Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи. Вспомогательные неравенства . 17
1.1. Модели резервируемых устройств 17
1.2. Одна задача динамического резервирования 20
1.3. Сигма-оператор. Сигма-уравнения и сигма-неравенства 24
Глава 2. Исследование свойств оптимальных стратегий 28
2.1. Исследование выпуклости функции Т{к,г) по к в системе Sm 28
2.2. Поведение функции к0(г) 31
2.3. Выводы ко второй главе 35
Глава 3. Выпуклость функции Т(г). Алгоритм поиска оптималь
3.1. Исследование знака выражения {а - I)2 Т{г + 1) 36
3.2. Оптимальность включения двух элементов до конца работы
3.3. Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования . 44
3.4. Выводы к третьей главе главе 47
Заключение 48
- Одна задача динамического резервирования
- Сигма-оператор. Сигма-уравнения и сигма-неравенства
- Поведение функции к0(г)
- Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования
Одна задача динамического резервирования
Решение задач динамического резервирования остается актуальным, поскольку чаще на практике используются два вида резервирования: нагруженное резервирование, когда все резервные элементы находятся в рабочем режиме, и ненагруженное резервирование, когда некоторое количество элементов находится в рабочем состоянии, остальные - в резерве; после выхода из строя одного из рабочих элементов, его заменяют исправным элементом из резерва. Ясно, что второй вид резервирования с позиции использования резерва более рационален, чем первый.
Однако, при использовании холодного резервирования на практике возникают определенные сложности. Это связано с тем, что требуется постоянный контроль состояния системы, чтобы знать, когда откажет рабочий элемент, и в случае отказа заменить его исправным из резерва. Если же в определенные моменты времени в системе существует возможность контроля ее состояния или если по крайней мере в некоторые моменты времени существует возможность подключения элементов из резерва, то использование динамического резервирования является весьма эффективным.
Исследования в области динамического резервирования до сих пор востребованы, поскольку его можно использовать при резервировании систем, в которых нет возможности постоянно контролировать состояния, а включение всех элементов сразу не является оптимальным с точки зрения оптимизации надежности системы. Прежде всего, динамическое резервирование необходимо использовать в системах, которые являются дорогостоящими или не подлежат ремонту. Это, например, космические станции, спутники, системы передачи информации. В связи с этим исследования в области динамического резервирования актуальны и в настоящее время.
Классическая постановка задачи динамического резервирования выглядит следующим образом. Имеется система, состоящая из одного основного элемента, параллельно которому может быть включено некоторое конечное число элементов того же типа. К моменту начала работы системы имеется г исправных элементов, среди которых один - основной. Система функционирует на интервале (0,Т). Через некоторый фиксированный промежуток времени А в моменты времени tk = к А, где к = 0,1,2,...,п, проводится проверка исправности включенных в работу элементов. Время на проверку и на включение новых элементов из резерва считается пренебрежимо малым и в дальнейшем не учитывается. На момент начала работы системы имеется г исправных элементов. Часть элементов, которые не включены в работу, находится в холодном резерве (т.е. эти элементы своего ресурса не расходуют). Отказ элемента, включенного в работу, не влияет на исправность других элементов. Обозначим через q вероятность отказа одного элемента на интервале длиной А, через р = 1 — q - веро 12 ятность безотказной работы одного элемента на этом же интервале длиной А. Стратегия управления резервом заключается в задании целочисленной функции 1 К (r, s) г, которая указывает, какое количество исправных элементов необходимо включить в работу при наличии г исправных, где s - вектор параметров системы. Требуется найти стратегию включения исправных элементов в моменты проверок, которая максимизирует вероятность безотказной работы системы на заданном промежутке (0,Т).
Для отыскания оптимальной стратегии в работе Герцбаха [4] используется метод динамического программирования. Кроме того, в этой работе получено достаточное условие оптимальности нулевой стратегии, согласно которой все исправные элементы включаются в работу. Этой же задачей занимались в своих работах Мандель А.С. и Райкин А.Л. [22, 29]. Однако, в перечисленных работах большинство свойств оптимальных стратегий были подтверждены экспериментально, но не доказаны теоретически. В работах Пестова Г.Г. и Ушаковой Л.В. [25, 26] был расширен перечень основных свойств оптимальных стратегий для модели резервирования, в которой в качестве критерия оптимизации выбрана вероятность безотказной работы системы на конечном промежутке времени, а также все полученные свойства были строго доказаны. Кроме того, Томиленко В.А. [35] получил обобщение некоторых результатов для модели резервирования с дробной кратностью.
Значительный интерес представляет изучение свойств оптимальных стратегий по критерию среднего времени на конечном и на бесконечном промежутках, а также построения алгоритма поиска оптимальных стратегий, универсального для моделей резервирования на конечном и на бесконечном промежутке.
Целью диссертационной работы является: 1) формулировка класса задач, для которых эффективно работает сигма-оператор; 2) доказательство общих свойств оптимальных стратегий для трех моделей резервирования; 3) исследование оптимальности нулевой стратегии на бесконечном промежутке по критерию среднего времени безотказной работы; 4) построение алгоритма поиска оптимальной стратегии, общего для трех рассматриваемых моделей резервирования. Краткое содержание работы.
В первой главе сформулирована постановка задачи для трех моделей динамического резервирования, рассмотрен частный случай описанной задачи, когда в систему можно включить не более (k+1) элементов и система работает исправно, если включено не менее k исправных элементов. Показано, что оптимальная стратегия для такой системы будет такова: если имеется не меньше, чем (к + 1) исправных элементов, то в работу включается (к + 1) элементов; если в данный момент имеется только к исправных элементов, то все они включаются в работу.
Сигма-оператор. Сигма-уравнения и сигма-неравенства
Параметрическая избыточность - метод повышения надежности системы с помощью введения запасов на случай изменения параметров системы. Режимная избыточность - метод повышения надежности систем путем введения в систему запасов на случай нагрузки, значительно превышающей номинальную. Временная избыточность - метод повышения надежности систем, предусматривающий использование избыточного времени. Информационная избыточность - метод повышения надежности систем, предусматривающий использование дополнительной информации. Функциональная избыточность - метод повышения надежности систем, при котором функции отказавших элементов принимают на себя исправные элементы. Структурная избыточность — метод повышения надежности систем, предусматривающий использование резервных элементов.
Остановимся подробнее на структурной избыточности, а именно на методе резервирования.
Наиболее распространенным методом повышения надежности на практике является резервирование. Резервирование представляет собой присоединение к элементу или блоку элементов системы одного или нескольких резервных элементов (блоков), которые в случае возникновения отказа основного элемента или блока элементов подключаются в систему вместо отказавших элементов и выполняют их функции.
По масштабам резервирования выделяют общее резервирование и раздельное резервирование. Общее резервирование состоит в резервировании объекта в целом, раздельное - в резервировании объекта по отдельным участкам. По соотношению количества основных и резервных элементов резервирование может быть кратным и некратным.
Кратностью резервирования называется отношение числа резервных элементов к числу резервируемых. На основе этого выделяют резервирование с целой и дробной кратностью. В связи с появлением резервирования стали возникать задачи оптимального распределения резерва с целью повышения надежности следующего вида:
1. Максимизировать выбранный показатель качества системы при заданных ограничениях на общие затраты, связанные с введением резервных элементов;
2. Достичь требуемого показателя качества системы при минимально возможных затратах на резервные элементы;
То есть по существу первыми задачами в теории оптимального резервирования были задачи оптимального распределения ресурсов [33, 37, 46]. Первые задачи в этом направлении, видимо, были сформулированы в [34, 49]. В настоящее время имеется множество работ, посвященных решению задач оптимального резервирования. Это работы Аврамченко Р.Ф. [2], в которой решается задача выбора оптимального расписания включений запасных элементов, Гаганова Г.Г. и Ивлева В.В. [3], в которой рассматривается решение задачи нахождения оптимального количества резервных элементов. В работе Герцбаха И.Б. [5] решается задача оптимального управления включением резервных элементов с использованием метода динамического программирования, в работе Алексеева О.Г. [1] излагается решение задачи оптимального резервирования аппаратуры при нескольких ограничениях с помощью метода динамического программирования. Также вышло учебное пособие Половко A.M., Гурова СB. [27], в котором рассматриваются вопросы выбора кратности резервирования систем с высоким уровнем надежности.
Поведение функции к0(г)
Если на иезервные элееенты накладылается болеб олного огроничения, то аналогичные задачи формулируются в таком виде: максимизировать некоторый показатель качества при условии, что суммарные затраты по каждому типу ресурсов не будут превышать некоторых значений, или на математическом языке:
По способу подключения элементов в теории надежности выделяют также задачи динамического резервирования. При динамическом резервировании элементы могут подключаться двумя способами:
1. когда распределение резерва проводится в каждый момент проверки в зависимости от состояния системы в этот момент;
2. когда распределение резерва проводится в заранее определенные моменты времени и во время функционирования системы не изменяется.
Задачи первого типа рассмотрены в работах [5, 19, 20, 22, 24-26, 29, 35, 43]. Задачи второго типа рассмотрены в [7], [18], [32] и [40].
Решение задач динамического резервирования остается актуальным, поскольку чаще на практике используются два вида резервирования: нагруженное резервирование, когда все резервные элементы находятся в рабочем режиме, и ненагруженное резервирование, когда некоторое количество элементов находится в рабочем состоянии, остальные - в резерве; после выхода из строя одного из рабочих элементов, его заменяют исправным элементом из резерва. Ясно, что второй вид резервирования с позиции использования резерва более рационален, чем первый.
Однако, при использовании холодного резервирования на практике возникают определенные сложности. Это связано с тем, что требуется постоянный контроль состояния системы, чтобы знать, когда откажет рабочий элемент, и в случае отказа заменить его исправным из резерва. Если же в определенные моменты времени в системе существует возможность контроля ее состояния или если по крайней мере в некоторые моменты времени существует возможность подключения элементов из резерва, то использование динамического резервирования является весьма эффективным.
Исследования в области динамического резервирования до сих пор востребованы, поскольку его можно использовать при резервировании систем, в которых нет возможности постоянно контролировать состояния, а включение всех элементов сразу не является оптимальным с точки зрения оптимизации надежности системы. Прежде всего, динамическое резервирование необходимо использовать в системах, которые являются дорогостоящими или не подлежат ремонту. Это, например, космические станции, спутники, системы передачи информации. В связи с этим исследования в области динамического резервирования актуальны и в настоящее время.
Классическая постановка задачи динамического резервирования выглядит следующим образом. Имеется система, состоящая из одного основного элемента, параллельно которому может быть включено некоторое конечное число элементов того же типа. К моменту начала работы системы имеется г исправных элементов, среди которых один - основной. Система функционирует на интервале (0,Т). Через некоторый фиксированный промежуток времени А в моменты времени tk = к А, где к = 0,1,2,...,п, проводится проверка исправности включенных в работу элементов. Время на проверку и на включение новых элементов из резерва считается пренебрежимо малым и в дальнейшем не учитывается. На момент начала работы системы имеется г исправных элементов. Часть элементов, которые не включены в работу, находится в холодном резерве (т.е. эти элементы своего ресурса не расходуют). Отказ элемента, включенного в работу, не влияет на исправность других элементов. Обозначим через q вероятность отказа одного элемента на интервале длиной А, через р = 1 — q - вероятность безотказной работы одного элемента на этом же интервале длиной А. Стратегия управления резервом заключается в задании целочисленной функции 1 К (r, s) г, которая указывает, какое количество исправных элементов необходимо включить в работу при наличии г исправных, где s - вектор параметров системы. Требуется найти стратегию включения исправных элементов в моменты проверок, которая максимизирует вероятность безотказной работы системы на заданном промежутке (0,Т).
Для отыскания оптимальной стратегии в работе Герцбаха [4] используется метод динамического программирования. Кроме того, в этой работе получено достаточное условие оптимальности нулевой стратегии, согласно которой все исправные элементы включаются в работу. Этой же задачей занимались в своих работах Мандель А.С. и Райкин А.Л. [22, 29]. Однако, в перечисленных работах большинство свойств оптимальных стратегий были подтверждены экспериментально, но не доказаны теоретически. В работах Пестова Г.Г. и Ушаковой Л.В. [25, 26] был расширен перечень основных свойств оптимальных стратегий для модели резервирования, в которой в качестве критерия оптимизации выбрана вероятность безотказной работы системы на конечном промежутке времени, а также все полученные свойства были строго доказаны. Кроме того, Томиленко В.А. [35] получил обобщение некоторых результатов для модели резервирования с дробной кратностью.
Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования
Модель Mi. Система Sm работает на конечном промежутке [0,п], где п -натуральное число, п 0. Для вычисления характеристик системы также необходимо знать распределение вероятностей отказов элементов за один шаг, если в работу включено к исправных элементов. Обозначим через F(к,г) вероятность следующего события: в работу включено к исправных элементов, из них за один шаг после начала работы системы отказало ровно %. Будем считать функцию F(к, i) известной. В качестве критерия оценки стратегии используем среднее время исправной работы системы. Обозначим через Т(г,п) математическое ожидание времени безотказной работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы, если в начальный момент имеется ровно г исправных элементов. Через Т(к,г,п) обозначим математическое ожидание времени безотказной работы системы при следующей стратегии: на промежутке [0, А] включается в работу к исправных элементов, а после первой проверки используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы. По определению системы Sm, имеем к т. Тогда по формуле полного математического ожидания [44], [48] имеем:
Модель М3. Пусть система Sm функционирует на промежутке [0,п], где п - натуральное число. Обозначим Т(к, г, п) вероятность того, что система не откажет на промежутке [0, п] при следующей стратегии: на первом шаге включается в работу к исправных элементов, а после первой проверки используется стратегия, оптимальная по вероятности безотказной работы системы, если в наличие имеется г исправных элементов. Будем считать известной функцию F(k,i)- вероятность следующего события: в работу включено к исправных элементов, и из них за один шаг вышло из строя ровно г. Обозначим через Т(г,п) вероятность исправной работы системы при стратегии, оптимальной по вероятности безотказной работы системы, если к моменту начала работы
Рассмотрим частный случай системы, описанной выше. Пусть задана система, в которой через фиксированный промежуток времени А в моменты t = 0, А, 2А, ... производится проверка исправности включенных в работу блоков. Часть блоков, не включенных в работу, своего резерва не расходуют. В моменты проверок некоторые блоки из резерва могут быть включены в работу, а блоки, включенные в работу, могут быть переведены в резерв. К моменту начала работы системы в наличии имеется г резервных исправных элементов, из которых в работу может быть включено не более (к + 1) исправных элементов. Система функционирует, если в работу включено не менее к исправных элементов. Вероятность безотказной работы включенного в работу исправного элемента за один шаг равна р, причем р 0.5. Вероятность отказа исправного элемента за один шаг равна q = 1 — р. Обозначим эту модель резервирования Sk+i-Требуется: найти стратегию управления резервом, оптимальную по критерию среднего времени безотказной работы системы на бесконечном промежутке; получить оценку времени безотказной работы системы при оптимальной стратегии управления резервом.
Рассмотрим две возможные стратегии управления резервом в модели Sk+i Стратегия 1: на первом шаге включаем (к + 1) исправных элементов, а на следующем шаге переходим к стратегии, оптимальной по критерию среднего времени безотказной работы. Обозначим математическое ожидание времени безотказной работы системы при стратегии 1 через Т(к + 1,г).
Стратегия 2: на первом шаге включаем к элементов, а после первой проверки используется оптимальная стратегия. Обозначим математическое ожидание времени безотказной работы системы при стратегии 2 через Т(к,г).
Через Т{г) обозначим математическое ожидание времени безотказной работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени безотказной работы при наличии г исправных элементов.
Вычислим среднее время работы системы Sk+1 при стратегии 1. Воспользуемся формулой полного математического ожидания [48]:
Значит предположение о том, что К0(г) = к неверно. Итак, К0(г) = к + 1, следовательно, Т(г) = Т(к + 1,г) и, значит, Т(к + 1,r) Т(fc,г). Иными словами, стратегия, при которой в начальный момент включено в работу (к + 1) элементов, предпочтительнее. Теорема доказана.
Следовательно, оптимальная стратегия для модели Sk+i такова: если имеется не меньше, чем (fc + 1) исправных элементов, то в работу включается (fc+1) элементов. Если в данный момент имеется только к исправных элементов, то все они включаются в работу.
