Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Особенности исследования, многокритериальной оптимизации и моделирования многосвязных мехатронных систем управления высокой размерности 28
1.1 Многосвязные мехатронные системы как объект управления и методы их исследования 28
1.2 Анализ и основные направления развития технологий прямых корневых методов для исследования многосвязных мехатронных систем автоматического управления высокого порядка 46
1.3 Обзор и анализ работ по многокритериальному выбору параметров систем управления 67
1.4 Обзор и анализ результатов в области разработки программных средств для моделирования, исследования и оптимизации многосвязных мехатронных систем высокой размерности 77
Глава 2. Развитие технологии анализа многосвязных мехатронных систем высокой размерности 90
2.1. Оценки для границ локализации корней алгебраических уравнений .93
2.2. Оценки для границ локализации корней характеристического уравнения, основанные на использовании собственных чисел матриц 97
2.3. Метод локализации корней уравнений, основанный на понятии вычислительной разрешимости алгебраических уравнений 101
2.4. Методы выбора начальных приближений для итеративных алгоритмов отыскания корней алгебраических уравнений, основанные на теории поиска.. 106
Выводы по второй главе 113
Глава 3. Математическое моделирование технологии анализа многосвязных мехатронных систем высокой размерности 114
3.1. Сравнительный анализ различных методов локализации корней уравнений 115
3.2. Исследование эффективности разработанных классических методов построения областей локализации и выбора начальных приближений для итеративных алгоритмов отыскания корней алгебраических уравнений 133
3.3 Разработка алгоритмов решения алгебраических уравнений с кратными корнями, использующих регулируемую точность вычислений 148
Глава 4 Многокритериальная оптимизация параметров многосвязных мехатронных систем управления 154
4.1 Модернизации метода многокритериальной оптимизации для многосвязных мехатронных систем управления 154
4.2. Алгоритм решения задачи выбора показателей качества управления при многокритериальной оптимизации параметров систем управления 159
4.3 Примеры решения задач многокритериального выбора параметров простых мехатронных систем с помощью модернизированного метода многокритериальной оптимизации 161
Глава 5. Разработка комплекса программных средств для анализа, многокритериальной оптимизации и моделирования многосвязных мехатронных систем высокого порядка 177
5.1 Основные требования к программному комплексу для моделирования и исследования ММС 178
5.2. Разработка структурной схемы, принципа работы и основных подсистем программного комплекса "Анализ систем" 179
5.3. Основные алгоритмы программного комплекса "Анализ систем" 191
5.4. Пример использования программного комплекса "Анализ систем". 198
5.5. Программный комплекс для автоматизированного вывода математических моделей, исследования и многокритериальной оптимизации многосвязных мехатронных систем высокого порядка в программной среде MAPLE. 204
Выводы по пятой главе 211
Глава 6. Математические модели и многокритериальная оптимизация параметров систем управления манипуляционных и транспортных роботов 213
6.1. Математические модели манипуляционных роботов и многокритериальная оптимизация их систем управления 214
6.2. Математические модели транспортных роботов и многокритериальная оптимизация их систем управления 230
6.3. Разработка структурной схемы системы управления манипуляционными роботами на основе использования интеллектуальных технологий 245
Основные выводы и результаты диссертации 254
Список литературы 259
Приложение
- Анализ и основные направления развития технологий прямых корневых методов для исследования многосвязных мехатронных систем автоматического управления высокого порядка
- Оценки для границ локализации корней характеристического уравнения, основанные на использовании собственных чисел матриц
- Исследование эффективности разработанных классических методов построения областей локализации и выбора начальных приближений для итеративных алгоритмов отыскания корней алгебраических уравнений
- Алгоритм решения задачи выбора показателей качества управления при многокритериальной оптимизации параметров систем управления
Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что разработанные к концу 70-80х годов XX столетия усилиями зарубежных и отечественных ученых методы теории автоматического управления (ТАУ) позволяли исследовать процессы и синтезировать управляющие устройства для широкого класса систем управления. В то же время с конца 70х годов XX столетия объектом пристального внимания разработчиков становятся так называемые сложные, в том числе технические, системы. Эти системы состоят из большого числа динамически взаимодействующих элементов и описываются математическими моделями большой размерности. В качестве примеров таких систем можно привести — объекты с распределенными параметрами; экономические и экологические системы; энергетические сети; многосвязные мехатронные системы и т.д.
Все перечисленные примеры объединяет то, что для описания процессов в таких системах приходится использовать аппарат систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СДУ) большой размерности (десятки, сотни и даже тысячи).
Многосвязные мехатронные системы играют особую роль в развитии научно-технического прогресса. В состав таких систем входит большое число механически взаимосвязанных элементов, для управляемого перемещения которых используются системы приводов. К многосвязным мехатронным системам можно отнести: манипуляционные и транспортные роботы, мехатронные системы с параллельной кинематической схемой (робот типа "Гексапод" и высокоскоростные обрабатывающие центры), реконфигурируемые мехатронные системы, большие космические конструкции и т.д.
Успехи, достигнутые в последние годы в развитии нано- и микротехнологий, позволяют создавать новые типы сенсорных и исполнительных элементов различного назначения, что является предпосылкой к созданию нового поколения многосвязных мехатронных систем различного назначения.
В нашей стране в рамках концепции развития инновационного станкостроения и основных направлений развития машиностроения, утвержденных Постановлением Правительства РФ в 2004 г., развернут широкий спектр работ по совершенствованию и созданию новых мехатронных систем,
включая станки с ЧПУ, средства автоматизации, их компоненты и системы управления.
Прогресс в создании и разработке новых типов многосвязных мехатронных систем (ММС) в значительной мере определяется возможностями методов исследования процессов и синтеза управляющих устройств таких систем. Существующие методы, как правило, не позволяют решать задачи исследования устойчивости и качества, синтеза и моделирования систем управления многосвязных мехатронных систем. Поэтому крайне актуальной является задача создания новых и модернизации существующих методов исследования подобных систем.
В настоящей работе поставлена и решена задача создания комплекса технологий, позволяющих решать весь спектр задач, связанных с исследованием, синтезом и моделированием ММС.
Термин технология используется здесь для обозначения метода или совокупности методов, алгоритмического и программного обеспечения, позволяющих решать поставленную задачу.
В работе разрабатываются три группы технологий:
-
Технологии исследования устойчивости и качества ММС.
-
Технологии многокритериальной оптимизации ММС.
3. Технологии автоматизированного анализа, синтеза и
настройки параметров ММС.
Целью работы является разработка комплексного подхода к решению задач анализа и синтеза ММС на основе развития технологий, позволяющих решать задачи исследования устойчивости и качества, многокритериальной оптимизации и моделирования ММС высокой размерности.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
-
Определение наиболее перспективных направлений развития технологий прямых корневых методов для решения задач анализа и многокритериальной оптимизации ММС высокой размерности.
-
Разработка методов локализации корней характеристических уравнений ММС высокой размерности.
-
Разработка алгоритмов выбора наилучших начальных приближений для широкого класса итеративных алгоритмов отыскания корней характеристических уравнений ММС высокой размерности.
-
Разработка метода многокритериальной оптимизации параметров управляющих устройств ММС высокой размерности.
-
Разработка программных средств для автоматизированного анализа, многокритериальной оптимизации и моделирования ММС высокой размерности, удобных как для проведения научных исследований, так и в учебном процессе.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются математический аппарат теории разрешимости алгебраических уравнений, численные методы решения нелинейных и алгебраических уравнений, методы теории поиска, статистических испытаний, компьютерной алгебры, принципы организации интерпретаторов и компиляторов, теория графов, принципы построения интеллектуальных систем, в частности, экспертных систем.
Научная новизна диссертации состоит:
1. В развитии технологии анализа многосвязных
мехатронных систем:
разработана концепция вычислительной разрешимости алгебраических уравнений с действительными коэффициентами, позволяющая эффективно определять границы локализации корней алгебраических уравнений высокого порядка с кратными корнями, и выделены отдельные классы таких уравнений;
получены новые оценки для границ локализации корней характеристических уравнений систем управления, основанные на теоремах Гершгорина и Брауэра о локализации собственных чисел произвольных матриц;
предложен принцип оптимальности, предназначенный для формирования наилучших границ локализации корней алгебраических уравнений произвольного вида в виде круговых колец на комплексной плоскости;
разработан метод выбора наилучших начальных приближений для широкого класса итеративных алгоритмов отыскания корней характеристических уравнений линейных систем управления высокого порядка, основанный на модификации методов статического поиска.
2. В развитии технологии многокритериальной
оптимизации ММС:
предложен способ оценки степени корреляции основных критериев оптимальности при многокритериальной оптимизации параметров управляющих устройств;
разработана модификация метода построения точек
Парето в сечениях критериального пространства при многокритериальной оптимизации параметров управляющих устройств.
3. В развитии технологии автоматизированного анализа, синтеза и настройки параметров ММС:
предложен структурный подход к автоматизации математического описания ММС высокой размерности;
разработан принцип построения программного комплекса для автоматизированного анализа, исследования и многокритериальной оптимизации параметров ММС высокой размерности;
разработан программный комплекс нового поколения для исследования свойств широкого класса систем управления, реализующий разработанные в диссертации алгоритмы анализа и многокритериальной оптимизации параметров, одинаково удобный как для проведения научных исследований, так и в учебном процессе в вузах страны.
Теоретическое значение работы заключается в том, что разработанные в ней научные результаты обеспечивают комплексное решение задачи анализа и синтеза многосвязных линейных САУ высокой размерности за счет расширения возможностей технологий прямых корневых методов, повышения эффективности решения задачи многокритериальной оптимизации и разработки новых подходов к структурному моделированию сложных систем.
Практическая ценность работы. Практическая ценность результатов диссертационной работы заключается в следующем:
-
Разработанные технологии прямых корневых методов позволяют исследовать характеристики ММС высокой размерности, которые с помощью косвенных методов исследовать практически очень трудно, а иногда и невозможно.
-
Разработанные технологии многокритериальной оптимизации позволяют решать задачи выбора параметров ММС высокой размерности.
-
Разработанный метод многокритериального выбора позволяет более эффективно, по сравнению с существующими методами (например, методом обеспечения максимальной степени устойчивости), выбирать параметры управляющих устройств для широкого класса систем управления.
-
Метод вычисления коэффициентов корреляции основных критериев оптимальности позволяет при
многокритериальном выборе параметров управляющих устройств использовать наиболее информативные критерии, что обеспечивает повышение эффективности процесса оптимизации.
-
Разработанные технологии прямых корневых методов могут быть использованы для решения задач анализа и многокритериальной оптимизации широкого класса систем автоматического управления высокой размерности (робастные системы, системы с распределенными параметрами).
-
Разработанные программные средства позволяют комплексно решать задачи автоматизированного анализа, синтеза, многокритериальной оптимизации и моделирования ММС высокой размерности.
-
Разработанные в диссертации алгоритмы были реализованы в комплексах программных средств, которые удобны не только при проведении научных исследований и проектировании сложных динамических систем, но и в учебном процессе.
Реализация результатов работы.
1. Разработанное в диссертации алгоритмическое и программное обеспечение было использовано при создании систем управления промышленных роботов и сложного технологического оборудования в ходе выполнении ряда научно-исследовательских работ в различных организациях, а именно:
В Научно-исследовательском институте точного машиностроения (г. Зеленоград), НИР "Разработка методов и систем управления ГАП", "Разработка и исследование алгоритмического и программного обеспечения для управления сборочными и транспортными роботами", "Разработка программно-алгоритмического обеспечения для систем управления электроприводами транспортно-загрузочных модулей для производства СБИС" в 1985-1995 г.г. при создании систем управления транспортными и манипуляционными роботами семейства "Электроника НЦТМ" (манипуляционный робот "Электроника НЦТМ-30", транспортные роботы "Электроника НЦТМ -25" и "Электроника НЦТМ-25М").
В Московском военном институте радиоэлектроники космических войск— при проведении НИР по созданию перспективных образцов новой техники, предназначенной для войск ракетно-космической обороны.
В ООО "Автобан-Липецк" при разработке систем управления производством асфальто-бетонных смесей.
-
Разработанные автором научные результаты и программные комплексы вошли в состав работы, отмеченной премией Правительства Российской Федерации за 2000 год за создание учебно-лабораторных комплексов и программно-алгоритмического обеспечения для подготовки специалистов по робототехнике, мехатронике и автоматизации производства для технических высших учебных заведений.
-
Разработанный автором комплекс программных средств "Анализ систем" использовался в качестве базового средства в учебном процессе при проведении лекций, практических и лабораторных занятий, курсовом и дипломном проектировании в ряде вузов Российской Федерации:
В Московском государственном институте
радиотехники, электроники и автоматики (техническом
университете),
в Московском военном институте радиоэлектроники космических войск;
в Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского;
в Пятигорском государственном технологическом университете.
Акты о внедрении приведены в приложении.
Достоверность научных положений и выводов, полученных автором, подтверждается строгими, математически корректными доказательствами основных утверждений, проведением многочисленных серий численных расчетов, совпадением результатов численных тестовых испытаний с данными, полученными с помощью аналитических методов. Справедливость основных научных результатов подтверждается также их использованием в ряде конкретных разработок сложных систем управления.
Апробация работы.
Основные положения диссертационной работы докладывались на научно-технических конференциях МИРЭА (Москва, 1989, 1993^-2008 г.г.); на Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования (Ереван, 1984); на Российской научной конференции "Интерактивные системы" (Ульяновск, 1993); on Third International Scientific Conference (Symsung Electronics, Moscow, 1995); на Международном научно-техническом семинаре "Современные технологии в задачах управления и принятия решений" (Алушта, 1996); на Международной конференции "Информационные средства и
технологии" (Москва, 1996); на Международном научно-техническом семинаре "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (Алушта, 1997^-2007 г.г.); на Международном форуме "Информатизация 98" (Москва, 1998); на Научно-технических конференциях "Экстремальная робототехника" (Санкт-Петербург, 1997, 1998, 2001, 2004 г.г.); на научно-технической конференции "Современные научно-технические проблемы и направления совершенствования вооружения и средств информационного обеспечения войск РКО" (Москва, академия РВСН, 2001); на конференции "Современные информационные технологии в управлении и образовании — новые возможности и перспективы" (Москва, ФГУП "Восход", МИРЭА, 2001); на I Всероссийской конференции "Управление и информационные технологии" (Санкт-Петербург, 2003); на II Всероссийской конференции "Управление и информационные технологии" (Пятигорск, 2004); на I Всероссийской научно-технической конференции "Мехатроника, автоматизация, управление" (Владимир, 2004); на 7 Всероссийской научно-практической конференции "Экстремальная робототехника" (Санкт-Петербург, 2004); на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005); на 1-й Всероссийской мультиконференции по проблемам управления. Мехатроника, автоматизация, управление (Санкт-Петербург, 2006).
Публикации по теме диссертации
Результаты диссертационной работы опубликованы в 49 работах, из них 4 монографии, 25 тезисов докладов и докладов на различных российских и международных конференциях, в 18 статьях в различных журналах и научных сборниках, в том числе 11 статьях из перечня ВАК, одном учебном пособии, одном свидетельстве о регистрации программы в отраслевом фонде алгоритмов и программ.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 317 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации 337 страниц, 56 рисунков и 39 таблиц.
Анализ и основные направления развития технологий прямых корневых методов для исследования многосвязных мехатронных систем автоматического управления высокого порядка
Этот параграф посвящен решению важной задачи выбора и развития наиболее перспективных вычислительных технологий прямых корневых методов для отыскания решения алгебраических уравнений высоких степеней. Как известно, алгебраические методы исследования линейных систем управления молено разбить на два класса — прямые, заключающиеся в нахождении корней характеристического уравнения системы управления, и косвенные, не использующие в явном виде процедур нахождения корни характеристического уравнения.
Методы нахождения решений алгебраических уравнений можно разбить на два класса — прямые точные методы и прямые приближенные методы.
Прямые точные методы — это методы, основанные на нахождении решений уравнений с помощью конечного числа сравнительно простых вычислительных операций, например, арифметических и извлечения корней (радикалов) или других, более сложных операций.
Прямые приближенные методы образуют обширный класс численных методов, основанных на использовании различных итеративных процессов при нахождении приближенного значения корней. К их достоинству можно отнести универсальность, однако в силу плохой обусловленности очень часто имеет место расходимость итеративного процесса, вызываемая накоплением ошибок вычислений, особенно при высоких порядках уравнений.
Рассмотрим основные направления развития прямых точных и прямых приблиэ/сенных методов с целью определения задач, решение которых позволит повысить надежность процесса получения корней с одновременным повыгиением порядка алгебраических уравнении. Развитие прямых точных корневых методов.
Как известно, проблема разрешимости является ключевой при решении алгебраических уравнений. Исторически первой возникла проблема разрешимости алгебраических уравнений в сравнительно простом классе операций над коэффициентами уравнения - рациональные операции вместе с операцией извлечения корней. Эту проблему иногда называют классической [8]. Эрмиту и Кронекеру принадлежит постановка и решение частной задачи разрешимости уравнений в более сложном классе операций над коэффициентами уравнений (гиперэллиптические функции) [290, 294]. Существует и третья версия постановки и решения проблемы разрешимости уравнений в классе гипергеометрических функций [120, 121, 275]. Будем рассматривать первые два случая проблемы разрешимости как наиболее разработанные в настоящее время..
Классическая проблема разрешимости. Проблема нахождения решений алгебраических уравнений с помощью конечного числа рациональных операций над коэффициентами уравнения, включая операцию вычисления радикалов, привлекала внимание многих математиков. Решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах было получено еще в XVI столетии. Уравнения 3-й степени решили Тарталья и Кардан, 4-й степени —ученик Кардана Феррари. Многочисленные попытки самых блестящих математиков XVII и XVIII столетий—Декарта, Чирнгаузена, Эйлера, Безу—решить эту задачу для уравнений высших степеней—не увенчались успехом.
Решающий прорыв в решении проблемы принято связывать с Лагранжем, Руффини и Абелем. Важнейший результат получен Абелем (теорема о разрешимости). Теорема Абеля может быть сформулирована следующим образом [8]. Рассмотрим общее уравнение степени п над полем к где щ,...,ап —независимые переменные, принадлежащие полю к.
Теорема Абеля. Общее уравнение степени п 5 неразрешимо в радикалах для любого поля к характеристики 0. Напомним, что подполя поля комплексных чисел являются полями характеристики 0 [38].
Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был окончательно решен в работах Галуа [45]. Ключевым этапом теории, созданной Галуа, было введение понятий группы, разрешимых групп, групп Галуа. В частности, группа подстановок, не нарушающих все возможные соотношения между корнями общего уравнения (1.2.1), носит название группы Галуа (группы этого уравнения) [252]. Необходимые и достаточные условия разрешимости алгебраических уравнений доказаны Э.Галуа и могут быть сформулированы следующим образом [252, 177].
Теорема Галуа. Для того чтобы общее алгебраическое уравнение имело решение в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы его группа Галуа была разрешима.
При практическом использовании теоремы Галуа необходимо решить две проблемы: 1. Построение группы Галуа для общего алгебраического уравнения заданной степени п.2. Определение разрешимости группы Галуа уравнения.
Оценки для границ локализации корней характеристического уравнения, основанные на использовании собственных чисел матриц
В первой главе отмечалось, что проблема перечисления классов разрешимых уравнений для произвольной степени уравнений, основанная на концепции Абеля-Галуа, не имеет решения, по крайней мере, в настоящее время. Рассмотрим поэтому практически важную задачу изучения класса уравнений над полем действительных или комплексных чисел, которые обладают следующим свойством - для нахождения решений уравнения требуется конечное число арифметических и радикальных операций. Будем называть такие уравнения разрешимыми в вычислительном отношении [230]. Рассмотрим алгебраическое уравнение п — степени над полем комплексных или действительных чисел Нас будет интересовать в основном поле действительных чисел, поэтому в соответствии с теоремой Гаусса о корнях такого уравнения будет справедливой запись В (2.3.2) используются следующие обозначения: —осі —совокупность действительных корней уравнения (2.3.1), [i — \,k); . .—совокупность коэффициентов квадратного трехчлена, определяющая сопряженные комплексные корни уравнения yj = 1, тJ; і + 2т — п. Рассмотрим различные случаи: 1. Случай. Пусть уравнение (2.3.1) имеет единственный действительный корень а кратности п. Тогда выражение (2.3.2) принимает вид 101 В выражении (2.3.3) используется положительное значение ее. Это используется для более простой формы выражения, при практическом использовании учитывается знак корней. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х выражений (2.3.1) и (2.3.3) и запишем Рассмотрим следующий вычислительный алгоритм, состоящий из п — этапов. 1 этап. Вычисляем 4jan и присваиваем его а, т.е. (X = 4Jcin . Переходим к следующему этапу. 2 этап.
Проверяем справедливость равенства ап_\ = Сп (X и если оно имеет место, то переходим к следующему этапу; в противном случае вычислительный алгоритм завершается. 3 этап. Проверяем справедливость равенства ап_2 = Сп СС и далее как в п.2 и т.д. На последнем п -этапе проверяется справедливость равенства Таким образом, в случае выполнения всех п этапов алгоритма мы можем придти к выводу, что наше исходное алгебраическое уравнение имеет единственный корень а кратности п. Заметить, что для этого нам потребовались только те операции, которые необходимы разрешимости алгебраического уравнения в радикалах в классической постановке задачи. Эффективность этого алгоритма очевидна, особенно по сравнению с итеративными алгоритмами решения уравнений. 2. Случай. Пусть уравнение (2.3.1) имеет различные действительные корни а и Р кратности тик соответственно, причем т + к = п. Тогда можно записать Раскроем левую часть уравнения (2.3.5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной X, причем выпишем лишь следующие выражения Нетрудно видеть, что (2.3.6) представляет собой систему из четырех нелинейных уравнений относительно двух действительных переменных а и /3 и двух целых положительных переменных тик, стесненных условием m-vk — п. Пусть a, j3, т, к —есть решение системы уравнений (2.3.6). Тогда для проверки справедливости первоначального предположения о том, что исходное уравнение имеет действительные корни а и Р кратности тик соответственно, необходимо проверить справедливость ровно \п — А) равенств, аналогичных описанным в п. 1 и которые здесь не приведены. Разумеется, в данном случае мы выходим за рамки рациональных и радикальных операций, характерных для классической задачи о разрешимости уравнений, но описанный алгоритм имеет большую эффективность при отыскании кратных корней уравнений по сравнению с классическими итеративными алгоритмами. Следует заметить, что представленная схема нахождения решения предполагает вычисления с высокой точностью. Рассмотренный способ нахождения решения алгебраических уравнений, основанный использовании понятия вычислительной разрешимости, может быть распространен и на другие случаи -действительные корни кратности, большей или равной трем, кратные комплексные корни различной размерности. Следует, правда, заметить, что сложность алгоритмов при этом увеличивается.
Мы не будем приводить здесь соответствующие выражения для этих случаев, лишь подчеркнем, что использование подобного подхода, основанного на понятии вычислительной разрешимости уравнений, представляется крайне перспективным, поскольку позволяет построить новых класс вычислительных алгоритмов, имеющих атрибуты интеллектуальности. На необходимость построения подобных алгоритмов указывали еще такие признанные авторитеты как Дж.Х. Уилкинсон [234] и Дж. Трауб [212], полагавшие, что такие алгоритмы будут иметь большую эффективность по сравнению с чисто вычислительными версиями. Описанный способ нахождения решений уравнений может быть использован для очень узкого класса уравнений, имеющих кратные корни. Однако этот класс уравнений чрезвычайно сложно решать с использованием численных методов в силу плохой обусловленности. Представленная схема нахождения решения уравнений с кратными корнями может быть использована и для определения области локализации подобных уравнений.
Исследование эффективности разработанных классических методов построения областей локализации и выбора начальных приближений для итеративных алгоритмов отыскания корней алгебраических уравнений
Исследование эффективности разработанных в 2.1 и 2.2 методов построения областей локализации корней уравнений и выбора начальных приближений для итеративных алгоритмов нахождения корней алгебраических уравнений производится по следующей схеме. Для каждого из вариантов (тип уравнения, метод локализации и метод определения начального приближения) выполняется операция вычисления корней уравнения с выводом результатов вычисления (точность вычисления каждого из корней, количество операций, затраченное для нахождения решения либо время, затраченное на получение решения). Эти действия производятся с помощью программного комплекса ROOT, разработанного автором. Результаты расчетов сравниваются с расчетами, выполненными с помощью системы компьютерной алгебры МАРЬЕ — признанного лидера среди подобных систем. Результаты вычисления для каждого из полиномов заносятся в таблицы. Для некоторых вариантов приводятся распечатки для распределения корней на комплексной плоскости, полученные с помощью систем ROOT и МАРЬЕ.
С помощью программного комплекса ROOT можно исследовать эффективность предложенных в диссертации методов оптимального выбора начальных приближений — это оптимальная стратегия поиска. Альтернативной к оптимальной стратегии является стратегия поиска, основанная на выборе постоянных начальных данных (параметры р и q квадратичного трехчлена в методе Берстоу) для всех итераций — это неоптимальная стратегия. В рамках оптимальной стратегии исследуются два вида поиска — непрерывный и дискретный. В первом случае область локализации представляется в виде кругового кольца с центром в начале координат и наилучшими границами гт п и rmax, вычисляемыми с помощью оценок области локализации корней. Во втором случае область локализации подвергается операциям дискретизации, рассмотренным в 2.4. Наконец, для каждого вида поиска рассматриваются три варианта тактики поиска — равномерная, ЛПт, Уилкинсона. В первом случае используется процедура равномерного заполнения кругового кольца, основанная на генерации равномерно распределенных радиуса г, удовлетворяющего условию rmin — г — rmax и Угла принадлежащего интервалу [0,7Г\. Во втором случае используется ЛПт последовательности, наиболее равномерным образом заполняющие область локализации корней. Наконец, тактика Уилкинсона заключается в том, что угол (р является равномерно распределенным в интервале 0,/Z"J, а плотность распределения вероятностей радиуса г является неравномерной, причем она должна являться убывающей функцией аргумента г, например, линейной, что используется в данном исследовании.
Приведем результаты исследования различных вариантов полиномов, рассмотренных в 3.1.
Известно, что нули этого двухчлена расположены на окружности единичного радиуса, расположенной в начале координат комплексной плоскости.
Тестовые полиномы интересны с точки зрения определения эффективности новых методов и алгоритмов решения алгебраических уравнений. Были проведены многочисленные расчеты корней двухчленных уравнений для различных значений порядка п.
Моделирование показало, что с помощью системы ROOT можно получить решение двухчленных уравнений высоких порядков (до порядка 20000) за счет оптимального выбора начальных приближений.
Следующим классом полиномов, которые исследовались, были полиномы с кратными корнями. Первый пример - это полином 8-ой степени с единичным корнем кратности 8. В этом случае использование классических оценок локализации корней и итерационного метода Берстоу не дает возможность достаточно точного вычисления корней (табл. 3.2.6). Связано с плохой обусловленностью задачи. Использование метода локализации, основанного на вычислительной разрешимости в сочетании с регулируемой точностью вычислений позволяет надеяться на решении чрезвычайно сложной проблемы отыскания кратных корней численными методами (см. 3.3).
Алгоритм решения задачи выбора показателей качества управления при многокритериальной оптимизации параметров систем управления
Использование в методе многокритериальной оптимизации таблиц испытаний в сочетании с операциями сортировки столбцов этих таблиц позволяет довольно эффективно решить задачу определения зависимости критериев и определения среди них значимых (слабо связанных) критериев. При решении этой задачи будем частично использовать результаты [202, 201]. Для определения зависимости критериев будем использовать процедуру вычисления коэффициентов корреляции между ними. При этом используются данные таблицы испытаний (п.4.1) и известные факты из теории вероятностей [37]. Если х и у — произвольные случайные величины, у которых существуют конечные математические ожидания Мх и My и дисперсии Dx 0 и Dy 0, то коэффициент корреляции этих величин определяется выражением Как известно, r(x,y) = г(у,х). и -1 г(х,у) 1.. Если х и у независимы, то г{х,у) — 0. Для нас крайне важно следующее свойство коэффициента корреляции [37]: Условие г(х,_у) = 1 необходимо и достаточно для того, чтобы существовали постоянные CQ 0 и с такие,, что с вероятностью 1 имеет место линейная зависимость между X и у Случай с0 0 соответствует условию г{х,у) = 1, а случай CQ 0 — условию г(х, у) = — 1. — обозначают / — й и j — столбцы отсортированной матрицы испытаний, соответствующие /— му и у—му критерию. Тогда, если Гц близок к единице, например, Гц « 0,9, то весьма правдоподобно, что между критериями (функциями) с индексами і и j существует зависимость, близкая к линейной, и один из этих критериев можно из рассмотрения исключить.
Во всех других случаях между критериями есть зависимость, которая может и довольно слабой, особенно при Гц « 0. При практической реализации метода необходимо проводить испытания для достаточно представительной выборки тестовых испытаний. Рассмотрим выражения для вычисления коэффициентов корреляции между критериями под номерами / и j через вспомогательные переменные t J V Тогда используя эти выражения, можно записать формулу для вычисления коэффициента корреляции Гц между критериями под номерами /и j [201,37]: Представленный алгоритм позволяет находить количественные оценки взаимной зависимости критериев, по которым можно выбирать параметры систем автоматического управления различных классов. Примеры использования рассмотренного алгоритма выбора критериев в задачах многокритериальной оптимизации ММС приведены в 4.3. Описанная в 4.1 и 4.2 модернизированная версия метода многокритериальной оптимизации реализована в двух программных комплексах для решения задач многокритериального выбора параметров ММС. Первый программный комплекс предназначен для решения задач многокритериальной оптимизации ММС высокой размерности; этот комплекс реализован в программной среде МАРЬЕ. Описание структуры и возможностей комплекса рассмотрено в пятой главе, а примеры его использования для решения задач оптимизации ММС приведены в шестой главе. Второй вариант реализован в качестве модуля многопараметрической оптимизации программного комплекса "Анализ систем", предназначенного для решения задач моделирования и исследования широкого класса систем С помощью этой передаточной функции задается упрощенная динамика бокового движения важного класса мехатронных систем управления — промышленного транспортного робота [233].
