Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и общая постановка задачи 10
1.1 «Малоприводные» системы 11
1.2 Перевернутый маятник с инерционным колесом 14
1.3 Управляемый маятник Капицы 18
1.4 Маятник Стефенсона-Капицы с внутренними степенями свободы 21
1.5 Маятники Челомея 24
1.6 Маятник Фуруты 27
1.7 Задачи об управляемых движениях колебательных систем 29
1.8 Общая постановка задачи 30
1.9 Методы управления 33
2. Конструкции исследуемых малоприводных механизмов и постановка задачи .. 39
2.1 Анализ динамики и вывод математической модели перевернутого маятника на подвижной основе . 39
2.2 Анализ динамики и вывод математической модели робота-манипулятора с конечным бесприводным звеном... 52
2.3 Постановка задачи траєкторного управления 67
3. Синтез алгоритма управления траекторным движением 72
3.1 Общий подход к синтезу алгоритма управления траекторным движением 72
3.2 Синтез алгоритма управления траекторным движением 74
Алгоритм управления траекторным движением малоприводных механизмов вокруг прямолинейного отрезка предписанной кривой 80
4.1 Нормализованное представление прямолинейной траектории движения 80
4.2 Траекторное управление перевернутым маятником на подвижной основе 81
4.3 Траекторное управление двухзвенным роботом-манипулятором с конечным бесприводным звеном 94
Алгоритм управления траекторным движением малоприводных механизмов для случая, когда желаемая траектория задана отрезком (дугой) окружности 103
5.1 Нормализованное описание круговой траектории движения... 103
5.2 Траекторное управление перевернутым маятником на подвижной основе 104
5.3 Траекторное управление двухзвенным роботом-манипулятором с конечным бесприводным звеном 111
Заключение 119
Список литературы 121
- «Малоприводные» системы
- Перевернутый маятник с инерционным колесом
- Анализ динамики и вывод математической модели перевернутого маятника на подвижной основе
- Общий подход к синтезу алгоритма управления траекторным движением
Введение к работе
Новые задачи управления сложными кинематическими механизмами обусловлены появлением робототехнических систем нетривиальной конструкции, к которым относятся роботы избыточной структуры, шагающие и многоколесные механизмы, маятнико-подобные и гироскопические системы. Наряду с задачами управления избыточными роботами [9, 18,30, 60], для которых число управляющих входов превышает степень свободы механизма, возникают проблемы стабилизации и управления пространственным движением механизмов, у которых количество входов меньше числа степеней свободы [46-51, 53, 55, 62-63], т.е. недостаточно для реализации обычных режимов работы робота -стабилизации, программного или траєкторного управления. Тем не менее, несмотря на ограниченные функциональные возможности таких систем, они оказываются вполне пригодны для решения целого ряда специфических задач. К последним относятся задачи стабилизации положения неуправляемого конечного звена манипуляционного робота или робота нетривиальной конструкции (типа маятника на подвижной основе, например, маятника Фуруты, маятника Капицы, маятника Челомея), задачи стабилизации центра тяжести шагающего механизма [50, 53], стабилизации положения многоканальной гироскопической системы, а также соответствующие задачи поддержания их колебательных движений или траєкторного управления. При этом уменьшение числа входов и, следовательно, исполнительных устройств (приводов) положительно сказывается на энергетических, массо-габаритных и стоимостных показателях.
Модели таких многоканальных объектов представлены ниже, в главах 1 и 2. В зарубежной литературе вышеприведенные механизмы называются Underactuated Systems, что в переводе на русский язык означает «малоприводнные» системы. Изучению малоприводных механизмов и методам их управления посвящено много современных публикаций и научных докладов [46-55, 57-58, 62-63].
С точки зрения теории управления рассматриваемый класс механических объектов может быть отнесен к не полностью управляемым многоканальным многосвязным объектам, а соответствующие задачи управления - к задачам частичной стабилизации [12,31, 60].
Целью диссертационной работы является исследование динамических свойств и анализ малоприводных механизмов с двумя степенями свободы. В качестве примера выбраны механизм с поступательно-вращательной кинематической парой (перевернутый маятник на тележке) и робот-манипулятор с двумя вращательными звеньями, конечное из которых неуправляемое (привод на звене отсутствует). А так же конечным результатом работы является синтез алгоритма траєкторного управления, который включает в себя: анализ моделей малоприводных механизмов и их динамических свойств; отыскание задачно-ориентируемой модели в случае динамического описания малоприводного механизма; синтез общего алгоритма траєкторного управления малоприводным механизмом для различных типов траекторий. В диссертационной работе рассматривается задача управления траекторным движением кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. Конечным элементом кинематической цепи является бесприводное звено.
Анализируются проблемы управления движением многозвенных малоприводных роботов вдоль заданных гладких кривых (прямая, отрезок окружности), геометрия которых определяет как поступательное, так и вращательное движение конечного звена. Получены наиболее гибкие задачно-ориентированные решения проблем пространственного движения, связанные с линейными и угловыми отклонениями от требуемых соотношений, на основе методов нелинейной теории управления. Предлагается унифицированный подход основанный на методах согласованного управления (координации) [29]. Подход предусматривает формализацию задач движения в ограниченном пространстве в виде голономных соотношений, выходов системы и их исполнение за счет координации входных (управляющих) переменных. Использование вышеприведенного метода предполагает преобразование динамической модели малоприводного механизма в задачно-ориентированную форму, в которой динамика робота представлена в виде модели ортогональной ошибки отклонения конца конечного неуправляемого (бесприводного) звена от заданной в пространстве траектории движения. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления [31, 56, 60] предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.
В ходе выполнения работы получены следующие научные и прикладные результаты:
предложена общая схема анализа динамических свойств малоприводного механизма;
получена задачно-ориентированная модель в случае динамического описания малоприводной системы; синтезирован общий алгоритм управления траекторным движением, который позволяет устранить ортогональную ошибку отклонения от заданной траектории и обеспечить асимптотическую устойчивость;
построен алгоритм траєкторного управления движения двухзвенными малоприводными механизмами различной конструкции (перевернутый маятник на подвижной основе, двухзвенный робот-манипулятор с неуправляемым звеном) для различных типов желаемых траекторий.
Новизна научных решений.
Поставлена и решена качественно новая задача управления малоприводной системой - траєкторная задача. В отличие от известных решений задач стабилизации относительно неустойчивого (опрокинутого) положения равновесия неуправляемого конечного звена робота [46-55, 57-58, 62-63], решена задача стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.
Получена новая задачно-ориентированная модель ортогональной ошибки отклонения от желаемой траектории движения в случае динамического описания многоканального механизма.
Предложен новый оригинальный алгоритм управления траекторным движением, который позволяет устранить ортогональную ошибку отклонения конечного неуправляемого звена малоприводного механизма от заданной траектории. А так же предложен частный алгоритм управления траекторным движением кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом.
Практическая значимость.
Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в системах управления малоприводных механизмов различной конструкции, таких как перевернутый маятник на подвижной основе, двухзвенный робот-манипулятор с неуправляемым звеном и т.д., которые входят в лабораторное оборудование многих российских и зарубежных университетов. Вышеприведенные системы обладают существенно нелинейной динамикой, поэтому исследование возможности управления такими механизмами представляет интерес с точки зрения науки, практики и образования.
Работа выполнена на Кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики в рамках тематики работ лаборатории кибернетики и систем управления.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант 99-01-00761) и Комплексной программы 19 Президиума РАН (2001, раздел 1.4). Апробация работы. доклад на XXXI научной и учебно-методической конференции профессорско-преподавательского состава СПГИТМО (ТУ) Санкт-Петербург 2002 г. (Мирошник И.В., Чепинский С.А. Управление многозвенними кинематическими механизмами [34]). th доклад на 9 International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), St-Petersburg, 2002 (Chepinsky S.A. Trajectory control system for two-link underactuated mechanisms [51]). th доклад на 7 IFAC Symposium on Robot Control. September 1-3, 2003, Wroclaw, Poland (Miroshnik I.V., Chepinsky S.A. Trajectory motion control of underactuated manipulators. [5 8]). доклад на XXXIII научной и учебно-методической конференции профессорско-преподавательского состава СпбГУ ИТМО Санкт-Петербург 2004 г. (Мирошник И.В., Чепинский С.А. Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции. [35]). Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 5 работ [34, 35, 51, 57, 58]. Структура и объем работы.
Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список литературы, насчитывающий 63 наименований. Основная часть работы изложена на 125 страницах машинописного текста.
В первой главе кратко представлен аналитический обзор известных малоприводных механизмов, основных задач и методов их решения.
Для исследования возможности управления многоканальными малоприводными системами необходимо иметь дифференциальные уравнения, описывающие происходящие в них динамические процессы.
Вторая глава посвящена составлению математических моделей исследуемых систем (перевернутого маятника на подвижной основе и двухзвенного робота-манипулятора с неуправляемым звеном). По ходу исследования вводятся используемые в дальнейшем обозначения. Получены основные кинематические соотношения для роботов, которые рассматриваются как многозвенные механические цепи. Выполнен вывод уравнений динамики. Все результаты получены в компактном и наглядном виде благодаря использованию матричного представления. Сформулирована общая задача траєкторного управления.
Уравнения динамики, полученные в предыдущей главе, позволяют перейти к математическому описанию алгоритма управления. В третьей главе введены преобразования координат, задающие преобразования обобщенного пространства (#і,#2) и декартового пространств, а так же преобразования выходных координат объекта управления у = {у\,У2) в задачно-ориентированные координаты, представленные продольной переменной s и ортогональным отклонением конечной точки бесприводного звена от предписанной кривой е. Получена задачно-ориентированная модель ортогональной ошибки отклонения от желаемой траектории движения в случае динамического описания многоканального
механизма. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления [31, 56, 60] предложена методика синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.
В четвертой главе осуществлен алгоритм траєкторного управления для двух моделей исследуемых малоприводных механизмов в случае, когда желаемая траектория движения S представлена отрезком прямой. Дается нормализованное описание прямой [9]. Определяется ортогональная матрица Якоби. Находятся модели объектов управления в декартовом и задачно-ориентированном пространстве. Приведены результаты моделирования для различных начальных положений бесприводного звена.
В пятой главе осуществлен алгоритм траєкторного управления для двух моделей исследуемых малоприводных механизмов в случае когда желаемая траектория движения S представлена отрезком окружности радиусом R с центром в точке У° =\Уі У2)- Дается нормализованное описание окружности. Определяется ортогональная матрица Якоби для данного случая. Находятся модели объектов управления в задачно-ориентированном пространстве. Приведены результаты моделирования для различных начальных положений неуправляемого звена.
«Малоприводные» системы
Широкое распространение в современной промышленности получили автоматизированные комплексы, в состав которых входят сложные технические объекты, представленные группой связанных между собой подсистем или каналов управления. Наиболее распространенные типы исполнительных устройств - электро-, пневмо- и гидроприводы являющиеся преобразователями слабых информационных сигналов в механические перемещения органов управления.
В одноканальных объектах управления управляемый процесс характеризуется скалярной выходной, или регулируемой, переменной у и регулируется посредством одного исполнительного устройства с входом и. Связь выхода у = y(t) и управления и = u{t) задается математической моделью, которая в общем случае имеет вид: y = w(u), где w- функциональный оператор.
Для регулирования сложных процессов, характеризующихся несколькими выходными переменными yit применяются многоканальные исполнительные устройства с входными сигналами иг
В типичном случае число управляющих входов п равно числу регулируемых переменных и, следовательно, і = 1, п.
Каждой переменной уі ставится в соответствие входной сигнал и{, таким образом задаются прямые каналы управления.
Но в многосвязных объектах управления входные воздействия оказывают влияние сразу на несколько выходных переменных. Такие связи между каналами называются перекрестными и порождаются взаимодействием механизмов через обшую нагрузку.
В тех случаях, когда такие связи отсутствуют, многоканальный объект управления распадается на автономные одноканальные объекты.
В простейших многоканальных системах управление выходными переменными осуществляется с помощью автономных регуляторов, построенных по традиционным методам теории одноканальных систем. Автономное, или децентрализованное, управление оказывается эффективным лишь при условии, что каналы автономны, слабо связаны или их взаимодействием в силу заниженных требований к системе можно пренебречь. Например, при управлении координатным столом каналы управления можно считать автономными, так как внутренние перекрестные связи практически отсутствуют.
Для существенно многосвязных объектов требуются более общие методы управления - с построением многосвязных регуляторов, которые кроме каналов автономного управления содержат дополнительные перекрестные связи - внешние. Синтез таких регуляторов может быть осуществлен современными методами теории управления, предназначенными для решения как одноканальных задач, так и задач произвольной размерности. Применение таких регуляторов обеспечивает заданное качество функционирования многоканальной системы в целом и не исключает взаимного влияния каналов.
Однако, наряду с выше упомянутыми многоканальными объектами управления, для которых число управляющих входов ut, (і = \,ri) превышает (либо равно) число степеней свободы системы, существуют механизмы нетривиальной конструкции, у которых количество входов и,- меньше числа степеней свободы, то есть і = 1, п -1.
На практике это можно пояснить отсутствием электропривода на конечном звене робота-манипулятора. Перевернутый маятник на управляемой подвижной основе (тележке, виброподвесе) тоже является примером таких систем.
Перевернутый маятник с инерционным колесом
Новые парадоксальные явления динамической устойчивости неустойчивых состояний в статике были обнаружены В.Н. Челомеем в экспериментах с вибрирующими жидкостями и твердыми телами.
1. Устойчивое положение системы связанных "перевернутых" маятников с пульсирующей точкой подвеса.
2. Тяжелый и легкий шары в вибрирующей жидкости. Цилиндрический сосуд (труба), выполненный для удобства наблюдения из прозрачного материала, заполняется жидкостью, например водой. Затем в этот сосуд помещается сплошной шар или цилиндрическое тело из материала с удельным весом, превышающим удельный вес жидкости.
Шар тонет и занимает нижнее положение в сосуде. После этого сосуд устанавливается на вибрационном стенде и подвергается вертикальным колебаниям вдоль его оси. При достижении определенной интенсивности колебаний шар в сосуде всплывает. С увеличением интенсивности колебаний под шаром образуется воздушное пространство (каверна) с небольшим количеством жидкости, а остальная жидкость располагается над шаром. При этом система находится в устойчивом динамическом состоянии. Небольшое давление воздуха, создаваемое под шаром, легко поднимает его вверх вместе с жидкостью. При этом система устойчива и в этом новом положении. Устойчивое положение системы сохраняется и при переворачивании сосуда в вертикальной плоскости на 180. Подобный опыт можно осуществить с сосудом, в котором находятся несколько шаров. И в этом случае наблюдаются аналогичные явления: воздушные каверны образуются почти под каждым шаром с жидкостью над ними. Можно наблюдать обратное явление: цилиндрический предмет, легкий по сравнению с жидкостью, при вибрациях может тонуть. Во всех случаях система под действием вибраций стремится занять положение, близкое к состоянию с максимальной потенциальной энергией.
3. Незакрепленная шайба на вертикальном вибрирующем стержне с нижней шарнирной опорой. На прямой вертикальный стержень, имеющий одну шарнирную опору внизу, надета шайба с отверстием, диаметр которого несколько больше диаметра стержня. Под действием силы тяжести шайба падает. Однако, если придать шарнирной опоре этого стержня вертикальные колебания, шайба не падает, а остается почти в неподвижном положении на стержне, как бы в невесомости, стержень стоит почти вертикально (рисунок 1.6). Это объясняется действием усредненных вибрационных сил и моментов. Опыт легко обобщается на случай двух или более шайб, а также на случай больших зазоров между стержнем и шайбой.
Дифференциальные уравнения движения "перевернутого" маятника (стержня) с незакрепленной шайбой без зазоров при вибрирующей нижней точке опоры (рисунок 1.6) имеют вид: (Io+I\+mx2)x \+2mx \x 2+(k\/w)x\-(Ml i+mxz)(g/w acost)siwc\=0, х"г + (кг /w)x 2 -х2х\ + (g/w - a costjcos х\ = О, где 10 - момент инерции стержня (без шайбы) относительно оси вращения; Ii+mx22 - момент инерции шайбы; 1\ - собственный момент инерции шайбы; т - масса шайбы; лг2 — текущая координата шайбы, отсчитываемая вдоль стержня; JCI - текущий угол поворота стержня при колебаниях; 1 - длина стержня; М— масса стержня; 11 — расстояние от центра массы стержня до его оси вращения; к\Х\ — момент трения, создаваемый движением всей системы; к2хг - сила трения шайбы о стержень, отнесенная к массе шайбы; w -круговая частота вибрации шарнирной опоры; а — амплитуда вибрации. Предполагается, что а/1«\.
Эта сложная нелинейная система уравнений, описывающая движение рассматриваемой системы, до сих пор до «конца» не исследована и содержит члены с быстроменяющейся фазой. Методом усреднения исходная система дифференциальных уравнений сводится к четырем нелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка, не содержащим время в явном виде. Решениями этих уравнений будут функции, медленно меняющиеся во времени. В этом случае легко находятся квазистатические решения этих уравнений, дающие значения равновесных точек шайбы на стержне. Определение условий устойчивости шайбы относительно стержня также не представляет особых трудностей.
Анализ динамики и вывод математической модели перевернутого маятника на подвижной основе
Задачи обеспечения движения системы вдоль предписанных кривых, как объектов выходного пространства относятся к проблемам управляемого пространственного движения и имеют очевидную геометрическую природу. В данном разделе для класса малоприводных объектов управления анализируются геометрические свойства плоского движения в близости заданных подмногообразий, и на этой основе синтезируются алгоритмы управления. Основное внимание уделяется выбору преобразований выходных, управляющих переменных и переменных состояния, использованию дифференциальных свойств подвижного базиса поверхности, а так же частичной линейной аппроксимации моделей в малой окрестности заданного геометрического объекта (подмногообразия). Для иллюстрации особенностей подхода рассмотрены частные задачи организации движения вдоль плоских кривых.
Рассмотрим 2-х звенные малоприводные кинематические механизмы: двухзвенный робот-манипулятор с конечным бесприводным звеном и перевернутый маятник на тележке (рисунок 2.18).
Которые описывается в пространстве R (плоскости) обобщенных координат нелинейным дифференциальным уравнением типа Лагранжа. A{q)q + b(q, q) + c(q) = d{q)u, (2.36) где текущая конфигурация механизма однозначно определяется вектором обобщенных координат q = (q\,q2), которые характеризуют угловое или линейное перемещение / -ого звена относительно звена / -1; A(q) и b(q, q) - матричные функции обобщенных координат и их скоростей; и — обобщенный момент, создаваемый исполнительными устройствами (здесь -управляющее воздействие).
В декартовом пространстве R положение последнего (2-го) неуправляемого звена характеризуется вектором декартовых координат у = (у1,у2)н определяется уравнением y = Kq). (2.37)
Выражение (2.37) характеризует прямую кинематику робота. Вектор-функция h(q) определяется кинематической схемой механизма.
Уравнения (2.36)-(2.37) описывают манипулятор как многосвязный нелинейный объект управления с выходными переменными у;, переменными состояния q : и управляющим воздействием и.
Перемещение механизма в рабочем пространстве предписывается желаемой траекторией, которая может быть представлена в виде отрезков гладких кривых.
Введем в рассмотрение отрезок гладкой кривой S (рисунок 2.19), описываемый уравнением: р(у) = 0. (2.38)
Уравнение (2.38) задает в геометрическом пространстве R желаемую траекторию движения (пространственная кривая) неуправляемого звена.
Поведение многоканального объекта характеризуется также длиной гладкой кривой (пройденный конечным звеном путь) и находится по формуле: s = ys(y). (2.39) Здесь ср и у/ - гладкие скалярные функции.
Для анализа поведения многоканальной малоприводной системы (2.36),(2.37) по отношению к желаемой траектории движения S необходимо следующее понятие инвариантности.
Определение 2.1 Гладкое подмногообразие (желаемый отрезок кривой) S, множества выходов называется инвариантным (выходным) подмногообразием системы (2.36), (2.37), если найдется инвариантное подмногообразие системы (2.36) S zq такое, что для всех (q\,q2) S Рисунок.2.19 - Задачно-ориентированные координаты выполняется у = h(q) є S. Отметим, что описание кривой как гладкого геометрического объекта пространства R не единственно, и, следовательно, выбор функций д? и у/ не однозначен. Неудачное задание уравнений кривой может привести к усложнению процедуры синтеза и не реализуемости системы управления траекторным движением.
С другой стороны, при определенном выборе аналитического описания S можно существенно упростить решение рассматриваемой задачи управления.
Предполагается, что функции р и у/ гладкие и выбраны таким образом, что матрица Якоби преобразования
Общий подход к синтезу алгоритма управления траекторным движением
Целью траєкторного управления является формирование таких управляющих воздействий, которые обеспечивают асимптотически устойчивое движение малоприводного механизма вдоль желаемой траектории.
В разделе 2.3 была введена в рассмотрение ортогональная ошибка. Нарушение соотношения, выраженного уравнением (2.38), называется ортогональной ошибкой и обозначается как е.
Ошибка е характеризует ортогональное отклонение от отрезка траектории S, заданного в декартовой системе координат.
Продольное движение s и ортогональная ошибка е являются траекторными координатами движения конечного бесприводного звена механизма.
Таким образом, общая задача управления траекторным движением формулируется в следующем виде: необходимо найти управляющее воздействие, которое обеспечивает стабилизацию робота относительно гладкого отрезка траектории S, что подразумевает обнуление вектора ортогональных отклонений е.
При такой постановке задачи предполагается измерение обобщенных координат робота (линейных и угловых перемещений). На основании данных о местоположении механизма определяются продольное перемещение s и ортогональная ошибка е, а также их производные sue соответственно. Общая процедура построения алгоритма траєкторного движения включает в себя следующие этапы: преобразование модели объекта управления описанного с помощью вектора обобщенных координат к декартовым координатам; переход от декартовых координат к задачно-ориентированной модели, выраженной с помощью траекторных координат s и е; введение в рассмотрение новых задачно-ориентированных входных переменных fs и ue,u преобразование управления; синтез регулятора, решающего указанную выше задачу.
На первом этапе обозначается зависимость между обобщенными и декартовыми координатами, отыскиваются связи декартовых и обобщенных скоростей, и находится модель механизма в декартовом пространстве.
На втором этапе осуществляется нахождение траекторных переменных, на основании которых конструируется управляющее воздействие, а так же строится задачно-ориентируемая модель движения. Эта модель определяется посредством двойного дифференцирования по времени траекторных переменных.
На следующем этапе вводится локальный регулятор, позволяющий ликвидировать ортогональную ошибку отклонения. И, наконец, на последнем этапе синтезируется регулятор с целью решения поставленной траекторной задачи.
Как видно из вышеизложенного, нахождение управляющих воздействий представляет собой процедуру нахождения локальных законов управления, позволяющих устранить траекторные отклонения. Причем эти управляющие воздействия могут быть линейны по задачно-ориентированным переменным и нелинейны в исходном базисе координат. Достоинством данного подхода заключается в возможности использовать широко известный математический аппарат линейных систем в синтезе алгоритмов управления нелинейными системами.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
