента [40].
Наука планирование эксперимента появилась за рубежом в 40-х годах XX столетия. В ее развитии большую роль сыграли видные зару -бежные ученые такие, как Р.Фишер, Г.Бокс, ^.Кифер, Х.Хартли, Д. Финки, Дж.Вольфовиц, А.Волбран и другие.
В нашей стране планированием эксперимента начали заниматься в 60-х годах XX столетия. В развитии отечественной школы по планированию эксперимента большую роль сыграли видные советские ученые такие, как В.В.Налимов, Г.К.Круг, В.В.Федоров, Е.В.Маркова, Ю.П. Адлер» Ю.В.Грановский, В.З.Бродский и другие.
Методы планирования эксперимента (ШЭ) получили широкое распространение в химии, биологии, металлургии, радиоэлектронике и других областях науки и техники [5, 6, 23, 46, 48]. Такое широкое применение ШЭ объясняется тем, что они позволяют интенсифи -пировать труд исследователя, сократить сроки и затраты на прове -дение эксперимента, повысить достоверность выводов по результатам исследований.
Все многообразие задач, решаемых ШЭ, можно представить двумя основными классами. Первый класс задач - задачи поиска оптимальных условий протекания различных процессов. Цель эксперимента в этом случае заключается в определении таких значений входных уп -равляемых параметров, сочетание которых обеспечивает максимум некоторого выходного параметра. Этот класс задач в математической теории планирования эксперимента соответствует планированию экстремальных экспериментов. Второй класс задач - задачи нахождения математического описания и аппроксимации. Цель проведения эксперимента в данных задачах заключается в построении математической модели, описывающей исследуемый выходной параметр. Этот класс задач в математической теории планирования эксперимента соответствует планированию энсперимента по выяснению механизма явления.
При построении математических моделей физических объектов и процессов используются различные методы планирования экспери -мента. Среди них можно выделить статические методы планирования эксперимента, методы последовательного и дискриминирующего планирования эксперимента. Наибольшее распространение получили методы статического планирования эксперимента, предполагающие, что вид функции отклика известен априори. Применение метода статического планирования энсперимента предполагает использование готовых планов эксперимента.
В настоящее время имеется широкий спектр планов эксперимента для построения линейных по параметрам моделей с первого по третий порядок [18, 21, 22, 37]. Среди этих планов можно найти планы эксперимента, удовлетворяющие различным критериям оптимальности планирования эксперимента, для различного числа факторов и с различным числом экспериментальных точек. В зависимости от требований, предъявляемых к плану эксперимента, можно выбрать план с необходимым (удовлетворяющим экспериментатора) числом экспериментальных точек, а также с требуемыми характеристиками, приведенными в литературе [18].
Однако, при построении математических моделей сложных физических объектов и процессов требуются планы более высоких порядков. Это объясняется наличием существенно нелинейных зависимостей между входными и выходными параметрами объекта или процесса, а также требованием достижения заданной точности предсказания моделью результатов эксперимента. Необходимость разработки планов более высоких порядков была показана в работах [9, 64J. В этих же работах были разработаны и апробированы ортогональные планы эксперимента третьего и четвертого порядка, методика повышения порядка полиномиальных моделей, методика синтеза моделей высоких порядков. Все это расширило возможности применения метода статического планирования эксперимента при описании сложных физических объектов и процессов. Однако метод синтеза, позволяющий строить модели высоких порядков, основывается на использовании существующих планов, на их суперпозиции, что не позволяет получать оптимальные в статистическом смысле планы.
Поэтому является актуальной задача построения планов эксперимента высоких порядков, удовлетворяющих одновременно несколь-
ким критериям планирования эксперимента или близких к оптималь -ным по нескольким критериям.
Для сравнения качества планов в планировании эксперимента используются различные критерии оптимальности планирования эксперимента. Список этих критериев довольно велик, но наиболее часто используются критерии!)-, А-, Е-, 6 -, Q - оптимальности, а также ортогональности, композиционности и ротатабельности. Выбор конк -ретного критерия оптимальности планирования эксперимента является довольно сложной задачей. Поэтому желательно иметь планы экс -перимента, которые удовлетворяли бы одновременно нескольким критериям оптимальности планирования эксперимента. Такие планы называются многокритериальными. Примером многокритериальных планов яв -ляются полные факторные планы и их дробные реплики. Однако уже центральный композиционный план второго порядка не является "D-и &-оптимальным. Поэтому необходимо иметь планы, которые удовлетворяют нескольким критериям оптимальности планирования эксперимента. Исходя из анализа критериев оптимальности планирования эксперимента, можно сделать вывод, что наиболее предпочтительными критериями оптимальности планирования эксперимента являются критерии D - и Б -оптимальности и ортогональности.
Первой проблемой, рассматриваемой в диссертационной работе, является проблема разработки насыщенных ортогональных Ъ - и G--оптимальных планов высоких порядков. Выбор такого сочетания критериев оптимальности не является случайным. Он связан,с тем,что критерий "D - оптимальности является наиболее общим критерием , связанным с видом дисперсионной матрицы плана. В соответствии с этим критерием минимизируется дисперсия оценок коэффициентов уравнения регрессии. Критерий &-оптимальности минимизирует дисперсию оценки функции отклика. Критерий ортогональности позволяет оце-
но-
нивать коэффициенты регрессии независимо друг от друга, а главное исключает вырожденность дисперсионных матриц. Такое сочетание критериев оптимальности планирования эксперимента на наш взгляд является наиболее предпочтительным при построении математических моделей физических объектов и процессов.
Практика применения методов планирования эксперимента с целью построения математических моделей физических объектов и процессов показала, что во многих случаях вид математической модели невоз -можно предсказать заранее. В этом случае невозможно спланировать эксперимент оптимальным образом. В работе [її] предлагается определять вид модели (порядок аппроксимирующего полинома) на основе использования свойств дисперсий конечных разностей по экспериментальным данным одномерных и многомерных сечений поверхности отклика. Однако, это требует дополнительных экспериментальных затрат, что накладывает, в ряде случаев, ограничение на применение этого метода. Кроме того, при определении порядка аппроксимирующего полинома может произойти занижение порядка на единицу, что также приводит к дополнительным экспериментальным затратам. Применение композиционных планов эксперимента позволило бы сократить экспериментальные затраты.
Как уже указывалось выше,выбор критерия оптимальности планирования эксперимента для решения конкретной задачи представляет определенные трудности. В этом случае необходимо использовать робастные планы, которые являются близкими к оптимальным по нескольким критериям. Под близостью здесь понимается то, что значение функционала, соответствующего данному критерию оптимальности планирования эксперимента для выбранного плана, близко к значению функционала оптимального плана по данному критерию.
-и-
Робастный план может не являться оптимальным ни по одному из критериев оптимальности планирования эксперимента, однако он должен быть близким к оптимальным по нескольким критериям опти -мальности одновременно. Дня оценки близости выбранного плана к оптимальному в литературе [18] введены понятия!)-, А-, Е-, &- и Q - эффективности и в соответствии с введенными формульными зависимостями вычислены и приведены эти характеристики для различных существующих планов второго и третьего порядка.
Второй проблемой, рассматриваемой в диссертационной работе, является проблема разработки композиционных ортогональных планов высоких порядков,близких к Ъ - и 6- - оптимальным. Такое сочетание критериев оптимальности планирования эксперимента объясняется их преимуществами. Критерий композиционности позволяет сокращать экспериментальные затраты в случае, когда вид математической модели неизвестен, либо порядок модели определен неверно (занижен на единицу). Критерий ортогональности позволяет сокращать время обработки экспериментальных данных, оценивать независимо коэффициенты модели, исключать вырожденность дисперсионных матриц. Близость планов кТ)-и & - оптимальным позволяет получать хорошие статистические характеристики моделей.
Целью данной диссертационной работы является разработка и исследование многокритериальных и робастных планов эксперимента высоких порядков и соответствующего программного обеспечения для построения математических моделей физических процессов и объектов.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
Первая глава посвящена обзору существующих методов и критериев оптимальности планирования эксперимента для построения математических моделей сложных физических процессов и объектов.
В этой главе введены основные понятия планирования эксперимента, проведен анализ существующих критериев оптимальности планирования и выбраны критерии наиболее целесообразные при построении математических моделей. Введено понятие многокритериального плана эксперимента и приведены примеры многокритериальных планов эксперимента. Показана и обоснована необходимость построения многокритериальных и робастнък планов эксперимента высоких порядков с целью описания сложных физических процессов и объектов.
Вторая глава посвящена разработке методики построения ортогональных Ъ - и G-- оптимальных планов высоких порядков. В этой главе описана предложенная и разработанная методика построения многокритериальных планов эксперимента высоких порядков для одной и М переменных. Приведены разработанные ортогональные D- и 6-оптимальные планы эксперимента для построения полиномиальных моделей до 8-го порядка для одной переменной, неполных полиномиальных моделей до 12-го порядка для двух переменных» неполных полиномиальных моделей до 9-го порядка для трех переменных, неполных полиномиальных моделей до 8-го порядка для четырех переменных. Выведены необходимые формульные зависимости и показано, что построенные планы являются насыщенными симметричными ортогональными "D- и&-оптимальными. Проведен анализ построенных планов и приведены их характеристики.
Третья глава посвящена разработке методики построения композиционных ортогональных планов высоких порядков,близких к "D -и 6 - оптимальным. В этой главе описана предложенная и разработанная методика построения композиционных ортогональных планов высоких порядков,близких к D- и G-- оптимальным,для одной и ҐІ переменных. Приведены разработанные композиционные ортогональные планы,
близкие к "D- и &- оптимальным;для построения полиномиальных моделей до 8-го порядка для одной переменной, неполных полиномиальных моделей до 12-го порядка для двух переменных, неполных полиномиальных моделей до 9-го порядка для трех переменных, неполных полиномиальных моделей до 8-го порядка для четырех переменных. Выведены необходимые формульные зависимости и показано, что построенные планы являются симметричными,композиционными,ортогональнымиf близкими к Ъ- и 6- оптимальным. Проведен анализ построенных планов и приведены их характеристики.
Четвертая глава посвящена результатам экспериментального исследования и внедрения разработанных методик, планов эксперимента и программного, обеспечения в ВИСХОМе для проектирования новых, надежных и экономичных сельскохозяйственных машин и механизмов. В этой главе описано использование разработанных планов эксперимента для построения математических моделей, описывающих динамику работы предохранительных механизмов корпусов плуга, для построения математических моделей, описывающих вероятность одновременного срабатывания ЇЇі корпусов її- корпусного плуга. Решена задача оптимиза -ции параметров очистки зерноуборочного комбайна путем сведения ее к задачам линейного и нелинейного программирования и последующего их решения. Описан пример использования разработанных планов эксперимента для построения полиномиальных моделей по передаточным функциям с целью обеспечения решения задач управления в реальном времени.
Результаты диссертационной работы докладывались на 27 научно-технической конференции 1ШЖ С Москва, 1977); на УП Всесоюзной конференции по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях (Москва, 1983); на научно-технических семинарах в НИИАС
и на кафедре 12, МИШИ.
Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях [12,13,16,17,60].
Критерии оптимальности и способы сравнения планов эксперимента
Математические методы планирования эксперимента, применяемые при построении математических моделей физических процессов и объектов, можно разделить на два класса. Первый класс методов -это статические методы планирования эксперимента. Под статическим планированием эксперимента понимается априорное планирование всего эксперимента в целом. Эти методы планирования эксперимента применяются в том случае, когда вид математической модели известен из априорных сведений и требуется оценить лишь неизвестные коэффициенты модели. Тогда, в соответствии с выбранным критерием опти -мальпости планирования эксперимента, выбирается либо строится план эксперимента, по которому проводится эксперимент. После обработки экспериментальных данных оцениваются неизвестные коэффициенты модели.
Второй класс методов составляют методы последовательного планирования эксперимента. Под последовательным планированием эксперимента понимается планирование эксперимента поэтапно. Вначале планируется эксперимент, проводимый на первом этапе. В соответствии с планом эксперимента проводится его реализация и последующая обработка. В зависимости от полученных результатов обработки эксперимента первого этапа планируется проведение эксперимента второго этапа и т.д. Цель эксперимента, проводимого на первом этапе заключается в грубой оценке коэффициентов модели. Для этого достаточно построить невырожденный план, дающий однозначные оценки искомых коэффициентов модели. Бели после обработки данных и анализа модель оказывается неудовлетворительной, то планируется проведение эксперимента второго этапа. Планирование проводится таким образом, чтобы добавление экспериментальной точки к первоначальному плану улучшало значение оптимизируемого функционала с точки зрения выбранного критерия оптимальности планирования эксперимента. Таким образом получается новый план эксперимента. Если модель, построенная по новому плану оказывается неудовлетворительной, то отыскивается очередная новая точка и рассмотренные операции повторяются. Отыскание новых точек составляет суть планирования уточняющего эксперимента. Эксперимент прекращается, если построенная модель удовлетворяет экспериментатора. Если имеется возможность, то на первом этапе желательно выбирать оптимальный насыщенный статический план.
Основное отличие последовательного планирования от статического заключается в разбиении всего эксперимента на этапы и чередование планирования эксперимента с обработкой экспериментальных данных и анализом результатов. Последовательное планирование применяется как в случае когда вид функции известен, так и в случае когда искомая функция совпадает с одной из возможных заранее заданных функций. 5 последнем случае определение истинного вида модели достигается путем применения дискриминирующего планирования [38, 54]. Сущность такого планирования заключается в отыскании точек, в которых сравниваемые модели находились бы в критических условиях, то есть точек, в которых результаты измерений неинвариантны относи -тельно замены одной модели другой.
Эффективность применения дискриминирующего планирования определяется количеством конкурирующих моделей, наличием среди конкурирующих моделей истинной, выбором правила принятия решения при дискриминации моделей. В целях повышения экономичности планируемого эксперимента было бы целесообразно совместить задачу поиск оценок коэффициентов с задачей дискриминации. Однако, построение плана эксперимента» удовлетворяющего одновременно двум разным задачам, т.е. различным (противоречивым) критериям оптимальности является сложной и в общем случае неразрешимой задачей.
Методы последовательного и дискриминационного планирования эксперимента не получили широкого применения по причинам изложенным в работе [9] . Наиболее сложной и наименее разработанной является задача планирования эксперимента в случае, когда вид математической модели неизвестен. Вряд ли вообще возможно спланировать эксперимент, который позволил бы разрешить сформулированную задачу в целом. В работе[54]предлагается сводить ее решение к некоторой последовательной процедуре планирования экспериментов первых двух случаев. В работе [її J предлагается определять вид модели (порядок аппроксимирующего полинома) на основе использования свойств дисперсий конечных разностей по экспериментальным данным одномерных и многомерных сечений поверхности отклика. Однако в этом случае необходимо проводить дополнительный эксперимент для определения порядка аппроксимирующего полинома.
В подобных ситуациях ( при использовании полиномиальных моделей и отсутствии временного дрейфа) представляется более рациональным использование композиционных планов эксперимента, так как это позволяет уменьшать экспериментальные затраты. Щначале снимаются экспериментальные точки плана для построения модели первого порядка. Затем строится модель первого порядка и проводится ее анализ. Если модель не удовлетворяет экспериментатора, то к исходному плану добавляются экспериментальные точки для построения модели второго порядка. По полученным экспериментальным точкам строится модель второго порядка и проводится ее анализ.
Определение координат точек и - оптимальных планов 2-8 порядков
Задача планирования эксперимента заключается в построении шана эксперимента (выборе числа точек плана и расположения их в іакторном пространстве) таким образом, чтобы при использовании мини-іально возможного числа экспериментальных точек извлекать максимум нформации о поведении объекта. Если затраты на проведение экспери-іента велики, то желательно проводить минимальное число эксперимен-ов. Опыт применения методов планирования эксперимента для идентифика-[ии физических объектов [9, 64] показывает, что чаще всего вид мате-іатической модели нельзя предсказать заранее. Поэтому приходится троить математические модели различных порядков, а затем выбирать :одель наиболее удовлетворяющую экспериментатора. Либо определять ;орядок математической модели, проводя дополнительный эксперимент 10,її], однако, и в этом случае порядок может отличаться на ёдини-у от истинного.
Как правило, точки планов эксперимента для построения матема-ических моделей различных порядков отличаются друг от друга. Поэ-ому ставится задача построения таких планов, которые сохраняли бы кспериментальные точки плана низшего порядка. Такие планы называ-тся композиционными [43, 66, 75]. Применение композиционных планов озволяет сократить экспериментальные затраты в случае, когда поря-ок математической модели неизвестен, либо определен неверно. близких к D- оптимальным для одной переменной. Методику построения композиционных ортогональных планов высоких порядков для одной пере менной можно представить двумя этапами. Первый этап - определение координат точек композиционных планов высоких порядков,близких к Ъ - оптимальным. В качестве исходного плана предлагается принять "D - оптимальный план первого порядка с уровнями варьирования - I и +1. Исходя из анализа U - оптимальных планов высоких порядков, можно сделать следующие выводы. 1. Все Ъ - оптимальные планы имеют в своем составе уровни -I и +1; 2. Все планы четных порядков имеют в своем составе нулевой уровень; 3. Уровни располагаются симметрично относительно нулевого уровня.Уровни + I и 0 принимаются за основные, на базе которых строятся композиционные планы высоких"порядков. Построение,указанных выше(композиционных планов предлагается проводить следующим образом. Для получения плана третьего порядка, необходимо к точкам плана первого порядка добавить две точки. Обозначим координаты этих точек через -Х1 и + 4. Чтобы получить точки плана пятого порядка, необходимо к точкам плана третьего порядка добавить еще две точки с координатами -Xz и + Х . Аналогично для получения точек плана седьмого порядка, необходимо к точкам плана пятого порядка добавить еще две точки с координатами -Х3 и + Х3 и т.д. В одномерном пространстве число точек плана соответствует числу уровней варьирования. Чтобы получить планы второго, четвертого,шестого и восьмого порядков, необходимо к точкам планов первого,третьего, пятого и седьмого порядков добавить точку нулевого уровня. Затем составляем функцию, равную сумме определителей информационных матриц планов, взятых с весовыми коэффициентами. Значение функции зависит от значений определителей информационных матриц и значений весовых коэффициентов, что в свою очередь, определяется значениями уровней варьирования ±XLi±XZj±X3 и т.д. Решая задачу максимизации функции, определяем значения уровней ±Tij±XS-J±x3 и т.д., которые удовлетворяют композиционности построения планов высоких порядков и одновременно приближают эти планы к Ъ - оптимальным. Весовые коэффициенты предлагается выбирать следующим образом. Весовой коэффициент для определителя информационной матрицы плана порядка d равен величине обратной определителю информационной матрицы D - оптимального плана порядка d. . Второй этап - ортогонализация полученных планов. На этом этапе вводим замены переменных и определяем параметры замен переменных,исходя из решения системы уравнений. Вычислив параметры замен,перемен, переходим к построению матриц значений функций независимой переданной ортогональных композиционных планов. Затем получаем дисперси- нные матрицы и вычисляем их определители. Полученные значения опре-іелителей дисперсионных матриц сравниваем со значениями определите-іей дисперсионных матриц Ъ - оптимальных планов и определяем степень близости композиционных планов к Ъ - оптимальным планам. Методика юстроения ортогональных V - оптимальных планов была подробно описа-іа в гл. П. 3.2. Построение и анализ композиционных ортогональных планов, близких к "D - оптимальным,для одной переменной. 3.2.1. Построение композиционных ортогональных планов 3-8 по-)ядков.Т)- оптимальные планы первого и второго порядка удовлетворяют условию композиционноети построения, так как для получения точен їлана второго порядка необходимо к точкам плана первого порядка доба-зить точку нулевого уровня. Поэтому требуется построить планы порядка { 2, удовлетворяющие композиционности построения и приближающие эти шаны к D - оптимальным. Исходя из практического применения планов эысоких порядков, примем максимальный порядок плана равным восьми и юстроим ортогональные композиционные планы 3-8 порядков. Согласно методике, описанной в 3.1., для получения планов ретьего, пятого и седьмого порядков, необходимо к точкам плана пер-гаго порядка добавить соответственно две, четыре и шесть точек с ко- рдинатами ±Xt ,±Хг , ± Х3 . Чтобы получить планы четных поряд-сов, необходимо к точкам планов нечетных порядков добавить еще точку гулевого уровня.
Построение двухфакторных ортогональных Ъ -оптимальных планов для специального вида моделей
Для примера рассмотрим построение композиционного плана эксперимента в двухмерном пространстве с целью построения модели третьего порядка по первой переменной и второго порядка по второй переменной. Модель будет иметь следующий вид говорилось выше, в качестве уровней варьирования выбираются /ровни варьирования одномерных композиционных планов. В нашем призере уровни варьирования по первой переменной равны - ( -I; -0,590; 0; + 0,590; +1), по второй переменной уровни варьирования равны ( _І( о, +1). Образуя различные сочетания из этих уровней варьирования, получаем координаты точек двухфакторного плана эксперимента третьего порядка по первой переменной и второго порядка по второй переменной. На рис. 3.5 показано расположение экспериментальных точек для такого типа плана. Легко заметить, что число эксперимен -тальных точек в плане превышает число коэффициентов модели. Поэтому данный план является нвази-насыщенным. Максимальный порядок модели - неполный пятый. Используя этот же план монно оценить коэффициенты модели четвертого порядка по первой переменной и второго порядка по второй переменной. Для этого вида модели данный план является насыщенным.
Выбрав координаты экспериментальных точек композиционных планов, переходим ко второму этапу - ортогонализации матрицы значений функций независимых переменных. На этом этапе, аналогично ортогонализации матриц значений функций независимых переменных D - оптиілальньгх планов, вводятся замены переменных, предложенные ранее. Затем составляется система уравнений из решения которой находятся формульные зависимости для определения неизвестных параметров замен переменных. Подставляя значения координат точек плана в эти формулы, определяют численные значения параметров замен переменных. Заметим, что формульные зависимости для определения численных значений параметров замен переменных являются инвариантными для любых симметричных планов, каковыми являются D - оптимальные, композиционные и сеточные планы. Численные значения параметров замен переменных для различных планов различны. Это объясняется отличием координат экспериментальных точек этих планов. Найденные значения параметров замен переменных используются для получения ортогональной матрицы значений фуннинй независимых переменных. В табл. 3.10 представлена матрица значений функций независимых переменных с учетом численных значений параметров замен переменных для плана изображенного на рис. 3.5. Все вектор-столбцы в этой матрице являются попарно ортогональными, поэтому коэффициенты регрессии оцениваются независимо друг от друга. В связи с введением замен переменных, оценки коэффициентов уравнений регрессии получаются смещенными, поэтому после оценивания коэффициентов проводится их коррекция по соответствующим формулам.
Формульные зависимости для коррекции коэффициентов уравнений регрессии получаются путем приравнивания левых частей уравнений регрессии, записанных с учетом параметров замен переменных и без их учета. Заметим, что формульные зависимости, полученные для коррекции коэффициентов уравнений регрессии, полученным по ортогональным D -оптимальным планам являются справедливыми и для композиционных ортогональных планов, а также для любых симметричных планов.
Методика построения многофакторных композиционных ортогональных планов близких к D -оптимальным
С учетом введенных замен переменных составляется система уравнений для определения формульных зависимостей параметров замен переменных. Из решения этой системы находим формульные зависимости для определения численных значений параметров замен переменных, которые совпадают с формулами (2.29).
Подставив в формульные зависимости значения координат точек композиционных планов, получаем численные значения параметров замен переменных, которые отличаются от численных значений параметров замен переменных Ъ - оптимальных планов, что объясняется отличием координат точек композиционных и U - оптимальных планов. Подстановка численных значений параметров замен переменных в матрицу значений функций независимых переменных ортогонализует все вектор-столбцы этой матрицы.
Так как все вектор-столбцы матрицы значений функций независимых переменных являются ортогональными, то коэффициенты уравнения регрессии оцениваются независимо друг от друга по формуле (2.35). Полученные оценки коэффициентов регрессии являются смещенными из-за введения замен переменных. Поэтому необходимо проводить их коррекцию в соответствии с формулами (П.2.2)
В табл. 3.15 приведены значения определителей нормированных дисперсионных матриц трехфакторных ортогональных композиционных планов для построения различных видов моделей. Сравнивая значения величин определителей композиционных и D- оптимальных планов,можно сделать вывод, что построенные композиционные планы являются близкими к Т) - оптимальным.
Можно использовать для построения трехфакторных композиционных планов уровни варьирования однофакторных D - оптимальных планов до третьего порядка. В этом случае, если по какому-либо фактору порядок модели равен трем, то нулевой уровень не используется, то есть при построении модели экспериментальное значение в точке нулевого уровня не используется для вычисления коэффициентов модели. Таким образом можно получать насыщенные D - оптимальные композиционные планы для заданных видов моделей. Неиспользуемые точки нулевого уровня мокно привлечь для проверки точности модели.
Четырех- факторные композиционные планы до второго порядка по каждой переменной полностью совпадают с четырехфакторными Т) - оптимальными планами, описанными выше, поэтому на них останавливаться не будем.
Анализ и исоледование разработанных планов. Разработанные планы являются ортогональными композиционными близкими к "D -оптимальным. В связи с тем, что построенные планы являются ортогональными, коэффициенты уравнений регрессии оцениваются независимо друг от друга по формулам приведенным выше, причем время вычисления коэффициентов существенно сокращается по сравнению с традиционными методами. Матрицы планирования ортогональных композиционных планов никогда не бывают вырожденными. Ортогональность позволяет отбрасывать незначимые коэффициенты без пересчета остальных коэффициентов.
Дисперсия предсказания S д ъ точке X оценивается в соответствии с формулой (2.39), причем диагональноеть дисперсионной матрицы упрощает вычисление дисперсии предсказания од . Дисперсия оценок коэффициентов уравнения регрессии вычисляется по формулами.40).
В связи с тем, что построенные планы являются композиционными, ;меется возможность увеличивать порядок модели.. при незначительных іатратах на проведение эксперимента, так как в плане высшего поряд-:а используются все экспериментальные точки плана низшего порядка, іто позволяет сократить экспериментальные затраты до минимума.При ітом в качестве точек проверочной последовательности необходимо щбирать недостающие точки композиционного плана высшего порядка, ;оторые в дальнейшем могут быть использованы для построения модели ІНСШЄГО порядка. Такой подход к выбору проверочной последовательно-:ти позволяет (получать) извлекать максимум информации из экспери-іентальньк данных, а также сокращать до минимума экспериментальные іатратьі, что особенно важно при проведении дорогостоящего экспери-іента.
Как указывалось выше, при разработке композиционных планов ста-іилась задача создания планов, удовлетворяющих не только критерию [оппозиционности и ортогональности, но и близости этих планов к ) - оптимальным. Для оценки степени близости композиционных планов ; Ъ - оптимальным были вычислены коэффициенты степени близости юмпозиционных планов к Т) - оптимальным.
