Содержание к диссертации
Введение
I. Стабилизация линейных объектов с помощью релейной запаздывающей обратной связи в условиях неопределенности 15
1. Постановка задачи 15
1.1 Понятие є и Re - устойчивости 15
1.2 Некоторые комментарии к вопросу существования решения основной системы 19
1.3 Основные обозначения 21
2. Локальная стабилизации простейших линейных систем - 22
2.1 Скалярный случай 22
2.2 Случай комплексно сопряженной пары собственных значений 24
2.3 Случай кратного вещественного собственного значения 25
2.4 Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений 27
3. Основная теорема о локальной стабилизации 29
3.1 Принцип доказательства 29
3.2 Расщепление системы 30
3.3 Выбор поверхности переключений 37
3.4 Алгоритм синтеза управления для общей системы , 39
3.5 Доказательство основной теоремы о локальной стабилизации 40
3.6 Следствия из основной теоремы 43
4. Идея алгоритма полуглобальной стабилизации 46
5. Полуглобальная стабилизации простейших линейных систем 52
5.1 Скалярный случай 52
5.2 Случай комплексно сопряженной пары 60
5.3 Случай кратного вещественного собственного значения 62
5.4 Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений 65
6. Основная теорема о полуглобальной стабилизации 67
6.1 Алгоритм синтеза управления для общей системы . 67
6.2 Доказательство основной теоремы о полуглобальной стабилизации 69
II. Релейные алгоритмы стабилизации различных техниче ских систем 73
1. Стабилизация механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия 73
1Л Случай консервативной механической системы . 75
L2 Случай диссипатишюй механической системы * . 77
L3 Нелинейный случай 83
2. Примеры стабилизации конкретных механических систем - 85
2.1 Перевернутый маятник 85
2.2 Двойной перевернутый маятник 88
3. Управление составом топливной смеси в камере сгорания инжекторного двигателя 94
3.1 Постановка задачи 94
3.2 Вспомогательные утверждения 99
3.3 Непрерывный алгоритм адаптации 101
3.4 Дискретный алгоритм адаптации 103
3.5 Методы повышения надежности предложенных алгоритмов 105
3.6 Численный пример 107
4. Активная стабилизация космического аппарата с упругими динамическими элементами и неопределенностями (без диссипации) 109
4.1 Постановка задачи 109
4.2 Приведение системы к регулярному виду 114
4.3 Синтез управления 116
4.4 Численный пример 117
Литература 124
- Некоторые комментарии к вопросу существования решения основной системы
- Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений
- Двойной перевернутый маятник
- Приведение системы к регулярному виду
Введение к работе
На протяжении всей истории теории автоматического регулирования особое внимание уделялось исследованию систем с разрывными управляющими воздействиями. В частности, на первом этапе для описания управляющего воздействия в системах с обратной связью высоко ценились релейные регуляторы. В последствии, они нашли свое применение практически во всех промышленных областях.
Причиной широкого распространения релейных систем управления послужили их следующие свойства:
простота реализации и эффективность;
экономичность и надежность релейных регуляторов;
робастность по отношению к внешним возмущениям (см. [45]);
достаточность наблюдения только знаков некоторых величин (см. [30], [361,(29]).
Первые работы по релейным системам появились еще в начале 30 годов. Например, в работе Г,Д. Никольского, датированной 1934 годом, предлагался релейный алгоритм для удержания корабля на заданном курсе [17], который в последствии дал толчок к развитию современной теории скользящих режимов управления.
Однако, первые серьезные теоретические обобщения большого количества систем и методов релейного управляющего воздействия вышли
в свет лишь после Второй мировой войны. Здесь наиболее заметными стали монографии И. Флюгге-Лотц [31] и Я.З. Цыпкина [24].
Существенную роль в изучении релейных систем управления сыграла теория Филиппова о дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью [22]. Именно она стала основой современной теории разрывных систем управления. Самыми известными разделами данной теории являются: теория систем с переменной структурой СВ. Емельянова [8] и теория скользящих режимов В.И- Уткина [45].
Теория о скользящих режимах, в настоящее время, получила широкое развитие. Она охватывает множество различных областей от чисто математических до прикладных.
Скользящие режимы могут возникать в системах с управлением как разрывной функцией состояния. Для достижения скользящего режима необходимо, чтобы управляющее воздействие переключалось с большой (теоретически бесконечной) частотой. Системы со скользящими режимами доказали, что они являются эффективным инструментом для управления сложными нелинейными объектами высших порядков. Это объясняет высокий уровень исследований и активность публикаций в данной области на протяжении последних двух десятилетий [10, 20, 21, 29, 36, 39, 40, 45] .
В тоже время, в реальных системах почти всегда присутствует время запаздывания, которое связано с инерционностью исполнительных и измерительных элементов системы управления. Оно не позволяет построить скользящие режимы в пространстве переменных состояния и приводит к потере точности, "болтанке" (chattering [45]), а с ростом запаздывания, к потере устойчивости и разрушению системы управления [9]. Поэтому, при синтезе релейного управления необходимо всегда принимать во внимание величину запаздывания.
В настоящее время, в теории управления, существуют следующие подходы для систем с запаздыванием:
построение алгоритмов компенсации запаздывания;
разработка методов контроля амплитуды колебаний.
Алгоритмы компенсации запаздывания создавались на протяжении последних 40 лет. Основа большинства современных предикторных методов была заложена в работах [44, 37].
В работе [38] было изучено свойство робастности предиктора Смита по отношению к неопределенностям в запаздывании. Полученное условие робастности было переформулировано Фурутани и Араки [32] в терминах запаса устойчивости.
В работе [42], используя аппроксимацию Паде, удалось осуществить компенсации] запаздывания, и тем самым свести задачу слежения к проблеме стабилизации неминимально-фазовой системы на скользящих режимах.
В работах [39, 40], были предложены методы построения скользящих режимов в пространстве предикторных переменных. Данный подход позволяет решить задачу синтеза модального управления. Однако, в работах [55], [41] было отмечена существенная неробастность предложенного алгоритма-Методы управления амплитудой колебаний для релейных систем с запаздыванием разработаны в значительно меньшей степени. Здесь можно отметить пропорционально-интегральный алгоритм амплитудного контроля для одномерной релейной системы с запаздыванием на входе, предложенный в работе [27], а так же исследования Л.М- Фридмана и Е.И. Шустина [23], посвященные качественному анализу поведения одной скалярной релейной системы с запаздыванием(СРСЗ). В последней, было
найдено необходимое и достаточное условие существования ограниченных решений СРСЗ, доказано, что ограниченные нетривиальные решения являются колебательными и найдена явная зависимость амплитуды колебаний решения от параметров системы и начальных данных, что позволило разработать адаптивный алгоритм управления СРСЗ, Данные результаты были затем ими расширены [43] на случай системы второго порядка с запаздывающим реле и малым параметром при старшей производной. Следует отметить, что все эти алгоритмы робастны лишь по отношению к неопределенностям в запаздывании, а малое внешнее возмущение приводит к потере устойчивости.
Кроме того, алгоритмов управления более сложными системами, чем скалярные, основанных на стабилизации амплитуды колебаний, до настоящего времени не предлагалось.
Другой особенностью современных сложных систем управления является нейтральность или неустойчивость объектов управления. Здесь можно отметить системы управления космическими аппаратами [2, 6], мобильными роботами[25] и др. Кроме того, большинство технических систем функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды. Все эти факторы необходимо учитывать при решении задач управления.
Целью данной работы является разработка алгоритмов синтеза робастного релейного управления с запаздыванием, применимых при решении задач управления сложными неустойчивыми или нейтральными объектами.
Структура работы. Работа состоит из введения и 2 глав.
Первая глава - теоретическая. Она посвящена разработке алгоритм мов стабилизации конечномерных линейных объектов посредством ре-
лейной обратной связи с запаздыванием,
В параграфе 1 осуществляется детальная постановка практических задач локальной и полуглобальной стабилизации: рассматривается линейный объект управления со многими входами и многими выходами; описывается класс релейных систем управления; вводится понятие є и Re- устойчивости; дается объяснение введенных понятий и приводятся основные обозначения.
Второй параграф посвящен проблеме локальной стабилизации про-стейиіих линейных систем, В нем рассмотрены четыре основных случая: случай скалярной линейной системы, системы второго порядка с комплексно сопряженной парой собственных значений, случай кратных вещественных собственных чисел и кратных комплексно сопряженных пар. Для этих систем установлены достаточные условия локальной стабилизации амплитуды колебаний решения в некоторой, наперед заданной, окрестности неустойчивого положения равновесия и соответствующие леммы о локальной стабилизации,
В 3 рассмотрен случай общей линейной системы. На простейшем примере изложена идея доказательства; осуществлено расщепление системы; предложен алгоритм управления и доказана основная теорема локальной о стабилизации.
Параграфы с 4 по 6 посвящены разработке алгоритмов полуглобальной стабилизации линейных систем с запаздывающим релейным управлением.
В четвертом параграфе излагается основная идея алгоритма полуглобальной стабилизации. В основу алгоритма положен принцип адаптации коэффициента, перед релейным элементом. Обоснован выбор параметров адаптации и приведены две аналитические формы записи полученного релейного управления.
Параграф 5 посвящен вопросам полуглобальной стабилизации простейших линейных систем. В нем доказаны леммы о качественном поведении решения скалярной системы с адаптивным релейным управлением. Как следствие из этих лемм, даио обоснование возможности полуглобальной стабилизации решения скалярной системы и приведен строгий алгоритм синтеза управления. Предложенный алгоритм полуглобальной стабилизации обобщен на случай двумерной системы, для которой разомкнутая система имеет спектр, состоящий из комплексно сопряженной пары собственных значений, а так же на случай векторной системы с одним кратным собственным числом и одной кратной комплексно сопряженной парой.
В 6 произведено обобщение предложенных в 5 алгоритмов на случай общей линейной системы, предложен общий алгоритм управления и доказана основная теорема о полуглобальной стабилизации.
Вторая глава посвящена различным приложениям предложенной в главе 1 теории,
В 1 рассмотрена проблема синтеза локального и полуглобального управления для стабилизации механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия. Осуществлено приведение исходной системы к регулярному виду посредством факторизации. Рассмотрены случаи линейной консервативной и диссипативной, а так же нелинейной механических систем.
В 2 рассмотрены две проблемы стабилизации механических систем: перевернутого маятника и двойного перевернутого маятника. Построено полуглобальное управление и представлены численные результаты.
Параграфы 3 и 4 посвящены применению полученных результатов в задачах управления конкретными техническими системами.
В 3 рассмотрена задача управления составом топливной смеси в ка-
мере сгорания инжекторного двигателя автомобиля. Особенность данной системы состоит в том, что и качестве измерительного усіроиства используется А - зонд, имеющий характеристику, близкую к релейной. Кроме того, в системе управления имеет место задержка отклика выходного сигнала Л - зонда, связанная в первую очередь с конечным временем передачи отработавших газов в выпускной системе. Полученная математическая модель системы является скалярной релейной системой с запаздыванием. Посредством выбора специальной поверхности переключений проблему управления составом топливной смеси удается свести к задаче локальной стабилизации. Кроме того, дополнительное исследование качественного поведения системы позволяет усилить результаты и предложить новые алгоритмы управления.
Параграф 4 посвящен одной задаче управления космическим аппаратом с упругими динамическими элементами в условиях неопределенности. Для данной системы релейная природа характерна для исполнительных устройств - газореактивных двигателей, а запаздывание вызвано инертностью измерительных и исполнительных элементов, а так же конечным временем передачи сигналов при дистанционном управлении аппаратом. Кроме того, синтез управления существенно усложняется наличием у космического аппарата упругих динамических элемен-тов(например, панелей солнечных батарей), которые оказывают существенное влияние на динамику системы.
Таким образом, в работе получены следующие
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.
Введены два новых понятия є - устойчивость и Re - устойчивость.
Предложены два новых алгоритма синтеза релейного управления для локальной и полуглобальной стабилизации конечномерных ли-
нейных систем, с учетом неопределенного запаздывания, внешних возмущений и неопределенностей в параметрах модели.
Разработан новый метод управления амплитудой колебаний.
Аналитически доказана робастность построенных, согласно предложенным алгоритмам, управлений по отношению к неопределенному запаздыванию, малым внешним возмущениям и неопределенностям в параметрах модели;
Осуществлено обобщение разработанных алгоритмов управления на случай механических систем.
Предложены новые алгоритмы управления двигателем, а также методы повышения надежности системы управления. Дано строгое теоретическое обоснование алгоритмов управления составом топливной смеси в камере сгорания инжекторного двигателя, с А - зондом в качестве измерительного элемента.
Впервые в задаче стабилизации углового положения космического аппарата, при синтезе управления, были учтены одновременно, и неопределенности в величине запаздывания, и внешние возмущения, и релейный характер системы управления.
Практическое значение работы. Разработанные в работе алгоритмы позволяют осуществлять синтез релейного управления для сложных технических систем с инерционными измерительными и/или исполнительными устройствами, которые функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды.
Методы исследования. При разработке алгоритмов управления и доказательстве основных утверждений существенным образом использо-
вались : идеи приведения управляемой системы к регулярному виду[45]; идеи синтеза линейного модального управления[1]; свойства ограниченных решений скалярных релейных систем с запаздыванием[23]. При обобщении алгоритмов на случай механических систем был применен один метод решения матричного алгебраического уравнения Риккати[13], В доказательстве основных утверждений были использованы известные теоремы о дифференциальных неравенствах. Численное моделирование осуществлялось с помощью пакета Mathematica 4,0 и среды визуального программирования Delphi 7.0.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
семинаре акад. Климова Д.М. и акад. Журавлева В.Ф. (Институт проблем механики РАН, 16 мая 2005г.),
семинаре кафедры прикладной механики и управления им. Ишлин-ского А-Ю. (институт механики МГУ, 28 сентября 2005г.),
3-ей конференции IFAC по системам с запаздыванием (Санта Фе, 2001) [54],
40-ой конференции IEEE по управлению и принятию решений (Орландо, 2001) [52],
Американской конференции по управлению (Анкоридж, 2002) [57],
семинаре научно-образовательного центра "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах" (Воронеж, 2003) [59],
международном семинаре "Нелинейное управление и моделирова-ние" (Самара, 2004, 2005) [61, 62],
конференции молодых ученых "Навигация и управление движени-ем"(Санкт - Петербург, 2005).
По результатам работы было опубликовано ряд статей [46]-[50] в журналах
Доклады академии наук {т.397, №5, 2001),
International Journal of Control (vol. 76, №8, 2003),
International Journal of Robust and Nonlinear Control (№14, 2004),
Прикладная математика и механика (т. 69, вып. 5,2005),
Вестник Воронежского государственного университета (№ 1, 2005),
а также глава в книге [51] "Variable Structure System: From Principles to Implementations4 (глава 17, 2004).
В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю профессору Стрыгину Вадиму Васильевичу, а также профессору Фридману Леониду Моисеевичу за ценные замечания и поддержку.
Некоторые комментарии к вопросу существования решения основной системы
В теории дифференциальных уравнений известно несколько определений решения, напрямую зависящих от свойств функции, стоящей в правой части: классическое определение решения, как непрерывно дифференцируемой функции, производная которой всюду удовлетворяет заданному уравнению; решение в смысле Каратеодори, как абсолютно непрерывной функции, производная которой почти всюду удовлетворяет заданному уравнению; и наконец, решение в смысле Филиппова, понимаемое как решение некоторого дифференциального включения[22].
В связи с этим встает вопрос: какое из перечисленных определении решения для системы (1.1) нам следует выбрать? И почему?
Классическое понятие решения можно сразу же исключить из рассмотрения, так как мы имеем дело с системой с разрывной правой частью. Кроме того, из структуры управления (1.3) видно, что разрывы происходят при переходе через поверхности переключений Six = 0 в пространстве состояний. Поэтому естественно считать, что, как и для случая скользящих режимов, нам подходит определение Филлипова, тем более, что в его знаменитой книге [22] случай разрывной системы с запаздыванием рассматривался.
В тоже время, нам не стоит забывать, что мы имеем дело с системами управления и разрывы в правой части системы исходят только лишь от управления. Поскольку, время отклика в реальных системах не может быть сколь угодно малым, то естественным можно считать предположение, что в каждой конкретной системе h(i) ограничено с низу некоторой положительной константой 0 hmin h(t) ho. Тогда рассматривая нашу систему на отрезке [0,A.mi-n] мы будем иметь
Данная система уже не имеет разрывов в правой части по переменной состояния и ее решение, при некоторых дополнительных предположениях, может пониматься в смысле Каратеодори. Решение на отрезке [hmin-, 2/imm] получается аналогично. Для этого достаточно в качестве новой начальной функции рассмотреть функцию, полученную путем склеивания в нуле функции p(t) и решения системы полученного на отрезке Рассуждая таким образом, можно определить решение на всей полуоси. Более подробно по вопросам существования и единственности решения системы такого вида см. [28].
Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений
Алгоритм синтеза полуглобального управления для общей системы, на первом этапе, повторяет шаги алгоритма для случая локальной стабилизации, согласно которому
1) векторную систему (1.1) следует привести к регулярному виду (1.16) в соответствии с методом предложенным в 3.2;
2) построить поверхность переключений в — Сх\ + #2 в соответствии с алгоритмом описанным в 3.3;
3) с помощью матрицы С, систему (1.16) привести к виду (1.18) и осуществить синтез управления для расщепленной системы опираясь на алгоритмы полученные для частных случаев.
Таким образом, частично пользуясь результатами полученными в 3, мы сразу можем сформулировать алгоритм синтеза управления. Обозначим через &о — \\Щ /(1 + ll i- 2 ID-Алгоритм 1.4
L Пусть известен радиус окрестности начальных данных R 0 и задана допустимая ошибка упранлєтиі є О, R е.
2. Строим матрицу С виде С = К + МР{(1Ъ М2г-, н Ь" /і) где матрицы К М, Р вычисляются по формулам (1.23), (1-24)7 (1-%1), а числа /1{ 0 и 7]$ выбираются так, чтобы матрицы Ац — Д12С и 2h$(A22 + СА12) — In 2/ были нормальными и гурвицевыми. Если отыскать такую матрицу С не удается, то полуглобальная стабилизация системы предлагаемым алгоритмом невозможна. 3. Приводим нормальную матрицу Л22 + СА\2 к вещественной жор-дановой форме J2 с помощью ортогонального жорданова преобразования (?2 5. Вычисляем //.0 — min /it- и задаем
R2 = R /Wi [\\С\\{1 + ЩВ Ц) + \\В \\] , є2 = е/Н, где Н = (1 + \\ВС\\ + J5)v/mmax{l, 2 2(n - т)\\А12\\/ц0}. 6. Выбираем числа к1и 0 и а\ из неравенств (V2 + l)Vmfcd/e2 + (V2 + I)2 fa + сгкг + c2\\Q2l\\) Ь2-2А \ A fa + 2feM(eA + l) , Л, п где Aj = тах{і2(г,г), 0}; /3,- = \J2(i, і + l)\, Q2\ = A2i + САц - A nC -CA\2C, c\ — y/mH, C2 = 2y/2(n — Tn)Tn\\Ai2\\/fQl і — 1,2, ...,/2 + r2. &лгі fcy выбрать не удается, то полу глобальная стабилизация системы предлагаемым алгоритмом невозможна. 7. Определяем числа ji по формуле число d — \/2 + \(сразу заметим, что ji d (eXihji + l)/( yi — eXihQ))f и їіаимеиьшее натуральное N logrf + 1. 8. Вычисляем pi — (a\-V k ]Hdl N и рг- — Rrfid? 1 , і = l,..-,m;j = 9. Наконец определяем управление u(t — h(t))) по формуле u(t - h[t)) = G2(«i(yi( - h{t))),u2{y2{t - A(t))), :;um{ym{t - h(t))))T где «.-() = -p fi + EV - ) (1 i) j «M-L 6.2 Доказательство основной теоремы о полуглобальной стабилизации Теорема 1.2 Пусть справедливы предполооїсєпия 1-3 и существует матрица С} такая что
1) матрица Ац — А С - нормальная и гурвицева;
2) матрица 2h${A22 +СА12) — Лп(2) - нормальная и гурвицева;
3) для всех г = 1, 2, ...,т
4(у + 1)Ч + С1 1 + с2 21)/г0 1п2-2/готах{Л 0}, где \{ - действительная часть, a /3f - мнимая части 1-ого собственно числа A22+CAl2j Cl = фИН, Н = (1+ВС+ J5) v max{l, Mid} Q21 = А21+СД11—-А22С—СЛ12С, е2 = 2д (ті—т)т-Аі2І//іо / = іп/ -, /ij - действительные части собственных чисел матрицы Ац — AuG.
Тогда в соответствие алгоритмом 1.4 может быть построено управление, которое будет обеспечивать Re - стабилизацию системы (1-1) при любом є єтіп — k$h$c$ и любом R с за время не более чем
T = N (4/4, + 2Атах + ln[(2d - l)/(dV2)]//io) , г сз = 4(V2 + l)v #/[ln(2)- C2IIQ21II)]. &maz = твх І у d = \/2 + 1; a iV,7iTaJ - параметры управления.
Доказательство. 1. Из условий 1)- 3) и є ешіп следует, что все шаги алгоритма 1,4 возможно исполнить, тем самым осуществить синтез управления. Остается показать, что построенное управление будет гарантировать Re - стабилизацию решения за время не более чем Т, Рассмотрим расщепленную систему (1.18).
Двойной перевернутый маятник
Рассмотрим теперь более сложную механическую систему состоящую из двух перевернутых маятников (рисунок 2.5).
Каждое звено маятника обладает своей массой гщ и своей инерцией /,-. Общая длина каждого звена равна L{ и расстояние до центра тяжести каждого звена до шарнира - /г-. Система уравнений, описывающая
Требования к уровню токсичности выхлопных газов двигателей современных автомобилей постоянно повышаются. Это обуславливает необходимость увеличения точности управления составом топливной смеси. Однако было бы нежелательно менять элементную базу системы управления и переходить на более дорогостоящее оборудование. На сегодняшний день одним из наиболее распространенных анализаторов состава топливной смеси является А-датчик. Он экономичен, надежен и обладает малым временем отклика. Однако Л-датчик определяет лишь факт того, что отношение количества воздуха к количеству бензина в топливной смеси превышает некоторый уровень в запаздывающий момент времени. Это существенно усложняет разработку алгоритмов управления с его использованием.
В настоящей работе предлагается адаптивный алгоритм управления инжекторным двигателем внутреннего сгорания, обеспечивающий стабилизацию соотношения воздуха и топлива в окрестности стехиометри-ческого значения. Если соотношение воздуха и топлива близко к стехио-метрическому, то уровень вредных веществ, образующихся в камере сгорания, находится в окне бифункциональности каталитического нейтрализатора. В этом случае нейтрализатор работает наиболее эффективно и токсичность отработавших газов снижается до минимума.
На рисунке 2.12 изображена схема инжекторного двигателя внутреннего сгорания и указаны основные элементы системы управления. Воздушный поток поступает во впускной коллектор через дроссельный узел, а бензин во впускные каналы подаётся через форсунки. Воздух и бен зин смешиваются и образуют топливную смесь, которая взрывается в камере сгорания после срабатывания свечи зажигания. Далее, продукты сгорания поступают в выпускной коллектор. Управление поступающим потоком воздуха производится водителем посредством педали акселератора, связанной с дроссельной заслонкой. Количество же топлива, впрыскивающегося через форсунки, определяется электронной системой управления на основании различных показателей, среди которых наибольшее значение имеют: величина воздушного потока и отношение количества воздуха к количеству бензина в топливной смеси, определяемое Л-датчиком. Состав топливной смеси влияет на состав выхлопных газов, в зависимости от которого Л-датчик генерирует некоторое ЭДС. Так как область линейной характеристики Л-датчика очень мала, то его можно считать релейным измерителем. При этом между подачей топлива через форсунки и определением изменения состава топливной смеси, вызванного этой подачей, проходит определенное время h, что связано с конечной скоростью передачи газов по коллекторам и временем рабочего цикла двигателя.
Приведение системы к регулярному виду
Задача об управлении твердым телом с гибкими элементами активно исследовалась в 80-ые и 90-ые годы прошлого века. В рамках линейной теории рассматривался вопрос синтеза управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость решений системы, а так же оптимальность управлений [25, 6, 11, 12, 14, 15]. Исследовалось влияние сил вязкого демпфирования на устойчивость процесса управления[15]. В задачах механики космического полета решался вопрос о стабилизации спутников с вязкоупругими панелями солнечных батарей [11], [12].
В последнее время определился и значительно расширился круг задач механики космического полета, решаемых на большом временном отрезке и учитывающих :
параметрическую неопределенность;
неизвестные внешние возмущения;
неопределенное время запаздывания в исполнительных и наблюдательных элементах;
неполную наблюдаемость системы;
дискретность современных цифровых систем управления;
необходимость гашения колебаний упругих элементов;
влияния гравитационных сил.
Е.И. Сомов в работе [19] предложил новую удачную схему управления космическим аппаратом(КА) в условиях параметрической неопределенности, слабого собственного демпфирования упругих колебаний конструкции, дискретного измерения только доступных координат и наличия запаздывания при формировании управления.
А.С. Бурый, Ю.И. Крылов, СВ. Мацыкин [2] разработали релейный профильный алгоритм управления, обеспечивающий уменьшение амплитуды колебаний упругих элементов при ориентации КА.
А.В. Шатина [26] исследовала эволюцию движения спутника с вязко-упругими стержнями на круговой орбите с учетом влияния гравитационных сил.
В настоящем параграфе рассматривается задача стабилизации углового положения космического аппарата(КА) с двумя упругими динамическими элементами относительно его центра масс с помощью газореактивных двигателей, обладающих неизвестным запаздыванием h(t). Предполагается, что управление КА осуществляется в условиях неопределенности, которые связаны с неполной информацией о параметрах системы и неизвестной внешней средой. Предполагается также, что упругие элементы не обладают диссипативными свойствами.
В дальнейшем будем рассматривать управляемое движение только вокруг одной продольной оси аппарата и считаем, что идентичные вяз-коупругие стержни закреплены симметрично. Следовательно, они совершают антисимметричные колебания (рис. 2.15). Поэтому можно ограничиться рассмотрением колебаний только одного стержня, а эффект их воздействия на основное тело удвоить.
Введем следующие обозначения: г - расстояние от продольной оси до точки крепления стержня; I - длина стержня; EI - изгибная жесткость стержня; га - погонная масса стержня; JQ - момент инерции КА относительно оси OZ\ М - управляющий момент, приложенный к КА.
Пусть первые три системы координат определены следующим образом: OX0yQza - инерциальная система координат с началом О в центре масс механической системы; Ox\y\Z\ - система координат жестко связанная с КА и началом в точке О; a 0\xyz - система координат, связанная с педеформированным стержнем и началом в точке 0\.
Положение системы Ox\y\Z\ определяется углом поворота КА "f(t). Отклонение стержня от оси 0\х обозначим через y{x,t) (рис. 2.15).
Кинетическая энергия К системы, очевидно, равна а потенциальная энергия П упругого изгиба определяется равенством
